問題發展

一、問題發展的意義

在研究文獻上有關「問題發展」出現不同的詞語，例如：擬出問題(posing problem)、

形成問題(formulating problem)、找出問題(finding problem)、創造問題(creating problem)，

其相同的目的就是要發展出數學問題或題目。Dillon(1982) 認為問題發展是解題之後尋 找題目的過程。Silver(1994) 指出問題發展是由經驗或情境中創造出新的問題，或是由 給定的題目中，創造新的題目。Stovanova 和 Ellerton (1996) 則將問題發展定義為依據 數學經驗的基礎，學生建構及創造有意義的數學題目，是一個屬於個人化的過程。國內 學者梁淑坤（1994）對問題發展下的定義是：「自己想出一個數學題目來」，在問題發展 的過程中，問題發展者會用自己的數學知識和生活經驗把情境、人物、事件、數字、圖 形等建立關係並組織起來，發展出一個數學題目。徐文鈺（1996）稱問題發展是一種主 動建構、運用認知基模處理訊息的活動。楊惠如（2000）亦認為問題發展乃是學生根據 自己所學的數學經驗，創造一個屬於個人化的數學題目。陶惠昭（1988）認為「problem posing」指的是所有的出題行為，亦即代表一個數學題目怎樣形成的過程。

綜合以上所敘述，問題發展是學生根據自己的數學知識和生活經驗將情境、人物、

事、數字、圖形等訊息 找出關係並做組織創造出一個個人化數學題目的過程。本研究 將讓學生統整自己所學數學知識和生活經驗，依特定主題，自己發展出一個或多個新的 數學題目來，此即為問題發展(problem developing)（馬秀蘭，2001，2004）。

二、問題發展在教育上的重要性

教育部所頒布的九年一貫數學學習領域的基本理念（2003）中強調：教育應提供學

生做有意義及有效率學習的機會，使學生能學好重要的核心數學題材，成為「帶著走」

的能力。但在制式與填鴨的學習環境中（社會環境、教學份量、學習方式），學生已習 慣被教導與限制，慢慢喪失主動探究的精神（余政賢，2007）。且傳統的數學學習，偏 重演算能力及解決應用問題的教學方式，學生往往不斷的大量練習，較少重視數學各表 徵系統轉換的能力，而使得學生並非真正理解數學概念，呈現的只是機械式操作後的記 憶表現。但是在發展問題時，為了要從已知的情境中發展出一個題目，學生必須能意識 到情境中的事實與關係，才有能力將情境數學化以及以問題的型式表徵數學情境的能 力。

Polya(1945)在「怎樣解題」一書中提出解題過程的四階段：理解(understand)、策畫 (plan)、實行(carry out)、回想(look back)，而 Silver 等學者更進一步提出擬題的研究，認 為擬題可以讓學生結合自己的生活經驗，以自己的認知去學習數學，對學習數學有正面 的幫助。梁淑坤（1994）根據 Polya 的解題模式，將「擬題」取代理解，而成為擬題四 步驟：擬題、計畫、執行、回顧。如圖2-1 所示，「擬題」取代了「理解」階段，「回顧」

階段可再擬出其他題目來，若有動機去解再次擬出的題目，則要再次計劃及執行。梁淑 坤（1995）認為若解題者也是「擬題」者，當然清楚題目的內容，即可以馬上做策畫的 步驟，且解題者在解題之際，也有可能會發展出新的題目，然後再策畫、再解題。而再 解題後可將所得到的結果整理後再發展出新的題目來，如此，可以變成永無休止的「擬 題」及解題活動。

擬題 理解

策畫 回顧 計畫

實行

回想 執行

圖2 - 1 Polya 的解題四步驟及梁淑坤的擬題四步驟對照（引自黃俊惟，2003）

近幾年來，有許多國內外研究者發現問題發展活動不僅可以提高學生的學習興趣，

對於學生的數學能力亦有增進效果（楊惠如，2000；劉芳妃，1998；Skinner, 1990; Silver, 1994; English, 1997; Knuth, 2002）。梁淑坤（1994）、Brown 和 Walter(1993) 、English(1997) 則認為問題若是由解題者所發展出來，解題的興趣及動機就會很高。劉祥通（1996）、

Tsubota（1987）、Writze 和 Kahn（1982）的研究也指出問題發展可以幫助學生了解問題 結構、形成數學化思考方式，將自己的數學知識和生活情境做連結，使數學意義化，並 發現教材的系統性和關聯性。Knuth(2002)提及學生應擁有學習及了解數學的興趣，其中 也包含在了解給定的題目後，以原來的解答或數學概念作為更進一步探討的出發點，再 發展出有趣的數學題目來。從學生發展的問題中也可反應學生的認知結構，馬秀蘭

（2007b）修改 Mayer（1992）的解題知識成「發展乘除問題知識」，它指出對乘除法算 式，學生須具有以下四種知識才能成功的發展問題：

（一）策略性知識：檢視列式一些程序的知識，如直接檢視列式、或改變運算列式、或 制定子目標。

（二）基模知識：考量到以哪一種情境物件或結構類型去發展問題的知識，或已知數與 未知數之間的關係。

（三）語意知識：了解列式的意義及現實世界事物的知識，包括以離散量事物或連續量 事物表示問題，以及認識此事物相關的資料知識。

（四）語文知識：能用正確的中文表示問題的知識。

從學生發展的問題可檢視學生的認知結構，可做教師了解學生數學概念與文字表徵 的一個參考。

Silver(1994)提及問題發展活動對學習的五項優點：

（一）可以養成積極的學習態度，並且促進多樣化和靈活的思考。

（二）讓學生對自己的學習負責任。

（三）幫助教師和學生去察覺出錯誤概念和迷思。

（四）增強學生的基本概念並提高學生的解題能力。

（五）消除學生對數學的恐懼及對數學的錯誤觀點。

林群雄（2004）也認為問題發展在數學教育上的重要性有以下六點：

（一）可以增加解題的動機和興趣。

（二）可以使數學知識結構意義化並與生活經驗相結合。

（三）可以促進分析問題發展與數學思考的能力。

（四）可以培養批判問題與相互欣賞的能力且能提高創造力。

三、問題發展的方式

問題發展依據的素材（圖片、文字、實物）與結果呈現之型式發展出各種不同之方 法，相關理論如下：

（一）Tsubota (1987) 提出七個的「擬題」方式。

1.模仿法或類題法：模仿出和學習問題相類似的題目。

2.算式法：列出一個公式，再發展出適用此公式的問題。

3.原理法：發展出所給予的四則算法和通分等原理相對的題目。

4.訂正法：一道題目，故意漏掉其中的某些必要的條件，或是給予其他不必要的條件，

或給予的條件矛盾而需訂正的方法。

5.實驗法：實驗或以具體東西的操作後，再以此事項為根基發展出問題。

6.自由法：發展出以自由的題材、自由型式而成的問題。

7.題材法：給予固定題材來發展問題。

（二）Reitman (1965)將題目的結構依照已知(given)條件和目標(goal)是否定義清楚，提 出四種問題的結構，如下列情況：

1.第一類型：為已知及目標均定義清楚，此類為結構題(structured problem )。

2.第二類型：為已知定義清楚，但目標定義未清楚，此類為非結構題 (ill-structured problem)。

3.第三類型：為已知定義未清楚，但目標定義已清楚，此類為非結構題。

4.第四類型：為已知及目標定義未清楚，此類為非結構題。

（三）Silver (1996)認為「擬題」可以分成兩種方式：

1.由已給定的題目中，再發展出新的題目。

2.創造由情境中或根據自身經驗中而發展出的一個新的數學題目。

（四）Stoyanove & Ellerton (1996)則將「擬題」分成三種情境：

1.第一種是結構( structured)的情境：根據現有的題目再加以改變。

2.第二種是半結構(semi- structured)的情境：利用先前所具備的數學知識、技巧、概念 以及關係連結，完成一個完整結構的數學問題。

3.第三種則是自由( free) 的情境：給定一個自然情境下讓學生自由發揮。

（五）其他學者所提出的問題發展方式

1.寫問題(problem writing)：要求學生根據教師提供的算式或算式填充題寫出相對應的 數學文字題，即寫出數學題目（馬秀蘭，2001，2002，2004）。

2.數學日誌(mathematical journal )：學生透過逐日的記錄回顧自己的學習成果，但較缺 乏結構性（林文生、鄔瑞香，1999；鄔瑞香，1996）。

3.數學寫作(mathematical writing )：指學生將自己的數學想法、概念、技巧和解題過程 透過學習日誌、報告或故事等方式呈現出來。包含數學日誌、問題發展、創作式寫作、

解釋說明寫作等（劉祥通、鄔瑞香、黃瓊儀，2000）。

由上述可知，問題發展的類型很多樣貌，仔細分析比較後，可發現其相同之處。本 研 究 採 Silver(1996) 由 情 境 中 或 自 身 的 經 驗 中 創 造 一 個 新 的 數 學 題 目 ， 並 根 據 Reitman(1965)，依已知條件和目標是否定義清楚，將題目分為正確數學題與錯誤類型 題。

四、問題發展的相關研究

對於問題發展之研究方式與研究對象雖然各有不同，皆為對問題發展在數學教育上 之運用價值的肯定。黃月平（2004）將有關於問題發展的研究大致分為三種向度：

（一）將問題發展視為教學研究活動，以瞭解問題發展教學與學習之相關，並透過問題 發展活動來促進學生對數學的興趣，從事這方面的研究有：

Schloemer(1994)將問題發展教學策略“What-if-not”以認知學徒制的教學方式來教導 大學生學習高等代數，實驗組的學生進行問題發展教學，而控制組的學生則不進行，結 果發現兩組在數學成就中並無顯著差異。根據研究者的結論，他認為實驗組可能已經習 慣原來的教材，當老師進行問題發展的教學方式他們在數學態度上會產生負面的影響。

所以雖然在問題發展方面，實驗組表現比控制組好；但在數學態度的表現方面，兩組的 前、後測均下降。

Gonzales(1994)在美國新墨西哥州大學對職前的中小學教師，進行「擬題」教學研 究計畫。以「從已知問題再擬出新問題」的方式來進行。因此，他以Polya 解題的四個 階段，增加第五階段「擬題」，成為「理解」、「策畫」、「實行」、「回想」、「擬題」，研究 中發現學生常可以擬出教師意想不到的問題，或是提出一個連教師都沒想到的解法。

English(1998)研究 54 位澳大利亞國小三年級學生的問題發展能力。發現學生在許多 非例行性的情境中，可以擬出多樣化的題目。但在加法和除法的問題發展中，學生所擬

English(1998)研究 54 位澳大利亞國小三年級學生的問題發展能力。發現學生在許多 非例行性的情境中，可以擬出多樣化的題目。但在加法和除法的問題發展中，學生所擬