一、概念的形成與學習
概念的形成，對於數學的發展到數學的學習都是一重要的過程。概念的定義 主要被視為一集合，此集合包含類似的物體或是符號 (Merrill & Wood, 1974)，
所為類似即為這些物體或符號擁有共同的屬性（張春興、林清山，民78）。而共 同與類似的範圍所形成的概念，可以是根據個人的經驗加以歸納而成 (Mervis and Hupp, 1981)。表現一個概念的方式，通常可以利用一個概括的名稱或符號來 描述，並指出概念其屬性具有可辨認的特徵，概念中所包含的屬性越少，其限制 也會越小，而概括的範圍就會越大；若概念的含意越抽象，其層級也越高（陳忠 志，民89）。於數學上，Henderson (1970) 把概念細分為具體概念 (concrete concept) 和抽象概念 (abstract concept)。其中具體概念為具有物理上實質的例子，如尺、
三角形、橢圓球等；而抽象概念為不具上述具有物理上實質的例子，如數學上會 遇到的分數、複數、極限、多項式、機率等則是屬於抽象概念。
概念形成的過程一般稱為抽象化。透過抽象化將具有相似性、共通性的經驗 歸類在一起 (Skemp, 1979)。「抽象化」是一種心智活動過程，使我們瞭解各種週 遭環境經驗之間的相似性、共通性，讓我們可以用已經分類的舊經驗和相似性、
共通性來認知新經驗。它使我們有分類的能力。因此，要形成一個概念就必需先 有實際經驗，而這些經驗又有某些相似性、共通性，將這些經驗與共通性加以分 類命名，抽象化即形成概念。很多概念都是先來自我們實際經驗所抽象化所形成 的初級概念，再根據這些初級概念抽象形成次級概念，往往要經歷多次的抽象才 形成。因此，(Skemp, 1979) 概念形成過程分為五個主要的狀態： 1. 意識 (realization)：指一個新的概念，透過環境經由感官輸入概念結構，此時新的概念 與概念結構中的任一概念都沒有聯繫上。 2. 同化 (assimilation)：指在概念結構 中找出與新概念相類似的概念。 3. 擴張 (expansion)：指從既有概念結構中已有 的 概 念 來 領 悟 這 新 的 概 念 ， 使 其 成 為 概 念 結 構 中 的 一 部 分 。 4. 分 化
(differentiation)：指分辨新的概念與ㄧ些已有概念之間的異同處。 5. 重建 (re-construction)：重建過程是指當問題的情境改變時，已建立的概念結構雖具有 相關性，卻不適用於此情境，此時必須重建個體的概念結構。
概念的形成與擴張等狀態，可以一圓錐形來描述 (Pines, 1980)。其中，圓錐 的底部稱之為延伸，表示概念延伸的部分，包含所有屬於此概念的事例。圓錐的 頂部稱之為內涵，代表萃取出此概念的特質、共同性或定義等規律性。在學習時，
由底部概念延伸部分推至頂端內涵部分，此過程稱為概念化，即由事例中發現其 共同性，此概念化過程是一種歸納方式。若由頂端概念的內涵部分推至底部概念 延伸部分，則是所謂的應用，此過程是一種演繹方式，即將概念之規律性應用於 事例中（如圖2-2）。由下往上的概念化過程可能導出不正確的概念內涵；同樣地，
若是對於概念的內涵特質不清楚的話，則由上往下應用於事例時，就會產生錯誤。
Ausubel (1968) 認為有意義的概念學習與擴張是發生在新知識與學習者舊有概 念產生連結同化的過程上。也就是說，個人將新概念和新訊息與原有認知結構中 的概念相連結，不斷整合新概念和新訊息，使之融合成為更扎實的認知結構。董 小平等人 (1996) 提出概念的學習與擴張過程為「輸入與領會－鞏固與強化－應 用與發展」，期間要經過抽象－具體－再抽象－再具體的反覆認知，並把新概念 納入原有的認知結構裡，最終形成新舊概念相聯繫的更完整的概念系統。
圖 2-2
圓錐形的概念模型
概念化 應用性
延伸 內涵
在數學學習上，Sfard (1991) 認為可以用兩種不同的方式來理解抽象數學概 念的形成，她把數學概念分成結構性概念（或稱物件 (Objects) 觀點）與操作性 概念（或稱過程 (Process) 觀點）。對多數人而言都是先獲得操作性概念，然後 再發展成一種可操弄，不須再涉及過程或行動的結構性概念。由操作性到結構性 概念的轉變可由一三階段的模式來描述 (Sfard, 1991) 發展了一個三階段的模 式： 1. 內化 (Interiorization)：指藉由熟悉、操作屬於較低層次具體物的過程中，
獲得新的概念。在此階段，操作的技巧將會提升。 2. 壓縮 (Condensation)：指 把冗長的操作過程壓縮成為更可操作的單位。在這個階段中，不須考慮過程中細 節的部分，而是將它是為一個整體、一個輸入與輸出的關係。此階段的發展會使 概念在不同表徵間的轉換變得比較容易，經壓縮階段後，新概念才確實產生。 3.
物化 (Reification)：內化和壓縮都是漸進發生的，都是在量上長期改變的結果，
而物化則是將過程或概念凝結成為整體的物件，使之成為靜態的結構，並且可以 保有其特徵以便與提它概念比較。它可用來當作更高階層次概念內化階段的具體 物。
由此可知，這兩個數學概念形態在本質上是相當不同的。其中，結構性概念 是靜態的、同時的、整合的，而操作性概念是動態的、序列性的、詳細的。但兩 者之間的關係是互相牽動的，猶如硬幣的兩面一樣。數學的學習與概念的形成，
即是透過上述的三階段的模式，逐漸地遊操作性概念轉化為結構性概念，而這是 一個緩慢且困難的過程（請參見圖2-3）。Klausmeier, Ghatala and Frayer (1974) 將 學生數學概念的學習，由淺至深可分為四個層次：1. 具體 (Concretization)：學 生可以認出並瞭解過去已學習過的範例或習題。2. 辨識 (Identification)：對於先 前學習過的範例或習題的變化形態，也就是經過不同形式方式呈現，學生亦能認 出。3. 分類 (Classification)：學生能分辨範例是否屬於學習過的特定形態。4. 形 式化 (Formalization)：學生能清楚敘述並瞭解數學概念的定義。這裡所指的「敘 述概念的定義」不是單純地背誦定義，而是真正的瞭解。除此，亦有學者認為有 一生產 (Production) 層次，介於前述層次 3 至 4 之間，也就是學生可透過其數學
概念給出範例 (Sowder, 1980)。
圖 2-3
Sfard 概念形成的一般模型圖
施良方（民 85）從文獻中整理了三種較具代表性的數學概念形成理論，並 針對在數學教學中，如何使學生形成其數學概念方式的不同理論模型進行描述，
如下：
（一）聯結理論 (association theory)：如果學生能夠正確地識別出某個概念的一 個例子，就給予強化，告訴他是對的；如果學生對刺激識別錯了，則告訴 他錯了，這樣，學生就不會形成錯誤的聯結。通過一系列嘗試，正確的反 應與是當的刺激就連結起來了，因而，學生的概念也就行了。
（二）假設－檢驗理論 (hypothesis-testing theory)：把學生看作是一個積極的信 息加工者。學生是通過提出和檢驗各種假設來解決種種問題的，包括概念
問題。用假設－檢驗理論解釋概念形成的主要代表Bruner (1956)，他的基 本觀點是，在概念形成過程中，學生並不是被動地、消極地等待各種刺激 的出現以形成聯想，而是積極地、主動地追究這一概念，通過一系列的假 設－檢驗來發現這一概念。學生在形成概念的過程中，還會採取各種策 略，以求加快發現這一概念的過程。
（三）範例理論 (exemplar theory)：前面兩種概念形成的理論，都是以概念所具 有的共同特性為前提的。但是，認知心理學家 Rosch (1977) 提出了一種 完全不同的概念學習理論。他認為記憶中的種種概念，是以這些概念的具 體例子來表示的，不是以某些抽象的規則或一系列相關特徵來表示的。例 如，「鳥」這一概念，是用以往見到過的知更鳥、麻雀、老鷹等來表示的。
對於任何一個概念來說，都有一些比較典型的範例和一些不大典型的範 例，最典型的範例被稱為典範例 (prototype)。因此，人們對日常概念的理 解，必須著重於對典例的認知，以及其相關內容 (Rosch, 1977)。
二、數學概念教學
前述所知，許多的數學概念都是由實際經驗所抽象化的成果，也因此數學學 習即是對於抽象化後的數學結果進行學習。這些經過多次抽象化的數學概念具有 高度的濃縮性，因此數學概念學習變得困難 (Skemp, 1971)。對於數學概念的教 學，Skemp 提出兩個原則： 1. 超過學生已有的概念階級的高階概念不能用定義 的方式來進行溝通，只能蒐集相關的例子、提供其經驗，再靠他自己抽象以形成 概念。 2. 在數學中，有關的例子有時或多或少又含有其他概念，因此，我們在 提供例子時必須先確定學生已經形成這些預先的概念了。換句話說，在學生數學 概念學習過程中，如果誤解了連續抽象過程中任一步驟，則會大幅增加之後透過 此抽象概念使用的推論的錯誤機會。也因此，在學習新概念時，所謂先前的概念 要垂手可得，才能順利獲取新的概念 (Siegel, 1981; Shuell, 1990)。
在數學概念教學上，張新仁（民 78）認為數學除了「計算能力」外，還有
「概念理論」的部份，也就是「數學概念」是學習數學的基礎。所謂數學概念，
包含了其表現的外在形式以及內在的意義，為客觀方式對於現實世界空間形式與 數量關係本質屬性透過多次抽象化所形成的思維形式（田万海，民81）。Sowder (1980) 指出概念教學上的第一個變項是「概念的獲得與同化」。其中，概念的獲 得是來自許多例子和非例的呈現來作為新例子或是口頭的描述，並加以定義、適 當的分類。而概念的同化是來自個體以既有的基模為準則去選擇環境中的事物，
或是以既有的認知結構去辨識、解釋環境中的事物，這樣就可以把新的經驗同化 到舊經驗裡。在概念的同化中，概念的定義或文字描述扮演著中心角色，有時會
或是以既有的認知結構去辨識、解釋環境中的事物，這樣就可以把新的經驗同化 到舊經驗裡。在概念的同化中，概念的定義或文字描述扮演著中心角色，有時會