國小體積幾何概念及課程相關研究

一、 體積概念

體積概念在數學課程裡是相當重要的，體積是一種對空間的操作能力（何明 昇，1999），體積是指物體所佔空間的大小，透過視覺知道含有長、有寬、有高、

有厚等，或透過肢體比出物體佔有空間的量（譚寧君，1996）。Hart（1981）則認 為體積是：（1）一個容器所裝的量；（2）基本體積單位的數量（3）當物體放入 液體中所被取代的量。

（一）體積保留概念

體積保留是指物體不因切割、變形、方向、位置的改變而改變，此概念無法 透過教學活動即可建立，需經過多次經驗累積而成（譚寧君，1995）。Rothwell 和 Hughes（1979）曾利用四塊長、寬、高分別為 2×2×2、2×2×4、2×4×2、2×8×1 的長方體做比較體積大小實驗（如圖 2-1），請學生將大小一樣的積木選取出來，

實驗結果發現智商在中等以上的學生中，有 85%的七歲半學生不受積木放置方向 改變的影響，能正確選取出 B 和 C 一樣大，但只有 12%的學生能正確選取出 C 和 D 一樣大。且只有 29%的九歲十一個月的學生能正確選取出 B、C、D 一樣大，但 如果將積木 D 切成兩塊 2×4×1 的積木如，如 ，則兩組學生的通過率分別 提升至 60%和 84%，可見要學生將一塊 1×2×8 的積木，想像成中間切一半後重新 組合是相同大小的概念是困難的。

圖 2-1 體積大小比較圖例

根據 Piaget,Inhelder 與 Szeminska（1960）等人的研究顯示，一般瑞士兒童在 十一、十二歲已經具備體積保留的概念，而高敬文和黃金鍾（1989）指出我國高

A

B C D

年級學童有 87%具備容量保留概念。

（二）體積測量概念

測量是我們探知自然界的主要方法之一，測量與我們的生活經驗緊密結合。

而測量概念的形成是建立在個別單位的掌握，兒童在比較兩物件大小時，往往先 透過視覺，以知覺到兩量的大小關係，而且當物件是二維或三維量時，會自然回 歸到較低向度的考量。對兒童來說，一維關係的比較是比較容易的，但三維空間 物件的測量則不易透過視覺比較，故面對三維空間物體測量必須掌握以下能力

（譚君寧，1995）：

1. 單位量的點數：體積的測量，除了三維個別單位的小個物的點數外，平面的點 數均需另一層次的空間表徵的轉換與空間思考能力。兒童若缺少空間能力，常只 會直觀點數外觀上的格子，是很容易形成錯誤的概念，必須透過實際操作活動的 經驗，才能察覺到三維的關係。

2. 單位量的轉換：個別單位量是測量的基本單位，但不同單位量之間的轉換是有 效掌握單位量之間關係的重要概念。而體積單位量間的轉換對兒童來說難度很 高，需要經過實際操作才較易了解。

3. 測量公式：體積的測量公式是建立在單位量計數與轉換單位量的基礎上，而兒 童必須在充分了解下形成公式，否則只是將公式當作計算工具，強記公式，常導 致單位混淆。

高敬文和黃金鐘（1998）參考英國 CSMS（中學生數理概念的發展研究計畫）

測驗題本，研究發現兒童再以整數單位積木點算體積方面通過率約有七至八成，

但以非整數單位積木點算體積通過率則降至三至四成，而應用公式求解的通過率 也只有六成。譚寧君（1999）研究也發現高年級兒童再單位量點數方面的通過率 約七到八成，單位量轉換問題的通過率約五至六成。

徐黎婷（2010）指出學童再體積測量概念思考程序中易出現以下的迷思概

念：（1）缺乏對被測量者的認識（2）兒童對面積與體積的了解是建立在視覺的 知覺上，而不是在覆蓋與堆疊活動上（3）一維、二維、三維單位量轉換的混淆

（4）體積的點數受到空間能力的影響。

二、 國小體積幾何課程教材

Piaget 在其認知發展理論中提到十一、二歲學童處於具體運思期與形式運思 期的過度階段；因此，在這階段學童體積概念的學習成效，將對其日後抽象概念 的學習有很大的影響（徐存姮，2003）。

查閱幾何單元在我國的數學課程發展，民國六十四年以前的數學課程，未將 幾何部分獨立出來，只是分散在計算與實測兩部分（教育部，1968）；到六十四 年修訂的數學課程，才將教材內容分為數、量、形三的主題（教育部，1975），

幾何概念出現在形此主題；直到民國八十二年國民小學數學課程標準修改的數學 課程，才將幾何領域特別獨立規劃出來以「圖形與空間」領域表示，並將教材進 一步分為幾何、立體幾何兩部分來教學（教育部，1993）。現行的九年一貫課程 中，數學領域則明確區分為五大主題「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、

「連結」（教育部，2003b），顯示幾何教材在整體數學課程中的重要地位。

九年一貫課程將數學領域分為四個階段：第一階段為一至三年級，第二階段 為四至五年級，第三階段為六至七年級，第四階段為八至九年級，其中各階段有 關幾何概念的學習為第一階段著重在對於幾何形體的探索、認識與具體操作；第 二階段重點在掌握幾何形體構成的要素，進行形體的分類和認識不同平面圖形的 性質，以及全等、對稱的關係等，另外與數、量有關的幾何量（包括角度、邊長、

面積）也是另一教學重點；第三階段則是以透過形體的分割、拼合、截補等變換 操作，更近一步了解形體的性質及非形式化的推理（教育部，2003b）。在九年一 貫課程數學領域的能力指標中，有關柱體體積概念學習的部分如表 2-5 所列：

表 2-5

歸納整理九年一貫的數學領域有體積概念可看出，體積和面積的關係非常密 切，也是循序漸進的，在教學上是從平面圖形的外觀作辨識，再進一步探討各圖 形的組成要素及其關係，先學習二維空間的教學後，循序漸進才進入三維體積的 教學。

三、 體積學習有關研究

何明昇（1999）指出具有成熟體積概念的學生，比較有能力去學習抽象概念，

且尚未具有成熟體積概念的學生，在進行體積相關概念學習時，會因本身具有迷 思概念而產生學習上的困難，並造成錯誤的學習。

（一）體積概念

林仁德、謝祥宏、陳文典（1993）針對國小學童體積測量進行研究，研究發 現一年級學童都已具有對該屬性的確認、比較及排序層次的能力，二、三年級學 童具有能權宜的運用方便的工具和選用合適的單位和等值換算不同單位的度量 直兩層次能力，四年級學童對於不同單位間的度量值，能夠了解等值換算的意義 並作實際換算。何明昇（1999）探討國小四、五、六年級及國中一、二、三年級 學生體積概念的發展，研究發現具有體積概念學生人數百分比隨者年級增加而逐 漸成長，且以學習環境維理論基礎的體積概念教學活動可以使多數學生獲得體積 守恆概念。

李宛倫（2006）探討國小學生在重量保留概念與體積保留概念的發展，研究 結果發現在體積保留概念之「遞移比較」、「物體變形」等因素及「總分」的表現 會因為年級不同而有顯著差異，且國小三、四年級學生均會受到「物體變形」因 素改變而影響其體積保留概念，而五、六年級學生已具備完整的體積保留概念，

不會因「物體本身方向改變」、「遞移比較」、「物體分割或合成」、「物體變形」等 因素影響。

郭志雄（2006）針對國小四、五、六年級學生運用多樣化的解題策略來檢測

期空間概念之差異程度，研究發現在立體體積計算策略方面，四年級學生解題策 略集中在中低階幾何空間概念，五年級學生解題策略集中在中階幾何空間概念，

而六年級學生解題策略集中在中高階幾何空間概念，越高年級解題策略層次越 高，且幾何空間概念的解題策略層次與數學領域成級有顯著正相關。

（二）迷思錯誤

譚君寧（1999）參考英國 CSMS 測量題本針對國小學生進行調查研究，發現學 生在體積的錯誤類型有（1）三維和二維空間概念的混淆；（2）學生解題多採直 覺判斷，未能理解題意；（3）學生往往以記憶面積公式解決面積問題，但卻常造 成公式的誤用；（4）錯誤的計算策略。

林慈容（2001）針對國小六年級學生面積和體積概念進行單位量概念、面積 概念與體積概念三者間關係研究，結果顯示學生面積概念發展的困難是由於單位 量概念不全所造成的，而體積概念也深受面積概念發展的影響。

何建誼（2002）探討直觀法對 K-6 年級學生在體積概念的學習影響，研究結 果發現學生在體積概念的迷思有（1）對看不見的物體就認為是沒有體積；（2）

把面積、表面積和體積混淆在一起；（3）可以計算出體積的物體（有標出長、寬、

高）才有體積，無法計算出體積的物體（沒有標出長、寬、高）就是沒有體積；

（4）對於不規則形體的物體只是僵化地想套公式算出物體體積。沈佑霖（2003）

亦針對六年級學生探討體積概念，結果發現：（1）在進行解題時，學生容易固著 於體積公式中三數相乘的思考模式；（2）學生對於看不到的立體圖形部分，常發 生點算單位立方體個數的錯誤產生；（3）學生在體積測量概念上，常只是單純背 誦公式，而無法解釋算式中帶入公式的推演。

綜合言之，根據上述的文獻研究來看，學生有關柱體體積的迷思概念有很多 方面，因而產生學習困難，且常常使用直觀判斷，容易造成錯誤學習，若能針對 學生的迷思概念或錯誤類型進行補救教學，幫助學生釐清概念並更能有效率的學

習，而電腦化適性測驗即具備這樣的特點，可以準確找出學生錯誤類型，並且透 過電腦輔助教學，具體呈現體積圖形，幫助學生理解建立體積概念，讓學生學習

習，而電腦化適性測驗即具備這樣的特點，可以準確找出學生錯誤類型，並且透 過電腦輔助教學，具體呈現體積圖形，幫助學生理解建立體積概念，讓學生學習