第五章 結論與建議
第一節 結論
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第五章 結論與建議
本研究的目的在針對高、中、低數理能力的學生從x-t 圖對應到的真實物 體運動狀態以及其所對應的數學概念之表現進行探討。參考相關文獻後，資料 收集的方法為半結構性晤談，蒐集十二位受試者的對於直線型的x-t 圖所對應 到的數學概念之歷程及其對應到的真實物體運動狀態，最後以質化的方式分析 及統整所蒐集的資料。所得的結果經分析後，本章提出主要結論及若干教學與 後續研究上之建議。
第一節 結論
對於九年級學生在處理直線型x-t 圖與對應到的斜率與截距概念之關連性 以及其對應到真實世界的物體運動狀態連結，做一綜合整理，並提出以下結論：
一、在探討截距方面 1.高數理能力學生之表現
研究發現，高數理能力的學生能夠理解非原點直線型的x-t 圖，當直線與 x 軸之交點所代表的物理意義是為物體的出發點位置，就是物體相對於參考點 的位置，而對應到真實世界的物體運動狀態則是小汽車的起始點位置，這些都 是在x-t 圖上所隱含的數學之截距概念。
2.中、低數理能力學生之表現
特別是中、低數理能力的學生，初學完x-t 圖課程後，在過原點直線型的 x-t 圖求算小汽車的速度恰巧是兩軸的值相除，誤以為 x 軸表示的是距離而非 位置，這樣的錯誤繼續延續到非原點直線型的x-t 圖。故中、低學生並未清楚 的了解x-t 圖的兩軸所代表的意義，以及截距的問題，進而影響其學習表現。
部分學生雖然可以指出直線與縱軸之交點所代表意義，但也卻間接的影響到其 他的相關概念，例如：小汽車行駛的速度。
綜合上述，高數理能力學生同時也注意到兩軸的刻度對物體運動的速度之 影響，他們會謹慎小心的處理，在沒有標示刻度座標軸下，是無法正確清楚的
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描述物體運動之速度；相對於中、低數理能力的學生則是在自己標示刻度後，
求出物體的運動速度。出發點的問題相當於處理座標平面上直線與縱軸的交 點，亦即數學上的截距概念，較兩軸座標刻度大小或比例來得更是重要。
二、在探討斜率方面
斜率方面的問題涉及了座標軸的刻度及物體運動的狀態，包含物體運動是 快是慢，或是靜止不動的情形，牽涉物體運動方向的問題將下一個主題作討 論。在此，從學生對直線的傾斜程度判斷物體運動速度之快慢作為探討：
1.高數理能力學生之表現
能夠由傾斜程度來直接決定物體運動速度快慢之外，也特別注意到刻度比 例大小會影響圖形中直線傾斜的程度，甚至亦能掌握水平線的運動狀態就是代 表物體靜止不動的狀態，進而正確的操作小汽車。而其中一位高數理能力受試 者 BH2，清楚了解改變座標刻度會影響直線傾斜程度的變化，而直線傾斜程 度的變化影響物體的運動速度，即使直線的斜度一樣，仍有可能在不同的座標 刻度下，表示物體有著不同的速度，除非是在相同的座標軸上，才可以利用直 線的傾斜程度去比較快慢。
2.中數理能力學生之表現
對於中數理能力的學生，雖然大多學生會自行量化座標刻度透過數學的計 算驗證自己的想法，數學與科學能力即使不差，但似乎在套入生活情境後，欠 缺圖形與具體操作連結的能力，像是水平的直線圖形，尤以不與t 軸重合的的 水平線，更容易受到水平線所在的位置所干擾，只要是非過原點的水平線圖 形，物體本身必定具有運動的速度，也彰顯數學座標軸刻度與座標軸所代表意 義，對解釋科學現象之重要性。
另外，中數理能力的其中一位學生 BM2，在探討截距概念時，有提及物 體運動的速度可以從直線斜率得到，該生具有直線斜率概念，是因為他了解速 度之定義之外，也清楚知道直傾斜程度為縱軸相對於橫軸的變化量，也就是在 x-t 圖中直線的傾斜程度指的就是物體的位置相對於時間變化量，只是唯一美
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中不足的是，雖然算出來的速度是對的，但是表示式是表達錯誤的，研究者再 深入追問下去，受訪者很肯定的說沒錯，但到了探討斜率概念時，卻不再出現 有關於斜率之概念，這也是在十二位受訪者中，唯一一位有提及到斜率之概念 的受訪者。
3.低數理能力學生之表現
低數理能力的學生更容易對直線型的圖形產生錯誤的解讀，將直線的傾斜 程度視為生活上的體驗，例如：小汽車爬越陡的坡，則行駛速度越慢，或視直 線越斜，表示小汽車為加速運動，比較斜的直線代表速度越來越快，無法連結 直線型的x-t 圖形就是小汽車作等速度運動，這主要是因為低數理能力的學生 受到直線方向的影響，視直線方向為物體實際運動之軌跡。而在水平線的表現 上，無法理解斜率為零的直線表示物體為靜止不動的情形，直覺的受到直線往 右就是表示小汽車向右運動。
因此，研究者發現直線的傾斜程度，即數學之斜率概念對於直線型的 x-t 圖理解，以及對應到真實物體的運動狀態，有理解上的幫助。
三、在探討方向性方面
牽涉物體運動之方向性，就如同小汽車的行駛方向，部分學生容易受到直 線方向的影響，認為直線的方向就是物體真實運動方向，傾斜的直線就是小汽 車所走的方向，低數理能力學生容易以直線的傾斜度來判定小汽車沿著相同斜 度的方向行駛，甚至會視小汽車為加速或減速的運動狀態，或是視小汽車為爬 坡或下坡的運動。
而部份中數理能力的學生可以將直線圖形解釋小汽車朝正向作等速度運 動，但卻無法理解負向的等速度運動，這是因為他們認為距離沒有負的，更無 法接受物體的速度也是負值，甚至將之取絕對值，連結小汽車的反向運動自然 產生問題；根據本研究結果發現，主要的問題是在於學生對物體相對於參考點 的負向位置之概念不清楚所致，才會將求算出來的負值速度取絕對值，造成小 汽車仍舊是以相同速度、延著正向作等速運動之解釋。過原點直線型的x-t 圖
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產生錯誤的方向問題，當然也影響學生在非原點直線型的x-t 圖上之解釋。
四、討論
（一）學生數學的斜率、截距能力不足，以致影響位置–時間圖的學習 1.隨著 x 軸的刻度向右漸增，y 軸向上刻度漸大，相對於 x-t 圖即為時
間軸(t)向右，位置軸(x)向上的數值皆漸增，因學生座標平面圖的方向 不確定，再加上對兩軸所表示之變量關係不明確，而導致學生無法在 座標平面上將所學到二元一次方程式以及一次函數的觀念應用在 x-t 圖上，進而無法判讀靜止（y 軸―即位置的數值不變）以及反方向的 x-t 圖（y 軸―即位置的數值遞減）。
2.x 軸和 y 軸的刻度寬窄並沒有意義，刻度上的數值只能解釋實際狀 況，相對於 x-t 圖學生沒有注意到圖上所標的數字單位，容易直接以 目視運動圖的平緩或陡直，認定速度快慢。換句話說，數學上學習座 標平面，最重要的就是數值對應關係，而將表格資料繪製成 x-t 圖形 的過程中，強調的也是數值對應關係。
3.學生在學習座標平面上，並不完全了解直線方程式（y=ax+b），只 是認為 y 為 x 的固定比率加常數，故在學習 x-t 圖時無法轉換 b 即為 截距，而直線x-t 圖是位置和時間的固定比率。（例如2 秒時在 4 公尺，
4 秒時便在 8 公尺），所以速度是固定的等速度運動。
（二）學生圖形表徵的理解薄弱，以致於無法應用數學能力及解釋真實現象 1.學生在學習座標平面直線圖形時，可以導出y=ax+b公式，亦可說
明b由何處所求，卻無法在實際操作上了解及做出「非原點」出發運 動情形，可見學生在學習直線型的x-t 圖時，不了解座標（0 , 0）即 為物體運動出發點。
2.學生在被要求的情形下可背出速度的定義，卻無法從圖形中直接算出 速度及理解直線 x-t 圖為等速度運動，其原因可能在圖文表徵上轉換
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的困難。
3.學生在看 x-t 圖時，從速度的正負值（斜率）無法操作出物體真實的 運動方向是向右還是向左，反而解釋成速度快及慢，即具體運思期尚 無法轉為抽象運思。
4.學生容易受到視覺干擾，大多學生對 x-t 圖沒有充分了解。