對「參與開放性試題和二階段評量試題施測之預試學生」以及「參與補救教學之 學生」之成果進行探討。
一、預試學生之主要錯誤類型及其成因分析
研究者利用自編的三次「二次函數概念」開放性試題，針對90 名九年級學 生進行施測，根據學生的答題情形進行統整、分析、歸納，整理出學生在二次函 數概念上的錯誤類型共有11 種，分述如下：
A. 對二次函數代數式解釋的錯誤
1.不瞭解二次函數中「二次」的意義。
2.將二次函數 y ax2bx c 與一元二次方程式 ax2 bx c 0 混淆。
3.在做一般式 y ax2bx c 轉換成標準式 y a ( x h)2 k、假設標準式 y a ( x h)2 k 將 a 當成 1 或從標準式找對稱軸發生之錯誤。
B. 對二次函數圖形解釋的錯誤
1.只關心圖形看得到的部分，忽略圖形隱含的解析性質。
2.認為拋物線的部分圖形是線性。
3.對稱軸概念的錯誤。
C. 二次函數代數式表徵與圖形表徵之間轉換的錯誤 1.不瞭解 y ax2之a 與圖形之關係。
2.不瞭解圖形的左右平移與代數式 y a ( x h)2 k 中 h、k 之關係。
D. 二次函數的特殊點（與 x、y 軸的交點、頂點）的錯誤 1.認為二次函數的頂點都在 y 軸上。
2.不瞭解二次函數 y ax2 bx c 中 b2 4ac 與 x 軸交點個數的關係。
3.不瞭解二次函數 y a ( x h)2 k 的頂點坐標(h, k)與 y ax2bx c 的關係。
研究者根據三次「二次函數概念」開放性試題測試的結果，改編為「二次函 數概念」二階段評量試題，然後另外找了67 名國中九年級學生進行「二次函數 概念」二階段評量試題的第一次預試，根據第一次預試的結果略作修改後，又找 45 名國中九年級學生做「二次函數概念」二階段評量試題的第二次預試。研究 者將這兩次預試的結果進行分析、歸納得表4-1。
表4-1
國中九年級學生在「二次函數概念」二階段評量試題之犯錯率 錯誤類型
預試人數
A1 A2 A3 B1 B2 B3 第一次預試67 人 43.3% 41.8% 73.1% 56.7% 71.6% 77.6%
第二次預試45 人 35.6% 71.1% 57.8% 42.2% 53.3% 62.2%
合計112 人 40.2% 53.6% 67.0% 50.9% 64.3% 71.4%
錯誤類型 預試人數
C1 C2 D1 D2 D3 第一次預試67 人 70.1% 50.7% 43.3% 40.3% 52.2%
第二次預試45 人 51.1% 33.3% 37.8% 37.8% 51.1%
合計112 人 62.5% 43.8% 41.1% 39.3% 51.8%
在「二次函數概念」二階段評量試題中，每一個錯誤類型可能出現在不只一 個選項。若一個學生有選答該一錯誤類型的 25%以上（包含 25%）的選項，我
們就認定該生有犯此錯誤類型。若犯某一類錯誤類型之人數達到受施測總人數的 15%以上（包含 15%），則認定此一錯誤類型為本研究之主要錯誤類型。
從表4-1 中發現，11 種錯誤類型的犯錯率皆超過 15%，因此本研究將此 11 種錯誤類型列入主要的錯誤類型。
為了瞭解學生犯錯的確切原因，研究者除了分析學生試卷上的答題理由外，
亦透過與學生的晤談以瞭解學生在答題時的想法，藉以進一步分析學生犯錯的原 因。
茲將學生於學習二次函數單元時所犯的 11 個主要錯誤類型及其類型的成因 分述如下：
類型A-1 不瞭解二次函數中「二次」的意義。
在「二次函數概念」二階段評量試題預試統計結果有45 位學生犯此錯誤類 型。
題號 選項 人數
01 (A)因為有兩個未知數 f 和 x。 13
01 (B)因為有兩個 x。 13
01 (C)因為 x 有 2 次方，和 x3沒關係。 19 此錯誤類型的成因為：
1.把兩個不同的文字符號視為二次。
2.把兩項看成兩次。
3.因為多項式常常都是降冪排列表示，所以認為第一項是幾次就是幾次多項式，
套用到二次函數的次方判定。
《訪談實例A-1-1》 （學生編號 90414）
第三次開放性試題：
01、f x x2 x3是二次函數嗎？
□ 是二次函數 □ 不是二次函數 請將你的理由寫在下方：
R：第01題，請問它是二次函數嗎？
S：應該…應該是吧！
R：你寫有兩個未知數是指哪兩個未知數？
S：就是…這個（指 f ）跟這個（指 x）。
R：f 跟 x ？
S：嗯！對呀！因為我看不懂這個符號…（指 f x）
R：喔！因為你看不懂 f x的關係…所以你把 f 跟 x 兩個英文字母看成兩個未知 數。所以你認為「二次」那個「二」就是兩個未知數？
S：嗯！
註：訪談實例後面的編碼是由二或三個字母或數字組成。自左而右第一個是英文 字母表示所屬的錯誤類型種類，第二個是數字表示該種類的錯誤類型流水號碼，
若有第三個數字則為錯誤原因之流水號碼。學生編號後面的編碼是由五個數字組 成。自左而右前三個數字表示該學生所屬的班級，後兩個數字表示該學生所屬的 座號。以下所有的訪談實例和學生編號亦同。
《訪談實例A-1-2》 （學生編號 90310）
第三次開放性試題：
01、f x x2 x3是二次函數嗎？
□ 是二次函數 □ 不是二次函數 請將你的理由寫在下方：
R：第01題你認為為什麼它是二次函數？
S：…（笑）因為它有兩個 x。
R：哪兩個 x？
S：（指 x2和x3）
R：x2的x跟 x3的x，有兩個 x，所以你認為它是二次函數？
S：嗯！
R：二次函數是兩個 x的意思嗎？你之前學到的是這樣子？
S：好像是。
《訪談實例A-1-3》 （學生編號 90424）
第三次開放性試題：
01、f x x2 x3是二次函數嗎？
□ 是二次函數 □ 不是二次函數 請將你的理由寫在下方：
R：第01題，你認為它是二次函數嗎？
S：呃…應該是。
R：應該是喔？可是它有三次方耶！
S：可是它第一項是二次項。
R：和 x3沒有關係？因為第一項是二次項就是二次函數？
S：嗯！
R：那題目如果改成 f x x x2呢？
S：就是一次函數。
R：一次函數？
S：嗯！
類型A-2 將二次函數 y ax2bx c 與一元二次方程式 ax2 bx c 0 混淆。
在「二次函數概念」二階段評量試題預試統計結果有60 位學生犯此錯誤類 型。
題號 選項 人數
02 (A)因為 y x2 3x 4 和 y 2x2 6x 8 在 y 0 時的解都是 x 4 與x 1。
13 02 (D)因為將 y 2x2 6x 8 的各項係數化簡就可以得到
y x2 3x 4。
16 07 (C)因為將 y x2 2x 3 的各項係數乘以2 倍後並不等於
y 2x2 4x 6。
27 07 (D)因為 x2 2x 3 0 與2x2 4x 6 0 的解不相同。 22
此錯誤類型的成因為：
1.將等量公理過度推廣到二次函數 y ax2bx c。對 ax2 bx c 的係數同乘（或 同除）不為0 之倍數時，忽略等號另一邊的 y 也要同乘（或同除）。
2.因為受到舊經驗「以配方法解一元二次方程式」的影響，認為將二次函數形如 y ax2 bx c使用配方法求頂點與求ax2 bx c 0的解是一樣的。
《訪談實例A-2-1》 （學生編號 90405）
第三次開放性試題：
10、兩個二次函數 y x2 2x 3 與 y 2x2 4x 6 有相同的頂點嗎？
□ 有相同的頂點 □ 沒有相同的頂點 請將你的理由寫在下方：
R：第 10 題，你的答案選這兩個二次函數沒有相同的頂點，理由寫是因為 c 項…
你是指常數項不一樣？
S：對！常數項不一樣。乘起來之後，把它…（在白紙上寫y x 22x 、3
S：解求不出來！所以x2 2x 3 0與2x2 4x 6 0的解不一樣！
R：可是題目是問你二次函數y x2 2x 3與y 2x2 4x 6的頂點有沒有一 樣，這和x2 2x 3 0與2x2 4x 6 0的解有沒有一樣有什麼關係？
S：我都是把 y x2 2x 3與y 2x2 4x 6的y令成 0。
R：為什麼要令 y等於 0啊？
S：以前上課的時候，如果要算算式的話，老師就沒有說特別把 y寫出來啊！就 說…x2 3x 4會等於 0，然後就這樣叫我們去算。
R：是不是以前八年級的時候學一元二次方程式那裡？
S：應該是…可是，老師以前教二次函數的時候，好像也這樣算的。
R：是老師教二次函數的時候，不是八年級的時候教那個一元二次方程式的時候 嗎？
S：呃…好像是…我是照老師以前教二次函數時這樣去算，因為我也很久沒算了，
所以也不太會，我是以模糊的印象去算，好像大概是這樣算的。
類型A-3 在做一般式y ax2bx c轉換成標準式y a ( x h)2 k、假設標準式 y a ( x h)2 k將a當成1或從標準式找對稱軸發生之錯誤。
在「二次函數概念」二階段評量試題預試統計結果有75 位學生犯此錯誤類 型。
題號 選項 人數
05 (A)因為 y ( x 1)2 ( x 1)2 2( x 1)2 4x，對稱軸是 x 1。 15 05 (C)因為 x1 代入( x 1)2等於0，x 1 代入( x 1)2等於0。 27 06 (B)因為 x 3 代入 y (2x 3)2 1 後不等於 0。 23 06 (C)因為頂點是(3, 1)，所以對稱軸方程式是 x 3。 19 07 (A)因為兩個二次函數的各項係數不一樣，開口方向、開口大小也
不同，所以兩個二次函數不一樣。
11 13 (C)因為頂點(2, 0)的二次函數方程式為 y ( x 2)2，代入(0, 16)，
發現(0, 16)不會在拋物線上。
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此錯誤類型的成因為：
1.受到二次函數y a (x h)2 k的影響，認為此型式都應該有括號，因此將形如 y ax2 k再加上一次項配方。
例如：y 2x2 2 2 (x21) 2(x2 2x 1) 4x 2( x 1)2 4x。
2.受到「二次函數y a ( x h)2 k的對稱軸是x h」的影響，因此不管有幾個括 號，只要看到( x h)2， 就認為( x h)=0會是一條對稱軸。
3.因為對稱軸方程式的型x h長得很像一元二次方程式的根x α或x β的樣 子，所以會認為求對稱軸方程式和求一元二次方程式的解一樣，讓y 0求x值。
4.二次函數y a ( x h)2 k的對稱軸為x h，因為學生只注意括號內之h，所以認 為y (ax h)2 k之對稱軸也為x h，忽略括號內x項之係數a。
5.受到二次函數教學上常以形如y x2當成範例的影響，認為二次函數標準式為 y ( x h)2 k而沒有考慮a。
6.直觀認為二次函數的各項係數不一樣時，二次函數的頂點也不相同。學生將若
「頂點相同」則「二次函數的各項係數相同」視為等價關係。
《訪談實例A-3-1》 （學生編號 90107）
第二次開放性試題：
06、阿欣要求二次函數y ( x 1)2 ( x 1)2的對稱軸，求出的對稱軸是x 1 和 x 1。請問他求的對稱軸正確嗎？
□ 正確 □ 不正確 請將你如何求出對稱軸的理由寫在下方：
R：第 06 題它是要問你二次函數 y ( x 1)2 ( x 1)2的對稱軸是不是x 1 和 x 1，你選「正確」，你能說明一下你的理由嗎？
S：先把 y ( x 1)2 ( x 1)2展開化簡成y 2x2 2，然後配方（寫
2
2 2 1 4
y x x x ），然後變成（y2(x1)2 x ）這樣子。 4 R：為什麼你會這樣配方？
S：因為它如果加的話（指括號內的 1），它（指括號內的 2x ）可以加也可以 減啊！最後都會形成這個式子啊！（指y2(x1)2 x ）如果你前面加的話4
（意指 1），後面就要減掉啊！（意指4x）然後如果前面減的話（意指1），
後面就要加起來（意指 4x）。
R：你這個動作是在做配方嗎？
S：對啊！
R：可是你有沒有注意到後面還有 4x 欸！
S：對稱軸就只是問 x 而已呀！所以就不關後面的那個的問題。
R：你認為，配方完成後的形式應該是怎麼樣子，才是叫完成？
S：大概就像這樣子就是完成啦！
R：就是y 2(x1)2 4x？ S：對啊！
《訪談實例A-3-2》 （學生編號 90106）
第二次開放性試題：
06、阿欣要求二次函數y ( x 1)2 ( x 1)2的對稱軸，求出的對稱軸是x 1 和 x 1。請問他求的對稱軸正確嗎？
□ 正確 □ 不正確 請將你如何求出對稱軸的理由寫在下方：
R：第 06 題。你回答二次函數 y ( x 1)2 ( x 1)2的對稱軸是x 1 或 x 1 這 是正確的，可以解釋一下你是怎麼得到這個答案的嗎？
S：因為一般用那個配方法不是可以得到 y a ( x h)2 k 嗎？
R：嗯！
S：配方完之後括號裡不是都是那個x1不然就x1，然後( x1)2就要跟它抵消 的話就是 x 要代 1，( x 1)2要跟它抵消的話 x 就要代1，所以 x 不就等於 1 嗎？不然就1。
R：你是說 x 1 和 x 1 分別可以跟( x 1)2和( x 1)2抵消？
S：對啊！
R：可是 y ( x 1)2 ( x 1)2是一個二次函數式子，x 可以一下用 1 抵消，一下 用1 抵消嗎？
S：可以吧！有抵消就可以。
S：可以吧！有抵消就可以。