第四章 資料分析
第一節 x-t 圖形的截距概念
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第一節 x-t 圖形的截距概念 一、高數理能力受試者的理解情形
1.過原點的傾斜直線圖形：
（1）圖形表現方面：
四位高數理能力受試者，皆能理解過原點傾斜的直線型x-t 圖 形，表示原點是為參考點，如同直線在圖形中的起始點。研究者觀 察四位高數理能力受試者，皆能說出直線從原點出發，因此，研究 者推斷四位高數理能力受試者，了解當傾斜的直線通過原點時，直 線圖形的截距為零。
（2）實際操作方面：
四位高數理能力受試者都能理解過原點傾斜的直線型 x-t 圖 形，表示小汽車的起始位置是原點。擷取部分對話及所觀察的圖 1，如下：
圖 1 過原點直線型 x-t 圖
x
t
T ：請從圖 1 觀察出小汽車實際的運動狀態，並在地圖上 操作。
GH1：小汽車從原點出發。
GH2：將小汽車移到原點上。
BH1：小汽車從原點出發。
BH2：將小汽車放到原點上。
（3）零截距小結：
綜合以上（1）、（2）兩點來看，四位高數理能力受試者能理解 過原點傾斜的直線型x-t 圖形，表示小汽車的起始位置為原點，以
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及原點為參考點。故研究者推論四位高數理能力受試者，不受直線 圖形零截距概念之影響，才會將小汽車放在地圖上的參考點位置，
也就是說，四位高數理能力在處理直線型x-t 圖形時，對於圖形中 的截距概念與操作真實物體運動狀態均有一致的表現。
2.非過原點的傾斜直線圖形：
（1）正截距
Ⅰ.圖形表現方面：
四位高數理能力受試者能理解非過原點傾斜的直線型x-t 圖 形，表示原點為參考點，並且注意到直線交於原點之上，以該點 為起始點。研究者觀察四位高數理能力受試者，皆能了解直線並 非以原點為直線起點的圖形，故研究者推論四位高數理能力受試 者，了解非過原點傾斜的直線x-t 圖形交於原點之上，則直線圖 形的截距大於零，亦即理解圖形中的正截距概念。
Ⅱ.實際操作方面：
四位高數理能力受試者都能理解非過原點傾斜的直線型 x-t 圖形，表示小汽車的起始位置是為離原點正向兩個單位長的距 離。如以下部份對話及所觀察的圖1-1：
圖 1-1 非過原點之上的直線型 x-t 圖
x
t
T ：請從圖 1-1 觀察出小汽車實際的運動狀態，並在地圖 上操作。
GH1：小汽車從距離原點 2 個單位長的地方出發。
GH2：小汽車在原點的左邊 2 公里的地方出發。
BH1：小汽車從離原點 2 個單位長的地方移動。
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BH2：小汽車從離原點 2km 的地方出發。
Ⅲ.正截距小結：
綜合以上Ⅰ、Ⅱ兩點，四位高數理能力受試者皆能理解非過 原點之上傾斜的直線型x-t 圖形，能正確說出直線圖形與 x 軸相 交於原點之上，並對應到小汽車的起始位置是離原點正向幾個單 位長的位置。故研究者推斷四位高數理能力受試者不受到直線圖 形正截距概念之影響，才能夠將小汽車放在地圖上距離參考點正 向兩個單位長的位置。
（2）負截距
Ⅰ.圖形表現方面：
四位高數理能力受試者能理解非過原點傾斜的直線型x-t 圖 形，表示原點為參考點，並且注意到直線交於原點之下，以該點 為起始點。研究者觀察四位高數理能力受試者，皆能了解直線並 非從原點為直線起點的圖形，故研究者推斷四位高數理能力受試 者，了解非過原點傾斜的直線型x-t 圖形交於原點之下，則直線 圖形的截距小於零，亦即理解圖形中的負截距概念。
Ⅱ.實際操作方面：
四位高數理能力受試者都能理解非過原點傾斜的直線型 x-t 圖形，表示小汽車的起始位置是為離原點負向兩個單位長的距 離。如以下部份對話及所觀察的圖1-2：
圖 1-2 非過原點之下的直線型 x-t 圖
x
t
T ：請從圖 1-2 觀察出小汽車實際的運動狀態，並在地圖 上操作。
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GH1：小汽車在原點的左邊 2 個單位的地方出發。
BH1：小汽車在原點的負向 2 個單位的地方出發。
Ⅲ.負截距小結：
綜合以上Ⅰ、Ⅱ兩點，四位高數理能力受試者皆能理解非過 原點之下傾斜的直線型x-t 圖形，能正確說出直線圖形與 x 軸相 交於原點之下，並對應到小汽車的起始位置是離原點負向幾個單 位長的位置。故研究者推斷四位高數理能力受試者不受到直線圖 形負截距概念之影響，才能夠將小汽車放在地圖上距離參考點負 向兩個單位長的位置。
3.高數理能力截距表現的總結：
綜合上述 1、2 兩點，若固定直線的傾斜程度，在不同直線型 x-t 圖形與真實物體起始位置之表現，研究者發現高數理能力四位受試者，
不受圖形的截距概念所影響，當圖形是固定傾斜程度，只單純的從截距 來討論受試者的表現情形，都能夠將圖形資訊正確轉換成真實物體起始 的位置，故高數理能力受試者在圖形上的理解與真實操作上表現是一致 的。表4-1 表示四位高數理能力受試者，在處理直線型 x-t 圖形受截距 影響之表現比較，其中，○代表該受試者能夠理解圖形上的截距概念；
再由表4-1 可以發現：四位高數理能力的受試者對於過原點以及非過原 點直線型x-t 圖的截距概念有百分之百的答對率。
表 4-1 高數理能力受試者在處理直線型 x-t 圖的截距概念表現之比較 高數理能力
受試者
圖形 GH1 GH2 BH1 BH2
過原點 零截距 ○ ○ ○ ○
正截距 ○ ○ ○ ○
非過原點
負截距 ○ ○ ○ ○
○代表該受試者能夠理解圖形上的截距概念。
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二、中數理能力受試者的理解情形 1.過原點的傾斜直線圖形：
（1）圖形表現方面：
四位中數理能力受試者能理解過原點傾斜的直線型x-t 圖形，
表示原點為參考點，如同直線在圖形中的起始點。研究者觀察的情 形為四位中數理能力的受試者，皆能說出直線從原點出發，因此，
研究者推斷四位中數理能力受試者，了解當傾斜的直線通過原點 時，直線圖形的截距為零。
（2）實際操作方面：
四位中數理能力受試者都能理解過原點傾斜的直線型 x-t 圖 形，表示小汽車的起始位置為原點。擷取部分對話及所觀察的圖 1，如下：
圖 1 過原點直線型的 x-t 圖
x
t
T ：請從圖 1 觀察出小汽車實際的運動狀態，並在地圖上 操作。
GM1：小汽車從原點出發。
GM2：小汽車從基準點出發。
BM1：小汽車從原點出發。
BM2：小汽車在原點出發。
（3）零截距小結：
綜合以上（1）、（2）兩點來看，四位中數理能力受試者能理解 過原點傾斜的直線型x-t 圖形，表示小汽車的起始位置為原點，以 及原點為參考點。故研究者推斷四位中數理能力受試者，亦不受到
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直線圖形上零截距的概念影響，才會將小汽車放在地圖上的參考點 位置。也就是說，四位中數理能力在處理直線型x-t 圖形時，對於 圖形中的截距概念與操作真實物體運動狀態均有一致的表現。
2.非過原點的傾斜直線圖形：
（1）正截距
Ⅰ.圖形表現方面：
四位中數理能力受試者，只有一位受試者 GM1 無法理解 非過原點傾斜的直線型 x-t 圖形，該生無法理解直線於與 x 軸 相交所代表的意義，而其他三位中數理能力受試者 GM2、
BM1、BM2，皆能說明原點為參考點的圖形中，直線交於 x 軸 上方兩個單位長，也就是說，除了受試者 GM1 之外的三位中 數理能力受試者，能夠理解圖形的正截距概念。
Ⅱ.實際操作方面：
中數理能力四位受試者，唯有受試者 GM1 不能理解非過 原點傾斜的直線型 x-t 圖形，表示小汽車的起始位置是離原點 正向兩個單位長的距離，而其他三位受試者GM2、BM1、BM2，
皆能理解正截距所代表的意義。如以下對話及所觀察的圖1-1：
圖 1-1 非過原點之上的直線型 x-t 圖
x
t
T ：請從圖 1-1 觀察出小汽車實際的運動狀態，並在地圖上 操作。
GM1：沒有辦法操作小汽車，因為不懂直線與 x（位置）軸交 點的意義，可是它似乎影響到小汽車的運動狀態。
GM2：小汽車從距離基準點 2 個單位長出發。
BM1：小汽車從是離原點 2 個單位的地方出發。
BM2：小汽車從離原點 2 個單位的地方出發。
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Ⅲ.正截距小結：
綜合以上Ⅰ、Ⅱ兩點，三位中數理能力受試者GM2、BM1、
BM2，能理解非過原點之上傾斜的直線型 x-t 圖形，且正確說 出直線圖形與x 軸相交於原點之上，並對應到小汽車的起始位 置是離原點正向兩個單位長的位置。故研究者推斷三位中數理 能力受試者，不受到直線圖形正截距概念之影響，才能夠將小 汽車放在地圖上距離參考點正向兩個單位長的位置。
（2）負截距
Ⅰ.圖形表現方面：
四位中數理能力受試者，只有受試者 GM1 無法理解非過 原點傾斜的直線型 x-t 圖形，該受試者無法理解直線與 x 軸相 交所代表的意義，而其他三位中數理能力受試者GM2、BM1、
BM2，皆能說明以原點為參考點的圖形中，直線交於 x 軸下方 兩個單位長，也就是說，除了受試者 GM1 之外的三位中數理 能力受試者，能夠理解圖形的負截距概念。
Ⅱ.實際操作方面：
中數理能力的四位受試者，唯有受試者 GM1 不能理解非 過原點傾斜的直線型 x-t 圖形，表示小汽車的起始位置是離原 點負向兩個單位長的距離，而其他三位受試者 GM2、BM1、
BM2，皆能理解負截距所代表的意義。如以下對話及所觀察的 圖1-2：
圖 1-2 非過原點之下的直線型 x-t 圖
x
t
T ：請從圖 1-2 觀察出小汽車實際的運動狀態，並在地圖
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N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
上操作。
GM1：沒有辦法操作小汽車，因為和剛剛一樣。
GM2：將截距看成小汽車與基準點的距離。
BM1：小汽車從原點後面 2 公里的地方出發。
BM2：小汽車從離原點下方 2 個單位的地方出發。
Ⅲ.負截距小結：
綜合以上Ⅰ、Ⅱ兩點來看，三位中數理能力受試者GM2、
BM1 以及 BM2 能理解非過原點傾斜的直線型 x-t 圖形，能正確 說出直線圖形與x 軸相交於原點之下，並對應到小汽車的起始
BM1 以及 BM2 能理解非過原點傾斜的直線型 x-t 圖形，能正確 說出直線圖形與x 軸相交於原點之下，並對應到小汽車的起始