第四章 研究結果與討論
第二節 學生在重量、容量及面積數學概念的問題發展之乘除法類型
學生的「寒假生活數學日記」及「數學學習單」分析結果可知，「重量」、「容量」、
「長度」為學生日常生活中最常出現的數學概念，其中因為學生接觸到「長度」的時間 較長（國小一年級），故感受力較強且較能靈活運用，且學生在計算面積時仍需使用到 長度，所以改以長度的延伸概念—「面積」來做為問題發展的主題之一。
研究者並依學生問題發展的內容來探究學生之數學概念，其網路「生活中數學」發 展的主題依發佈時間的先後順序如下：
1. 大家來當老師-容積 2. 酷、炫題庫-面積篇 3. 最不一樣的數學-重量篇 4. 神奇的空間-容量 2 5. 能不能這樣寫-重量 2 6. 好玩的單位變化-面積 2
圖4 - 4 討論區目錄
本研究一開始，以「最不一樣的數學-重量篇」、「大家來當老師-容量」、「酷、炫題 庫-面積篇」來發展問題。請學生以老師的角色來出題，內容以重量、容量、面積為主。
在學生所發展的問題中，研究者發現學生的命題大多缺乏情境。
因學生的命題缺乏情境，故研究者另闢主題「能不能這樣寫-重量 2」、「神奇的空 間-容量 2」、「好玩的單位變化-面積 2」，請學生在自己原本發展的題目當中，再加上生 活情境發展成新的問題，老師示範引用學生發展的問題，加入情境修改，例如：河馬4 公噸，長頸鹿1 公噸 800 公斤，請問共重多少公斤？（學生）研究者將其加入情境後修 改為：今天小青一家人到木柵動物園參觀，小青看到告示牌上寫著河馬重約4 公噸，長 頸鹿重約1 公噸 800 公斤，請問二隻動物共重多少公噸？（加入情境），如圖4-5 所示。
玆將康軒版課本題目及本研究樣本學生前後命題舉例比較如下：
康軒版課本命題：
重量：一包水餃重1 公斤 400 公克，3 包水餃有多重？(楊瑞智等，2005，p75）
容量：1 瓶眼藥水有 25 毫公升，0.3 瓶是多少公升？(楊瑞智等，2008，p36）
4 3
100 面積：王先生有兩塊一樣大的地。他用一塊地的 種小白菜，用另一塊地的 75 種
四季豆。種小白 菜和種四季豆的面積一樣大嗎？（楊瑞智等，2007，p106）
學生命題（未加入情境）：
重量：曉涵的體重是 40 公斤，小芳體重是 38 公斤，請問她們共有多少公斤?(GL4) 容量：媽媽買了十瓶,一瓶是 200 毫公升,請問媽媽總共買了幾毫公升?(GH3)
面積：有一個正方形邊長是 12 公分 請問它的面積是多少?(GL3)
學生命題（加入情境）：
重量：今天健康檢查，曉涵是 40 公斤，而小芳是 38 公斤，他們加起來是多少公 斤?(GL4)
容量：今天早上媽媽到菜市場看到牛奶正在拍賣中,一瓶牛奶 200 毫公升,媽媽想等
一下下午1:00 要來的客人的客戶喝,就買了 10 瓶,請問媽媽總共買了多少毫公 升給客戶喝?(GH3)
面積：阿姨有一個正方形邊長是 12 公里的土地 她想要把那塊土地種下草苺 請問 種草苺的面積是多少?(GL3)
由上可知，學生一開始所發展的題目和課本的很相似，情境較為簡略，後要求加入 生活情境，學生發展的問題，情境敘述較為詳細，且多為生活上常見的情境，加入情境 後的題目，與課本和學生之前的題目最大的差別為學生會交代何時、什麼狀況下，使用 到該數學觀念。例如：身體健康檢查、到菜市場買東西、算土地的面積等。且發現課本 與學生命題另一個較大的差別，學生所用的數大多為「整數」，但課本上的題目會配合 其他的單元，加入「小數」或「分數」的計算。
因「最不一樣的數學-重量篇」與「能不能這樣寫-重量 2」、「大家來當老師-容量」
與「神奇的空間-容量 2」、「酷、炫題庫-面積篇」與「好玩的單位變化-面積 2」發展出 的問題相似，故以下分析，故僅以「能不能這樣寫-重量 2」、「神奇的空間-容量 2」、「好 玩的單位變化-面積 2」的內容為例：
圖4 - 5 教師出題範例
茲將學生在網路上發展「重量」、「容量」、「面積」的問題，分別以量數同構型、叉 積型、比較型分析如下：
一、重量
31 位樣本學生共發展出 27 題數學問題（28 篇中有 1 篇為老師舉例說明），其中 24 題(24/27＝89%)為正確數學題，有 3 題(3/27＝11%)為錯誤類型。正確數學題中有 9 題只 使用到加法、2 題只使用到減法、1 題只使用到乘法、7 題只使用到除法、1 題使用到加 法及乘法二種運算符號、2 題使用到減法及乘法二種運算符號、2 題使用到乘法及除法 二種運算符號，如圖4-6 所示。
27 題數學題
24 題正確數學題 3 題錯誤數學題
9 題加法 2 題減法
2 題減法及乘法 1 題加法及乘法
1 題乘法 7 題除法
2 題乘法及除法
圖4 - 6 「能不能這樣寫-重量 2」之結果分析
由圖 4-6 可知，學生發展的問題共 24 題確數學題中，扣除單一使用加、減法的題 目後，使用到乘、除法的題目共有13 題，高達 54%（13/24=54%）。
（一）乘除題型分析(如表 4-8 所示)
（1）以「比較型」的題型為最多，共有 10 題(10/13＝77%)，依次數多寡依次:：
1、常量未知共 7 題(7/13=54%)
例：今天我們全家出去玩的時候,在玩遊戲的時候他們需要量體重，弟弟和妹妹就
去量體重發現自己的體重是弟弟的體重是40kg，妹妹的體重是 20kg，弟弟的 體重是妹妹體重的多少倍？妹妹的體重是弟弟的多少倍？ (GL5)
2、比較量未知共 2 題(2/13=15%)
例：阿杉買了一隻貴賓狗叫小白，小白的體重是13 公斤，阿杉的體重是他的 3 倍 多27 公斤，請問小杉的體是多少公斤？(BH5)
3、基準量未知 1 題(1/13=8%)。
例：今天健康檢查時，小思ㄉ體重是32 公斤，小思ㄉ體重是小明ㄉ 6 倍，小明ㄉ 體重會是多少公斤？ (GL1)
（2）而量數同構型只有 3 題(3/13=23%)，包含：
1、基本量未知 1 題(1/13=8%)
例：天天餐館每個星期要進貨 進一次蔬菜要 300 公斤=500 元 因為天天餐館這幾 個月人比較多 所以一星期要進貨(蔬菜加水果)2400 公斤 天天餐館一星期一 共要付多少錢??? (GL1)
2、最終量未知 2 題(2/13=15%)
例：今天爸爸帶我去奶奶家玩，再路途中我看到10 台巴士，20 台貨車，2 台砂石 車，6 台計程車，巴士一台大約 20 公噸，貨車一台大約 6 公噸，砂石車一台 大約30 公噸，計程車一台大約 3 公噸，請問這些車加起來大約有多重? (BH1)
（再為在之謬字）
（3）叉積型為 0 題。
表4 - 8「能不能這樣寫-重量 2」題型結果分析
26 題數學題
22 題正確數學題 4 題錯誤數學題
1 題加法 1 題減法
2 題乘法及除法 4 題加法及乘法
11 題乘法 0 題除法
1 題加法及除法 2 題減法及乘法
圖4 - 7「神奇的空間-容量 2」之結果分析
由圖4-7 可知，學生發展的問題共 22 題正確數學題中，扣除單一使用加、減法的 題目後，使用到乘、除法的題目共有20 題，共高達 91%（20/22=91%）。
（一）乘除法題型分析（如表4-9 所示）
（1）以「量數同構型」的題型為最多，共有 14 題(14/20＝70%)，包含：
1、最終量未知次數有 12 題(12/20＝60%)
例：今天家裡突然來了幾位客人，發現家裡沒有飲料，於是媽媽去商店買了20 瓶 200ml 的汽水，請問要多少 ml？（BH4）
2、基本量未知的 2 題(2/20＝10%)
例：有一天小明要出去玩,他想喝果汁,他只知道兩公升的果汁 40 元,不過他要買 6 公升的果汁,請問要多少錢?（BL3）
（2）「叉積型」的共有 6 題(6/20＝30%)，均為複合量未知的題型。
例：爺爺家有一個水池，它的高是2 公尺，寬 8 公尺，長 10 公尺，請問這個水池 的容積？（BH3）
（3） 比較型共 0 題。
表4 - 9 「神奇的空間-容量 2」題型結果分析
(5/27＝19%)為錯誤類型。正確數學題中有 1 題減法、20 題使用到乘法、1 題使用到加法、
乘法及除法三種運算符號（計算梯形面積）。
27 題數學題
22 題正確數學題 5 題錯誤類型
0 題加法 1 題減法
20 題乘法 0 題除法
1 題使用到加法、乘法及除法
圖4 - 8 「好玩的單位變化-面積 2」結果分析
由圖4-8 可知，學生發展的問題中，扣除使用單一減法的題目後，使用到乘、除法 的題目共有21 題，共高達 95%（21/22=95%）。
（一）乘除法題型分析（如表4-10 所示）
依發展出的題型多寡依次為「叉積型」的「複合量未知」、「比較型」的「比較量未 知」。
（1）叉積型的複合量未知有 20 題(20/21=95%)。
例：我家有一個大花園，長是5 公尺，寬是 2 公尺，請問我家的大花園的面積是 多少平方公尺?（BM4）
（2）比較型的比較量未知題型有 1 題(1/21=5%)。
例：有一塊方形土地他的面積是2000 公畝,如果小明擁有這塊土地的 1/4,問小明擁 有多少公畝ㄉ土地??（BH8）
（3）量數同構型有 0 題。
表4 - 10 「好玩的單位變化-面積 2」題型結果分析
（二）重量、容量、面積三個數學概念的乘、除法題型各為 14、19、21 題，且會因不 同的數學概念而有不同的類型，「重量」概念集中在「比較型」的題型、「容量」概念集 中於「量數同構型」的題型、「面積」集中於「叉積型」的題型，如圖4-9。從學生發展 的題目可知，會有此結果原因為對學生而言，乃因數學概念不同則情境就不同，所以要 解決的事件也不同所產生。
0%
10%
20%
30%
% 50%
% 70%
80%
90%
100% 5%
77% 30%
95%
60
40
70% 比較型
叉積型
23% 量數同構
重量 容量 面積
圖 4 - 9 「重量」、「容積」、「面積」乘除法題數長條圖
（三）「重量」、「容量」、「面積」三個數學概念發展出的乘、除法題型總題數以叉積型 為最多，有 26 題；量數同構型次之，有 17 題；再來是比較型有 11 題，如表 4-11，此 結果與黃月平（2004）的研究結果乘除類型依比率依次為「量數同構型」、「比較型」、「叉 積型」不同，其原因可能為本研究設定在「重量」、「容量」、「面積」三個數學概念的研 究，從總結（二）中可看出在學生的日常生活中，不同的數學概念有不同使用類型。
表4 - 11 乘、除法題型分布情形
類型 量數同構型 叉積型 比較型
重量 3 0 10 100%
（共13 題） (3/13=23%) (10/13=77%)
容量 14 6 0 100%
（共20 題） (14/20=70%) (6/20=30%)
面積 0 20 1 100%
（共21 題） (20/21=95%) (1/19=5%)
總計 17 26 11 100%
（共54 題） (17/54=32%) (26/54=48%) (11/54=20%)
（四）學生發展情境大多集中於身邊人物， 如：家人、學校的老師、同學等，此結果 和馬秀蘭（2001，2004）的研究相似；最常出現的場所也以學生最常去的場所為主，如 家裡、學校、動物園、餐廳、賣場等。其中「重量」數學概念的發展情境以身邊人物體 重的比較占多數；「容量」數學概念的發展情境大多集中在計算飲料的容量；「面積」數 學概念的發展情境以給予長度計算土地大小的題型為最多。