本研究以研究者本身所服務學校的國中九年級學生作為研究對象，首先探討 國中九年級學生在一般的教學之後，藉由自編的「二次函數概念」二階段評量試 題，來發掘學生在二次函數概念會有哪些主要的錯誤類型，再藉由訪談瞭解造成 這些主要錯誤類型的成因，然後針對這些成因，設計補救教學教材並進行補救教 學，以改善學生的學習成效。
一、國中九年級學生在二次函數概念的主要錯誤類型
國中九年級學生在二次函數概念的學習上有以下11 種主要錯誤類型：
類型一、不瞭解二次函數中「二次」的意義。
類型二、將二次函數y ax2bx c 與一元二次方程式 ax2 bx c 0 混淆。
類型三、在做一般式y ax2bx c 轉換成標準式 y a (x h)2 k、假設標 準式y a (x h)2 k 將 a 當成 1 或從標準式找對稱軸發生之錯誤。
類型四、只關心圖形看得到的部分，忽略圖形隱含的解析性質。
類型五、認為拋物線的部分圖形是線性。
類型六、對稱軸概念的錯誤。
類型七、不瞭解y ax2之a 與圖形之關係。
類型八、不瞭解圖形的左右平移與代數式y a ( x h)2 k 中 h、k 之關係。
類型九、認為二次函數的頂點都在y 軸上。
類型十、不瞭解二次函數y ax2bx c 中 b2 4ac 與 x 軸交點個數的關係。
類型十一、不瞭解二次函數y a (x h)2 k 的頂點坐標(h, k )與
y ax2 bx c 的關係。
為了使第一線的教師可以更容易判斷學生所犯的錯誤是屬於哪一個類型，研 究者再將以上這11 種主要的錯誤類型，濃縮分成四大類：
（一）對二次函數代數式解釋的錯誤
類型一、不瞭解二次函數中「二次」的意義。
類型二、將二次函數y ax2bx c 與一元二次方程式 ax2 bx c 0 混淆。
類型三、在做一般式y ax2bx c 轉換成標準式 y a (x h)2 k、假設 標準式y a ( x h)2 k 將 a 當成 1 或從標準式找對稱軸發生之錯 誤。
（二）對二次函數圖形解釋的錯誤
類型四、只關心圖形看得到的部分，忽略圖形隱含的解析性質。
類型五、認為拋物線的部分圖形是線性。
類型六、對稱軸概念的錯誤。
（三）二次函數代數式表徵與圖形表徵之間轉換的錯誤 類型七、不瞭解y ax2之a 與圖形之關係。
類型八、不瞭解圖形的左右平移與代數式y a ( x h)2 k 中 h、k 之關係。
（四）二次函數的特殊點（與x、y 軸的交點、頂點）的錯誤 類型九、認為二次函數的頂點都在y 軸上。
類型十、不瞭解二次函數y ax2bx c 中 b2 4ac 與 x 軸交點個數的關 係。
類型十一、不瞭解二次函數y a (x h)2 k 的頂點坐標(h, k )與 y ax2 bx c 的關係。
二、國中九年級學生在二次函數概念主要錯誤類型的成因
針對學生錯誤類型的答案內容的成因共 22 個，為使第一線教師更容易判斷
這些錯誤類型產生的原因，研究者再將這22 個原因歸納為五大類：
（一）對於新概念與舊概念做錯誤連結：
1.把兩個不同的文字符號視為二次。
2.把兩項看成兩次。
3.對稱軸和對稱點混淆。
（二）對於新概念與新表徵無法正確連結的錯誤：
1.受到題目所給圖形的影響，學生認為二次函數的圖形侷限在實際畫出來看 得見的部分。當一個拋物線與 y 軸的交點沒有顯示在圖上時，學生推論 這個交點不存在。
2.因為二次函數的圖形某部分看起來像直線而說它是直線。
3.學生在學習二次函數圖形的過程中，最先接觸基本函數 y x2與y ax2。 這些拋物線的頂點為原點(0, 0)且在y 軸上，而使學生誤以為拋物線的頂 點皆須在y 軸上，忽略了圖形移動後的頂點可為坐標平面上任一點。
（三）對於新概念不熟悉，就將先前的新概念經驗做過度的類推，而產生錯誤：
1.受到二次函數 y a (x h)2 k 的影響，認為此型式都應該有括號，因此將 形如y ax2 k 再加上一次項配方。例如：
y 2x2 2 2 ( x21) 2(x2 2x 1) 4x 2( x 1)2 4x。
2.受到「二次函數 y a ( x h)2 k 的對稱軸是 x h」的影響，因此不管有 幾個括號，只要看到(x h)2，就認為(x h) 0 會是一條對稱軸。
3.直觀認為二次函數的各項係數不一樣時，二次函數的頂點也不相同。學生 將若「頂點相同」則「二次函數的各項係數相同」視為等價關係。
4.二次函數 y a ( x h)2 k 的對稱軸為 x h，因為學生只注意括號內之 h，
所以認為y (ax h)2 k 之對稱軸也為 x h，忽略括號內 x 項之係數 a。
5.因為學生把「y ax2 bx c 之 x 代入 0 時，會將 ax2 bx 消去得到 y c」
之經驗，過度類推成「把y a ( x h)2 k 之 x 代入 0 時，也會將 a ( x h)2 消去得到y k」，因此認為 k 就是 c。
6.受到二次函數教學上常以形如y x2當成範例的影響，認為二次函數標準 式為y ( x h)2 k 而沒有考慮 a。
7.受到二次函數教學上常以形如 y ax2當成範例的影響，認為對稱軸皆為y 軸。
（四）受到舊經驗影響做過度的類推，而產生錯誤：
1.因為多項式常常都是降冪排列表示，所以認為第一項是幾次就是幾次多項 式，套用到二次函數的次方判定。
2.將等量公理過度推廣到二次函數 y ax2bx c。對 ax2 bx c 的係數同 乘（或同除）不為0 之倍數時，忽略等號另一邊的y 也要同乘（或同除）。
3.因為受到舊經驗「以配方法解一元二次方程式」的影響，認為將二次函數 形如y ax2 bx c 使用配方法求頂點與求 ax2 bx c 0 的解是一樣的。
4.因為對稱軸方程式的型 x h 長得很像一元二次方程式的根 x α 或 x β 的樣子，所以會認為求對稱軸方程式和求一元二次方程式的解一樣，讓 y 0 求 x 值。
5.受到「 x 軸方程式是 y 0」的影響，想成「 x 軸就是 y」。例如：向左平移 2 單位，想成在x 軸上向左平移 2 單位，就是 y 減 2。
（五）受到口訣影響記憶錯誤：
1.因為將口訣「 a 愈大，開口愈小；a 愈小，開口愈大。」簡記為「a 愈大，
開口愈小；a 愈小，開口愈大。」或誤記為「 a 愈大，開口愈大；a 愈小，
開口愈小。」而產生的錯誤。
2.因為受到口訣「向上平移就加，向下平移就減」的影響，所以也認為「向 右平移就加，向左平移就減」。
3.因為學生僅背口訣「b2 4ac 大於 0、等於 0、小於 0 與軸的交點個數分 別為 2 個、1 個、0 個」，卻不瞭解二次函數y ax2bx c 中的 b2 4ac 所代表的幾何意義。
4.因受到口訣「大於 0 開口向上，小於 0 開口向下。」之影響，但無法確定 適合此口訣所應對應之係數。
三、補救教材的設計
在瞭解學生在二次函數概念常出現哪些主要的錯誤類型及其成因後，根據那 些主要的錯誤類型及其成因，設計了二次函數概念的補救教學活動之教材。補救 教材設計的主要原則為：
（一）針對學生的錯誤原因，製定補救教學目標。
補救教學的目的是為了能有效地改善學生的錯誤情形，故在設計教材之 初，先因應所蒐集來的學生錯誤成因，製定補救教學目標，再根據補救教 學目標發展補救教學教材。
（二）根據Piaegt 的認知發展理論，設計問題誘發學生產生認知衝突，並協助學 生修正原有的迷思概念或進行新概念的學習。在教材中，我們使用許多例 子來造成學生的認知衝突，例如：教材中使用頭腦體操單元，讓學生驗證 y x2 4x 3 與 y 2x2 8x 6，當 x 0 時的 y 值不相同，藉此讓學生產 生認知衝突，瞭解到y x2 4x 3 與 y 2x2 8x 6 的圖形並不相同。
（三）根據Ausubel 的有意義學習理論，以學生既有的舊知識與舊經驗為基礎，
讓學生能夠將新學習的知識或概念與舊有的知識與經驗作連結，誘使學生 產生學習遷移，進行有意義的學習。
（四）藉由多重表徵的呈現，增加學生對概念的瞭解。例如：讓學生將二次函數 的各種表徵作連結。
（五）根據 Vygotsky 提出的鷹架理論，依教材內容以及學習者特性，提供學習 者在學習過程中所需的鷹架。
（六）根據Henderson 的概念教學的教學策略，先以例示化教學策略（E-move）
讓學生獲得正確的概念，再交替使用屬性描述化教學策略（C-move）。
四、補救教學活動的成效
對二次函數概念的補救教學活動的成效可得下列的結論：
（一）就答題正確率的變化情形來看：
1.學生在經過二次函數概念的補救教學活動之後，其後測各題的答題正確率 皆高於前測，而13 題試題的答題正確率均提高 35%以上，其中有 6 題在 後測的答題正確率超過85%。
2.以 McNemar Test 來檢測前測與後測各題答題之差異，其 McNemar Test 的 p 值皆小於 0.001。這說明了二次函數概念的補救教學活動，對於學生在 二次函數概念的答題正確率是具有提昇的效果。
3.參與補救教學的學生，在經過二次函數概念的補救教學活動之後，每位學 生在後測的答題正確率皆高於前測。參與補救教學活動的35 人中，有 23 人的答題正確率提高40%以上。
4.學生個人於後測答題正確率為 100%的有 15 位，這 15 位學生在第 03 題、
第04 題、第 05 題、第 06 題、第 07 題、第 11 題及第 13 題的作答中，有 一半以上的人答錯了。這些題目都是與以下的二次函數錯誤類型有關：(1) 將二次函數y ax2bx c 與一元二次方程式 ax2 bx c 0 混淆。（與錯 誤類型A2 有關）(2)假設標準式y a ( x h)2 k 時將 a 當成 1。（與錯誤 類型A3 有關）(3)從y a ( cx h)2 k 找對稱軸的錯誤。（與錯誤類型 A3 有關）(4)認為物線的部分圖形是線性。（與錯誤類型 B2 有關）(5)對稱軸 和對稱點混淆的錯誤。（與錯誤類型B3 有關）(6)不瞭解二次函數
y ax2 bx c 中 b2 4ac 與 x 軸交點個數的關係。（與錯誤類型 D2 有關）
這顯示這15 位學生在補救教學過後，在與上述二次函數迷失概念相關的 題目答題上確實有改善。
（二）就錯誤類型的變化情形來看：
1.參與補救教學的學生，在經過二次函數概念的補救教學活動之後，所有類 型的犯錯率都小於35%。
2.11 個主要錯誤類型的犯錯率皆低於前測，其中更有 10 個類型的犯錯率降 低了40%以上（含 40%）。
3.以 McNemar Test 來檢測學生於前、後測對於錯誤類型的答題情形，所有 主要錯誤類型的p 值小於 0.05，這表示學生於前測與後測的答題情形有顯 著的差異，也就是說學生經過二次函數概念的補救教學活動後，在二次函 數概念常犯的錯誤有顯著的改善。
（三）就保留情形來看：
1.由後測和延後測各題答題正確率的結果分析來看，除了第 02 題和第 08 題的答題正確率下降超過20%之外，其餘的 11 題的答題正確率下降或上 升的幅度均在20%以內，並沒有太大的差異。
1.由後測和延後測各題答題正確率的結果分析來看，除了第 02 題和第 08 題的答題正確率下降超過20%之外，其餘的 11 題的答題正確率下降或上 升的幅度均在20%以內，並沒有太大的差異。