第四章 資料分析
第三節 x-t 圖形的方向性概念
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第三節 x-t 圖形的方向性概念
本節探討三種不同數理能力受試者，在直線型x-t 圖形之方向性概念，是 否會影響小汽車的運動方向，研究者根據受試者的訪談作一整理與分析。使用 的工具圖形為圖3-1、圖 3-2，用來判斷受試者是否受到圖形的方向影響，主 要是從前面兩節發現，受試者除了受截距概念影響外，對於直線通過負值的圖 形也比較無法解釋清楚。因此，研究者以這兩個工具圖形，作為受試者受直線 圖形對小汽車運動方向之探討。
圖3-1 過原點正向直線型x-t圖
x
t
圖3-2 過原點負向直線型x-t圖
x
t
一、高數理能力受試者的理解情形
1.圖形對應到小汽車運動狀態的表現方面：
（1）能夠由傾斜方向直接判讀正方向或反方向直線運動：
由GH1以及BH1的回答發現，這兩位學生都是從直線圖形的傾 斜方向直覺轉換判讀成物體的真實運動狀態，即左下右上的傾斜方 向為等速度正向直線運動，如圖3-1所示；同理，左上右下的傾斜 方向為等速度反向直線運動，如圖3-2所示，研究者推論受試者數 學以及科學上的能力較佳，在學習等速度直線運動時，有能力將學 習直角座標平面時所得的經驗，應用於繪製時間位置的圖表上。如 以下對話：
T ：請從圖 3-1、圖 3-2 觀察出小汽車實際運動狀態，並在地圖上 操作。
GH1：圖 3-1 小汽車作等速度運動，圖 3-2 朝負向作等速度運動。
BH1：圖 3-1 的小汽車作等速度運動，圖 3-2 向西作等速度運動。
T ：請再詳細說明小汽車的運動。
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GH1：兩輛小汽車的速度是一樣的，唯有方向相反。
BH1：兩台小汽車的速度一樣，也都是從原點出發，方向相反。
（2）能夠正確量化座標平面：
由BH2的訪談發現，能夠自行標示座標軸刻度以及由單位 化、量化圖形的角度，將速度正值與速度負值來連結正方向或反 方向運動，以便支持自己的想法。而雖然受試者GH2可以從直線 傾斜的方向，正確得知物體運動方向，但在描述小汽車運動方式 時，仍是在計算速度上發生錯誤，將直線終點視為小汽車所走的 距離以及所花的時間，而直線終點對應的並非確定的數值，導致 小汽車的速度有誤。其中比較特別的是BH2是以倒車的說法來連 結負方向等速前進的概念。如以下對話：
T ：請從圖 3-1、圖 3-2 觀察出小汽車實際運動狀態，並在地圖 上操作。
BH2：觀察圖 3-1、3-2。圖 3-2 的小汽車是從原點開始向南邊倒 車。
T ：請再詳細說明小汽車的運動。
BH2：在圖 3-1 的小汽車以1km/ min的速度朝北方前進。圖 3-2 小汽車從原點以每分鐘100 公尺的速度倒退。（單位換算）
GH2：在圖 3-1 的小汽車往右 7 格，再往上 7 格，以1km hr 的速/ 度朝正方向走。圖 3-2 小汽車先往右走 7 格，再往下走 6 格，以6
7km hr 的速度走。 / 2.小結：
高數理能力受試者GH1、BH2直接從圖形就能對應到小汽車運動 方向，而受試者GH2、BH2兩人則須量化圖形座標後，才能夠對到小 汽車的運動方向。研究者對於高數理能力受試者在方向概念之表現整 理成表4-12，其中，○代表該受試者不受圖形方向性概念影響。
表 4-12 高數理能力受試者在方向性之表現比較 高數理能力
直線方向 小汽車
運動方向 GH1 GH2 BH1 BH2 左下右上 正向 ○直覺 ○量化座標 ○直覺 ○量化座標
左上右下 負向 ○直覺 ○量化座標 ○直覺 ○量化座標
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二、中數理能力受試者的理解情形
1.圖形對應到小汽車運動狀態的表現方面：
（1）能正確判讀直線正斜率的方向性：
由受試者GM1、GM2、BM1的訪談中，對於從原點出發的直 線圖形，如圖3-1，三位受試者可以理解物體是以等速度往正方向 前進。如以下對話：
圖3-1 過原點正向直線型的x-t圖
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T ：請從圖 3-1 觀察出小汽車實際運動狀態，並在地圖上操作。
GM1：小汽車從原點出發，並以1 km hr 的速度往前走。 /
GM2：小汽車是從基準點出發，並以每秒1 km hr 的速度往前開。 / BM1：小汽車從原點出發，並以1
2 km hr 的速度往前開。 /
（2）無法判讀直線負斜率的方向性：
由受試者GM1與GM2的訪談發現：對於原點出發的直線圖 形，如圖3-2所示，兩位受試者受到位置軸的刻度為負值，產生了 判斷上的問題，認為距離沒有負的，因而無法得知物體的真實運 動狀態。如以下對話：
圖3-2 過原點負向直線型的x-t圖
x
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綜合上述第1點的（1）、（2）發現，中數理能力受試者GM1、GM2、
BM1能夠直接從圖3-1能對應到小汽車運動方向，但在圖3-2的部分卻是
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三、低數理能力受試者的理解情形
1.圖形對應到小汽車運動狀態的表現方面：
（1）誤將直線圖形傾斜度連結成加速或減速的實際運動狀態：
從GL1的回答中發現，低數理程度的受試者易將直線的傾斜 方向錯誤連結成物體運動的加速或煞車現象，完全沒有速度的概 念。如以下對話：
T ：請從圖 3-1、圖 3-2 觀察出小汽車實際的運動狀態，並在地 圖上操作。
GL1：圖 3-1 的小汽車因直線往上，故在加速前進。圖 3-2 因為直 線往下，所以小汽車是做煞車的動作，位置每減少一個單 位，速度也隨之減少一個單位。
T ：請再詳細說明小汽車的運動。
GL1：圖 3-1 因為直線往上，所以小汽車是從紅點開始作加速運 動，位置每增加一個單位，速度也隨之增加一個單位。圖 3-2 因為直線往下，所以小汽車是從紅點作煞車運動，位置 每減少一個單位，速度也隨之減少一個單位。
（2）誤將直線圖形連結成爬坡或下坡的運動狀態：
由BL1的訪談發現，低數理程度的受試者易將直線的傾斜方 向錯誤連結成物體運動的爬坡或下坡狀態，完全沒有方向概念。
如以下對話：
T ：請從圖 3-1 和圖 3-2 觀察出小汽車實際的運動狀態，並在地 圖上操作。
BL1：觀察圖 3-1、圖 3-2。圖 3-1 的小汽車就是先前的圖 1-1。圖 3-2 小汽車從原點出發，以每小時 1 公里的速度，任意方向 的下坡前進。
T ：請再詳細說明小汽車的運動。
BL1：圖 3-1 的小汽車在原點出發，直的、斜的、橫的、或縱的 開車都可以，並以每小時 1 公里的等速度前進。圖 3-2 的 小汽車從原點出發，以每小時 1 公里的速度，任意方向的 下坡前進。
（3）小汽車的運動方向不符合真實現況：
由受試者BL2的訪談發現，雖然小汽車是以倒退的方式運 動，但在真實的情況下，小汽車在前進時，並不會以倒退的方式
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四、總結：
研究者將三種不同數理能力受試者，在直線型x-t圖形的方向性概念表現 整理成表4-15（第51頁），其中，○代表該受試者不受方向性概念影響，X代表 該受試者受方向性概念影響。最後，研究者發現大多中、低受試者在小汽車的 操作上，較容易受直線方向的影響，故研究者再以四個工具圖形分別是圖3-1、
圖3-2、圖2-2、圖2-5，如下所示，探討十二位受試者的表現，小汽車的運動方 向是否受到直線方向的影響作為總結。
圖3-1 過原點正向直線型x-t圖
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圖3-2 過原點負向直線型x-t圖
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圖2-2 過原點較緩直線型x-t圖
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圖2-5過原點與t軸重疊水平直線型x-t圖
x
t
從表4-15可以發現到八位中數理能力受試者，全部都無法理解圖3-2對應 到小汽車的真實運動狀態，而一位中數理能力受試者BM2及兩位低數理能力 受試者GL1、BL2受到直線方向的影響，認為小汽車是以直線方向是以加、減 速，或是爬坡、下坡的運動方式。
在圖2-2的表現，四位高數理受試者能夠由圖形對應到小汽車的運動為正 方向；四位中數理能力受試者皆能描述小汽車的運動方向；低數理能力受試者 除了GL1、BL1，其他兩位受試者也能表示小汽車的運動方向。
在圖2-5的表現，所有受試者中，只有兩位低數理能力受試者GL1、BL2 受到直線方向之影響，認為小汽車的運動方向為向右前進。故研究者發現中、