本研究利用以下幾項研究工具來蒐集所需的資料，茲將內容說明如下：
一、數位器材
本研究所使用的數位器材包含：筆記型電腦、錄音筆、數位錄影機。筆記型 電腦內含XP 作業系統、Office 文書處理軟體、GeoGebra 軟體、GSP 軟體、SPSS 統計軟體等，主要處理資訊的整合與分析。錄音筆是用來記錄本研究面談學生的
點坐標求此二次函數。 21
能理解二次函數的圖形與 y 軸
10 能理解二次函數圖形的頂點在對
表3-3
二次函數概念測驗試題（一）開放性試題各題資料參考來源表
資料來源 題號
Orit Zaslavsky（1997） 01、02、03、04、16、19 顏啟麟、羅昭強（2001） 07、22
Ali Eraslan（2005） 11、14、15、21 Emmanuel Ositadinma Ibeawuchi（2010） 05、08、23 各家版本的教課書 06、09、10、13 本身或專家教師的教學經驗 12、17、18、20、24
基本學力測驗 25
研究者於100年4月15日做第一次開放性試題施測，施測樣本為臺北市某 市立國中九年級學生一班共24人。採集體施測方式，試題25題分成兩部分在 上、下午各約45分鐘施測。測驗目的在收集學生錯誤情形與成因，根據測驗 結果刪修部分試題成為第二次開放性試題。表3-4為第一次開放性試題各題 答對率：
表3-4
二次函數概念測驗試題（一）開放性試題各題答對率
題號 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 答對率(%) 58.3 62.5 37.5 33.3 54.2 62.5 70.8 50.0 75.0 50.0
題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答對率(%) 45.8 66.7 58.3 33.3 66.7 87.5 54.2 50.0 70.8 66.7
題號 21 22 23 24 25 答對率(%) 45.8 45.8 25.0 62.5 58.3
針對第一次開放性試題刪修部分試題成為第二次開放性試題的過程說明如 下：
1.研究者設定將答對率高於85%的題目予以刪除，因此刪去答對率87.5%的 第16題，並修改成為第二次開放性試題的第10題。第16題原本是為了評量
學生是否會僅由頂點的x坐標相同而認為兩個二次函數的頂點相同，但由 學生的答題情形發現並無此迷思概念，因此與指導教授討論後修改題目，
改測學生是否能利用配方法，將二次函數y ax2 bx c的形式，轉變成 y a ( x h)2 k的形式。
2.第01題原本是為了評量學生能否理解當二次函數y ax2 bx c的x項或常 數項缺項時仍為二次函數。此題的答對率僅58.3%，且從學生回答的理由 中，發現學生對於二次函數的定義不完全清楚，以為只要出現x2項就是二 次函數，因此在第二次開放性試題中將題目敘述修改，並加入x3項。
3.第02題原本是為了評量學生是否會認為兩個各項係數成比例的二次函數 是完全相同的二次函數，具有相同的圖形。此題測出來的答對率僅62.5%，
保留這題到第二次開放性試題，但為了避免圖形干擾而將圖形刪除，並修 改題目敘述。
4.第05題的答對率僅54.2%，保留此題，並將第一階段的是非題敘述「是、
否」修改為「是(9, 0)、不是(9, 0)」，讓學生能更清楚地判斷題目是對或 錯。
5.第06題的答對率僅62.5%，保留此題，並將第一階段的是非題敘述「是、
否」修改為「有可能、不可能」，讓學生能更清楚地判斷題目是對或錯。
6.第07題從訪談中得知，學生對於題目的敘述容造成語意上的誤解，故修改 此題的敘述。
7.第11題原本是為了評量學生是否能理解頂點(h, k )的h、k與二次函數 y ax2 bx c的a、b、c的關係。此題的答對率僅45.8%，且由學生的答題 理由中發現，學生對於頂點(h, k )與y ax2bx c中b的關係概念最模糊，
因此在第二次開放性試題中修改題目。
8.第14題的答對率僅33.3%，由學生的答題理由中發現，他們多半使用將坐 標點代入二次函數代數式中檢驗的方式，和研究者所預期的作答方式不 同。因此題和第21題都有評量到學生是否能利用二次函數的頂點及另一點
坐標求此二次函數，故將此題刪除，保留第21題。
9.第15題的答對率為66.7%，此題原本是為了評量學生是否會認為二次函數 y ax2 bx c的頂點坐標為(b, c)。但由學生的答題理由中發現，他們並無 此迷思概念，答錯的學生多半是在將二次函數y ax2 bx c的形式，轉變 成y a ( x h)2 k的形式時發生錯誤，而此評量內容已在第二次開放性試 題中的第10題出現，故將此題刪除。
10.第17題和第18題同為評量學生能否求二次函數的最大值或最小值。因考 量題目數量太多，學生恐無法在預計的45分鐘內完成作答，因此將此兩 題題目刪除，留給後進再予以探討。
11.第23題原本是評量學生是否能求二次函數圖形（以表格表徵呈現）與x軸 的交點坐標。此題的答對率最低，僅25.0%，經由與學生訪談後，學生反 應無法理解題目的敘述，且第22、23、24題的評量內容也皆為求二次函 數與x軸交點的概念，故和指導教授討論後，決定刪去此題。
12.第25題的答對率僅58.3%，保留此題，除修改容易造成語意誤解的題目敘 述外，並將並將第一階段的是非題敘述「是、否」修改為「有交點、沒 有交點」，讓學生能更清楚地判斷題目是對或錯。
13.為了避免干擾學生作答或提供未預期的坐標點訊息，故將第03題、第04 題、第07題、第08題、第11題、第19題、第21題、第22題圖形中直角坐 標平面上的方格線刪除。
（二）第二次開放性試題「二次函數概念測驗試題（二）」
研究者將第一次開放性試題的測驗結果分析後，刪去其中5題題目，修 改14題的題目敘述，保留6題題目不變，成為第二次開放性試題「二次函數 概念測驗試題（二）」（附錄二）共20題，並依據試題修改雙向細目表。表 3-5為第二次開放性試題教學目標、評量目標與對應題號表；表3-6為第二次 開放性試題評量主題內容與認知歷程向度雙項細目表：
表3-5
y ax2的圖形向右（左）移
09 能理解二次函數圖形的頂點在對
表3-7
（三）第三次開放性試題「二次函數概念測驗試題（三）」
能理解二次函數的二次項係數
03 能利用二次函數的頂點及另一點
研究者分別於100 年 4 月 27、28 日做第三次開放性試題施測，施測樣 本為臺北市某市立國中九年級學生兩班共45 人。採集體施測方式，試題 19 題的施測時間約為45 分鐘。表 3-10 為第三次開放性試題各題答對率：
表3-10
二次函數概念測驗試題（三）開放性試題各題答對率
題號 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 答對率(%) 69.7 47.0 56.7 36.7 56.7 52.2 53.3 61.1 63.3 62.1
題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答對率(%) 46.7 50.0 73.3 40.0 46.7 54.4 67.8 54.5 34.4
三、「二次函數概念測驗」的二階段評量試題（前測、後測、延後測）
（一）「二次函數概念二階段評量試題」的發展過程
研究者由三次開放性測驗所收集到的學生作答情形，分析出學生容易出 現的主要錯誤類型，同時根據學生紙筆測驗的答題資料與面談結果，分析這 些錯誤類型的成因，再依據學生做答資料編製成二階段評量的試題與答題選 項。研究者與指導教授及同事討論三次開放性試題和學生的答題資料後，刪 去第三次開放性試題中需要較多概念知識的第09題、第14題、第18題，再刪 去答題理由不足的第03題、第08題、第16題，將其餘13題答對率未達85%的 題目保留，編製成「二次函數概念二階段評量試題」。由開放性試題中學生 作答人數最多的正確理由，編寫成一個二階段試題中第二階段的理由選項，
答錯人數最多的前三個錯誤理由，編製成第二階段的另外三個理由選項（詳 見附錄四）。舉例說明如下：
第三次開放性試題：
02、請問二次函數 y x2 3x 4 和 y 2x2 6x 8 的圖形是否相同？
□ 圖形相同 □ 圖形不相同 我的理由是：______
(A)因為 y x2 3x 4 和 y 2x2 6x 8 在 y 0 時的解都是 x 4 與 x 1。
(B)因為 y 2x2 6x 8 的各項係數為 y x2 3x 4 的 2 倍，所以圖形相似，
只是大小不一樣。
(C)因為兩個圖形的開口大小不同，頂點也不同。
(D)因為將 y 2x2 6x 8 的各項係數化簡就可以得到 y x2 3x 4。
(E)其他理由：__________________________________________________
在選項(B)的敘述裡，雖然學生將開口大小不一樣的二次函數類比為相似的 概念，但因為二次函數中並無「圖形相似」的概念，所以為了避免學生在選答時 造成混淆，研究者將敘述修改為：
(B)因為 y 2x2 6x 8 的各項係數為 y x2 3x 4 的 2 倍，所以 y 2x2 6x 8 的圖形開口大小也是 y x2 3x 4 的 2 倍。
07、兩個二次函數 y x2 2x 3 與 y 2x2 4x 6 有相同的頂點嗎？
□ 有相同的頂點 □ 沒有相同的頂點 我的理由是：______
(A)因為兩個二次函數的各項係數不一樣。
(B)因為 y x2 2x 3 的頂點為(1, 4)，y 2x2 4x 6 的頂點為(1, 4)。
(C)因為將 y x2 2x 3 的各項係數乘以2 倍後並不等於 y 2x2 4x 6。
(D)因為 x2 2x 3 0 與2x2 4x 6 0 的解不相同。
(E)其他理由：__________________________________________________
選擇選項(A)的學生認為，因為 y x2 2x 3 與 y 2x2 4x 6 這兩個二 次函數不一樣，所以頂點不相同，而他們判斷這兩個二次函數不一樣的原因是根 據這兩個二次函數的各項係數不相同的緣故。因此為了使語意更完整，將敘述修 改為：
(A)因為兩個二次函數的各項係數不一樣，開口方向、開口大小也不同，所 以兩個二次函數不一樣。
題目或理由選項修訂完成後，研究者於100 年 6 月 7 日再針對 45 名國中九 年級學生進行「二次函數概念」二階段評量試題的第二次試測，以確認題目與理
由選項的敘述清楚無誤，讓試題發展更具完備性。再經過部分試題與理由選項做
12 能求二次函數 y a ( x h)2 k 與 y 軸的交點。
12 13 2 13 能理解二次函數y ax2 bx c 的
判別式b2 4ac 與 x 軸交點個數的 關係。
11 1 二次
函數 的特 殊點
14 能判斷二次函數與x 軸交點的個 數。
11 1
總題數 4 7＊ 2＊ 13＊
（三）「二次函數概念二階段評量試題」的複本試題
因本研究在補救教學實施前後有前測、後測、延後測之需求，目的在瞭 解補救教學實施成效與學生學習保留的情形，在與專家教師與指導教授討論 後，將前測試題以修改數字、符號、更動選項順序的方式，編製成「二次函 數概念測驗後測試題」（附錄六）。本測驗的信度利用SPSS測得Cronbach， s α係數為0.781。
研究者再針對143名國中九年級的學生，同時進行前測試題（甲本）及 後測試題（乙本）的施測，每位學生皆同時寫甲本和乙本試題。若A生在甲 本的答案和與之對應的乙本答案相同時，我們就稱A生在該題的答題有一致 性。而143名學生中，在同一題一致性的比例稱為該題的一致率，各題的一 致率如表3-12。前測（甲本）、後測（乙本）兩個測驗，以70%為精熟的標 準，得知複本信度的百分比一致性（PA）為0.916、柯恆的K係數為0.781及 Pearson相關係數為0.882，可知此複本試題彼此的差異性不顯著，而且彼此 具有高度相關，如表3-13。由於「二次函數概念二階段評量試題」的複本試
研究者再針對143名國中九年級的學生，同時進行前測試題（甲本）及 後測試題（乙本）的施測，每位學生皆同時寫甲本和乙本試題。若A生在甲 本的答案和與之對應的乙本答案相同時，我們就稱A生在該題的答題有一致 性。而143名學生中，在同一題一致性的比例稱為該題的一致率，各題的一 致率如表3-12。前測（甲本）、後測（乙本）兩個測驗，以70%為精熟的標 準，得知複本信度的百分比一致性（PA）為0.916、柯恆的K係數為0.781及 Pearson相關係數為0.882，可知此複本試題彼此的差異性不顯著，而且彼此 具有高度相關，如表3-13。由於「二次函數概念二階段評量試題」的複本試