一、 錯誤類型的探討
學習的過程中，犯錯是不可避免的，而學習犯錯的成因也ㄧ直是許多教育研 究者所努力探索的課題。對於學習錯誤的研究，很重要的就是對錯誤類型進行分 類與釐清 (Davis, 1984; Mayer, 1985; Vinner, 1981; 九章出版社, 民 84; 李芳樂, 民82)。Davis (1984) 將一般日常生活或學習上的錯誤，依據尺度的觀點，分為 兩種類型，一種是個體本身因為過去習慣或概念養成，而產生的自有錯誤類型，
此錯誤行為無論是在同一問題或是在不同時日皆表現相當一致。另一種為一致性 的錯誤不在個體自己的行為，而是在不同的人有相同的行為，也就是說某些錯誤 是許多不同的人在學習過程中共同有的。個體的錯誤概念即是來自其自身或是身 邊的經驗透過概念建構所產生（呂溪木，民72），又如 von Glasersfeld 對於知識 建構的看法（鄭麗玉，民 89）： 1. 知識並不是被動的接受，而是由具有認知能 力的個體主動建構而來的； 2. 認知的功能是適應性的，用來組織外在的經驗世 界，而不是用現客觀存在的事實。換句話說，教師在教育中並非是灌輸知識到學 生腦海中的，而只是協助學生建構那個數學概念對自己的意義。
對數學學習錯誤類型的瞭解，可協助教師尋求較合適之方式來協助學生改進 自身數學概念或是運算邏輯的認知。郭丁熒（民 81）在「追根究底談錯誤－有 關學生錯誤的二十個問題」中認為將學生在科學學習中所產生的錯誤予以特徵 化，做出學生錯誤性質及類型的分析，將有助於「有效教學策略」的設計。
Engelhardt (1982) 和 Ashlock (1990) 認為分析學生的錯誤類型並且探究學生在 某種錯誤類型的形成原因，可作為補救教學的依據。Mayer (1985) 把學生解題的 錯誤分成三種類型： 1. 遺漏的錯誤 (omission error)：是指學生對命題的敘述或 狀態沒有完整掌握。 2. 細節的錯誤 (specification error)：是指學生在運算中變 數轉換等相關運算細節之錯誤，如單位換算。 3. 轉換的錯誤 (conversion error)：
即學生無法正確將命題陳述轉換成數學關係所犯的錯誤，換句話說，是表徵轉換
的錯誤，此一問題為這三類數學錯誤類型中較為複雜的部份，其原因為學生對於 關係的回憶缺乏表徵關係的語言知識所導致。李芳樂（民82）認為錯誤有兩種：
一種是由於不小心做錯而產生，稱為疏忽；而另一種是由於學習了錯誤的觀念或 程序而產生的，稱為系統性錯誤。疏忽是由於注意力被分散所導致的，它的產生 被認為是不規則的，所以沒有引起太大的注意。系統性錯誤則被認為是由於某種 錯誤知識，或是由於缺乏某些必須之知識而引起的，因此較受到研究者的重視。
另一種分類方式將學生錯誤類型細分為四類 (九章出版社, 民 84; Engelhardt, 1982)： 1. 概念不清產生的錯誤：包含概念實質模糊、混淆相似概念及循環定義 概念等所產生的錯誤。 2. 由於推理無據產生的錯誤：或稱為過程的錯誤，包含 臆造定理、濫用法則、循環論證、論證不足及方法不對等所產生的錯誤。 3. 由 於忽視條件產生的錯誤：或稱為機械上的錯誤，包含忽視概念中的隱含條件、忽 視所使用的定理、公式、法則的適用條件、忽視取值範圍的變化、忽視約束條件 中的隱含條件、忽視條件的充分性與必要性、錯誤理解條件、遺漏或濫加條件、
忽視結論特徵中的隱含條件、把給定的一般條件特殊化等所產生的錯誤。 4. 由 於考慮不周產生的錯誤：俗稱為粗心，包含審題馬虎、形式套用、顧此失彼、忽 視特例、以偏概全及檢驗不當等所產生的錯誤誤。此分類方式將數學概念的錯誤 細分成前兩類，而後兩類為疏忽所產生的錯誤，也就是將計算上的細節錯誤加以 分類，與前述Meyer 的前兩類類似。
二、 錯誤類型成因的探討
錯誤概念的成因，可來自學生過去個人或身邊的經驗所逐漸形塑而成（呂溪 木，民72）。學生錯誤概念的來源可能是很多面的，主要可分成七個來源： 1. 與 生俱來的； 2. 從日常生活中而來的； 3. 從隱喻而來的； 4. 從類比產生的； 5.
來自同儕文化； 6. 正式或非正式的教學； 7. 字義的聯想、混淆、衝突或缺乏 知識 (Sutton & West, 1982; Head, 1986)。因為學生自身經驗成形之迷思概念往往 會干擾學生課堂上的數學學習，同時也會影響思考的歷程與最後答案的形成（張
鳳燕，民80）。學習上，除了因為學生過往認知所造成的迷思外，錯誤亦可能會 來自於教師教學的過程，石函早與胡俊山（民 96）提出數學錯誤概念產生的原 因有： 1. 學生認知方面：在生活經驗中的日常概念上，與抽象化之數學概念產 生衝突，導致對抽象層次較高的數學概念有錯誤理解，也因此產生錯誤地推論過 程。 2. 教師教學方面：教學僅提供概念的某些面向，容易造成學生斷章取義，
因此要注意全面展示概念的本質屬性，不論內含或外顯部份。 3. 教材編寫方 面：編寫不夠嚴謹，需要降低教材編寫之侷限，以免造成學生錯誤概念之形成。
在國中小生數學學習上，由於國小數學著重於具體操作的教學，而國中數學 卻以形式運思期的抽象思考和邏輯推理為主，在教材和教法上都有明顯的不同。
學生以其熟悉的數學學習方式改變成這種思考的過程當中，除了常見的數學計算 錯誤與困難外，會引發許多的錯誤概念（張景媛，民83）。學生數學錯誤概念成 形之表現常顯現在計算過程上，Brown & Burton (1978)提出學生以過去形成之經 驗，所衍生計算問題上顯現之錯誤概念有下列兩種： 1. 修補理論 (Repair Theory)：學生在使用不完全的解題算則時遭遇到僵局，於是尋求自己比較能夠 接受的法則來解決困難，這個過程稱之為「修補」。若修補成功，則這個修補辦 法就會保留而成為法則；若修補失敗，則解答過程便會出現錯誤 (Brown &
Vanlehn, 1982)。 2. 錯誤類化 (Misgeneralization)：學生錯誤地使用一個法則，
或學生在不恰當的時候使用不適當的法則。換句話說，學生對正確的規則做出錯 誤的類化或過分的類化。學生學習代數時，有時會因為能力不足，常會退回去用 舊經驗去解決新的問題 (Matz, 1982)。另外一種錯誤演算成因分類方式，將成因 分成兩類 (Resnick, 1989)： 1. 學習者把學過的演算規則類化並外推到其他的情 境。此類別即為前述其他學者的看法。 2. 由於遺忘演算公式或規則限制 (constraints) 的緣故。這類形之錯誤可能來字概念偏差或是粗心所產生之錯誤，
例 如 ： 去 括 號 時 ， 忘 了 它 的 運 算 規 則 ， 而 直 接 將 括 號 拿 掉 。 如 算 式 ： A ( B C) A B C。這些計算錯誤之成因，Stavy and Tirosh (1999) 提出的直 觀法則來解釋，所謂直觀，是指心理學上不需經過推理或反省的歷程，即對事物
或現象的性質作立即的判斷；換句話說，學童在解題過程中，可能不是透過計算 推理的，而是回歸直覺的想法，使用相同的規則或外在特徵來解答問題，以這種 直觀的錯誤來看，直觀法則確實能合理的解釋學生對某些問題的反應。綜合概念 偏差以及計算細節所產生的錯誤成因，Radatz (1979) 透過認知理論中的訊息－
過程模式，將數學上的錯誤歸因為： 1. 語言導致的錯誤。 2. 空間概念困難。 3.
不精熟先備的技能、運算和概念。 4. 不正確的觀念。 5. 使用不當的規則或策 略。
三、 二次函數的錯誤類型
根據前面的探討，錯誤迷思的產生，主要源於新學習的事物與學生過去生活 或試的經驗相衝突所產生的結果。過去許多研究曾經對於二次函數學習學生的錯 誤迷思有所探討，其中Zaslavsky (1997) 歸納了下列常造成學生學習二次函數錯 誤的主要類型與狀況： 1. 僅給學生看有限部份的二次函數圖形，會讓學生對二 次函數的無限延伸的特性產生疑惑； 2. 對於二次函數與軸的交點，僅會透過眼 睛的觀察； 3. 若將二次函數的係數加倍，學生會以為二次函數的特性不受影 響，例如視y x2 3x 4與 y 2x2 6x 8為相同，換句話說，學生受到過去一 元二次方程式所形成的數學概念所影響； 4. 若二次函數非二次的係數等於零，
學生就會認為他不屬於二次函數，例如學生可能不認為y x2 3為二次函數，因 為此函數的一次項係數為零； 5. 忽視二次函數的對稱特性； 6. 將漸近的特性 視為二次函數圖形的一部分； 7. 過分強調當二次函數只有與坐標軸有一個交點 時。其中對於學生僅會透過眼睛能看到的題目提供的圖形，來判斷二次函數的特 性的錯誤類形，也被Kerslake (1981) 所提出，除此，Kerslake (1981) 亦發現： 1.
學生對於二次函數的繪製，尤其是二次函數與坐標軸和尺度之關係，會產生困 擾，以及 2. 學生對於二次函數連續圖形的概念也是常出現的錯誤類形，除了自 己繪製的點，學生常常會無法判斷其他任意的點是否存在於二次函數圖形上。另 外，學生亦常會過度引用先前線性函數的學習概念，即使看到拋物線上三點不成
一直線，還是將拋物線上任意三點為共線 (Dreyfus & Eisenberg, 1983; Karplus, 1979; Leinhardt et al., 1990; Markovits et al., 1986)。
二次函數是學生於國中教材中少數接觸到的函數概念，而其存在了許多了不 同的表徵與變化，以代數式表徵來說，二次函數的標準形式為y ax2 bx c，
而卻又可以寫成許多其他變化型，例如：y a ( x h)2 k以及y(xx1)(xx2)， 而學生需要在這些不同形式中變換，並利用其他非函數章節的經驗，以得到不同 二次函數的特性，也因此容易對學生產生錯誤概念 (Zaslasky, 1997)。另外，二次 函數的圖形表徵對於學生過去的經驗來說，也是充滿了變化，學生需要能夠瞭解 不同係數a、b、c變化對於函數圖形的影響，例如開口大小的變化等，或是函數
而卻又可以寫成許多其他變化型，例如：y a ( x h)2 k以及y(xx1)(xx2)， 而學生需要在這些不同形式中變換，並利用其他非函數章節的經驗，以得到不同 二次函數的特性，也因此容易對學生產生錯誤概念 (Zaslasky, 1997)。另外，二次 函數的圖形表徵對於學生過去的經驗來說，也是充滿了變化，學生需要能夠瞭解 不同係數a、b、c變化對於函數圖形的影響，例如開口大小的變化等，或是函數