國中生在二次函數概念上的主要錯誤類型及其補救教學之研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：曹博盛. 博士. 國中生在二次函數概念上的主要錯誤類型及其補救教學之研究. 研究生：徐敏媛. 中華民國一百零一年六月.

(2) 致. 謝. 本論文的完成是四年來的努力所累積的成果，心中充滿了喜悅與感恩！首先要感謝我的恩師授曹博盛教授。就讀研究所這四年老師費心地指導，帶給我在學術研究、論文撰寫上的諸多寶貴知識，使我學會從事研究的態度與方法，不論在論文架構、寫作或研究過程中，都不厭其煩地提供我懇切的建議及協助，讓我能順利完成論文，使我獲益良多。感謝口試委員鍾靜教授與張幼賢教授，在百忙之中仍然仔細的審視我的論文，並在口試當天提供了許多寶貴的意見，使本論文的架構與論述更加完善。感謝一路上相互扶持的伙伴：文傑、芳儀、宜楓、信宏學長、純如學姐、承鑫、幸鵑、淳華、仕傑學長、嵐雄、其豪、佑之學長，感謝你們在這過程中提供的許多寶貴意見以及建議，讓這份論文能順利完成。感謝這一路走來互相鼓勵與打氣的研究所同學光亮、美杏、淑娟、堅榮，與我分享經驗並給予我建議的摯友依芳，關心我的論文進度並提供我意見與協助的美國學長，支持與協助我的學校同事，認真作答以及配合訪談的參與研究的學生們。感謝我的先生化龍，在撰寫論文期間，不僅時常帶我吃吃喝喝並從事各項娛樂活動舒壓，且與我在臺北各大小角落留下一同用功的記憶，給予我在精神上的莫大支持。感謝我的雙親、公婆、弟弟、小姑，因為有你們的支持與鼓勵，讓我可以順利地完成研究所的學業。最後，僅以此論文獻給我的家人、師長及好友們。. 徐敏媛謹誌 2012 年 6 月.

(3) 摘. 要. 本研究目的在探討國中九年級學生在學習「二次函數」單元後，有哪些錯誤類型。本研究採用二階段評量來診斷並透過訪談整理歸納成為錯誤類型，再進行錯誤類型的成因分析，然後根據成因設計補救教學教材，並進行補救教學活動。根據本研究，國中九年級學生在二次函數概念的主要錯誤類型可分成以下四大類，共 11 種：(一)對二次函數代數式解釋的錯誤：(1)不瞭解二次函數中「二次」的意義；(2)將二次函數 y  ax2  bx  c 與一元二次方程式 ax 2  bx  c  0 混淆；(3)在做一般式 y  ax2  bx  c 轉換成標準式 y  a ( x  h) 2  k、假設標準式 y  a ( x  h) 2  k 將 a 當成 1 或從標準式找對稱軸發生之錯誤。(二)對二次函數圖形解釋的錯誤：(4)只關心圖形看得到的部分，忽略圖形隱含的解析性質；(5)認為拋物線的部分圖形是線性；(6)對稱軸概念的錯誤。(三)二次函數代數式表徵與圖形表徵之間轉換的錯誤：(7)不瞭解 y  ax2 之 a 與圖形之關係；(8)不瞭解圖形的左右平移與代數式 y  a ( x  h) 2  k 中 h、k 之關係。(四)二次函數的特殊點（與 x、y 軸的交點、頂點）的錯誤：(9)認為二次函數的頂點都在 y 軸上；(10)不瞭解二次函數 y  ax2  bx  c 中 b2  4ac 與 x 軸交點個數的關係；(11)不瞭解二次函數 y  a ( x  h) 2  k 的頂點坐標(h, k )與 y  ax2  bx  c 的關係。就補救教學的成效而言，在經過補救教學活動之後，後測各題的答題正確率皆高於前測。在所有的試題中，其答題正確率全部均提高 35%以上，其中有 6 題後測答題正確率超過 85%。參與補救教學的學生，其後測的答題正確率皆高於前測。就錯誤類型的變化情形來看，學生所犯錯誤類型數量皆低於前測。可見二次函數概念的補救教學活動對於改善學生在二次函數概念常犯的錯誤類型有顯著的成效。從後測和延後測的結果來看，學生在後測與延後測的答題情形差異不大，顯示學生對於二次函數概念補救教學的學習具有保留效果。. 關鍵字：二次函數、二階段評量、錯誤類型、補救教學。. . i.

(4) Abstract The objective of this study is to investigate the error patterns in learning quadratic function among the ninth graders, and to develop the associated remedies for students to better understanding the course materials. This study adopts the two-tier assessment to identify and organize the error patterns of quadratic functions among the ninth graders. The causes of these error patterns are identified by using the technique. Based on these results, the materials and activities of remedy are then developed, and we use these materials to have a teaching experiment. Four major error patterns of quadratic functions are found: 1. the wrong interpretation of the algebra form of quadratic function, 2. the wrong interpretation of the graph of quadratic functions, 3. the mistakes in the transition between the algebra and graph representations of the quadratic functions, and 4. the errors in some special points of quadratic functions, i.e. the vertex, and the intersection points with X and Y axes respectively. From the results of the teaching experiment, it shows that the rates of accuracy in all of the questions was significantly increased from the pre-test to post-test with respect to the remedy activities. The accuracy rates were increased over 35% in all questions. Among them, six of the thirteen questions have over 85% accuracy rates in the post-test. All of the participants got better accuracy rates in the post-test than in the pre-test. The students also showed their great improvements in all of the identified error patterns. Therefore, we conclude that the remedy activity can significantly mitigate the occurrence of the major error patterns among the students. Comparing the results of post-test and extended-post-test, the retention of teaching experiment is effective. Keywords: quadratic function, two-tier assessment, error patterns, remedy. . ii.

(5) 目. 錄. 第壹章緒論.............................................................................1 第一節. 問題背景與研究動機.........................................................1. 第二節. 研究目的與研究問題.........................................................4. 第三節. 理論基礎.............................................................................5. 第四節. 名詞界定.............................................................................9. 第貳章文獻探討...................................................................11 第一節. 二階段評量工具的發展與應用.......................................11. 第二節. 數學概念的學習與教學...................................................19. 第三節. 錯誤類型與成因之相關研究...........................................26. 第四節. 補救教學之相關研究.......................................................31. 第參章研究方法...................................................................37. . 第一節. 研究設計...........................................................................37. 第二節. 研究對象...........................................................................39. 第三節. 研究工具...........................................................................40. 第四節. 研究步驟與流程...............................................................79. 第五節. 研究限制...........................................................................83. iii.

(6) 第肆章研究結果之分析與探討...........................................85 第一節. 二次函數概念主要錯誤類型及其成因之分析...............85. 第二節. 學生在補救教學活動的前測、後測結果分析.............106. 第三節. 學生在補救教學活動的後測、延後測結果分析.........130. 第四節. 補救教學結果之綜合分析.............................................144. 第伍章結論與建議.............................................................147 第一節. 結論.................................................................................147. 第二節. 建議.................................................................................155. 參考文獻.................................................................................157 中文部分.........................................................................................157 西文部分.........................................................................................160. 附錄.........................................................................................165 附錄一：二次函數概念測驗開放性試題(一)..............................165 附錄二：二次函數概念測驗開放性試題(二)..............................173 附錄三：二次函數概念測驗開放性試題(三)..............................179 附錄四：將開放性試題蒐集的理由編製成二階段試題的理由選項.....................................................................................185 . iv.

(7) 附錄五：二次函數概念測驗前測試題.........................................203 附錄六：二次函數概念測驗後測試題.........................................209 附錄七：二次函數補救教學教材.................................................215 附錄八：二次函數補救教學教案設計.........................................267. . v.

(8) 表. 次. 1.表 2-1 使用二階段評量來診斷學生的學習迷思概念的應用研究.17 2.表3-1 二次函數概念測驗試題（一）開放性試題教學目標、評量目標與對應題號表.....................................................................40 3.表 3-2 二次函數概念測驗試題（一）開放性試題評量主題內容與認知歷程向度雙項細目表.....................................................42 4.表 3-3 二次函數概念測驗試題（一）開放性試題各題資料參考來源表.........................................................................................44 5.表 3-4 二次函數概念測驗試題（一）開放性試題各題答對率........44 6.表3-5 二次函數概念測驗試題（二）開放性試題教學目標、評量目標與對應題號表.....................................................................47 7.表 3-6 二次函數概念測驗試題（二）開放性試題評量主題內容與認知歷程向度雙項細目表.....................................................48 8.表 3-7 二次函數概念測驗試題（二）開放性試題各題答對率.....50 9.表3-8 二次函數概念測驗試題（三）開放性試題教學目標、評量目標與對應題號表.....................................................................51 10.表 3-9 二次函數概念測驗試題（三）開放性試題評量主題內容與認知歷程向度雙項細目表.....................................................52 11.表 3-10 二次函數概念測驗試題（三）開放性試題各題答對率.....54. . vi.

(9) 12.表 3-11 二次函數概念測驗前測試題評量主題內容與認知歷程向度雙項細目表.......................................................................57 13.表 3-12 前測（甲本）、後測（乙本）的各題答題的一致率............59 14.表 3-13 前測（甲本）、後測（乙本）的複本信度.............................59 15.表 3-14 「二次函數概念二階段評量試題」選項與錯誤類型之對照表...........................................................................................60 16.表3-15 各主要錯誤類型及其原因之對照表....................................61 17.表 3-16 補救教學各單元之授課節數分配表...................................67 18.表 3-17 二次函數概念補救教學活動設計表...................................74 19.表 4-1 國中九年級學生在「二次函數概念」二階段評量試題之犯錯率........................................................................................86 20.表 4-2 預試學生與補救教學學生在「二次函數概念」二階段評量試題之犯錯率......................................................................104 21.表 4-3 前測、後測的各題答題正確率及答題差異情形...............106 22.表 4-4 後測答題正確率達 85%以上的題目...................................107 23.表 4-5 後測答題正確率未達 75%的題目.......................................110 24.表 4-6 個人於前測、後測的答題正確率及差異情形.....................114 25.表 4-7 後測答題正確率為 100%的 15 位學生在前測各題答錯之人數統計...................................................................................116 . vii.

(10) 26.表 4-8 後測答題正確率低於 70%的 9 位學生在後測各題答錯之人數統計...................................................................................117 27.表 4-9(a) 前測、後測各個學生所犯的錯誤類型...........................117 28.表 4-9(b) 前測、後測各個學生所犯的錯誤類型...........................119 29.表 4-9(c) 前測、後測各個學生所犯的錯誤類型...........................120 30.表 4-9(d) 前測、後測各個學生所犯的錯誤類型...........................121 31.表 4-10 前測、後測的各錯誤類型答題犯錯率及其差異情形…...123 32.表 4-11 後測、延後測的各題答題正確率及答題差異情形...........130 33.表 4-12 延後測答題正確率比後測高的題目.................................133 34.表 4-13 個人於後測、延後測的答題正確率及差異情形...............134 35.表 4-14 後測答對但延後測答錯之題號次數分配表.....................136 36.表 4-15(a) 後測、延後測各個學生所犯的錯誤類型.....................136 37.表 4-15(b) 後測、延後測各個學生所犯的錯誤類型.....................138 38.表 4-15(c) 後測、延後測各個學生所犯的錯誤類型.....................139 39.表 4-15(d) 後測、延後測各個學生所犯的錯誤類型......................140 40.表 4-16 後測、延後測的各錯誤類型答題犯錯率及其差異情形...142 41.表 4-17 前測、後測、延後測的各類型答題正確率做 McNemar Test 的結果…....…………...…………………………………..144. . viii.

(11) 圖. 次. 1.圖 2-1 二階段評量試題的型態.........................................................12 2.圖 2-2 圓錐形的概念模型.................................................................20 3.圖 2-3 Sfard 概念形成的一般模型圖...............................................22 4.圖 3-1 實驗設計的模式.....................................................................38 5.圖 3-2 研究流程圖.............................................................................79 6.圖 4-1 前測、後測的各題答題正確率折線圖.................................107 7.圖 4-2 個人於前測、後測答題正確率折線圖.................................115 8.圖 4-3 前測、後測各錯誤類型犯錯率折線圖.................................124 9.圖 4-4 後測、延後測的各題答題正確率折線圖............................131 10.圖 4-5 個人於後測、延後測答題正確率折線圖............................135 11.圖 4-6 後測、延後測各錯誤類型犯錯率折線圖...........................143. . ix.

(12) 第壹章緒論第一節. 問題背景與研究動機. 研究者在國中擔任數學教師迄今已超過十年，雖然期間帶過許多不同的班級，看著學生跟著我學習，從失敗到進步，過程中雖有許多挫折，但與學生一同成長的感動，也是一直督促我進步的動力，也就是我為何想要讓自己在數學教育領域上更為精進的原因。而研究者任教的學校屬於該行政區之弱勢學校，學生正向價值觀較低落，學生家長社經背景較低，且研究者目前任教之班級在該年級學業成績落後，學習成效普遍不彰。學生在某些單元的學習過程中，常常不時的會遇到學生陷入迷思概念中，即使研究者利用過去經驗，採用了不同的詮釋方式，仍無法讓學生全然瞭解，將他們的迷思概念一一破除。也因此，如何找到一個系統化的方式，能夠發掘學生學習迷思的來源，並能夠從中找尋合適的解決方法，是本人投入此研究的目標。函數為數學上一相當重要的觀念，探討著不同變數間映射的關係，從國中開始到高中、大學的數學，一直都是學習中最重要的概念之一。Yerushalmy 與 Schwartz (1993) 表示「函數在現行的中學程中，位居重要的部分，我們有充分的理由去說函數是代數的基本物件」。美國國家數學教師委員會 (National Council of Teachers of Mathematics[NCTM], 2009)，函數為協助學生瞭解其周遭世界最重要的數學工具之一。函數的概念為數學許多分支的基礎，建立函數的概念將有效幫助學生將數學工具與許多不同主題所結合，包括數學領域、其他學門或是真實世界的應用。也因此發展學生使用與瞭解函數的概念，為數學教育的主要目標之一 (NCTM, 2009)。此報告提出對於函數的瞭解與學習主要需要考慮的重要元素有：(1) 學習交互使用函數的不同表徵型式，包括圖、表、符號等，不同元素各有其特點協助瞭解函數的特性，(2) 學習瞭解不同函數的特性，並能了不同的函數其各自的可能應用範圍與特性，(3) 學習瞭解函數中各項係數對於函數表現的影響 (NCTM, . 1.

(13) 2009)。因此函數的學習有其重要性。學生在國中時期除了線型函數以外，二次函數即為最重要的函數類型。二次函數概念的養成，對於往後學習各種其他函數，都會有一定的幫助，例如：高中教材中的指數函數、對數函數或高次多項式函數等。透過二次函數的學習，可以讓學生第一次有機會體會到變數，瞭解變數如何透過函數係數的轉換，造成變數間映射特性與特徵的改變。這些概念都可以透過二次函數的學習下開始接觸。 Brian (1998) 表示數學課程就是圍繞著變數與函數。二次函數的學習，除了讓學生接觸到函數的一些基本特性，另外也將函數與幾何概念進行更緊密的結合。例如，二次函數的圖形為拋物線，此形狀讓學生開始形成函數中有最大值以及最小值的想法，並進而學會判斷某一二次函數是開口向上還是開口向下，而對於凹函數 (concave function) 與凸函數 (convex function) 的認知，對於未來學生在高中或大學學習微積分，甚至是更高等的數學分析，這都是不可或缺的。因此，二次函數的學習與基礎，對於學生日後與高中數學甚至是大學研究所數學的學習，都有其不可或缺的地位。在二次函數的學習中，學生第一次需要大量使用到不同函數的表現形式，瞭解公式的形式與其幾何圖形之關係，瞭解如何將函數在圖與表之間做轉換。二次函數的學習，將讓學生瞭解不同函數的有其不同的特性與應用領域，也為未來不同函數的學習進行準備。二次函數的教材，也非常強調函數中各項係數的變化對於函數形狀與特性的影響，對於學生學習的複雜度都遠高過於先前的線型函數的瞭解。也因此二次函數的學習，對於學生函數觀念的建構是相當重要的部份。根據研究者本身的教學經驗發現，學生學習二次函數時產生的錯誤涵蓋了函數表徵的轉換，函數特性的瞭解，以及函數係數對函數的意義，例如下列為學生常犯的錯誤：（一）當一個拋物線與 y 軸的交點沒有顯示在圖上時，學生推論這個交點不存在。（二）學生將二次函數的係數同乘以不為 0 的數時，認為二者所對應的拋物線是相同的。例如：學生認為 y  x 2  2x  3 和 y  2x 2  4x  6 這兩個二次函數 . 2.

(14) 的圖形是相同的。（三）學生建造一個給定頂點與另一點的二次函數的方程式時，只根據它的頂點，他們不會去檢驗第二個點是否在函數上。例如：頂點在(4, 3)與另一點(2, 5)的二次函數，學生會將它的方程式建造為 y  ( x  4) 2  3，而不會去檢驗圖形上的點(2, 5)是否在圖形上。（四）學生認為拋物線上連接兩點的線段中點也會在拋物線上。例如：如圖，他們認為二次函數圖形上連接 A(2,  1) 、 B(2.5, 1.5) 兩點線段的中點 C ( 2.25, 0.25)也會在圖形上。 y B(2.5, 1.5) x A(2,  1). （五）學生記憶口訣：「二次函數向上平移就加，向下平移就減。」因為向上正好與 y 軸正向方向相同，向下正好與 y 軸負向方向相同，因此過度推論向右正好與 x 軸正向方向相同，向左正好與 x 軸負向方向相同，所以得到「向右平移就加，向左平移就減。」的結論。例如：學生認為將二次函數 y  ( x  3)2 的圖形向左平移 2 單位後，會得到二次函數 y  ( x  1)2 的圖形。基於上述種種原由，本研究將以國中九年級第二學期二次函數學習為探討範圍，以研究者任職的學校與周遭的學生為探討對象，嘗試瞭解國中生學習二次函數可能遭遇的迷思，與可能的解決對策，期許結果對於數學中等教育的教學研究上有所貢獻。. . 3.

(15) 第二節. 研究目的與研究問題. 基於上述的研究動機，本研究目的為發展出一套診斷學生學習二次函數產生的錯誤的工具，藉由此工具找出國中生在學過「二次函數」課程之後，出現哪些主要的錯誤類型及產生的原因。然後針對主要的錯誤類型及其錯誤的原因設計一套補救教學之教材，並進行補救教學活動，來改正學生對於二次函數所存在的迷思概念。根據研究目的，本研究待答的問題主要有下列幾個：（一）國中生在學完二次函數單元之後，對於二次函數概念的學習，可能出現哪些主要的錯誤類型？（二）造成這些主要錯誤類型的成因為何？（三）改善這些主要的錯誤類型的補救教學教材，其設計原則為何？（四）經過補救教學活動之後，是否能改善學生之前所犯的錯誤？（五）經補救教學活動一段時間後，學生對於二次函數概念的學習保留情形為何？. . 4.

(16) 第三節. 理論基礎. 本研究根據數學教育錯誤診斷與補救教學發展的方法架構進行研究，其理論基礎主要包括：(1) Treagust 的雙層式診斷測驗理論 (Treagust, 1988)、(2) Piaget 的認知發展理論、(3) Ausubel 的有意義學習理論 (Ausubel, 1963, 1968)、(4) Henderson 的概念教學理論 (Henderson, 1970)，以及(5) Vygotsky 的鷹架理論。各理論架構簡述如下：. 一、Treagust 的雙層式診斷測驗 (Two-tier) 評量工具有許多學者 (Odom & Barrow, 1995; Treagust & Haslam, 1986) 認為 Treagust (1988) 提出的雙層式診斷測驗 (two-tier)，可以有效的偵測出學生的學習困難和迷思概念。這種測驗試題的結構分為兩層：第一層是核心概念的內容，題目提供一個情境脈絡讓學生做二選一或三選一的回答。第二層是探索第一層作答的理由，題目提供了幾個理由選項讓學生選擇，以瞭解學生在第一層回答的理由。這樣的好處除了兼具選擇題的測驗形式，可以收集到大量的樣本資料，同時也改正了無法獲得學生真正想法的缺點。這種測驗實施的方式，在第二章第一節中會更詳細的描述。. 二、Piaget 的認知發展理論在 Piaget 的認知發展理論中，有幾個主要的概念：（一）基模 (schema)：Piaget 認為嬰兒在出生不久，便開始主動運用他與生俱來的一些基本行為模式對環境中的事物做出反應，獲取知識。此等以身體感官為基礎的基本行為模式，可視為個體用以瞭解周圍世界的認知結構 (cognitive structure)。每當遇到某事物時，便用既有的認知結構去核對、處理，而此認知結構為 Piaget 所謂的基模。Piaget 將基模視為人類吸收知識的基本架構，因而將認知發展或智力發展，均解釋為個體的基模隨年齡增. . 5.

(17) 長而產生的改變。當基模與環境或基模與基模彼此之間經由交互作用後，就會再形成另一個認知的基模。（二）平衡化 (equilibration)：平衡有三種：(1)平衡是吸收同化和調適順應之間的聯繫；(2)平衡是個體基模中子系統的平衡；(3)平衡是一種調節個體部分知識與整體知識之間關係的平衡。（三）認知衝突 (cognitive conflict)：當知識的傳入與學習者現有的認知結構不一致時，認知結構即失去平衡，造成認知衝突。此時學習者為解決認知衝突會產生調適順應進而引起概念改變，使認知結構達到新的平衡。（四）適應 (adaptation)：在 Piaget 的認知發展理論中，適應指的是個體的認知結構或基模因環境限制而主動改變的心理歷程。在此過程中會產生兩種彼此互補的心理，分別為「吸收同化 (assimilation)」和「調適順應 (accommodation)」。吸收同化是指個體運用其既有基模解決問題時，將遇見的新事物吸納入既有基模，此一新事物同化在他既有基模之內，成為新的知識。調適順應是指外界的事物或知識與原來的認知結構不一致時，個體就必須改變原來的認知結構，以順應外界新的環境。. 三、Ausubel 的有意義學習理論「有意義的學習」是 Ausubel 理論的核心概念之一。當學習者在所要學習的新知識與原本學習者本身就已經知道的舊有概念間找到有意義的命題連結時，即可產生有意義的學習 (Ausubel, 1963, 1968)。為了達成有意義的學習，必須具備以下三種條件：（一）學習材料：針對所要學習的材料，在本質上必須是有意義的。也就是說這種學習材料本身，就可以提供學習者以有意義的方式聯結其知識結構。（二）先備知識 (prior knowledge)：學習者必須具備相關的知識或概念，也就是所謂的「先備知識」，以供新學習概念的聯結。（三）學習意向：學習者必須為自己的學習負起責任，願意主動嘗試將新知識與 . 6.

(18) 既存的概念架構作聯結，以建構起有意義的理解。因此，學習要能夠變成ㄧ項有意義的活動，學習者必須要有足夠的「先備知識」、具備有意義的學習意向，再加上使用有意義的教材，整個活動就容易被引導進入有意義的學習行為中。學習者也就容易將新學習的知識或概念，快速地與既有的舊知識與舊經驗作聯結，統整成為一個更大、更廣的知識結構，以作為後續學習的「先備知識」。. 四、Vygotsky 的鷹架理論： Vygotsky 認為人類的認知發展過程是經由「內化」或「行動的遷移」，將社會意義及經驗轉變成個人內在的意義。Vygotsky 將認知的發展分成實際的發展層次以及潛在的發展層次，在這兩個層次之間的差距，Vygotsky 稱為「近側發展區 (zone of proximal development，簡稱 ZPD)」，而「鷹架 (scaffolding)」一詞，則是由 ZPD 的理念發展而來。為了幫助處於實際發展層次的學習者，跨越近側發展區，進而達到潛在的發展層次，此時所提供的協助就稱為「鷹架」。鷹架在學習上提供的支援有：(1) 引發學童參與；(2) 指出所欲學習事物的關鍵特徵；(3) 示範；(4) 減輕學習時的負擔；(5) 進行學習活動方向管理；(6) 掌控學習過程挫折。鷹架理論有三個重要概念：(1) 在近側發展區裡，鷹架提供者 (教師) 和接受者 (學生) 之間的關係是互惠的，所謂的互惠是指教師所要提供的學習支持和學習者的互動回饋應該是經由彼此協商所決定。(2) 學習的責任應在過程中逐漸由教師轉移至學習者，而其轉移時機則應視學習的實際情況而定。(3) 在教師與學生間的溝通語言是促進學習者反思與認知的橋樑。在實際教學活動中，教師必須依據教材內容以及學習者特性，提供學習者在學習過程中所需的鷹架，並且該鷹架的支持程度會隨著學習者在實際學習的情況不斷調整修正。. . 7.

(19) 五、Henderson 的概念教學理論 Henderson 認為概念教學有兩種策略：（一）例示化教學策略 (E-move)：以正例和非例 (nonexample) 來進行，一般用於「概念的獲得」。（二）屬性描述化教學策略 (C-move)：在描述概念的屬性，一般用於「概念的同化」。上述這兩種教學策略在概念教學的過程中，如果能夠交替進行將會更有成效。然而，在使用 C-move 之前，應先運用 E-move，而 C-move 也能促進 E-move 的達成，若在未使用 E-move 之前就直接使用 C-move，這可能會造成 C-move 沒有達成，E-move 也沒有達成的情況。. . 8.

(20) 第四節. 名詞界定. 一、二次函數：本研究所指的二次函數，係指形如 y  ax2  bx  c（a  0）的函數，為二次函數的一般式，形如 y  a ( x  h) 2  k（a  0）的函數為二次函數的標準式。. 二、開放性試題：本研究的開放性試題乃是依各主題的教學目標訂定其評量目標，依評量目標並且參考不同版本的數學課本、教師手冊等資料，再與專家教師及指導教授討論修訂後編製而成。其試題型態與前面二階段試題類似，第一層為是非題，先讓學生選擇題目敘述正確與否，但第二層並未提供任何理由敘述讓學生選擇，而是讓學生自己寫下判斷題目敘述正確與否的理由。. 三、二階段評量：本研究所使用的「二次函數」二階段評量試題的型態：第一層為是非題；第二層為敘述選項，每一題都有 5 個選項，其中最後一個選項為「其他，我的理由是：. 。」，當學生的理由有別於前四個理由. 選項時，可以將自己的理由自由地表達出來。. 四、錯誤類型：本研究所提出的錯誤類型，是研究者參考相關錯誤類型分析的文獻，再加上本研究經診斷測驗所分析出的錯誤類型做實證，兩者一起歸納所界定出的錯誤類型。而本研究是依據自編「二次函數」二階段評量學生作答情形，所分析出的錯誤類型。在「二次函數」二階段評量中，因每一個錯誤類型常出現在不只一個選項，若一個學生有選其中 25%以上(包含 25%)的選項，我們就認定該生有犯這樣的錯誤類型。而當一個錯誤類型的犯錯人數有超過 15%的受測學生，我們就把此錯誤類型認定為主要的錯誤類型。. . 9.

(21) 五、補救教學：本研究之補救教學是指根據「二次函數」的二階段評量所篩選出學生的主要錯誤類型，根據其錯誤產生的原因設計合適且有效的補救教學教材，並進行一連串積極性的補救教學活動，其目的在改正學生對於二次函數所存在的迷思概念，達成該階段的學習目標。. . 10.

(22) 第貳章. 文獻探討. 本研究在探討以二階段評量來分析國中九年級學生在二次函數單元中常犯的錯誤類型及其成因，依此分析結果來設計補救教學，希望能有助於改善學生在二次函數概念學習上的錯誤。本章共分為四節，第一節為「二階段評量工具的發展與應用」，第二節為「數學概念的教學與學習」，第三節為「錯誤類型及成因之相關研究」，第四節為「補救教學之相關研究」。. 第一節二階段評量工具的發展與應用一、診斷測驗的發展學生對數學或科學學習的過程以及可能遇到的問題，一直以來都是科學教育研究者、認知心理學家和科學教師所關心的課題。其中，學生在學習數學與科學課題時，透過其本身的思維方式所建構出與教師教學不一樣的概念的現象，且這些學生的概念有別於一般科學所能接受的，就稱之為「迷思概念 (misconceptions)」(Helm, 1980)、「先有概念 (preconceptions)」(Novak, 1977)、「另有架構 (alternative frameworks)」(Driver, 1981)、「孩童的科學 (children’ science)」 (Gilbert, 1982)。為了瞭解迷思概念的成因，張惠博 (1999) 共歸納了六種常用的迷思概念診斷方法：(1) 診斷式傳統測驗題，其優點為可用於大量施測；(2) 概念圖法，為 Novak 於 1970 年代末期所發展出來的辦法，目前最常被使用來展現概念關係的測量方法；(3) 晤談法，對個案學童進行事例或事件晤談；(4) 關係圖法，如單字聯想、樹狀圖、圖形建構、網狀圖、語意分析等；(5) Vee 圖，利用集合關係圖來推論根據何種觀念、原理、理論來支持其想法；(6) 二階段式測驗，Treagust (1988) 利用二階段的選擇題來診斷學生在特定領域內的科學概念之理解。題目的第一階段用選擇題診斷學生對概念的理解，第二階段再以問題來根據學生之說明來探究學生對概念的真正想法。上述的方式中，以診斷式傳統測驗題、概念圖法和晤談法較常被使用。其中，傳統測驗題方式雖然可以收集到大量的樣本資料，但卻無法瞭解到學生填答背後真正的原因，也無法瞭解學生的迷思概念 (Duncan & Johnstone, 1973)。另外，晤談要和學生做面對面的談話，並且要將資料做轉錄的工作，相當耗費人力和時 . 11.

(23) 間；概念圖對於學生來說也要花費很長的時間來回答，教師方面對於學生概念的解釋也容易流於主觀，因此未達客觀標準，甚至需要對於教師進行專門訓練 (Odom & Barrow, 1995)，因此這兩種方式並不適合用於大規模的實施來探究學生的科學概念。為了改進傳統的診斷評量工具無法有效判讀學生學習成效的問題，也就是緊之到學生答對或錯，而非瞭解其「不知道的程度」。Treagust & Haslam (1986; 1987)、Odom & Barrow (1995)，與 Rollnick & Mahooana (1999) 建議使用二階段式 (Two-tier) 評量診斷工具，來診斷學生的科學概念，幫助教師瞭解學生在概念學習的狀態。也就是將學習診斷分為二，第一階段是核心概念的內容，題目提供一個情境脈絡讓學生做二選一或三選一的回答。第二階段是探索第一階段做答的理由，題目提供了幾個理由選項讓學生選擇，以瞭解學生在第一階段回答的理由。Treagust (1988) 認為此種診斷評量方式不但適合教學現場且容易被教師接納使用，並可以確實增進教師觀察學生在概念學習上的各種反應與結果，甚至可以使用在團體討論上。換言之，二階段評量診斷可作為課程修訂時有用的資訊，也提供實際研究者一個便捷的方法 (Odom & Barrow, 1995; Rollnick & Mahooana, 1999; Treagust, 1986; Treagust, 1988; Treagust & Haslam, 1986; Treagust & Haslam, 1987)。二階段評量試題的型態，如下圖 2-1 所示：第一層為是非題。第二層為敘述選項，每一題都有 5 個選項，其中最後一個選項為「其他，我的理由是：. 。」，當學生的理由有別於前四個理由選項時，可以將自己的. 理由自由地表達出來。. 圖 2-1 二階段評量試題的型態. . 12.

(24) 二、二階段評量工具實務與優劣依據Treagust (1988) 的研究，二階段評量工具設計的編製過程可分為：定義內容、獲得學生概念之相關證據，以及發展診斷工具等三大部分，根據此三大部分可在細分成十個步驟，說明如下：（一）定義內容 (Defining the content)：可分為四個步驟來定義研究主題的概念範圍和相關內容知識的敘述，並建構概念圖。步驟1：確立命題知識敘述。根據研究主題內容，找出包含在此領域內的知識，並將其中的概念逐項條列出來，以確定命題之範圍。然而，確立命題知識的敘述，在課程發展及教學上具有很重要的地位。步驟2：發展概念圖。對研究主題相關之概念，畫出階層式的概念圖，研究者可利用概念之間彼此的關聯性，仔細思考所選擇的教學內容之本質及範圍。而步驟1和步驟2可以說是同時發展出來的，當命題敘述確立時，所對應的概念圖也已成形，或是當概念圖確定時，所對應的命題敘述也已成形，兩者是相輔相成的。步驟3：將命題知識敘述與概念圖連結比對。每個命題知識的敘述皆要與概念圖中其對應之概念直接相關，確保被檢測的內容是具有其內部一致性，且彼此要能涵蓋整個主題。這是一種信度檢核，看兩者是否真正能檢測和覆蓋於相同主題區域。步驟4：將試題內容效度化。命題敘述和概念圖是由學科學者、學科教師和學科專家檢核進行內容效度化，並由這些專家針對命題敘述和概念圖有任何矛盾或不恰當之處進行刪除或修正。當命題敘述及概念圖確定之後，在發展診斷工具的題幹時就會更加明確。（二）獲得學生概念之相關證據 (Obtaining information about students’ conceptions)，利用三個步驟來發展診斷式的工具，來獲得學生可能的迷思概念來源。首先透過對先前研究文獻的檢視，再和學生進行晤談以及利用紙筆測驗ㄧ些開放性的問題後，得到學生的自由反應資料，來瞭解學生 . 13.

(25) 對該研究之學科內容的理解，如此該主題的學生概念之典型範例就可以被確定。步驟5：探索相關研究文獻。在開始定義相關的學科問題或是探討學生的某種學科概念時，必須對於ㄧ些研究學生學科概念的相關文獻進行探討，來獲得學生的迷思概念以及學習時有困難的概念，藉此用來發展診斷工具。步驟6：與學生進行非結構性晤談。利用非結構性開放式的問題與學生進行晤談，來廣泛地獲得學生的知識結構或迷思概念，並且藉此瞭解學生對此概念理解的程度。步驟7：發展開放性試題，讓學生可以自由回答。每一個選擇題的設計都是依照命題的敘述而來，而且每一題的選擇題都是用來發現學生的迷思概念。每一個選擇題的後面都包括了一個空白空間，讓學生可以填答他所選擇此答案的理由，藉此來收集學生的概念。（三）發展診斷工具 (Developing a diagnostic instrument)，最後三個步驟為建構包含了二階段診斷題目，第一階段要求學生對核心概念的內容進行做答，第二階段是在探索學生第一階段做答的理由為何。根據步驟5、6、7來發展題目的第二階段─理由選項。步驟8：發展兩階段式的診斷工具。每一測驗題中的第一階段選擇的是內容問題，通常有2至3個選項；第二階段是選擇第一階段的理由，通常包含4個可能的理由選項，選項為綜合上述文獻、晤談、和開放式紙筆測驗所獲得的該題作答之理由，其中包含了迷思概念、正確概念或是完全錯誤的答案。然而學生必須兩階段都答對，此題才算答對。步驟9：設計一個特定的表格（雙向細目表）。設計一個特定的表格（雙向細目表）是為了確保所有題目的皆能問到所列出的命題敘述，且概念圖中的概念皆涵蓋在主題範圍之下。步驟10：持續精鍊。透過不同的班級或不同群的學生進行施測，不斷的修正診斷工具，來確保該診斷工具可以診斷出學生的迷思概念。 . 14.

(26) 由以上介紹，可以瞭解二階段評量工具的設計綜合定性以及定量的分析，來探討各種學生可能產生的迷思概念，並有機會針對個迷思概念的成因進行探討，與傳統對於學生學習方式的評量方法有相當的不同。Treagust (1988) 提及此診斷方法可能優點如下：（一）兼具了晤談法之質性的優點與測驗法之量化的優點。在傳統施測瞭解學生答題的量化結果外，另外的第二階段為開放答題的質性資料收集。（二）提供教師快速並便捷的發法來發現學生的學習迷思。二階段評量診斷工具的第二階段－理由選項，是透過文獻探討、開放性紙筆測驗，以及與學生晤談的結果，收集歸納編製而成，因此二階段評量診斷工具結合了學生選擇答案的推理過程，再加上二階段評量診斷工具的兩個階段都是選擇題的形式，所以要在短時間大規模探究學生的概念不成問題。（三）可以減低學生猜對的機率，來提高題目評量的效果。診斷過程分成兩階段，第一階段－核心概念內容（內容知識的部分）進行選答，與第二階段－理由選項（另有概念的部分）進行選答。學生兩階段都必需要答對，才表示學生對於該題有正確的認知。二階段評量診斷工具可以減低學生作答的猜對率，提高題目評量的效果 (蕭志芳, 2003)。根據Odom & Barrow (1995) 指出：在一個含有四個選項的典型選擇題測驗中，猜對答案的機率是25%。所以就本研究所使用的二階段評量診斷工具來說：第一階段是含有兩個選項的選擇題，第二階段是含有五個選項的選擇題，兩階段能做正確聯結而猜對者，其機率只有10%。可見在兩階段的評量工具可以減低猜對之機率，相對的也提高本研究題目評量的效果。（四）改良傳統選擇題的僵化模式，也可以引導學生改變只重視死背知識而不求理解的嚴重缺點。二階段評量的試題設計方式，也就是強調概念的理解，重視以學生的理由及包括已知的另有概念為基礎等，近幾年來已成為許多研究學者所認同的研究工具，學生本身可以在作答的過程中學習、澄清自我概念並幫助原有概念間的連結（林鴻成，民 98）。因此二階段評量試題 . 15.

(27) 對本研究來說，除了可以幫助教師瞭解學生在學習上的困難，並可以進一步解決教學中的盲點，提升學生的學習效果。（五）可以偵測出學生的錯誤概念，並提供教師作為擬定教學策略或補救教學的重要依據。張賴妙理與鄭湧涇（民 89）研究指出，二階段作答方式的概念診斷工具確實能偵測出學生的錯誤概念。柳賢（民 89）針對高一學生進行開放式二階段評量測驗之後提出，經由這種開放式二階段的評量方式，教師可以瞭解學生是否真正理解所學的知識而非一知半解。因此，設計成紙筆式、選擇題型的二階段診斷評量能診斷出學生的錯誤概念，幫助教師對學生學習情況能更進一步的深層瞭解其內涵，同時教師能針對學生的錯誤概念擬定合宜的教學步驟及策略，適時修正教學目標，進行補救教學（楊坤原、張賴妙理，民 90）。. 三、應用二階段評量來診斷學生數學概念的研究回顧自二階段評量方式提出以來 (Treagust, 1988)，此評量方式大量及普遍地被應用於在科學與數學教育上，做為診斷學生迷思概念的ㄧ主要工具。本研究所參考二階段評量相關研究列表如下，其中顯示二階段評量診斷方法早期主要被發展來探討學生對於科學問題學習的迷思，而近年來被國內學者廣泛地應用來探討國中小及高中數學教育的學習診斷評量，對於學生迷思原因的蒐集方法，主要都是結合傳統評量方法，也就是透過開放式試題紙筆測驗，並結合對於學生半結構式的晤談而建立，詳見下表 2-1：. . 16.

(28) 表 2-1 使用二階段評量來診斷學生的學習迷思概念的應用研究研究者. 研究主題. 二階段評量編製方法. Haslam and Treagust (1987). Diagnosing secondary students misconceptions of photosynthesis and respiration in plants using a two-tier multiple choice instrument. 開放式紙筆測驗和晤談搜集學生迷思概念. Peterson and Treagust (1989). Development and application of a diagnostic instrument to evaluate grade-11 and –12 students’ concepts of covalent bonding and structure following a course of instruction. 開放式紙筆測驗和晤談搜集學生迷思概念. Odom and Barrow (1995). 開放式紙筆測驗和晤談搜集學生迷思概念. 宋志雄（民 81）. Development and application of a two-tier diagnostic test measuring college biology students’ understanding of diffusion and osmosis after a course of instruction 探究國三學生酸與鹼的迷思概念並應用以發展教學診斷工具. 林楷植（民 90）. 發展二階段紙筆測驗探討國中學生力與運動之迷思概念. 開放式紙筆測驗和半結構性晤談搜集學生迷思概念. 陳世鋒（民 91）. 發展國小學童聲音概念之 two tier 評量診斷工具. 開放式紙筆測驗和半結構性晤談搜集學生迷思概念. 陳聖雄（民 94）. 高一學生解一元二次不等式的主要錯誤類型及其補救教學之研究. 開放式問卷及晤談搜集學生迷思概念. 楊坤原（民 95）. 國小六年級數學乘除法概念二段式診斷測驗之發展與應用. 開放式問卷及晤談搜集學生迷思概念. 吳秀玲（民 97）. 因數倍數單元安置性評量編制之研究. 開放式問卷及晤談搜集學生迷思概念. 林鴻成（民 98）. 國二學生在二次方根的意義與四則運算上的主要錯誤類型及其補救教學之研究. 開放式紙筆測驗和半結構性晤談搜集學生迷思概念. 林晁熙（民 98）. 對於高中生複數概念學習的主要開放式紙筆測驗和半結構錯誤類型、產生的原因及其補救教性晤談搜集學生迷思概念學研究. 趙慧怡（民 98）. 高職學生「圓」單元學習困難的診開放式問卷及晤談搜集學斷工具發展與應用生迷思概念. 李永貞. 高二學生在向量概念學習上的主. . 17. 開放式紙筆測驗和半結構性晤談搜集學生迷思概念. 開放式紙筆測驗和半結構.

(29) （民 99）. 要錯誤類型及其補救教學之研究. 蔡其豪（民 100）. 高中生複數極式概念學習的主要開放式紙筆測驗和半結構錯誤類型、產生的原因及其補救教性晤談搜集學生迷思概念學研究. 張嵐雄（民 100）. 國中生在多項式乘除運算的主要錯誤類型及其補救教學之研究. 開放式紙筆測驗和半結構性晤談搜集學生迷思概念. 吳仕傑（民 100）. 高中生在學習廣義角的三角函數上的主要錯誤類型及其補救教學之研究. 開放式問卷及晤談搜集學生迷思概念. 廖純如（民 101）. 高中生在對數概念及其運算性質的主要錯誤類型及其補救教學之研究. 開放式紙筆測驗和半結構性晤談搜集學生迷思概念. . 18. 性晤談搜集學生迷思概念.

(30) 第二節數學概念的學習與教學. 一、概念的形成與學習概念的形成，對於數學的發展到數學的學習都是一重要的過程。概念的定義主要被視為一集合，此集合包含類似的物體或是符號 (Merrill & Wood, 1974)，所為類似即為這些物體或符號擁有共同的屬性（張春興、林清山，民 78）。而共同與類似的範圍所形成的概念，可以是根據個人的經驗加以歸納而成 (Mervis and Hupp, 1981)。表現一個概念的方式，通常可以利用一個概括的名稱或符號來描述，並指出概念其屬性具有可辨認的特徵，概念中所包含的屬性越少，其限制也會越小，而概括的範圍就會越大；若概念的含意越抽象，其層級也越高（陳忠志，民 89）。於數學上，Henderson (1970) 把概念細分為具體概念 (concrete concept) 和抽象概念 (abstract concept)。其中具體概念為具有物理上實質的例子，如尺、三角形、橢圓球等；而抽象概念為不具上述具有物理上實質的例子，如數學上會遇到的分數、複數、極限、多項式、機率等則是屬於抽象概念。概念形成的過程一般稱為抽象化。透過抽象化將具有相似性、共通性的經驗歸類在一起 (Skemp, 1979)。「抽象化」是一種心智活動過程，使我們瞭解各種週遭環境經驗之間的相似性、共通性，讓我們可以用已經分類的舊經驗和相似性、共通性來認知新經驗。它使我們有分類的能力。因此，要形成一個概念就必需先有實際經驗，而這些經驗又有某些相似性、共通性，將這些經驗與共通性加以分類命名，抽象化即形成概念。很多概念都是先來自我們實際經驗所抽象化所形成的初級概念，再根據這些初級概念抽象形成次級概念，往往要經歷多次的抽象才形成。因此，(Skemp, 1979) 概念形成過程分為五個主要的狀態： 1. 意識 (realization)：指一個新的概念，透過環境經由感官輸入概念結構，此時新的概念與概念結構中的任一概念都沒有聯繫上。 2. 同化 (assimilation)：指在概念結構中找出與新概念相類似的概念。 3. 擴張 (expansion)：指從既有概念結構中已有的概念來領悟這新的概念，使其成為概念結構中的一部分。 4. 分化 . 19.

(31) (differentiation)：指分辨新的概念與ㄧ些已有概念之間的異同處。 5. 重建 (re-construction)：重建過程是指當問題的情境改變時，已建立的概念結構雖具有相關性，卻不適用於此情境，此時必須重建個體的概念結構。概念的形成與擴張等狀態，可以一圓錐形來描述 (Pines, 1980)。其中，圓錐的底部稱之為延伸，表示概念延伸的部分，包含所有屬於此概念的事例。圓錐的頂部稱之為內涵，代表萃取出此概念的特質、共同性或定義等規律性。在學習時，由底部概念延伸部分推至頂端內涵部分，此過程稱為概念化，即由事例中發現其共同性，此概念化過程是一種歸納方式。若由頂端概念的內涵部分推至底部概念延伸部分，則是所謂的應用，此過程是一種演繹方式，即將概念之規律性應用於事例中（如圖 2-2）。由下往上的概念化過程可能導出不正確的概念內涵；同樣地，若是對於概念的內涵特質不清楚的話，則由上往下應用於事例時，就會產生錯誤。 Ausubel (1968) 認為有意義的概念學習與擴張是發生在新知識與學習者舊有概念產生連結同化的過程上。也就是說，個人將新概念和新訊息與原有認知結構中的概念相連結，不斷整合新概念和新訊息，使之融合成為更扎實的認知結構。董小平等人 (1996) 提出概念的學習與擴張過程為「輸入與領會－鞏固與強化－應用與發展」，期間要經過抽象－具體－再抽象－再具體的反覆認知，並把新概念納入原有的認知結構裡，最終形成新舊概念相聯繫的更完整的概念系統。. 圖 2-2 圓錐形的概念模型內涵. 應用性. 概念化. 延伸. . 20.

(32) 在數學學習上，Sfard (1991) 認為可以用兩種不同的方式來理解抽象數學概念的形成，她把數學概念分成結構性概念（或稱物件 (Objects) 觀點）與操作性概念（或稱過程 (Process) 觀點）。對多數人而言都是先獲得操作性概念，然後再發展成一種可操弄，不須再涉及過程或行動的結構性概念。由操作性到結構性概念的轉變可由一三階段的模式來描述 (Sfard, 1991) 發展了一個三階段的模式： 1. 內化 (Interiorization)：指藉由熟悉、操作屬於較低層次具體物的過程中，獲得新的概念。在此階段，操作的技巧將會提升。 2. 壓縮 (Condensation)：指把冗長的操作過程壓縮成為更可操作的單位。在這個階段中，不須考慮過程中細節的部分，而是將它是為一個整體、一個輸入與輸出的關係。此階段的發展會使概念在不同表徵間的轉換變得比較容易，經壓縮階段後，新概念才確實產生。 3. 物化 (Reification)：內化和壓縮都是漸進發生的，都是在量上長期改變的結果，而物化則是將過程或概念凝結成為整體的物件，使之成為靜態的結構，並且可以保有其特徵以便與提它概念比較。它可用來當作更高階層次概念內化階段的具體物。由此可知，這兩個數學概念形態在本質上是相當不同的。其中，結構性概念是靜態的、同時的、整合的，而操作性概念是動態的、序列性的、詳細的。但兩者之間的關係是互相牽動的，猶如硬幣的兩面一樣。數學的學習與概念的形成，即是透過上述的三階段的模式，逐漸地遊操作性概念轉化為結構性概念，而這是一個緩慢且困難的過程（請參見圖 2-3）。Klausmeier, Ghatala and Frayer (1974) 將學生數學概念的學習，由淺至深可分為四個層次：1. 具體 (Concretization)：學生可以認出並瞭解過去已學習過的範例或習題。2. 辨識 (Identification)：對於先前學習過的範例或習題的變化形態，也就是經過不同形式方式呈現，學生亦能認出。3. 分類 (Classification)：學生能分辨範例是否屬於學習過的特定形態。4. 形式化 (Formalization)：學生能清楚敘述並瞭解數學概念的定義。這裡所指的「敘述概念的定義」不是單純地背誦定義，而是真正的瞭解。除此，亦有學者認為有一生產 (Production) 層次，介於前述層次 3 至 4 之間，也就是學生可透過其數學 . 21.

(33) 概念給出範例 (Sowder, 1980)。. 圖 2-3 Sfard 概念形成的一般模型圖. 施良方（民 85）從文獻中整理了三種較具代表性的數學概念形成理論，並針對在數學教學中，如何使學生形成其數學概念方式的不同理論模型進行描述，如下：（一）聯結理論 (association theory)：如果學生能夠正確地識別出某個概念的一個例子，就給予強化，告訴他是對的；如果學生對刺激識別錯了，則告訴他錯了，這樣，學生就不會形成錯誤的聯結。通過一系列嘗試，正確的反應與是當的刺激就連結起來了，因而，學生的概念也就行了。（二）假設－檢驗理論 (hypothesis-testing theory)：把學生看作是一個積極的信息加工者。學生是通過提出和檢驗各種假設來解決種種問題的，包括概念. . 22.

(34) 問題。用假設－檢驗理論解釋概念形成的主要代表 Bruner (1956)，他的基本觀點是，在概念形成過程中，學生並不是被動地、消極地等待各種刺激的出現以形成聯想，而是積極地、主動地追究這一概念，通過一系列的假設－檢驗來發現這一概念。學生在形成概念的過程中，還會採取各種策略，以求加快發現這一概念的過程。（三）範例理論 (exemplar theory)：前面兩種概念形成的理論，都是以概念所具有的共同特性為前提的。但是，認知心理學家 Rosch (1977) 提出了一種完全不同的概念學習理論。他認為記憶中的種種概念，是以這些概念的具體例子來表示的，不是以某些抽象的規則或一系列相關特徵來表示的。例如，「鳥」這一概念，是用以往見到過的知更鳥、麻雀、老鷹等來表示的。對於任何一個概念來說，都有一些比較典型的範例和一些不大典型的範例，最典型的範例被稱為典範例 (prototype)。因此，人們對日常概念的理解，必須著重於對典例的認知，以及其相關內容 (Rosch, 1977)。. 二、數學概念教學前述所知，許多的數學概念都是由實際經驗所抽象化的成果，也因此數學學習即是對於抽象化後的數學結果進行學習。這些經過多次抽象化的數學概念具有高度的濃縮性，因此數學概念學習變得困難 (Skemp, 1971)。對於數學概念的教學，Skemp 提出兩個原則： 1. 超過學生已有的概念階級的高階概念不能用定義的方式來進行溝通，只能蒐集相關的例子、提供其經驗，再靠他自己抽象以形成概念。 2. 在數學中，有關的例子有時或多或少又含有其他概念，因此，我們在提供例子時必須先確定學生已經形成這些預先的概念了。換句話說，在學生數學概念學習過程中，如果誤解了連續抽象過程中任一步驟，則會大幅增加之後透過此抽象概念使用的推論的錯誤機會。也因此，在學習新概念時，所謂先前的概念要垂手可得，才能順利獲取新的概念 (Siegel, 1981; Shuell, 1990)。在數學概念教學上，張新仁（民 78）認為數學除了「計算能力」外，還有 . 23.

(35) 「概念理論」的部份，也就是「數學概念」是學習數學的基礎。所謂數學概念，包含了其表現的外在形式以及內在的意義，為客觀方式對於現實世界空間形式與數量關係本質屬性透過多次抽象化所形成的思維形式（田万海，民 81）。Sowder (1980) 指出概念教學上的第一個變項是「概念的獲得與同化」。其中，概念的獲得是來自許多例子和非例的呈現來作為新例子或是口頭的描述，並加以定義、適當的分類。而概念的同化是來自個體以既有的基模為準則去選擇環境中的事物，或是以既有的認知結構去辨識、解釋環境中的事物，這樣就可以把新的經驗同化到舊經驗裡。在概念的同化中，概念的定義或文字描述扮演著中心角色，有時會使用正例或非例來幫助同化。為加強概念的獲得與同化，Henderson (1970) 提出概念的「教學策略」，有兩種： 1. 例示化教學策略 (E-move)：以正例和非例來進行，一般用於「概念的獲得」。 2. 屬性描述化教學策略 (C-move)：在描述概念的屬性，一般用於「概念的同化」。這兩種教學策略在概念教學的過程中，如果能夠交替進行將會更有成效。然而，在使用 C-move 之前，應先運用 E-move，而 C-move 也能促進 E-move 的達成，若在未使用 E-move 之前就直接使用 C-move，這可能會造成 C-move 沒有達成，E-move 也沒有達成的情況。除了一般教學策略外，為了使學生形成數學概念，Sfard (1991) 認為可分別透過數學形式的結構或是其運算方法等角度來形成，而且他認為大部分的人獲得新數學概念的第一步是透過數學運算而得。數學教學常需要透過不同表徵來協助學生發展數學概念，Dreyfus (1991) 認為透過表徵之數學學習有四個階段： 1. 透過單一表徵了解數學概念； 2. 學習到其他平行的表徵； 3. 平行表徵之間的相互連結； 4. 整體地將所有表徵整合。表徵是指將外在現實世界的事物以另外一種較為抽象或符號化的形式來代表的歷程，而在認知心理學的訊息處理取向上，則是指訊息在處理過程中，將訊息譯碼而轉換成另一種形式，以便儲存或表達的歷程（張春興、林清山，民 78）。林福來（民 86）曾指出對一個數學概念，若學生能用不同的現象與表徵來說明意義，這表示學生對此概念的瞭解較深，而非只是背誦的結果。Lesh, Post and Behr . 24.

(36) (1987) 將數學解題區分為五種表徵系統：（一）真實腳本 (real scripts)：由真實世界的情境或知識來解釋與解決類似問題的情境。如：可否找到和為 10，積為 40 的兩個數？（二）具體操作 (manipulative models)：使用具體符號，以顯示數學情境的內在關係與操作。如：假設兩數分別為 A、B，則 A B  10 且 A  B  40。（三）圖形與圖表 (static pictures)：一種靜態的模式。如：在卡氏坐標平面上表示 (2, 4) 的位置。（四）語言符號 (spoken language)：日常生活中常用的口語符號。如：括號內變數的平方。（五）書寫符號 (written symbols)：常用的數學算式或數學符號。如：i、( x  2) 2 、. r (cos   i sin  ) …等。. . 25.

(37) 第三節. 錯誤類型與成因之相關研究. 一、錯誤類型的探討學習的過程中，犯錯是不可避免的，而學習犯錯的成因也ㄧ直是許多教育研究者所努力探索的課題。對於學習錯誤的研究，很重要的就是對錯誤類型進行分類與釐清 (Davis, 1984; Mayer, 1985; Vinner, 1981; 九章出版社, 民 84; 李芳樂, 民 82)。Davis (1984) 將一般日常生活或學習上的錯誤，依據尺度的觀點，分為兩種類型，一種是個體本身因為過去習慣或概念養成，而產生的自有錯誤類型，此錯誤行為無論是在同一問題或是在不同時日皆表現相當一致。另一種為一致性的錯誤不在個體自己的行為，而是在不同的人有相同的行為，也就是說某些錯誤是許多不同的人在學習過程中共同有的。個體的錯誤概念即是來自其自身或是身邊的經驗透過概念建構所產生（呂溪木，民 72），又如 von Glasersfeld 對於知識建構的看法（鄭麗玉，民 89）： 1. 知識並不是被動的接受，而是由具有認知能力的個體主動建構而來的； 2. 認知的功能是適應性的，用來組織外在的經驗世界，而不是用現客觀存在的事實。換句話說，教師在教育中並非是灌輸知識到學生腦海中的，而只是協助學生建構那個數學概念對自己的意義。對數學學習錯誤類型的瞭解，可協助教師尋求較合適之方式來協助學生改進自身數學概念或是運算邏輯的認知。郭丁熒（民 81）在「追根究底談錯誤－有關學生錯誤的二十個問題」中認為將學生在科學學習中所產生的錯誤予以特徵化，做出學生錯誤性質及類型的分析，將有助於「有效教學策略」的設計。. Engelhardt (1982) 和 Ashlock (1990) 認為分析學生的錯誤類型並且探究學生在某種錯誤類型的形成原因，可作為補救教學的依據。Mayer (1985) 把學生解題的錯誤分成三種類型： 1. 遺漏的錯誤 (omission error)：是指學生對命題的敘述或狀態沒有完整掌握。 2. 細節的錯誤 (specification error)：是指學生在運算中變數轉換等相關運算細節之錯誤，如單位換算。 3. 轉換的錯誤 (conversion error)：即學生無法正確將命題陳述轉換成數學關係所犯的錯誤，換句話說，是表徵轉換 . 26.

(38) 的錯誤，此一問題為這三類數學錯誤類型中較為複雜的部份，其原因為學生對於關係的回憶缺乏表徵關係的語言知識所導致。李芳樂（民 82）認為錯誤有兩種：一種是由於不小心做錯而產生，稱為疏忽；而另一種是由於學習了錯誤的觀念或程序而產生的，稱為系統性錯誤。疏忽是由於注意力被分散所導致的，它的產生被認為是不規則的，所以沒有引起太大的注意。系統性錯誤則被認為是由於某種錯誤知識，或是由於缺乏某些必須之知識而引起的，因此較受到研究者的重視。另一種分類方式將學生錯誤類型細分為四類 ( 九章出版社 , 民 84; Engelhardt,. 1982)： 1. 概念不清產生的錯誤：包含概念實質模糊、混淆相似概念及循環定義概念等所產生的錯誤。 2. 由於推理無據產生的錯誤：或稱為過程的錯誤，包含臆造定理、濫用法則、循環論證、論證不足及方法不對等所產生的錯誤。 3. 由於忽視條件產生的錯誤：或稱為機械上的錯誤，包含忽視概念中的隱含條件、忽視所使用的定理、公式、法則的適用條件、忽視取值範圍的變化、忽視約束條件中的隱含條件、忽視條件的充分性與必要性、錯誤理解條件、遺漏或濫加條件、忽視結論特徵中的隱含條件、把給定的一般條件特殊化等所產生的錯誤。 4. 由於考慮不周產生的錯誤：俗稱為粗心，包含審題馬虎、形式套用、顧此失彼、忽視特例、以偏概全及檢驗不當等所產生的錯誤誤。此分類方式將數學概念的錯誤細分成前兩類，而後兩類為疏忽所產生的錯誤，也就是將計算上的細節錯誤加以分類，與前述 Meyer 的前兩類類似。. 二、錯誤類型成因的探討錯誤概念的成因，可來自學生過去個人或身邊的經驗所逐漸形塑而成（呂溪木，民 72）。學生錯誤概念的來源可能是很多面的，主要可分成七個來源： 1. 與生俱來的； 2. 從日常生活中而來的； 3. 從隱喻而來的； 4. 從類比產生的； 5. 來自同儕文化； 6. 正式或非正式的教學； 7. 字義的聯想、混淆、衝突或缺乏知識 (Sutton & West, 1982; Head, 1986)。因為學生自身經驗成形之迷思概念往往會干擾學生課堂上的數學學習，同時也會影響思考的歷程與最後答案的形成（張 . 27.

(39) 鳳燕，民 80）。學習上，除了因為學生過往認知所造成的迷思外，錯誤亦可能會來自於教師教學的過程，石函早與胡俊山（民 96）提出數學錯誤概念產生的原因有： 1. 學生認知方面：在生活經驗中的日常概念上，與抽象化之數學概念產生衝突，導致對抽象層次較高的數學概念有錯誤理解，也因此產生錯誤地推論過程。 2. 教師教學方面：教學僅提供概念的某些面向，容易造成學生斷章取義，因此要注意全面展示概念的本質屬性，不論內含或外顯部份。 3. 教材編寫方面：編寫不夠嚴謹，需要降低教材編寫之侷限，以免造成學生錯誤概念之形成。在國中小生數學學習上，由於國小數學著重於具體操作的教學，而國中數學卻以形式運思期的抽象思考和邏輯推理為主，在教材和教法上都有明顯的不同。學生以其熟悉的數學學習方式改變成這種思考的過程當中，除了常見的數學計算錯誤與困難外，會引發許多的錯誤概念（張景媛，民83）。學生數學錯誤概念成形之表現常顯現在計算過程上，Brown & Burton (1978)提出學生以過去形成之經驗，所衍生計算問題上顯現之錯誤概念有下列兩種： 1. 修補理論 (Repair. Theory)：學生在使用不完全的解題算則時遭遇到僵局，於是尋求自己比較能夠接受的法則來解決困難，這個過程稱之為「修補」。若修補成功，則這個修補辦法就會保留而成為法則；若修補失敗，則解答過程便會出現錯誤 (Brown &. Vanlehn, 1982)。 2. 錯誤類化 (Misgeneralization)：學生錯誤地使用一個法則，或學生在不恰當的時候使用不適當的法則。換句話說，學生對正確的規則做出錯誤的類化或過分的類化。學生學習代數時，有時會因為能力不足，常會退回去用舊經驗去解決新的問題 (Matz, 1982)。另外一種錯誤演算成因分類方式，將成因分成兩類 (Resnick, 1989)： 1. 學習者把學過的演算規則類化並外推到其他的情境。此類別即為前述其他學者的看法。 2. 由於遺忘演算公式或規則限制. (constraints) 的緣故。這類形之錯誤可能來字概念偏差或是粗心所產生之錯誤，例如：去括號時，忘了它的運算規則，而直接將括號拿掉。如算式：. A  ( B  C)  A  B  C。這些計算錯誤之成因，Stavy and Tirosh (1999) 提出的直觀法則來解釋，所謂直觀，是指心理學上不需經過推理或反省的歷程，即對事物 . 28.

(40) 或現象的性質作立即的判斷；換句話說，學童在解題過程中，可能不是透過計算推理的，而是回歸直覺的想法，使用相同的規則或外在特徵來解答問題，以這種直觀的錯誤來看，直觀法則確實能合理的解釋學生對某些問題的反應。綜合概念偏差以及計算細節所產生的錯誤成因，Radatz (1979) 透過認知理論中的訊息－過程模式，將數學上的錯誤歸因為： 1. 語言導致的錯誤。 2. 空間概念困難。 3. 不精熟先備的技能、運算和概念。 4. 不正確的觀念。 5. 使用不當的規則或策略。. 三、二次函數的錯誤類型根據前面的探討，錯誤迷思的產生，主要源於新學習的事物與學生過去生活或試的經驗相衝突所產生的結果。過去許多研究曾經對於二次函數學習學生的錯誤迷思有所探討，其中Zaslavsky (1997) 歸納了下列常造成學生學習二次函數錯誤的主要類型與狀況： 1. 僅給學生看有限部份的二次函數圖形，會讓學生對二次函數的無限延伸的特性產生疑惑； 2. 對於二次函數與軸的交點，僅會透過眼睛的觀察； 3. 若將二次函數的係數加倍，學生會以為二次函數的特性不受影響，例如視 y  x 2  3x  4與 y  2x 2  6x  8為相同，換句話說，學生受到過去一元二次方程式所形成的數學概念所影響； 4. 若二次函數非二次的係數等於零，學生就會認為他不屬於二次函數，例如學生可能不認為 y  x 2  3 為二次函數，因為此函數的一次項係數為零； 5. 忽視二次函數的對稱特性； 6. 將漸近的特性視為二次函數圖形的一部分； 7. 過分強調當二次函數只有與坐標軸有一個交點時。其中對於學生僅會透過眼睛能看到的題目提供的圖形，來判斷二次函數的特性的錯誤類形，也被Kerslake (1981) 所提出，除此，Kerslake (1981) 亦發現： 1. 學生對於二次函數的繪製，尤其是二次函數與坐標軸和尺度之關係，會產生困擾，以及 2. 學生對於二次函數連續圖形的概念也是常出現的錯誤類形，除了自己繪製的點，學生常常會無法判斷其他任意的點是否存在於二次函數圖形上。另外，學生亦常會過度引用先前線性函數的學習概念，即使看到拋物線上三點不成 . 29.

(41) 一直線，還是將拋物線上任意三點為共線 (Dreyfus & Eisenberg, 1983; Karplus, 1979; Leinhardt et al., 1990; Markovits et al., 1986)。. 二次函數是學生於國中教材中少數接觸到的函數概念，而其存在了許多了不同的表徵與變化，以代數式表徵來說，二次函數的標準形式為 y  ax2  bx  c，而卻又可以寫成許多其他變化型，例如：y  a ( x  h) 2  k以及 y  ( x  x1 )( x  x2 ) ，而學生需要在這些不同形式中變換，並利用其他非函數章節的經驗，以得到不同二次函數的特性，也因此容易對學生產生錯誤概念 (Zaslasky, 1997)。另外，二次函數的圖形表徵對於學生過去的經驗來說，也是充滿了變化，學生需要能夠瞭解不同係數a、b、c變化對於函數圖形的影響，例如開口大小的變化等，或是函數圖形表徵平移對於函數代數式表徵所產生的影響。這些不同表徵的對應與變化關係，都是二次函數的學習重點，以及學生容易產生迷思的地方（胡惠茹，民97）。. Ibeawuchi (2010) 對於南非學童二次函數學習進行研究，主要發現的錯誤類型包括： 1. 學生僅會針對其所看到的二次函數圖形進行探討，而無法透過二次函數的特性來推求二次函數圖形的特性。除此，在圖形認知上也有漸近特性的迷思，有就是學生看圖形會認為二次函數拋物線會趨近於垂直線，這些發現與Zaslasky. (1997) 的研究互相呼應。 2. 學生會將一元二次方程式與二次函數搞混，主要是學生先學過一元二次方程式，也因此在二次函數的學習會過度引用過去經驗而產生的錯誤概念。 3. 學生判斷二次函數圖形頂點時，單純利用其於 x 軸的交點來判定，而不是用兩個坐標軸。 4. 學生會認為二次函數某一邊圖形上的點為共線，這也是因為學生利用已學過的線性函數概念所造成的錯誤迷思 (Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990)。. . 30.

(42) 第四節補救教學之相關研究. 一、補救教學理論根據在 Piaget 的認知發展理論 (Satterly, 1987)，學習的過程主要是經過一連串適應 (adaptation) 的過程，也就是個體的認知結構或基模 (schema) 因環境限制而主動改變的心理歷程。在此過程中會產生兩種彼此互補的心理，分別為「吸收同化 (assimilation)」和「調適順應 (accommodation)」。其中，吸收同化是指個體運用其既有基模解決問題時，將遇見的新事物吸納入既有基模，此一新事物及同化在他既有基模之內，成為新的知識。調適順應是指外界的事物或知識與原來的認知結構不一致時，個體就必須改變原來的認知結構，以順應外界新的環境。在新的知識進入到原始的認知概念體系（基模），一連串適的適應後達到一平衡. (equilibration) ，也就是當個體能輕易同化新知識經驗時，心理上自然會感到平衡。平衡有三種： 1. 平衡是吸收同化和調適順應之間的聯繫； 2. 平衡是個體基模中子系統的平衡； 3. 平衡是一種調節個體部分知識與整體知識之間關係的平衡。而若無法達成平衡，會產生認知衝突 (cognitive conflict)，也就是當知識的傳入與學習者現有的認知結構不一致時，認知結構即失去平衡，造成認知衝突。補救教學即是為協助學習者解決認知衝突會產生調適順應的困難，並嘗試使學習者引起概念改變，使認知結構達到新的平衡。補救教學之成形與施行，主要可依施行程序分成三個部分（許天威，民 75）： 1. 瞭解學生的學習能力與學習成就。 2. 依據診察的實情作為教學上的處置。 3. 隨時檢驗治療的後果，認清療效以便檢討診察與教學處置的有關措施，作必要的診治方面的調整。目的即是希望能改變學生原始的錯誤概念，根據假設－檢驗理論，學生的新概念形成是一個主動且積極的過程（鄭麗玉，民 89；施良方，民 85）。因此補救教學之成效相當地決定於學生是否願意對其原始概念進行改變，而概念改變需要四個條件： 1. 學習者必須對現有概念感到不滿意。當個體感到自己的概念不具功能性，才會改變他們所用以思考的概念。 2. 新的概念必須是可以理解的，個體才有可能進行 . 31.