第四章 資料分析
第四節 x-t 圖形的截距概念與斜率概念之相關影響
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圖4-9 高數理能力受試者GH1、GH2、BH2在過原點直線型x-t圖形之表現
GH1 GH2
BH2
（2）實際操作方面：
除了高數理能力受試者BH2在處理圖形時，將座標軸標示錯 誤，影響實際操作小汽車的運動速度。而其他三位高數理能力受試 者，都能理解過原點傾斜的直線型x-t圖形，代表小汽車的運動狀態 為等速度前進。擷取對話如下：
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GH2：將小汽車移到原點上，以相同的速度，以1km
hr 相同的速度從
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2.非過原點的傾斜直線圖形：
（1）正截距：
Ⅰ.圖形表現方面：
三位高數理能力受試者GH1、GH2、BH1，皆能理解非過原 點直線型x-t圖形正截距之概念，求算物體運動速度為單位時間 內的位置變化量，如圖1-1所示；也就是說，必須扣掉直線的起 始位置，才能正確求得速度，並且發現直線圖形即為物體正在作 等速度直線運動。
圖 1-1 非過原點之上的直線型 x-t 圖
x
t
而高數理能力受試者BH2則認為速度是x軸上的值除以對 應到t軸的值，錯誤的求算方式以致物體的運動速度越來越慢。
所以，研究者推論雖然受試者BH2有正截距的概念，錯誤的主 要原因是受試者BH2在處理過原點的直線型x-t圖形時，將兩軸 對應的值直接相除之求算方式，引用到非過原點直線型x-t圖形 上。如圖4-10（見下頁），三位高數理能力受試者GH1、GH2、
BH2對圖形處理之表現。而受試者BH1直接口頭向研究者說 明，並未在圖形中有所表示。
因此，研究者推論三位高數理能力受試者GH1、GH2、BH1 能夠理解在正截距下的斜率概念，唯有受試者BH2不能理解。
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圖4-10 高數理能力受試者GH1、GH2、BH2在非過原點正截距之斜率表現
GH1 GH2
BH2
Ⅱ.實際操作方面：
三位高數理能力受試者GH1、GH2、BH1，皆能理解非過原點正 截距之直線型x-t圖形，表示小汽車是以等速度運動。受試者BH2受到圖 形的影響，認為小汽車的運動速度越來越慢。如以下對話：
T ：請從圖 1-1 觀察出小汽車實際的運動狀態，並在地圖上操作。
GH1：小汽車以等速度 1.5-1 V= =0.5
1
km
hr 朝正方向前進。
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GH2：因為小汽車的移動是往右 1 格，再往上 1 格，所以，速度是 1km hr 。 /
BH1：…。時間每增加 1 個單位，小汽車就向東移動 1 個單位長，小汽 車的速度是每小時1 公里。
BH2：小汽車從離原點 2km 的地方出發，它的速度是每分鐘 3km，感 覺怪怪的，……，好像算不出來。然後，又變成每分鐘走 2km，
應該是越來越慢。
Ⅲ.正截距小結：
綜合Ⅰ、Ⅱ兩點，三位高數理能力受試者GH1、GH2、BH1，能 夠理解在非過原點正截距之直線型x-t圖形，且對應到小汽車是在原點 正向兩個單位的地方出發，並以等速度直線前進。而受試者BH2受到 過原點直線型x-t圖所影響，雖然能夠理解正截距對應到小汽車的出發 點，但對於小汽車的運動狀態是以越來越慢來呈現，主要是受試者BH2 以錯誤的求算方式所致。故，研究者推論四位高數理能力受試者中，
唯有受試者BH2斜率概念的表現受到正截距所影響，無法正確理解直 線型的x-t圖形對應到的小汽車為等速度運動，且四位高數理能力受試 者在圖形與對應到小汽車真實的運動狀態有一致性的表現。
（2）負截距：
Ⅰ.圖形表現方面：
三位高數理能力受試者GH1、GH2、BH1，皆能理解非過原 點負截距之直線型x-t圖形，求算物體運動速度為單位時間內的 位置變化量，如圖1-2所示；也就是說，必須扣掉直線的起始位 置，才能正確求得速度，並且發現直線圖形即為物體正在作等速 度運動。
圖 1-2 非過原點之下的直線型 x-t 圖
x
t
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同樣地，高數理能力受試者BH2除了認為速度是x軸上的值 除以對應到t軸的值，錯誤的求算方式以致物體的運動速度越來 越快。尤以直線經過t軸下方的部份，因認定距離不可能有負值，
故也將之取絕對值，研究者在此斷定受試者BH2已發生嚴重的錯 誤，亦即，處理正截距圖形是以相同的方式，唯一的差別是在t 軸下方的部分取絕對值。該受試者雖然能夠理解圖形的負截距概 念，卻因錯誤的求算方式，造成對應物體之運動速度越來越快。
如圖4-11，三位高數理能力受試者GH1、GH2、BH2對圖形 處理之表現。而受試者BH1直接口頭向研究者說明，並未在圖形 中有所表示。因此，研究者推論三位高數理能力受試者GH1、
GH2、BH1能夠理解在負截距下的斜率概念，唯有受試者BH2不 能理解。
圖4-11 高數理能力受試者GH1、GH2、BH2在非過原點負截距之斜率表現
GH1 GH2
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Ⅲ.負截距小結：
綜合Ⅰ、Ⅱ兩點，三位高數理能力受試者GH1、GH2、BH1，
能夠理解在非過原點負截距之直線型x-t圖形，且對應到小汽車是 在原點負向兩個單位的地方出發，並以等速度前進。而受試者BH2 受到過原點直線型x-t圖所影響，雖然能夠理解負截距對應到小汽 車的出發點，但對於小汽車的運動狀態是以越來越快來呈現，主 要是受試者BH2處理過原點圖形的方式，將兩軸對應值相除的方 式，引用到過飛原點直線型x-t圖形所致。故研究者推論四位高數 理能力受試者中，唯有受試者BH2斜率概念的表現受到負截距所 影響，無法正確理解直線型的x-t圖形對應到的小汽車為等速度運 動，且四位高數理能力受試者在圖形與對應到小汽車真實的運動 狀態有一致性的表現。
3.高數理能力受試者在截距之下的斜率表現總結：
綜合上述1、2 兩點，研究者發現高數理能力四位受試者中，三 位受試者 GH1、GH2、BH1 不受圖形的截距概念所影響，都能夠將 圖形中的斜率概念，正確對應成小汽車的起始位置及運動狀態，故三 位高數理能力受試者在圖形上的理解與真實操作上表現是一致的。
唯有高數理能力受試者BH2 在過原點的直線型 x-t 圖形是因為座 標軸刻度自行標示錯誤，導致小汽車的運動狀態越來越快。在非過原 點的直線型x-t 圖形中，同樣受到正負截距的影響，雖然能夠理解小 汽車的起始位置，但卻無法對應小汽車的運動狀態為等速度直線運 動，反而是以直線圖形對應到兩軸的值相除作為小汽車的運動速度。
研究者以表 4-16，作為四位高數理能力受試者由圖形對應小汽車運 動速度之表現比較，其中，○代表該受試者不受截距概念影響，X 代 表該受試者受到截距概念影響。由表 4-16 發現：四位高數理能力受 試者對於直線型x-t 圖形受截距影響的斜率概念，有百分之七十五的 答對率。
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表 4-16 高數理能力受試者對於直線型 x-t 圖形受截距影響的斜率概念 高數理能力
GH1 GH2 BH1 BH2
零截距 ○ ○ ○ ○
過原點
速度 ○ ○ ○
X
錯誤標示 座標刻度
正截距 ○ ○ ○ ○
速度 ○ ○ ○ X
兩軸相除
負截距 ○ ○ ○ ○
非過原點
速度 ○ ○ ○ X
兩軸相除
○代表該受試者不受截距概念影響。
X 代表該受試者受到截距概念影響。
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BM1：速度是3 6 2 4 1
(
/)
2 km hr
÷ = ÷ = 。
在此特別說明中數理能力受試者BM2，從過原點圖形求算物體 的運動速度雖是以直線斜率的方式計算，但在計算的過程中卻出現 奇怪的計算方式來求算物體的運動速度，如圖4-12所示，並從其對 話作為佐證。
圖4-12 中數理能力受試者BM2在過原點的直線型x-t圖形之表現
T ：小汽車的速度多快？
BM2：利用斜率，找到7
7= ，且每一個時刻算出來都是 1，所以，1 速度是1。
T ：怎麼知道斜率就是速度？
BM2：因為直線的斜率為 x 軸的改變量除以 t 軸的改變量，和速度 的概念一樣，速度是位置的改變量除以時間的改變量。所以，
直線的斜率就是小汽車的速度。所以小汽車的速度2 1 2 1 1
+ = +
（2）實際操作方面：
四位中數理能力受試者從過原點直線型的x-t圖形中，皆能理解 小汽車保持固定的速度前進。由以下對話顯示四位中數理能力受試 者，從圖形對應在真實世界物體的運動情形：
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GM1：小汽車從原點出發，並以1 km hr 的速度往前走。 / GM2：小汽車從基準點出發，並以1 km hr 的速度往前開。 / BM1：小汽車從原點出發，並以每秒1
2 km hr 的速度往前開。 / BM2：小汽車自原點出發，以固定的速度，……，以每小時 1 公里
的速度前進。
（3）零截距小結：
四位中數理能力受試者中，GM2、BM1因圖1的座標軸沒有刻 度而無法說明物體運動狀態，研究者再以圖1a附有刻度的座標軸，
使得受試者GM2、BM1能由足夠的圖形訊息獲得物體的運動速度，
以說明小汽車以等速度前進。
另外一位受試者GM1則是能夠從圖形中獲取足夠的資訊，對應 到小汽車是以等速度運動前進。而受試者BM2在圖1中，自行標示 刻度後，利用斜率概念由圖形取得小汽車的運動狀態是以等速度前 進，但求算直線斜率的公式有誤，而在第二天測試斜率概念時，並 未以此方法求算，在前面一段有說明，不再贅述。從（1）、（2）發 現，四位中數理能力受試者，在處理過原點直線圖形與真實物體運 動狀態上的表現一致。
2.非過原點的傾斜直線圖形：
（1）正截距：
Ⅰ.圖形表現方面：
如圖1-1所示，四位中數理能力受試者，除了GM1是因為無 法理解非過原點直線型x-t圖形正截距概念之外，其他三位受試 者GM2、BM1、BM2皆能理解正截距之概念；但是，從圖形求 算物體運動速度時，因為沒有扣掉直線的起始位置，導致誤解物 體的運動狀態，產生錯誤的地方是將過原點圖形求算速度的方 法，引用到非過原點圖形，將直線所對應到兩軸的值相除所致。
在此，研究者以圖4-13表示三位中數理能力受試者GM2、BM1、
BM2，在非過原點直線型x-t圖形正截距概念的斜率表現。
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圖 1-1 非過原點之上的直線型 x-t 圖
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除了中數理能力受試者GM1無法理解非過原點圖形的正截
除了中數理能力受試者GM1無法理解非過原點圖形的正截