x-t 圖相關之研究

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第三節 x-t 圖相關之研究 一、速度與速率概念的迷失與困難

（一）速度與速率的差別

許多的研究中發現，九年級學生在學習速度概念時，常常有許多的困難與 迷思，別與在小學階段所學習的速率。根據物理大辭典（1974）的定義，速度

（velocity）是物體在平均單位時間內之位移，包含時間、距離和方向三種要 素；而速率（speed）是物體行進的距離與所耗費時間之比，用來描述物體運 動或過程進行的快慢，是無方向的量。除此，牛頓數學辭典（1997）也解釋：

速度(velocity)的符號為VJK

。當運動方向標明時，位置相對於時間的改變量，速 度因而是一向量（vector quantity），其大小V 稱為速率（speed），單位為米

／秒（m⁄s）或類似單位。速率是為單位時間內，粒子、質點、物體等移動的 距離，沒有標明方向，只是向量速度(velocity)的大小。由上所述，物理上對於 速率與速度的定義大同小異，速度是指物體在單位時間內的位移，包含時間、

距離、方向三種關係；而速率是指物體行進的距離與所耗費時間之比，即指在 所耗時間內（△ ），所經路程長度（t △ ）的平均值，不考慮行進方向的純量，s 所以，速率和速度是有區別的。

（二）學習上常犯的錯誤

在我國小學學習速率概念時，從許多文獻中可以發現，學生有非常多的迷 思及困難。常犯錯誤解法的原因是為學生欠缺速率、距離以及時間的基本概 念，且部分學生太過依賴公式導致只注意各數字所代表的變項，便直接套用公 式以求得答案（方正吉，1995；陳秋萍，2004）。學生並不是真的了解公式所 代表的科學本意，只是單純的計算、盲目的記憶和使用。針對台北市國民小學 中年級兒童對物體運動快慢與力之間的另有概念分析研究中，注意到兩件相當 直覺性的錯誤，其一為當兩輛車同時出發，同時到達目的地，但是中間路徑不 同時，可發現大部份的中年級兒童是以路徑的長短來判斷運動快慢；其二為兩 輛車先後出發，但中間路徑相同且同時抵達目的地時，中年級兒童多數是以時 間的先後出發來判斷運動快慢。由此可知，中年級兒童多以直觀思考的方式來 判斷運動快慢，而非同時考量距離及時間兩個因素判斷物體運動快慢（陳勇

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全，2000；陳美月，2000）。

除了上述錯誤之外，尚有速度正負值的理解問題，洪木利（1983）在兒童 重力概念發展的研究中，認為大部分學生對於速度的概念尚未建立完整，並在 我國兒童慣性概念的研究中發現兒童在速度概念的三個次概念中，發展的順序 依次為：距離→時間→方向。蔡枚芳（1999）在兒童牛頓第二運動定律相關次 概念之研究中，更進一步指出兒童的概念發展順序為距離→時間→方向→位移

→速度。他認為兒童不論年齡大小，難以結合方向與速度的概念，以「快慢」

來描述速度，並對「加速度」的認知程度會比「速度」來的高，換言之，速度 概念對於兒童來說是相當困難的。Matsuda(1994)針對四至十歲兒童，探討在 直線運動時，速率、時間及距離中，距離―時間（速率固定，當時間增加或減 少時距離的改變）、時間―距離、距離―速率、速率―距離、時間―速率、速 率―時間的六種關係中，探討兒童如何判斷與解釋。研究結果發現兒童是以直 覺作為判斷，並且以距離、時間、速率三者中的兩兩之間關係來判斷，而非以

「距離－時間－速率」系統關係來判斷。是故，每個階段是否發展健全都會直 接影響到下一個階段的學習與理解，更別說九年級學生必須一口氣學完所有關 於速度的相關概念。

若以速率概念作為速度概念的基石，除了距離、時間之外，再加上方向、

位移等概念，前所述的研究中發現學生隨著年齡的增長，越能克服速率概念，

陳勇全（2000）對「速度快慢的判別」，我國八年級學生正確判斷達最高。但 是，Goldberg & Anderson（1989）的研究指出學生們雖然知道速度有方向，但 他們只關心物體運動的快慢，而不會關心方向和物體運動的速度間的關係，且 大部分的高中學生會將「速度」認為是「速率」，因此學生對於「速度」有負 值一直感到困惑。Brasell & Rowe（1993）學生易認為物體慢下來，即代表物 體的速度為負值。何以見得，速度與速率所計算的數值為正或負數，對於學生 來說，能否真的感受物體實際運動情形，更是一個相當大的困難。

二、學習速度概念之數學概念

我國國小階段學習何謂速率概念，意即速度之大小，國中階段是到九年級

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的科學課程中的直線運動單元，才開始學習速度概念，若在其中引入數學的概 念，不僅是學習公式的內容概念，更在開始學習科學知識之前，建立學生的重 要觀念，主要是因為科學中的各種數學符號，都是對應到真實環境相關特性的 紀錄與描述。美國數學教育協會（National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000）認為數理教育應當注重學生在數學課中所學得的概念應用到 數學以外的活動，轉化數學技能到應用的領域問題。

在此，研究者更注意到另一件事，學生早在七年級就已習得座標平面以及 直線方程式的相關概念，但許多研究文獻發現九年級學生對於圖形的解釋、公 式的結合運用以及現實生活經驗的連結無法一氣呵成、前後呼應，像是鄭如芬

（2001）發現大多學生欠缺將生活中的直線運動相同參數間的關係轉成平面圖 形的能力。也就是說，同樣的直線圖形若放在數學上，學生會相當直覺的當成 數學問題，若將此問題轉移到理化課程中，學生也單純的看成理化問題，數學 與理化之間似乎毫無相關。蔡淑君（2010）運動學的知識表徵包含許多符號與 方程式，看似數學作為核心的問題，但實際所應用的數學技巧卻是非常簡單，

主要是理解數學符號中的係數與真實世界的關聯性，包括將起始位置、初速 度、方向之概念融入直線方程式的詮釋，對這些關係的詮釋更是數理知識不可 不重視的觀點。在國內科學課程中，不難發現如果學生具有良好的數學基礎能 力，其所反應在科學上的學習，像是計算形式的問題，通常都會有較良好的表 現，特別在運動學單元的計算中，更為明顯。例如，方程式x= +2t 5，其中x 表示物體在 t 時刻的位置，若需計算t=4的x值，或在4秒後的物體所在位置

x，八年級以上的學生大部分均能透過代入t=4的值，求出x=13。但同樣的 方程式，若以不同的表徵方式，假設x所描述的是一輛小汽車的運動，要求學 生不透過計算，對這輛車大致的運動情形作一說明，例如：從方程式中，觀察 初始位置在5的位置。針對這種的轉換方式，大部分學生除了反覆計算、或再 逐一描點外，鮮少能夠從公式中相關的符號關係，直接觀察到方程式數值所代 表的意義與不同的表徵方式，或是對應到真實世界的運動情形。從中，研究者 亦發覺，類似的方程式x= − +2t 5，八年級以上的學生大部分依然能透過代入

4

t= 的值，來求出x= −3，但此時產生極嚴重的兩個問題，一為學生不清楚 t 前 面的係數－2所代表的意義？而t=4代入後，得到的值為－3又是何意？更不 用談論實際給小汽車操作的運動情形。

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Halloun & Hestenese（1985）以及Hestenese、Wells與Swackhamer（1992）

在力與運動概念之研究中，學生孤立情境而單純的套用科學公式，這樣或許不 會出現問題，但是一旦加入情境條件的描述，方程式所代表的意義可能就被忽 略或混淆。倘若學生不能透過抽象的方程式來解決相關問題時，如同直線運動 的概念相對於線型函數的數學概念，只是一些支離破碎的科學知識，無法連 結、融合成完整的大概念，分離數學與科學之關係。因此，錢正之（2003）在 學 習 直 線 運 動 的 過 程 中 ， 老 師 應 協 助 學 生 以 具 體 的 心 像 （concrete and meaningful image）連結數學形式與其對應的運動公式，唯有建立、加強此一 能力，在解決相關問題時，才能進一步將理論作為分析之工具。

科學知識中運用了數學許多不同的表徵，最普遍使用的是圖形表徵，其主 要的原因是為透過視覺化來解釋不同變項間的關係（Bastide, 1990; Chambers, Cleveland, Kleiner & Tukey, 1983; Lemke, 1998）。就研究者教授數學的經驗來 說，圖形是轉換文字敘述最好的工具之一，也是讓學生較為接受的一種方法，

但是在研讀許多文獻資料的時候發現：雖然在科學與數學教育中強調圖形的表 徵，實際上，卻很少研究認同能夠運用圖形表徵的方式來強調許多的主題的研 究 （Testa, Monroy & Sassi, 2002）。學生在數學課之外時常接觸圖形，像在 直線運動單元中的主要表徵為物理公式和圖形，而這兩項表徵若要能操作得 好，必需建立在良好數學基礎之上。然而所需要的數學概念對學生來說並不是 困難的，學生遭遇到的問題通常出現在科學與數學的連結上，例如方程式所對 應的科學情境意義，或理解、詮釋x-t、v-t、a-t圖形等；甚至，發現為學生在 不同表徵之間的轉換有著極大的困難，即使是優秀的學生在處理代數與圖形的 表徵時，如同他們面對這些數學問題是彼此獨立、無法產生連結（Mevarech &

Kramarsky, 1997; McDermott et al. , 1987；Moschkovich et al. , 1993）。如同研 究者前所述，數學與科學是平行的雙軌，而非相輔相成的朋友。相關的研究也 指出，大多國內九年級學生並不怎麼了解這些圖形的基本意義，而再進一步將 這些曲線圖轉換到不同的數學符號系統（如方程式），則更加困難（Kramarski

& Mevarech，1997；Leinhardt，Zaslavsky & Stein，1990）。因為對圖形的意 義不了解，學生容易在運動曲線圖中產生迷思，將位置隨時間變化的X－T圖，

& Mevarech，1997；Leinhardt，Zaslavsky & Stein，1990）。因為對圖形的意 義不了解，學生容易在運動曲線圖中產生迷思，將位置隨時間變化的X－T圖，