為了瞭解補救教學活動對於改善學生的錯誤是否有所幫助，本節將針對所有 參與補救教學活動的學生，在「二次函數概念」二階段評量前測、後測的各題答 題正確率、個人答題情形及錯誤類型的變化作進一步探討。
ㄧ、參與補救教學的學生於前測、後測各題答題分析
為了瞭解參與補救教學的學生於前測、後測各題的答題情形，特將他們於「二 次函數概念」二階段評量前測、後測中各題的答題正確率列表並畫折線圖表示。
表4-3 為前測、後測的各題答題正確率做McNemar Test 的結果；圖 4-1 為前測、
後測的各題答題正確率折線圖：
表4-3
前測、後測的各題答題正確率及答題差異情形
註：有*者，表該題p 值<0.05 達顯著水準；有**者，表該題 p 值<0.01 達顯著水 準，以下所有的檢定表格亦同。
題號 前測答題 正確率(%)
後測答題 正確率(%)
後測答題正確率(%)
前測答題正確率(%)
McNemar Test p 值
01 40.0 91.4 51.4 0.0001**
02 34.3 88.6 54.3 0.0001**
03 20.0 80.0 60.0 0.0001**
04 40.0 82.9 42.9 0.0007**
05 22.9 74.3 51.4 0.0001**
06 40.0 88.6 48.6 0.0001**
07 25.7 82.9 57.1 0.0001**
08 45.7 88.6 42.9 0.0003**
09 25.7 74.3 48.6 0.0001**
10 57.1 94.3 37.1 0.0009**
11 14.3 62.9 48.6 0.0001**
12 34.3 82.9 48.6 0.0001**
13 28.6 85.7 57.1 0.0001**
圖 4-1
前測、後測的各題答題正確率折線圖
前測、後測的各題答題正確率
0.0%
10.0%
20.0%
30.0%
40.0%
50.0%
60.0%
70.0%
80.0%
90.0%
100.0%
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 題號
答對率
前測答對率 後測答對率
由表4-3 與圖 4-1，我們發現：
（一）相較於前測，學生在後測各題的答題正確率普遍提高許多，甚至有6 題的 後測答題正確率比前測增加了50%以上。以McNemar Test 來檢測前測與 後測各題答題之差異，其McNemar Test 的 p 值皆小於 0.001。這說明了二 次函數概念的補救教學活動，對於學生在二次函數概念的答題正確率是具 有提昇的效果。
（二）後測答題正確率達85%以上的題目，如下表 4-4：
表4-4
後測答題正確率達 85%以上的題目
題號 前測答題正確率(%) 後測答題正確率(%)
01 40.0 91.4
02 34.3 88.6
06 40.0 88.6
08 45.7 88.6
10 57.1 94.3
13 28.6 85.7
學生在上表這些題目的表現相對於其他問題是比較好的，分析這些題 目後發現：
1.第 01 題為判別是否為二次函數式子的題目。在補救教學活動中，處理的 程序如下：(1)次方的意義：以x2、x3、x 為例，介紹次方記號的記法和念 法。(2)多項式降冪排列：將x 的多項式各項按照 x 的次數由高至低來排列。
(3)辨別多項式是幾元幾次：一個多項式中相異的文字符號有幾種就是幾 元，而x 的最高次數就稱為這個多項式的次數。(4)辨別函數的次數：先將 方程式整理成y 在等號的左邊，而 x 的多項式在等號的右邊以後，再判斷 等號右邊為幾次多項式就是幾次函數。這樣的課程設計以循序漸進的方 式，先將每一個小環節的觀念釐清，再統整在一起，使得學生遇到題目時 能做正確的判別。
2.第 02 題為判別二次函數各項係數成比例時圖形是否相同的題目。在補救 教 學 活 動 中 ， 處 理 的 程 序 如 下 ：(1) 例 題 設 計 ： 藉 由 例 題 分 別 畫 出 y x2 2x 3 與 y 2x2 4x 6 的圖形。(2)圖形比較：將兩個圖形放在同 一直角坐標平面上，比較其圖形的開口方向、開口大小、對稱軸方程式與 頂點坐標，結果兩個圖形的開口大小與頂點坐標並不相同。(3)其他例子列 舉：舉其他也是二次函數各項係數成比例的例子，並利用GeoGebra 畫圖 呈現，也是得到兩者圖形不相同的結果。(4)方程式觀察與判讀：直接觀察 二次函數的方程式，x2項係數不同，開口大小就不會相同。這樣的課程設 計是藉由從二次函數的圖形與方程式兩種不同的表徵作觀察，讓學生對此 概念更加完整，並以GeoGebra 做為輔助畫圖的工具，增加舉例的多樣性。
3.第 06 題為從二次函數式子中求對稱軸方程式的題目。在補救教學活動 中，處理的程序如下：(1)隨堂練習設計：藉由隨堂練習先讓學生思考，如 何求出與標準式y a (x h)2 k 不同形式的二次函數 y 3( 2x 4)2 5 的 對稱軸。(2)電腦輔助教學：在 GeoGebra 中繪製二次函數y 3( 2x 4)2 5 的圖形，讓學生對照自己求出的結果。(3)一般化概念形成：引導學生將
y 3( 2x 4)2 5 化成 y a ( x h)2 k 的形式，再求出對稱軸方程式。利 用GeoGebra 將正確的圖形畫出，讓有此錯誤類型的學生造成認知衝突，
再讓學生以適當方式正確地求出對稱軸方程式。
4.第 08 題為判別二次函數開口方向與開口大小的題目。在補救教學活動 中，處理的程序如下：(1)函數圖形繪製：以二次函數型如 y ax2為例，
變化a 值使之產生開口方向、開口大小不同的八個圖形。(2)投影片操作：
利用透明投影片，引導學生分別觀察 y 0.5x2 與 y 0.5x2、y x2 與 y x2、y 1.5x2與y 1.5x2、y 2x2與y 2x2，每一組的圖形都是開 口大小一樣，而開口方向相反。(3)函數圖形套疊與比對：引導學生分別 觀察y 0.5x2 y x2、y 1.5x2、y 2x2的四個圖形的開口大小與方程式 之間的關係，再觀察 y 0.5x2、y x2、y 1.5x2、y 2x2 的四個圖 形的開口大小與方程式之間的關係，並利用絕對值將兩邊的系統整合在一 起。(4)電腦輔助教學：在 GeoGebra 中呈現y ax2的圖形，並改變a 值使 之產生大小、正負的不同，讓學生觀察圖形的變化，並與先前得到的結論 做一比較。設計利用透明片來比較，可以讓學生容易看出開口大小的異 同，而利用GeoGebra 可以以互動學習方式讓學生理解a 值對二次函數開 口方向與開口大小之影響。
5.第 10 題為判別二次函數圖形與 y 軸是否有交點的題目。在補救教學活動 中，處理的程序如下：(1)頭腦體操設計：藉由二次函數 y 3x218x 23 的圖形引導學生思考，在圖上看不到與y 軸有交點的圖形，其交點是否存 在？(2)電腦輔助教學：將此圖形在 GSP 上呈現，往下拉動視窗捲軸，找 到圖形與y 軸的交點(0, 23)。(3)型塑正確函數圖形概念：在 GSP 上多呈 現一些例子，引導學生觀察圖形與y 軸必定有交點存在。(4)函數圖形與形 式觀念整合：引導學生直接從二次函數式子 y 3x218x 23 中，令 x 0，就會得到 y 23，即交點坐標為 (0, 23)。這樣的課程設計是先讓 學生看不到圖形與 y 軸的交點，再利用 GSP 呈現出與 y 軸的交點，使犯
此錯誤類型的學生造成認知衝突，接著多舉些例子讓學生更清楚二次函數 圖形必定能找到與y 軸的交點，並以代數式觀點求出與 y 軸的交點坐標。
6.第 13 題為給定二次函數頂點與另一點求二次函數方程式的題目。在補救 教學活動中，處理的程序如下：(1)函數圖形繪製演練：請學生在直角坐標 平面上畫出兩個二次函數的圖形，使得它們的頂點相同，開口方向相同，
但是開口大小不相同。(2)電腦輔助函數圖形比對：利用 Geogebra 舉一些 圖形的例子，使它們符合頂點相同、開口方向相同，但開口大小不相同。
(3)函數圖形與形式概念整合：舉一組頂點相同、開口方向相同，但開口大 小不相同的例子 y (x 1)2 4 與 y 3( x 1)2 4，讓學生清楚它們的平 方項係數不相同，恰好呼應圖形的開口大小不同。(4)一般性概念養成：引 導學生思考通過同一個頂點的二次函數有無限多個，其開口大小也不盡相 同，因此代數式中的二次項係數並非都一樣，在假設代數式時必須考慮這 一點。這樣的課程設計，藉由舉豐富的例子，讓學生思考，破除學生的迷 思概念。
（三）後測答題正確率未達75%的題目，如下表 4-5：
表4-5
後測答題正確率未達 75%的題目
題號 前測答題正確率(%) 後測答題正確率(%) 後測答題正確率(%)
前測答題正確率(%)
05 22.9 74.3 51.4
09 25.7 74.3 48.6
11 14.3 62.9 48.6
這三題經過補救教學後，雖然答對率在前測與後測達到顯著差異，但答對率 不如預期，以下分別分析這三題的答題表現：
1.第 05 題題目為：
05、阿旭要求二次函數y ( x 2 )2 ( x 2)2的對稱軸，求出的對稱軸是x 2 和x 2。請問他求的對稱軸正確嗎？
□ 正確 □ 不正確 我的理由是：______
(A)因為 x 2 代入( x 2)2等於0，x 2 代入( x 2)2等於0。
(B)因為將 x 2 和 x 2 代入 y ( x 2 )2 ( x 2)2後y 都等於 16。
(C)因為 y ( x 2)2 ( x 2)2 2( x 2)2 8x，對稱軸是 x 2。
(D)因為化簡 y ( x 2 )2 ( x 2)2後得到y 2x2 8 2( x 0)2 8。
(E)其他理由：__________________________________________________
第 05 題的正確答案應為「不正確，(D)」。在此題中，9 位答錯的學生 中有3 位選(A)，2 位選(B)，3 位選(C)，1 位選(E)。選(A)的 3 位學生在求 對稱軸方程式時，受到「二次函數y a ( x h)2 k 的對稱軸是 x h」的影 響，只要x h 代入( x h)2等於0，就認為 (x h)=0 會是一條對稱軸。他們 沒有檢視原題目給的二次函數並非是 y a ( x h)2 k 的形式，而是將原題 目的二次函數看做兩個代數式y ( x 2)2與y (x 2)2，再去分別找出它們 的對稱軸方程式。選(B)的 2 位學生僅僅將x 2 與 x 2 代入原題目，並不 瞭解代入後所代表的意義為何，也不知道此與對稱軸有何關連。選(C)的 3 位學生中有2 位表示，y 2( x 2)2 8x 很像 y a ( x h)2 k 的形式，因此 對稱軸方程式為x 2，另外 1 位學生則是因為用錯配方法而得出(C)答案。
選(E)的學生將原題目的二次函數寫成 y 2( x 2)2 8，也是因為配方法錯 誤所導致。
相較於其他題，學生在前測時，第05 題的答題正確率 22.9%是所有題 目中偏低的，雖然在後測時的答題正確率僅 74.3%，但前、後測卻相差 51.4%，在所有題目中此題其實改善的效果還不差。
2.第 09 題題目為：
09、將二次函數 y ( x 2)2的圖形向右平移3 單位後，是否可得二次函數 y ( x 5)2的圖形？
□ 是 □ 否 我的理由是：______
(A)因為向右平移 3 單位是在 x 軸上加 3，也就是 y 加 3，所以應該是 y ( x 2)2 3。
(B)因為 y ( x 2)2的頂點(0, 4)，向右平移後是(3, 4)，和y ( x 5)2 的頂點(0, 25)不同。
(C)因為 y ( x 2)2的頂點(2, 0)，向右平移 3 單位後變成(1, 0)，不等 於y ( x 5)2的頂點(5, 0)。
(D)因為向右平移 3 單位是在 x 軸上平移，是 x 加上 3，所以應該是 y ( x 2 3 )2 ( x 5)2。
(E)其他理由：________________________________________________
第09 題的正確答案應為「否，(C)」。在此題中，9 位答錯的學生中有 2 位選(A)，2 位選(B)，3 位選(D)，2 位選(E)。選(A)的 2 位學生仍然受到「x 軸方程式是y 0」的影響，想成「 x 軸就是 y」，因此想成在 x 軸上向右平 移3 單位，就是 y 加 3。選(B)的 2 位學生還是認為二次函數的頂點都在 y 軸上，因此都以x 0 代入二次函數方程式求頂點坐標。選(D)的 3 位學生仍 舊記憶「向右平移就加，向左平移就減」的錯誤口訣來答題。選(E)的其中 1 位 學 生 將 平 移 後 的 二 次 函 數 寫 成 y 3( x 5)2， 另 1 位 則 是 寫 成 y ( x 5)2，和(D)選項相同。
3.第 11 題題目為：
11、如圖為二次函數 y ax2bx c 的圖形，則 b2 4ac＜0。
□ 正確 □ 不正確 我的理由是：______
(A)因為圖形開口朝下。
(B)因為圖形與 x 軸沒有交點。
(C)因為圖形與 y 軸有 1 個交點。
(D)因為圖形與 x 軸有交點。
(E)其他理由：________________________________________________
y
O x
第11 題的正確答案應為「不正確，(D)」。在此題中，13 位答錯的學生 中有4 位選(A)，3 位選(B)，6 位選(C)。選(A)或(C)的學生表示不知道b2 4ac 與圖形的關係為何，於是看到圖形開口朝下或圖形與 y 軸有 1 個交點便選 擇它。選(B)的學生有 2 位表示因為題目未說明圖形能延長，因而不確定圖 形是否能延長，另1 位則認為圖形不能延長。
相較於其他題，學生在前測與後測時，第11 題的答題正確率皆是所有 題目中最低的，可見得此題對於學生來說是比較困難的。
二、參與補救教學的學生在前測、後測的個人答題分析
二、參與補救教學的學生在前測、後測的個人答題分析