第二章 文獻探討
第二節 表徵
國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
第二節 表徵 一、認知心理學的表徵
「認知」這個名詞，通常指與知識的獲得有關的心理活動或歷程，包含推 理、判斷、感覺、視覺、語言、情感、記憶、學習和肢體技能等。在認知心理 學上， 所謂表徵就是把某件事物「重新呈現」，在我們心裡的任何標記、符 號、或一組象徵， 但是該項事物並沒有實際出現（Eysenck & Keane，李素卿 譯，2003）。而以認知心理學的觀點，表徵的概念可以用來說明幾乎所有的人 類的心智活動（韓承靜，1998）。Bruner將人類對其環境週遭事物，經知覺而 將外在物體或事件轉換為內在心裡事件的過程，稱為認知表徵，或知識表徵。
意指人類經由認知表徵的過程獲得知識，可分為三個階段（鍾瑞珍，2002）：
（一）動作表徵為靠動作來獲得知識。
（二）形象表徵或圖像表徵為經由物體知覺留在記憶中的心像，或靠圖形、照 片等獲得知識。
（三）符號表徵或象徵表徵指運用符號、語言文字為依據的獲得知識的方式。
Hibert 和 Carpenter 將表徵依其存在的方式區分為外在表徵（external representation）與內在表徵（internal representation），分述如下（引自黃永和，
1997）：
（一）外在表徵
指以語言、文字、符號、圖片、具體物、活動或實際情境等形式存 在的表徵。透過外在表徵，我們可以表達出自己的想法而與他們達到溝 通的目的。
（二）內在表徵
指存在於個人心中或腦海裡，他人無法直接觀察的心智表徵。透過 內在表徵，個體可以進行想像、構思、推理等心智思考的活動。
綜合上述，我們可以理解在心理學「表徵」一詞，是在描述個體內在或心 理的建構和外在表現的形式，而本研究中所指的表徵即是指外在表徵。
二、數學表徵
在數學學習中，「表徵」（representation）是個非常重要的概念。就認知
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
心理學家 Sternberg（1996）所下的定義是指：「個人心智中對於外界的人、
事、物所了解到的形式」。李伯黍等譯（2003）指出一般心理學的表徵是指代 表、取代、象徵或表示一個事物為另一個的事物。張春興（1989）認為表徵是 將外在真實世界轉換為心理事件的歷程。彭聃齡和張必隱（2000）對表徵作出 兩種解釋，第一種是某種東西的信號，包括內容和形式；第二種是知識的組織 方式。曾靖雯（2002）將表徵定義為數學學習中，思考、解釋接收到的訊息，
並用以表達想法，和他人溝通的媒介。蔣治邦（1994）表徵以某種型式，將事 物或想法重新顯現出來，達成溝通的目的；切實掌握其所表示的意義後，表徵 則可以進一步地成為運思材料，簡化解題的過程。換句話說，「溝通工具」和
「運思活動材料」是表徵的功能。劉秋木（1996）認為使用一個符號表示一組 經驗時，我們所使用的符號便是該組經驗的表徵（或譯為表象），所用的符號 可以是動作、擬聲、圖畫、圖形，或是心像，亦可以是抽象的文字；在數學學 習上，表徵應被視為幫助學生了解數學概念和關係的有效概念。
數學表徵的研究是者根據莊凱安（2002）、魏君芝（2002）以及謝孟珊（2000）
三位研究者的研究資料整理而成。數學的表徵分為四種互動的表徵類型
（Kaput，1987；吳昭容，民 81）
（一）認知及知覺表徵（cognitive and perceptual representation）：指學生在使 用數學符號（外在表徵）時所形成的內在系統。
（二）解釋的表徵（explanatory representstion）：指聯結自然語言或心像與其 他數學符號之間關係的系統。
（三）數學內的表徵（representation within mathematices）：指以數學的某一種 結構呈現到另一結構特性的系統。
（四）外在符號表徵（external symbol representstion）：指以外的符號表徵數學 性質的系統。
國內外各國的數學教育對表徵都相當重視，美國數學教師協會（簡稱 NCTM）在二０００年出版的《學校數學的原則和標準（Principles and standards for school mathematics）》中提到由幼稚園至中學的學生在表徵方面所應該達 到的三個教育目標：
（一）建立和使用表徵來組織、記錄及溝通數學思維；
（二）選擇、應用和轉譯數學各種表徵來解決問題；
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
（三）使用表徵模式化和詮釋物理的、社會的和數學的現象。
我國在九年一貫課程綱要數學學習領域中就提到許多表徵，發展抽象化能 力始於能運用符號、記號、模型、圖形或其它數學語言、清楚傳達量化、邏輯 關係；溝通包括理解與表達兩種能力，所以，數學溝通一方面要能了解別人以 書寫、圖形，或口語中所傳遞的數學資訊，另一方面，也要能以書寫、圖形，
或口語的形式，運用精確的數學語言表達自己的意思。在「連結」主題的指標
（C-S-02）明列「能選擇使用合適的數學表徵」；在「溝通」主題的指標（C-C-01）
明列「為了解數學語言（符號、用語、圖表、非形式化演繹等）的內涵」。此 外，強調數學教育要能啟發學生自行在不同數學概念之間做連結，並連結數學 與其它學習領域（教育部，2003）。
由此，看出國內外數學教育對表徵學習的重視，表徵被視為學習數學所應 具備的重要能力之一。Von Glasersfeld（1995）認為學生將他們所參與的活動，
透過心理的表徵而建構他們對活動內容的運思。
三、科學表徵
研究者發現中、高程度的學生大多數皆可以掌握文字表徵，只需多指導學 生圖形所聯結的科學意義；而低程度的學生則須從引導理解文字表徵再逐步轉 換至圖形表徵。從科學教育的眼光來看，推理的過程是可以機械模組化的，但 此機械式的過程可能讓學習者本身失去了創造力、想像力，若能夠根據問題情 境，彈性的運用適當的數學表徵，如具體操作的、圖表的、符號的…等等具體 或抽象的方式，思考和培養解決問題能力的基本要素，也就是說數學表徵在數 學學習的過程當中佔有相當重要的地位。而科學表徵就是一種現實世界的表 現，圖表以及具體操作亦是表徵的一部分，所以彈性的運用與結合數學表徵以 及科學表徵，做適當地轉換，對學習者來說肯定是一種正增強的刺激。
其表徵類型大部份是以圖片及附加文字說明來聯結科學學習概念，圖片除 了是表徵的一種型態之外，Hegarty＆Just（1989）指出圖形具備可以描繪事物 的空間與視覺上的性質以及提供更快速、簡明的訊息。除了圖片之外，還有實 驗紀錄表，亦是科學表徵的一部分。另外透過教具、動畫、實際的操演，也同
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
樣的能使學生學習到運用相同的技巧表徵所欲學習的科學概念。除此，尚有一 個最重要的表徵，就是科學符號的使用，學習者對於科學符號的來由，科學符 號的使用，以及整個公式背後所代表的自然現象又為何，學習者極有可能是不 了解背後所代表的科學意義，進而導致無法連結。
當學生在從事科學學習時，做科學問題思考與解題過程中所呈現的一切實 務作為，包括運用不同方式的外在表徵詮釋科學現象、表達想法，在學習過程 運用表徵做預測，在學習情境中使用表徵溝通科學概念，及學習成果的呈現方 式，當然也必須是自身經驗與現實世界的結合。
Lesh等人（Behr, Lesh, Post & Silver, 1983; Lesh, Landau & Hamilton, 1983;
Lesh，Post & Behr, 1987）以Bruner認知表徵理論為基礎，利用溝通觀點，將 圖形表徵分成動態的操作模型和靜態的圖畫或圖解；符號表徵分為口述的語言 和書寫的符號，分為下列五種類型：
（一）以經驗作為基礎的腳本（experience-based script）：在這個種類中，知 識由「真實世界（real world）」的事件組織起來，提供一般性的脈絡 以解釋或解決具有相同的或相類情境的問題。
（二）可操作的模型（manipulatable models）：如古氏積木、算術積木、分數 棒、數線等，在這些表徵中的「元素（elements）」，本身沒有多少意 義，而在這些模型中所加入的關係與操作，可以適用於許多日常情境。
（三）靜態圖形或圖片（static pictures）：這些是靜態的模型，可以動手操作 模型，內化為「心像（images）」。
（四）口述的語言（spoken language）：運用日常生活所使用的口語來敘述，
以表達想法或解題過程。
（五）書寫的符號（written symbols）：常用數學符號或數學式，和語言一樣，
亦包含特殊化的句子和片語。
Lesh等人是以溝通為主的表徵，表示某些約定成俗的共識（蔣治邦，
1994），除了五個互動的表徵很重要外，表徵間的轉譯和表徵內的轉換同等重 要。也就是說，不只是構成的元素重要，而元素與元素間的動態關係亦為重要。
九年一貫課程綱要數學領域的基本理念裡，對於培養學生的溝通能力，在於要 能了解他人以書寫、圖形，或口語中所傳遞的數學資訊，相對地，也要能以書
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
寫、圖形，或口語的形式，運用正確的數學語言表達自己的意思。對照於Lesh 等人以溝通為觀點的表徵，學生要能做好與他人的溝通，對書寫的符號表徵、
圖畫或圖解表徵以及口述的語言表徵來說，學習更加顯得特別重要。蔣治邦
（1994）認為，儘管這五種表徵都是可以讓外人察覺，但是圖形與符號的運思，
都屬於內部的活動，難以立即觀察得到。是故，在評估時，亦需依賴學生將其 活動過程表現出來，才有辦法進行溝通。也就是這兩種表徵這兩種表徵都必須 在教學者的要求下，學習者才可能利用再表現的方式呈現出來（王淵智，
2005）。
經閱讀眾多學者對表徵的論點，可見表徵在學生的數學學習上具有相當的 重要性，因此，研究者認為欲探討學生線型函數概念，可以從其對應的位置–
時間圖形的表徵著手，從探討學生表徵之間的連結及轉譯，以了解學生在學習 線型函數與操作情境轉換間的歷程。故研究者將以直線型位置–時間圖為外在 符號表徵工具，並以玩具小汽車、地圖等外在表徵為驗證工具，再請學生以口
時間圖形的表徵著手，從探討學生表徵之間的連結及轉譯，以了解學生在學習 線型函數與操作情境轉換間的歷程。故研究者將以直線型位置–時間圖為外在 符號表徵工具，並以玩具小汽車、地圖等外在表徵為驗證工具，再請學生以口