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3.3 私人家計單位行為方程式
各國為因應其所設定之生質燃料使用量目標，在第一代生質燃料技術考量之 下，將造成作物有生質燃料用途與糧食用途相互競爭需求，除了影響土地利用外，
糧食作物部門的價格與數量將受到生質燃料發展而大受影響。而私人家計單位為 糧食的主要消費部門。所以，可想而知生質燃料使用量目標的制定下，生質燃料 對能源作物的需求，將造成糧食部門的影響，進而影響至私人家計單位。因此，
本節特別針對 GTAP 模型中私人家計單位作詳細介紹。
圖 3.2 中，區域家計單位底下分為三層消費結構。第一層區域家計單位利用 Cobb Douglas 函數分配予私人家計單位所得。根據 McDougall (2003)在極大化求 解後，私人家計單位所分配到的所得以效用的支出彈性(UELASPRIV)表示為(3.2) 式(詳細過程參照附錄 A)：
yp(r) - pop(r) = ppriv(r) + UELASPRIV(r) * up(r) (3.2)
其中，yp(r)為第 r 區的私人家計單位所得變動百分比，pop(r)為第 r 區的人 口變動百分比；up(r)為第 r 區的私人家計單位人均效用變動百分比。ppriv(r)為第 r 區的私人家計單位所面對消費物價指數價格變動百分比，係由私人家計單位所 購買之各商品按其消費份額作加權平均而得之。私人家計單位的效用的支出彈性 (UELASPRIV)受制於第二層所設定需求系統而決定，所以，緊接著我們來說明 第二層的需求系統。
GTAP 模型中最大的特色，就是在私人家計單位中，第二層以 CDE(constant difference of elasticity)需求系統為主要架構(Hanoch, 1975)，設定需求系統為可加 性的支出函數表示而成(3.3)式：
∑ Bi iUγiRi�PXi�γi = 1 (3.3)
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其中，U 表示私人家計單位的效用水準，Pi表示消費第 i 財之價格，X 為支 出函數。而 Bi、γi、Ri分別表示為分配參數、替代參數以及擴張參數。當γi、 Ri皆等於 1 時，支出函數轉化成 Leontief 函數；γi等於 1 且 Ri等於 0 時，轉成 Cobb-Douglas 函數；γi等於 1 且 Ri為其他常數時，將轉成 CES 函數。所以，
GTAP 模型中，所應用之 CDE 函數表示為更一般化的需求系統。在模型指令中，
UELASPRIV 表示私人家計單位的效用的支出彈性，其為各財貨之擴張彈性按消 費份額作加權平均(Hanoch, 1975)。在模型表示為(3.4)式：
UELASPRIV(r) = ∑ CONSHR(i, r) ∗ INCPAR(i, r)i (3.4)
其中，CONSHR 為私人家計單位對第 i 財的支出份額；INCPAR 即為 CDE 中的擴張參數(Ri)。將(3.4)式線性化後，得到私人家計單位之效用的支出彈性變 動百分比(uepriv)的來源(詳細過程參照附錄 B)，如(3.5)式：
uepriv(r) = ∑ XWCONSHR(i, r) ∗ [pp(i, r) + qp(i, r) − yp(r)] i (3.5)
其中，XWCONSHR 為第 i 財之加權擴張參數的消費份額，計算表示如(3.6) 式：
XWCONSHR(i, r) = CONSHR(i, r) ∗ INCPAR(i, r)/UELASPRIV(r) (3.6)
私人家計單位第二層中對第 i 財貨的人均財貨(qp)需求函數利用 Slutsky 方程 式表示如(3.7)式：
qp(i, r) − pop(r) = ∑ EP(i, k, r) ∗ pp(k, r) + EY(i, r) ∗ [yp(r) − pop(r)]k (3.7)
其中，EP 為第 k 財對第 i 財之價格交叉彈性，而 EY 為第 i 財之所得彈性。
可以得知，私人家計單位對第 i 財貨的購買是以人均財貨需求量為基礎，受到人 口成長變動、替代效果與所得效果所影響。
由於 EY 與 EP 來自於 CDE 需求系統限制下，係經由 CDE 函數的各種參數
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計算得之。CDE 需求系統中，以下為所得彈性、交叉彈性與艾倫部分替代彈性 (Allen partial elasticity of substitution)及 CDE 函數的參數之間的關係式，如(3.8) 式與(3.9)式所示：
EY(i,r) = [1⁄∑ CONSHR(i, r) ∗ INCPAR(i, r)i ] * INCPAR(i,r) * [1.0 – ALPHA(i,r)]
+∑ [CONSHR(i, r)i * INCPAR(i,r) * ALPHA(i,r)] + [ALPHA(i,r) -
∑ CONSHR(i, r)i * ALPHA(i,r)] (3.8)
EP(i, k, r) = [APE(i, k, r) − EY(i, r)] ∗ CONSHR(k, r) (3.9)
我們先定義第 i 財之 ALPHA 為 1.0 減去第 i 財之替代參數，如(3.10)式：
ALPHA(i, r) = 1.0 − SUBPAR(i, r) (3.10)
其中 SUBPAR 為第 i 財之替代參數。引進艾倫部分替代彈性之概念，為消費 財貨 1 與財貨 2 比例的效用比例替代彈性，Dixon, Bowles, & Kendrick (1980)一 書對於艾倫替代彈性的性質，再簡化為二財貨之間替代彈性與第 2 個財貨消費份 額之比值(詳見於附錄 C)，第 i 與 j 財貨之艾倫部分替代彈性 APE(i,k,r)如(3.11) 式，自身財貨的艾倫部分替代彈性如(3.12)式：
APE(i, k, r) = ALPHA(i, r) + ALPHA(k, r) − ∑ CONSHR(n, r) ∗ ALPHA(n, r)n (3.11)
APE(i, i, r) = 2.0 ∗ ALPHA(i, r) − ∑ CONSHR(n, r) ∗ ALPHA(n, r) −n CONSHR(i,r)ALPHA(i,r)
(3.12)
第 i 與第 k 財貨的艾倫部分替代彈性並非固定的。然而，兩個不同艾倫部分 替代彈性之差異卻為固定的，此乃為 CDE 函數命名之由來。第 i 財之所得彈性 由消費者的各種財貨消費份額與各財貨的擴張參數，及各種財貨之替代參數所組 成。第 i 與 k 財的交叉彈性則由其艾倫部分替代彈性與第 i 財之所得彈性差額乘 上第 k 財之消費份額。
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透過以上的關係是我們可以發現，(3.10)式中，當 SUBPAR 愈小時，相對的 ALPHA 會愈大。再由 (3.11)式可知兩財貨之間的艾倫替代彈性會越大，也因此，
再透過(3.9)式可知道兩財貨的替代彈性也越大。如果所得上升時，兩財貨間的艾 倫替代彈性會隨其支出份額作改變，並非是一個常數，也因此兩財貨間的替代彈 性並未是固定的常數。然而，CDE 需求函數的設定並非完全貼切現實情況，Yu, Hertel, Preckel, & Eales (2003)說明假設某財貨一開始為奢侈品時，按照一般性的 見解中，在經過所得的不斷上升，該財貨最終會對消費者而言變為必需品，及所 得彈性界於 0 與 1 之間。而在 CDE 需求體系中卻無法呈現此情形，為其限制之 一。