本研究根據數學教育錯誤診斷與補救教學發展的方法架構進行研究，其理論 基礎主要包括：(1) Treagust 的雙層式診斷測驗理論 (Treagust, 1988)、(2) Piaget 的認知發展理論、(3) Ausubel 的有意義學習理論 (Ausubel, 1963, 1968)、(4) Henderson 的概念教學理論 (Henderson, 1970)，以及(5) Vygotsky 的鷹架理論。各 理論架構簡述如下：
一、 Treagust 的雙層式診斷測驗 (Two-tier) 評量工具
有許多學者 (Odom & Barrow, 1995; Treagust & Haslam, 1986) 認為 Treagust (1988) 提出的雙層式診斷測驗 (two-tier)，可以有效的偵測出學生的學習困難和 迷思概念。這種測驗試題的結構分為兩層：第一層是核心概念的內容，題目提供 一個情境脈絡讓學生做二選一或三選一的回答。第二層是探索第一層作答的理 由，題目提供了幾個理由選項讓學生選擇，以瞭解學生在第一層回答的理由。這 樣的好處除了兼具選擇題的測驗形式，可以收集到大量的樣本資料，同時也改正 了無法獲得學生真正想法的缺點。這種測驗實施的方式，在第二章第一節中會更 詳細的描述。
二、 Piaget 的認知發展理論
在Piaget 的認知發展理論中，有幾個主要的概念：
（一）基模 (schema)：Piaget 認為嬰兒在出生不久，便開始主動運用他與生俱來 的一些基本行為模式對環境中的事物做出反應，獲取知識。此等以身體感 官為基礎的基本行為模式，可視為個體用以瞭解周圍世界的認知結構 (cognitive structure)。每當遇到某事物時，便用既有的認知結構去核對、處 理，而此認知結構為Piaget 所謂的基模。Piaget 將基模視為人類吸收知識 的基本架構，因而將認知發展或智力發展，均解釋為個體的基模隨年齡增
長而產生的改變。當基模與環境或基模與基模彼此之間經由交互作用後，
就會再形成另一個認知的基模。
（二）平衡化 (equilibration)：平衡有三種：(1)平衡是吸收同化和調適順應之間 的聯繫；(2)平衡是個體基模中子系統的平衡；(3)平衡是一種調節個體部 分知識與整體知識之間關係的平衡。
（三）認知衝突 (cognitive conflict)：當知識的傳入與學習者現有的認知結構不 一致時，認知結構即失去平衡，造成認知衝突。此時學習者為解決認知衝 突會產生調適順應進而引起概念改變，使認知結構達到新的平衡。
（四）適應 (adaptation)：在 Piaget 的認知發展理論中，適應指的是個體的認知 結構或基模因環境限制而主動改變的心理歷程。在此過程中會產生兩種彼 此互補的心理，分別為「吸收同化 (assimilation)」和「調適順應
(accommodation)」。吸收同化是指個體運用其既有基模解決問題時，將遇 見的新事物吸納入既有基模，此一新事物同化在他既有基模之內，成為新 的知識。調適順應是指外界的事物或知識與原來的認知結構不一致時，個 體就必須改變原來的認知結構，以順應外界新的環境。
三、 Ausubel 的有意義學習理論
「有意義的學習」是Ausubel 理論的核心概念之一。當學習者在所要學習的 新知識與原本學習者本身就已經知道的舊有概念間找到有意義的命題連結時，即 可產生有意義的學習 (Ausubel, 1963, 1968)。為了達成有意義的學習，必須具備 以下三種條件：
（一）學習材料：針對所要學習的材料，在本質上必須是有意義的。也就是說這 種學習材料本身，就可以提供學習者以有意義的方式聯結其知識結構。
（二）先備知識 (prior knowledge)：學習者必須具備相關的知識或概念，也就是 所謂的「先備知識」，以供新學習概念的聯結。
（三）學習意向：學習者必須為自己的學習負起責任，願意主動嘗試將新知識與
既存的概念架構作聯結，以建構起有意義的理解。
因此，學習要能夠變成ㄧ項有意義的活動，學習者必須要有足夠的「先備知 識」、具備有意義的學習意向，再加上使用有意義的教材，整個活動就容易被引 導進入有意義的學習行為中。學習者也就容易將新學習的知識或概念，快速地與 既有的舊知識與舊經驗作聯結，統整成為一個更大、更廣的知識結構，以作為後 續學習的「先備知識」。
四、 Vygotsky 的鷹架理論：
Vygotsky 認為人類的認知發展過程是經由「內化」或「行動的遷移」，將社 會意義及經驗轉變成個人內在的意義。Vygotsky 將認知的發展分成實際的發展層 次以及潛在的發展層次，在這兩個層次之間的差距，Vygotsky 稱為「近側發展區 (zone of proximal development，簡稱 ZPD)」，而「鷹架 (scaffolding)」一詞，則 是由ZPD 的理念發展而來。為了幫助處於實際發展層次的學習者，跨越近側發 展區，進而達到潛在的發展層次，此時所提供的協助就稱為「鷹架」。
鷹架在學習上提供的支援有：(1) 引發學童參與；(2) 指出所欲學習事物的 關鍵特徵；(3) 示範；(4) 減輕學習時的負擔；(5) 進行學習活動方向管理；(6) 掌 控學習過程挫折。鷹架理論有三個重要概念：(1) 在近側發展區裡，鷹架提供者 (教師) 和接受者 (學生) 之間的關係是互惠的，所謂的互惠是指教師所要提供的 學習支持和學習者的互動回饋應該是經由彼此協商所決定。(2) 學習的責任應在 過程中逐漸由教師轉移至學習者，而其轉移時機則應視學習的實際情況而定。(3) 在教師與學生間的溝通語言是促進學習者反思與認知的橋樑。
在實際教學活動中，教師必須依據教材內容以及學習者特性，提供學習者在 學習過程中所需的鷹架，並且該鷹架的支持程度會隨著學習者在實際學習的情況 不斷調整修正。
五、 Henderson 的概念教學理論
Henderson 認為概念教學有兩種策略：
（一）例示化教學策略 (E-move)：以正例和非例 (nonexample) 來進行，一般用 於「概念的獲得」。
（二）屬性描述化教學策略 (C-move)：在描述概念的屬性，一般用於「概念的 同化」。
上述這兩種教學策略在概念教學的過程中，如果能夠交替進行將會更有成 效。然而，在使用C-move 之前，應先運用 E-move，而 C-move 也能促進 E-move 的達成，若在未使用E-move 之前就直接使用 C-move，這可能會造成 C-move 沒 有達成，E-move 也沒有達成的情況。