九年級學生如何處理直線型位置－時間圖之研究 - 政大學術集成

全文

(1)國立政治大學應用數學系數學教學碩士在職專班碩士學位論文. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. 立九年級學生如何處理直線型位置－時間圖之研究 A study of 9th grade students’ comprehension of the linear position－time graph n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 碩專班學生：高抬主撰. 指導教授：譚克平博士宋傳欽博士中華民國九十九年七月二十八日.

(2) Abstract The purpose of this study is to understand whether 9th grade students can actually manipulate the states of motion of objects and understand the concepts of mathematics embedded in the graphs when they are dealing with the linear position— time graphs. Ten tool graphs were designed based on the position-time graph as the research tools in this study. Twelve 9th grade students, 6 males and 6 females, were chosen randomly. Through doing semi-structured interviews, the researcher collected the data and deeply explored whether participants could manipulate the states of motion of objects and comprehend the mathematical concepts embedded in the graphs when they were dealing with the linear position time graphs. The. 政治大. collected data were analyzed qualitatively and organized. The conclusions are as. 立. follows:. 1. The students’ capability of slope and intercept in mathematics is insufficient,. ‧ 國. 學. and it influences their learning of the position-time graphs. 2. Students only have little understanding of the presentation of the graphs. Thus,. ‧. they cannot apply mathematical abilities or interpret real phenomena.. y. Nat. Following suggestions are provided according to the conclusions in this study:. sit. 1. Mathematical teaching should be emphasized on the connection with the. al. er. io. science domain.. v. n. 2. Mathematical teaching should highlight the connection between abstract. Ch. symbols and real situations. engchi. i n U. 3. Science teaching should guide the students to transfer the new knowledge to the learned knowledge. 4. Multiple teaching resources should be used properly to help students proceed to learn multiple intelligences. The direction of further studies can aim at different participants, different patterns of questions or expanding the study on speed-time graphs and acceleration-time graphs to apply the knowledge and theories of science and mathematics in life. Keywords: linear, position-time graph, slope, intercept. I.

(3) 摘要本研究的目的在於了解九年級國中學生在處理直線型的位置–時間圖形時，是否可真實操作物體的運動狀態，及了解圖形中所隱含的數學概念。. 本研究將位置–時間圖設計成十張工具圖形作為研究工具，隨機抽取十二名國中九年級學生，男女各六位，透過半結構性晤談，以蒐集個案在處理直線型的位置–時間圖時，是否可操作物體的真實運動狀態，以及能否掌握圖形中所隱含的數學概念逐一作深入的探討，再以質化的方式分析及統整所蒐集的資料，得到的結論如下：一、學生數學的斜率、截距能力不足，以致影響位置–時間圖的學習。. 政治大. 二、學生圖形表徵的理解薄弱，以致於無法應用數學能力及解釋真實現象。. 立. 根據本研究的結果，可提出下列建議：. ‧ 國. 學. 一、數學教學應加強與科學領域之連結二、數學教學應著重抽象符號與真實情境之連結. ‧. 三、科學教學應輔導學生建立新舊知識之遷移. Nat. io. sit. y. 四、數學教學應善用多元教學資源，以協助學生進行多元智慧之學習. n. al. er. 在未來的研究方向，可考慮不同的研究對象、題目型態或是繼續擴大研究. i n U. v. 至速度–時間圖、加速度–時間圖，加強科學與數學的知識理論應用於生活中。. Ch. engchi. 關鍵字：直線型、位置–時間圖、斜率、截距. II.

(4) 目. 錄. Abstract ...................................................................................................................... I 摘要...........................................................................................................................II 目錄..................................................................................................................... III 表目錄............................................................................................................. IV 圖目錄...............................................................................................................V 第一章緒論........................................................................................................... 1 第一節研究背景與研究動機....................................................................... 1 第二節研究目的........................................................................................... 5 第三節研究問題........................................................................................... 5 第四節名詞界定........................................................................................... 5 第五節研究限制........................................................................................... 5 第二章文獻探討................................................................................................... 6 第一節數學與科學之密切關係................................................................... 6 第二節表徵................................................................................................... 9 第三節 x-t 圖相關之研究 ........................................................................... 14 第四節多元智慧......................................................................................... 19 第三章研究方法與步驟..................................................................................... 22 第一節研究設計......................................................................................... 22 第二節研究工具......................................................................................... 23 第四節研究方法的構思............................................................................. 34 第四章資料分析................................................................................................. 37 第一節 x-t 圖形的截距概念 ....................................................................... 38 第二節 x-t 圖形的斜率概念 ....................................................................... 54 第三節 x-t 圖形的方向性概念 ................................................................... 80 第四節 x-t 圖形的截距概念與斜率概念之相關影響 ............................... 89 第五章結論與建議........................................................................................... 120. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 第一節結論............................................................................................... 120 第二節建議............................................................................................... 124 附錄 A 直線型 x-t 圖形之研究–專家效度半結構式訪談大綱 ...................... 127 附錄 B 工具 ....................................................................................................... 130 附錄 C 訪談文字稿 ........................................................................................... 138 參考文獻............................................................................................................... 180. III.

(5) 表. 目錄. 表 3-1 直線型 x-t 圖形參與校訂之現職教師、研究所博士生一覽表.............. 29 表 3-2 專家訪談建議與修定情形對照表 ............................................................ 31 表 3-3 學生之數理能力對照表 ............................................................................ 34 表 4-1 高數理能力受試者在處理直線型 x-t 圖的截距概念表現之比較.......... 41 表 4-2 中數理能力受試者在處理直線型 x-t 圖的截距概念表現之比較.......... 46 表 4-3 低數理能力受試者在處理直線型 x-t 圖的截距概念表現之比較.......... 52 表 4-4 高中低三種不同數理能力探討截距概念之表現 .................................... 53 表 4-5 高數理能力受試者在相同座標軸刻度的圖形比較物體運動快慢 ........ 60 表 4-6 高數理能力受試者在探索直線型 x-t 圖形的斜率概念比較.................. 60 表 4-7 數理能力受試者在相同座標軸刻度的圖形比較物體運動快慢 ............ 69 表 4-8 中數理能力受試者在探索直線型 x-t 圖形的斜率概念比較.................. 70 表 4-9 低數理能力受試者在相同座標軸刻度的圖形比較物體運動快慢 ........ 77 表 4-10 低數理能力受試者在探索直線型 x-t 圖形的斜率概念比較................ 78 表 4-11 高中低三種不同數理能力探討斜率概念之表現 .................................. 79 表 4-12 高數理能力受試者在方向性之表現比較 .............................................. 81 表 4-13 中數理能力受試者在方向性之表現比較 .............................................. 84 表 4-14 低數理能力受試者在方向性之表現比較 .............................................. 86 表 4-15 高中低數理能力受試者在方向性之表現比較 ...................................... 88 表 4-16 高數理能力受試者對於直線型 x-t 圖形受截距影響的斜率概念........ 98 表 4-17 中數理能力受試者對於直線型 x-t 圖形受截距影響的斜率概念...... 108 表 4-18 低數理能力受試者對於直線型 x-t 圖形受截距影響的斜率概念.......118. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. er. io. sit. y. Nat. 表 4-19 高中低三種不同數理能力探討受截距影響之斜率概念表現 .............119. n. al. Ch. engchi. IV. i n U. v.

(6) 圖. 目錄. 圖 1 圖形視為圖像.................................................................................................. 3 圖 3-1 直線傾斜度較大 ........................................................................................ 23 圖 3-2 直線傾斜度較小 ........................................................................................ 24 圖 3-3 地圖 ............................................................................................................ 32 圖 3-4 實施步驟流程圖 ........................................................................................ 36 圖 4-1 低數理能力學生 BL2 在圖形上之表現 ................................................... 48 圖 4-2 低數理能力學生 BL2 在圖形上之表現 ................................................... 50 圖 4-3 高數理能力受試者 GH2 在過原點圖形之斜率表現 .............................. 54 圖 4-4 中數理能力受試者 GM1 在過原點圖形之斜率表現.............................. 62 圖 4-5 中數理能力受試者 GM2 在過原點圖形之斜率表現.............................. 63 圖 4-6 中數理能力受試者 BM2 在過原點圖形之斜率表現 .............................. 63 圖 4-7 中數理能力受試者 BM2、GM2t 軸之上水平直線圖形斜率概念表現 67 圖 4-8 中數理能力受試者 BM2 交 t 軸之下水平直線圖形斜率概念表現....... 68 圖 4-9 高數理能力受試者 GH1、GH2、BH2 在過原點直線型 x-t 圖形表現. 90 圖 4-10 高數理能力受試者 GH1,GH2,BH2 在非過原點正截距之斜率表現 ... 93 圖 4-11 高數理能力受試者 GH1,GH2,BH2 在非過原點負截距之斜率表現 ... 95 圖 4-12 中數理能力受試者 BM2 在過原點的直線型 x-t 圖形之表現............ 100. 立. ‧. ‧ 國. 學. 中數理能力 GM2,BM1,BM2 在非過原點圖形正截距之斜率表現 ... 102 中數理能力受試者 GM2,BM1,BM2 在圖形的負截距概念之表現 ... 105 低數理能力受試者 BL1、BL2 在過原點直線型 x-t 圖形之表現.......110 低數理能力 GL2、BL1、BL2 在非過原點正截距圖形之表現..........112 低數理能力 GL2、BL2 在非過原點負截距圖形之表現.....................115 圖 1 .......................................................................................................... 130 圖 1a ........................................................................................................ 130 圖 1-1....................................................................................................... 131 圖 1-2....................................................................................................... 131 圖 2-1....................................................................................................... 132 圖 2-2....................................................................................................... 132 圖 2-3....................................................................................................... 133 圖 2-4....................................................................................................... 134 圖 2-5....................................................................................................... 135 圖 2-6....................................................................................................... 135 圖 2-7....................................................................................................... 136 圖 3-1....................................................................................................... 136 圖 3-2....................................................................................................... 137. n. al. er. io. sit. y. Nat. 圖 4-13 圖 4-14 圖 4-15 圖 4-16 圖 4-17 附錄 B 附錄 B 附錄 B 附錄 B 附錄 B 附錄 B 附錄 B 附錄 B 附錄 B 附錄 B 附錄 B 附錄 B 附錄 B. 政治大. Ch. engchi. V. i n U. v.

(7) 第一章緒論第一節. 研究背景與研究動機. 國際知名數學學家丘成桐曾說：數學是科學的語言，數學也是協助工業和商業發展的工具之一，學習數學不僅能讓我們擁有解決困難問題的能力，還能幫助我們了解大自然以至於宇宙的運作。蔡淑君（2010）指出科學知識源自人們科學現象的觀察，透過歸納與推理而建立科學概念，漸漸形成知識，進一步了解科學現象中變項與變項之間的關係。而這些關係即使頗為複雜，然而數學卻能夠簡潔的、明確的表達變項與變項之間的關係，因此，科學知識常以數學. 政治大. 作為表徵的工具或語言，而好的科學學習則是將科學現象、科學知識、數學知. 立. 識三者緊緊相扣。隨著科技的進步我們的生活愈來愈便利，例如，自2007年高. ‧ 國. 學. 鐵通行後，台北到高雄不再需要費時一天的車程，只要短短兩個小時以內就能抵達；大眾捷運的文湖線開通以後，從內湖到木柵動物園看貓熊，也能在四十. ‧. 分鐘內抵達，便捷與快速的大眾運輸縮短兩地的距離以及時間的花費，這些都. y. Nat. sit. 需歸功於科學家為提升我們生活品質所做的貢獻。從科學史可以發現在自然現. n. al. er. io. 象中，從觀察物體運動的快慢，到深入了解以及描述速度的概念，進而發展了. i n U. v. 數學的變量及函數等概念作為描述的工具，對物體運動的問題建立起運動學的科學知識。. Ch. engchi. 既然速度問題環繞在日常生活中，研究者發現不同的求學階段，所能傳達的物理概念也不同，根據皮亞傑的認知發展論，本國國小學童在學習速度問題時，大多學童屬於具體運思期（concrete operational stage）的認知階段，尚未到達形式運思期（formal operational stage），對於負速度用來表示物體反向運動之概念，以及生活經驗影響的緣故，是以「速度」一詞取代物理定義中的速率概念來描述物體運動的快慢，並且不涉及方向的問題；到了國中階段，才開始引入物理定義的速度概念：所謂速度（velocity）是描述物體運動的快慢以及運動方向的物理量，包含單位時間內物體位移的距離和方向三種要素，是一 1.

(8) 個向量（vector quantity）；而速率是物體位移的距離與所耗費時間之比，它是速度的大小不含方向，只是一個純量（scalar）（大華百科全書，1995；牛頓數學辭典，1997；物理大辭典，1974）。由於物體運動速度的快慢根據物理的定義是位移與時間的關係，洪健寶（2005）指出變項與變項之間的關係，時常會透過數學式、表列，以及圖形三種方式描述。而常雲惠（2002）則認為數學式與表列或圖形的功能相當，皆可表示變項與變項之間的關係，通常數學式是最簡潔的表達方式；表列是把各個變項的數值以列表的方式呈現；圖形則是利用視覺的方式，透過對圖形的觀察掌握各個變項之間的關係，甚至用來預測變. 治政大多多的數字間所隱藏的意涵。換句話說，描述運動中的物體位置隨著時間的改立項之間未來的發展，亦能釐清數學式中的係數所表示的意義，或是表列中許許. 變，可以透過數學的語言作轉換，分別以數學式、表列、圖形三種不同的型式. ‧ 國. 學. 來呈現。. ‧. 對於科學學習來說，大部分都以圖形作為教學上的考量，陳秋萍（2004）指出在科學的教科書或有關於科學的報導中，圖形的應用相當普遍，我國中小. Nat. sit. y. 學的教科書就含有大量的圖形。科學運用數學上的圖形工具是因為它不但可以. er. io. 視覺化的解釋各變項之間的關係（Bastide, 1990; Chambers, Cleveland, Kleiner. al. & Tukey, 1983; Lemke, 1998），可以取代文字敘述之外，亦將抽象概念轉化成. n. v i n Ch 具體的圖像，也比較容易引起學習者的注意力，進而幫助記憶。科學家從觀察 engchi U 科學現象中取得訊息，利用圖形將訊息做有系統、具體的呈現。我國在國中階. 段自然科學所學的直線運動單元，對於描述物體運動的狀態，便足以直線的關係圖形來表示，像是位置–時間圖、速度–時間圖、加速度–時間圖等，而直線雖然是圖形中較簡單的圖形，但卻令人意外的是，在許多人的研究中發現：以直線圖形呈現的物理概念，常常是讓學生感到比較難理解的部份（簡順永， 1999；McDermott, 1986; Trowbridge, 1980; Brasell & Rowe, 1993）。研究者在陳秋萍的文獻中發覺學生會將速度–時間圖形混淆成位置–時間圖形，亦如圖形視同圖像（graph as picture），然低分組的學生較容易產生這類的錯誤，圖形視同運動的軌跡，而研究者也在一本教科書中發現到這個問題，學生會將圖形的曲線視為物體所走的路徑（Janvier, 1978），如下圖1所示： 2.

(9) 圖1 圖形視為圖像資料來源：by Janvier C.（1987）. x. t 也有的學生視位置–時間圖為物體運動的軌跡圖，將線段的方向認為是物. 政治大動。研究者在去年任教九年級的學生，學生正值理化科學習等速度運動單元及立體運動的方向，線段往上就表示物體往上運動，線段往下就表示物體往下運. ‧ 國. 學. 數學科複習進度在線型函數的單元，研究者亦發現許多學生在這兩科相關的學習上並沒有利於正向遷移，反而產生許多混淆及當成不相關的片面知識，進而. ‧. 造成許多學生對於科學，特別是對物理產生了莫大的恐懼感，當他們產生這樣. sit. y. Nat. 的感受時，又正值學習時數減少和國中基本學力測驗的升學壓力，也難怪學生. io. er. 對於圖形及相對的公式，自然就以背誦和記憶的方式處理，如此的能力與九年. al. 一貫所培養的「帶著走的能力」有著極大的差異。. n. v i n C h Council of Teachers 美國數學教育協會（National e n g c h i U of Mathematics [NCTM],. 2000）認為數理教育應當注重學生在數學課中所學得的概念應用到數學以外的活動，轉化數學技能到應用的領域問題。故加強學生在圖形與真實情境間的轉換、以及數學式間的轉換的同時，讓學生明白數學與科學之間的關係，就是學生所學習到部份的科學知識是科學家們將所觀察到的科學現象，透過嚴謹的數學方法驗證及描述後建立起來的，而抽離了這些情境後的數學，自然就是一堆. 抽象的符號。在McDermott 等人（1987）的研究發現有些學生無法將他們在數學課裡學到的圖形概念應用到其他學科。根據研究者在國中的教學經驗，學生學完三年數學後，即使了解數學與科學之間關係密切，但對數學的觀感仍是. 3.

(10) 一堆公式、符號、證明、計算，根本無法連結、應用到其他學習領域，徐文鈺（1992）認為像是數線、座標圖等都是與數學學習有關的呈現方式，將抽象的概念或內心所想概念以視覺的方式表現。因此，研究者欲探討學完數學線型函數能力的九年級學生，在科學課程所面臨到的位置–時間圖形是否能改變一次函數，及對於圖形所對應到真實情境之相關性為何，並對學生解讀圖形之歷程作質化分析，以提供數學、科學教學者，在未來兩大學習領域有更多的連結。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 4. i n U. v.

(11) 第二節. 研究目的. 鑒於以上研究動機，本研究的研究目的為了解九年級學生在處理位置–時間圖形問題，是否掌握位置–時間圖形中所隱含的數學概念，以及位置–時間圖所對應真實物體之運動狀態。. 第三節. 研究問題. 1.九年級學生如何處理直線型x–t圖形中的截距和斜率概念？ 2.九年級學生在處理直線型x–t圖形時，是否能對應到的真實物體運動狀態？. 第四節. 名詞界定. 治政大 2.位置–時間圖：縱軸表示物體的位置、橫軸表示物體運動的時刻，此研究將立以x–t圖簡稱。 1.直線型：本研究所探討的位置時間圖皆以直線型為主。. ‧ 國. 學. 3.正向遷移：學習過的舊事物後的經驗有助於以後新學習現象。 4.斜率：在座標平面上，直線上的某一點水平往右一個單位時，再往上或往下. ‧. 移動多少單位才回到直線，此量以斜率稱之。. sit. y. Nat. 5.截距：直線與 x 軸交點的坐標稱為直線的 x 截距，與 y 軸交點的坐標稱為直. io. n. al. 第五節. Ch. 研究限制. engchi. er. 線的 y 截距。. i n U. v. 1.本研究欲探討教學現場的真實現況，但限於人力、物力及客觀的因素，且九年級學生正逢考試衝刺期，無法有大量時間做前測，故不預設工具施測結果，以探索性的心態蒐集原案全貌。僅以台北市立某國中十二位九年級學生為樣本，因此不宜過度推論。 2.本研究以半結構性晤談的方式來蒐集學生對應到的數學能力及 x-t 圖轉換到的真實物體運動，但礙於受試者有時候很難同步作到邊看、邊說、邊想、邊寫，故有時候難以得到受試者完整的訊息。 3.本研究只限於研究 x-t 圖，且以單一直線為主，未來可以探討綜合圖形或是兩條以上的直線圖形，甚至可以再深入研究 v-t 圖、a-t 圖。. 5.

(12) 第二章文獻探討第一節. 數學與科學之密切關係. 一、數學與科學之關係數學不僅僅讓學生擁有解決困難問題的能力，還能協助學生了解大自然、宇宙的運作。獲得諾貝爾獎的物理學家楊振寧（1995）：「我欣賞數學家的價值觀，我讚美數學的優美和力量：它有戰術上的機巧與靈活，又有戰略上的雄才遠慮，而且，奇蹟的奇蹟，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本結構。」然而，愛好科學的人，多半知道從牛頓以來，數學與科學之間密切的關係，今. 政治大. 日許多科技成果追本溯源，處處皆可見到數學的足跡。. 立. 據說文解字，科，會意字：「從禾從斗，斗者量也」；故「科學」一詞乃取. ‧ 國. 學. 「測量之學問」之義為名，並將所有的知識統稱為「學問」。而數學是人類面對實際生活時，解決問題而產生的，依循嚴謹的邏輯程序發展成一個知識體. ‧. 系，它的特點在於能從問題的本質，探究內在深層的模式與結構，它的敘述方. y. Nat. sit. 式更是一種抽象形式的語言（教育部，2003）。而學習科學的目的，不只是學. n. al. er. io. 習科學的知識內容，更重要的是學習科學的態度與科學的精神。科學是製造新. i n U. v. 知識的過程，在這個過程中，我們會加以仔細觀察發生的現象，在觀察後建立. Ch. engchi. 了一些理論作為描述與解釋所觀察到的事物與現象。學校的科學知識，除了讓學生熟悉之外，更應該讓學生了解這些知識的產生過程，並非告知學生產出的結果，學生認為科學難以學習之處就是在此，幾千年的科學知識，是透過嚴謹的科學方法推論所得的結果，學生縮短了前人從觀察到驗證的時間外，更須要想辦法從理解到應用，從分析再到創造，才能促使科學進步，相信這應當是現今科學教育中最需要改進的地方，原因是我們只是學了科學知識，而沒有學到真正的科學。賴燕慶（2006）表示學習科學就像是學習累積新知識的過程，透過謹慎的觀察、嚴密的設計、精進的分析，才能為全人類累積新的知識，並也主張學生應多做實驗、研究，從中學習累積新知 6.

(13) 的步驟，不能只是讓學生記憶前人累積的科學知識，所謂真正的科學是要在人類還未發掘的領域中，透過科學的方法來驗證、探索出人類從未探索的知識，才是九年一貫自然與生活科技學領域的精神所在。同樣的，在九年一貫的數學學習領域中，學生應當重視數學知識形成的過程、理解數學的知識，培養驗證和批判的研究精神，並將數學應用在真實生活的問題解決中，清楚的了解到我們的世界是奠定在數學基礎上，發掘數學其實是生活的、實用的、無所不在的，體驗數學的真實感受。科學當數學是一種檢查外在世界的語言，為的是發現其次序和其和諧，這些事物透過數學而裸露在. 治政大連結，以及數學在生活情境、歷史、其它學科（如自然科學）的連結。立. 我們的面前，所以，課程的設計更應該注重數學與各學習領域內在結構的互相. 二、加強科學與數學的連結是為課程重要目標之一. ‧ 國. 學. Halloun & Hestenes（1985）指出有好的數學基礎才能成就好的物理。像. ‧. 是萊布尼茲的微積分與牛頓定理的結合，對於變化速率的分析更為快速容易，. y. Nat. 不論是在地板上滾動的球或太空中行星的運轉，或是人造衛星環繞地球的運. er. io. sit. 動，都能更精確的加以了解和控制（林炎全等，民72）。Ruthford & Ahlgren(1990) 提出的2061計劃方案(Project 2061）中談論數學本質，亦指出科學與數學之關. al. n. v i n 係，科學提供數學有趣的探究問題之情境，而數學則提供了科學作為有用的分 Ch engchi U 析工具，也提醒所有的數學或是科學教師，應該別於過往著重於科學理論及數學的抽象學習，應當加強連結科學與數學的知識理論於生活中，並非只是單純的傳授或學習知識。美國數學教育協會（National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000）主張數理的教育應當重視學生們將數學課堂裡所學到的應用到數學以外的相關課程或活動中，這項主張也指示了數學技能應用到其他領域的問題。近年來數學教育的改革開始重視數學應用在實際生活的問題解決，即使許多人對數學的印象是抽象的、理論的、符號的、不實用的、艱深難懂的科目，透過教育的落實與改革，從日常的生活經驗著手，運用、綜合相關學科的知識 7.

(14) 及技能，以培養解決實際問題的態度及能力，如科學中的運動學與數學的函數概念極為密切、力的測量單元必須具備數學的解讀圖表訊息的能力、溶液的 PH值單元必須具備數學的對數基本概念、電磁感應單元必須具備數學向量外積的概念等，不論是物理現象、還是化學現象皆存在許多數學知識的概念。九年一貫數學領域課程綱要提及數學能力為國民素質的一項重要指標，除了數學知識外，計算能力、抽象能力及邏輯推演能力的培養是整個數學教育的主軸( 教育部，2004 )。而計算能力、抽象能力及邏輯推演能力，正是科學學習過程技能中所需要的能力之一，另外，也包括圖表的製作與解讀、數據的分. 治政大學生困擾的不僅是數學課程的學習，也影響著科學課程的學習( Czerniak et al, 立. 析等都是透過數學能力進行科學學習。若學生沒有具備所必須的知識與能力，. 1999 )。. ‧ 國. 學. 試想，學生在學習科學時所需的數學概念若不足以運用時，則學生在學習. ‧. 科學概念將處處受到阻礙。此外，自然與生活科技領域課程的能力指標中，有. y. Nat. 許多部分都需要具備基本的數學能力。而數學能力依據在科學學習上的運用可. er. io. sit. 歸類為：製作圖表的能力、數據分析的能力、判斷的能力、推理的能力等，可見數學在科學中的角色並非單純計算而已。因此，教師必須在理化教學中運用. al. n. v i n 到數學概念，學生也必須發揮數學能力進行科學的學習。楊宗達（2001）在自 Ch engchi U. 然科學課程的設計上強調應考量重視科學知識的傳達，以及科學與其它學習領域的關聯性。張惠博（1986）發現九年級的理化課程，學生缺乏繪製正確的座標圖形的能力，甚至在處理具有誤差的測量值時，也未能依變量之間的函數關係繪成應有的函數圖形，僅能將諸點數據資料以線段連接起來；也就是說，有待加強學生在函數概念應用在物理實驗數據的處理能力。. 8.

(15) 第二節. 表徵. 一、認知心理學的表徵「認知」這個名詞，通常指與知識的獲得有關的心理活動或歷程，包含推理、判斷、感覺、視覺、語言、情感、記憶、學習和肢體技能等。在認知心理學上，所謂表徵就是把某件事物「重新呈現」，在我們心裡的任何標記、符號、或一組象徵，但是該項事物並沒有實際出現（Eysenck & Keane，李素卿譯，2003）。而以認知心理學的觀點，表徵的概念可以用來說明幾乎所有的人類的心智活動（韓承靜，1998）。Bruner將人類對其環境週遭事物，經知覺而將外在物體或事件轉換為內在心裡事件的過程，稱為認知表徵，或知識表徵。. 治政大（一）動作表徵為靠動作來獲得知識。立（二）形象表徵或圖像表徵為經由物體知覺留在記憶中的心像，或靠圖形、照. 意指人類經由認知表徵的過程獲得知識，可分為三個階段（鍾瑞珍，2002）：. ‧ 國. 學. 片等獲得知識。. （三）符號表徵或象徵表徵指運用符號、語言文字為依據的獲得知識的方式。. ‧. Hibert 和 Carpenter 將表徵依其存在的方式區分為外在表徵（external. sit. io. al. n. （一）外在表徵. er. 1997）：. y. Nat. representation）與內在表徵（internal representation），分述如下（引自黃永和，. Ch. i n U. v. 指以語言、文字、符號、圖片、具體物、活動或實際情境等形式存. engchi. 在的表徵。透過外在表徵，我們可以表達出自己的想法而與他們達到溝通的目的。（二）內在表徵指存在於個人心中或腦海裡，他人無法直接觀察的心智表徵。透過內在表徵，個體可以進行想像、構思、推理等心智思考的活動。綜合上述，我們可以理解在心理學「表徵」一詞，是在描述個體內在或心理的建構和外在表現的形式，而本研究中所指的表徵即是指外在表徵。. 二、數學表徵在數學學習中，「表徵」（representation）是個非常重要的概念。就認知 9.

(16) 心理學家 Sternberg（1996）所下的定義是指：「個人心智中對於外界的人、事、物所了解到的形式」。李伯黍等譯（2003）指出一般心理學的表徵是指代表、取代、象徵或表示一個事物為另一個的事物。張春興（1989）認為表徵是將外在真實世界轉換為心理事件的歷程。彭聃齡和張必隱（2000）對表徵作出兩種解釋，第一種是某種東西的信號，包括內容和形式；第二種是知識的組織方式。曾靖雯（2002）將表徵定義為數學學習中，思考、解釋接收到的訊息，並用以表達想法，和他人溝通的媒介。蔣治邦（1994）表徵以某種型式，將事物或想法重新顯現出來，達成溝通的目的；切實掌握其所表示的意義後，表徵則可以進一步地成為運思材料，簡化解題的過程。換句話說，「溝通工具」和「運思活動材料」是表徵的功能。劉秋木（1996）認為使用一個符號表示一組. 政治大可以是動作、擬聲、圖畫、圖形，或是心像，亦可以是抽象的文字；在數學學立. 經驗時，我們所使用的符號便是該組經驗的表徵（或譯為表象），所用的符號. ‧ 國. 學. 習上，表徵應被視為幫助學生了解數學概念和關係的有效概念。數學表徵的研究是者根據莊凱安（2002）、魏君芝（2002）以及謝孟珊（2000）. ‧. 三位研究者的研究資料整理而成。數學的表徵分為四種互動的表徵類型（Kaput，1987；吳昭容，民 81）. y. Nat. sit. （一）認知及知覺表徵（cognitive and perceptual representation）：指學生在使. al. er. io. 用數學符號（外在表徵）時所形成的內在系統。. v. n. （二）解釋的表徵（explanatory representstion）：指聯結自然語言或心像與其. Ch. engchi. 他數學符號之間關係的系統。. i n U. （三）數學內的表徵（representation within mathematices）：指以數學的某一種結構呈現到另一結構特性的系統。（四）外在符號表徵（external symbol representstion）：指以外的符號表徵數學性質的系統。國內外各國的數學教育對表徵都相當重視，美國數學教師協會（簡稱 NCTM）在二０００年出版的《學校數學的原則和標準（Principles and standards for school mathematics）》中提到由幼稚園至中學的學生在表徵方面所應該達到的三個教育目標：（一）建立和使用表徵來組織、記錄及溝通數學思維；（二）選擇、應用和轉譯數學各種表徵來解決問題； 10.

(17) （三）使用表徵模式化和詮釋物理的、社會的和數學的現象。我國在九年一貫課程綱要數學學習領域中就提到許多表徵，發展抽象化能力始於能運用符號、記號、模型、圖形或其它數學語言、清楚傳達量化、邏輯關係；溝通包括理解與表達兩種能力，所以，數學溝通一方面要能了解別人以書寫、圖形，或口語中所傳遞的數學資訊，另一方面，也要能以書寫、圖形，或口語的形式，運用精確的數學語言表達自己的意思。在「連結」主題的指標（C-S-02）明列「能選擇使用合適的數學表徵」；在「溝通」主題的指標（C-C-01）明列「為了解數學語言（符號、用語、圖表、非形式化演繹等）的內涵」。此外，強調數學教育要能啟發學生自行在不同數學概念之間做連結，並連結數學. 治政與其它學習領域（教育部，2003）。大立由此，看出國內外數學教育對表徵學習的重視，表徵被視為學習數學所應 ‧ 國. 學. 具備的重要能力之一。Von Glasersfeld（1995）認為學生將他們所參與的活動，透過心理的表徵而建構他們對活動內容的運思。. ‧ y. Nat. 三、科學表徵. io. sit. 研究者發現中、高程度的學生大多數皆可以掌握文字表徵，只需多指導學. n. al. er. 生圖形所聯結的科學意義；而低程度的學生則須從引導理解文字表徵再逐步轉. i n U. v. 換至圖形表徵。從科學教育的眼光來看，推理的過程是可以機械模組化的，但. Ch. engchi. 此機械式的過程可能讓學習者本身失去了創造力、想像力，若能夠根據問題情境，彈性的運用適當的數學表徵，如具體操作的、圖表的、符號的…等等具體或抽象的方式，思考和培養解決問題能力的基本要素，也就是說數學表徵在數學學習的過程當中佔有相當重要的地位。而科學表徵就是一種現實世界的表現，圖表以及具體操作亦是表徵的一部分，所以彈性的運用與結合數學表徵以及科學表徵，做適當地轉換，對學習者來說肯定是一種正增強的刺激。其表徵類型大部份是以圖片及附加文字說明來聯結科學學習概念，圖片除了是表徵的一種型態之外，Hegarty＆Just（1989）指出圖形具備可以描繪事物的空間與視覺上的性質以及提供更快速、簡明的訊息。除了圖片之外，還有實驗紀錄表，亦是科學表徵的一部分。另外透過教具、動畫、實際的操演，也同. 11.

(18) 樣的能使學生學習到運用相同的技巧表徵所欲學習的科學概念。除此，尚有一個最重要的表徵，就是科學符號的使用，學習者對於科學符號的來由，科學符號的使用，以及整個公式背後所代表的自然現象又為何，學習者極有可能是不了解背後所代表的科學意義，進而導致無法連結。當學生在從事科學學習時，做科學問題思考與解題過程中所呈現的一切實務作為，包括運用不同方式的外在表徵詮釋科學現象、表達想法，在學習過程運用表徵做預測，在學習情境中使用表徵溝通科學概念，及學習成果的呈現方式，當然也必須是自身經驗與現實世界的結合。 Lesh等人（Behr, Lesh, Post & Silver, 1983; Lesh, Landau & Hamilton, 1983; Lesh，Post & Behr, 1987）以Bruner認知表徵理論為基礎，利用溝通觀點，將. 政治大和書寫的符號，分為下列五種類型：立. 圖形表徵分成動態的操作模型和靜態的圖畫或圖解；符號表徵分為口述的語言. ‧ 國. 學. （一）以經驗作為基礎的腳本（experience-based script）：在這個種類中，知識由「真實世界（real world）」的事件組織起來，提供一般性的脈絡. ‧. 以解釋或解決具有相同的或相類情境的問題。. （二）可操作的模型（manipulatable models）：如古氏積木、算術積木、分數. y. Nat. sit. 棒、數線等，在這些表徵中的「元素（elements）」，本身沒有多少意. al. er. io. 義，而在這些模型中所加入的關係與操作，可以適用於許多日常情境。. v. n. （三）靜態圖形或圖片（static pictures）：這些是靜態的模型，可以動手操作. Ch. engchi. 模型，內化為「心像（images）」。. i n U. （四）口述的語言（spoken language）：運用日常生活所使用的口語來敘述，以表達想法或解題過程。（五）書寫的符號（written symbols）：常用數學符號或數學式，和語言一樣，亦包含特殊化的句子和片語。. Lesh等人是以溝通為主的表徵，表示某些約定成俗的共識（蔣治邦， 1994），除了五個互動的表徵很重要外，表徵間的轉譯和表徵內的轉換同等重要。也就是說，不只是構成的元素重要，而元素與元素間的動態關係亦為重要。九年一貫課程綱要數學領域的基本理念裡，對於培養學生的溝通能力，在於要能了解他人以書寫、圖形，或口語中所傳遞的數學資訊，相對地，也要能以書 12.

(19) 寫、圖形，或口語的形式，運用正確的數學語言表達自己的意思。對照於Lesh 等人以溝通為觀點的表徵，學生要能做好與他人的溝通，對書寫的符號表徵、圖畫或圖解表徵以及口述的語言表徵來說，學習更加顯得特別重要。蔣治邦（1994）認為，儘管這五種表徵都是可以讓外人察覺，但是圖形與符號的運思，都屬於內部的活動，難以立即觀察得到。是故，在評估時，亦需依賴學生將其活動過程表現出來，才有辦法進行溝通。也就是這兩種表徵這兩種表徵都必須在教學者的要求下，學習者才可能利用再表現的方式呈現出來（王淵智， 2005）。. 經閱讀眾多學者對表徵的論點，可見表徵在學生的數學學習上具有相當的. 政治大時間圖形的表徵著手，從探討學生表徵之間的連結及轉譯，以了解學生在學習立重要性，因此，研究者認為欲探討學生線型函數概念，可以從其對應的位置–. ‧ 國. 學. 線型函數與操作情境轉換間的歷程。故研究者將以直線型位置–時間圖為外在. 符號表徵工具，並以玩具小汽車、地圖等外在表徵為驗證工具，再請學生以口. ‧. 述及行為表達出來，以便了解學生圖像表徵理解程度，並追蹤其學習過程中內在表徵的轉譯。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 13. i n U. v.

(20) 第三節. x-t 圖相關之研究. 一、速度與速率概念的迷失與困難（一）速度與速率的差別許多的研究中發現，九年級學生在學習速度概念時，常常有許多的困難與迷思，別與在小學階段所學習的速率。根據物理大辭典（1974）的定義，速度（velocity）是物體在平均單位時間內之位移，包含時間、距離和方向三種要素；而速率（speed）是物體行進的距離與所耗費時間之比，用來描述物體運動或過程進行的快慢，是無方向的量。除此，牛頓數學辭典（1997）也解釋： JK 速度(velocity)的符號為 V 。當運動方向標明時，位置相對於時間的改變量，速度因而是一向量（vector quantity），其大小 V 稱為速率（speed），單位為米. 政治大. ／秒（m⁄s）或類似單位。速率是為單位時間內，粒子、質點、物體等移動的. 立. 距離，沒有標明方向，只是向量速度(velocity)的大小。由上所述，物理上對於. ‧ 國. 學. 速率與速度的定義大同小異，速度是指物體在單位時間內的位移，包含時間、距離、方向三種關係；而速率是指物體行進的距離與所耗費時間之比，即指在. ‧. 所耗時間內（△t），所經路程長度（△s）的平均值，不考慮行進方向的純量，. sit. y. Nat. 所以，速率和速度是有區別的。. n. al. er. io. （二）學習上常犯的錯誤. i n U. v. 在我國小學學習速率概念時，從許多文獻中可以發現，學生有非常多的迷. Ch. engchi. 思及困難。常犯錯誤解法的原因是為學生欠缺速率、距離以及時間的基本概念，且部分學生太過依賴公式導致只注意各數字所代表的變項，便直接套用公式以求得答案（方正吉，1995；陳秋萍，2004）。學生並不是真的了解公式所代表的科學本意，只是單純的計算、盲目的記憶和使用。針對台北市國民小學中年級兒童對物體運動快慢與力之間的另有概念分析研究中，注意到兩件相當直覺性的錯誤，其一為當兩輛車同時出發，同時到達目的地，但是中間路徑不同時，可發現大部份的中年級兒童是以路徑的長短來判斷運動快慢；其二為兩輛車先後出發，但中間路徑相同且同時抵達目的地時，中年級兒童多數是以時間的先後出發來判斷運動快慢。由此可知，中年級兒童多以直觀思考的方式來判斷運動快慢，而非同時考量距離及時間兩個因素判斷物體運動快慢（陳勇. 14.

(21) 全，2000；陳美月，2000）。. 除了上述錯誤之外，尚有速度正負值的理解問題，洪木利（1983）在兒童重力概念發展的研究中，認為大部分學生對於速度的概念尚未建立完整，並在我國兒童慣性概念的研究中發現兒童在速度概念的三個次概念中，發展的順序依次為：距離→時間→方向。蔡枚芳（1999）在兒童牛頓第二運動定律相關次概念之研究中，更進一步指出兒童的概念發展順序為距離→時間→方向→位移 →速度。他認為兒童不論年齡大小，難以結合方向與速度的概念，以「快慢」來描述速度，並對「加速度」的認知程度會比「速度」來的高，換言之，速度概念對於兒童來說是相當困難的。Matsuda(1994)針對四至十歲兒童，探討在. 政治大少時距離的改變）、時間―距離、距離―速率、速率―距離、時間―速率、速立. 直線運動時，速率、時間及距離中，距離―時間（速率固定，當時間增加或減. ‧ 國. 學. 率―時間的六種關係中，探討兒童如何判斷與解釋。研究結果發現兒童是以直覺作為判斷，並且以距離、時間、速率三者中的兩兩之間關係來判斷，而非以. ‧. 「距離－時間－速率」系統關係來判斷。是故，每個階段是否發展健全都會直接影響到下一個階段的學習與理解，更別說九年級學生必須一口氣學完所有關. Nat. er. io. sit. y. 於速度的相關概念。. al. 若以速率概念作為速度概念的基石，除了距離、時間之外，再加上方向、. n. v i n Ch 位移等概念，前所述的研究中發現學生隨著年齡的增長，越能克服速率概念， engchi U 陳勇全（2000）對「速度快慢的判別」，我國八年級學生正確判斷達最高。但是，Goldberg & Anderson（1989）的研究指出學生們雖然知道速度有方向，但他們只關心物體運動的快慢，而不會關心方向和物體運動的速度間的關係，且大部分的高中學生會將「速度」認為是「速率」，因此學生對於「速度」有負值一直感到困惑。Brasell & Rowe（1993）學生易認為物體慢下來，即代表物體的速度為負值。何以見得，速度與速率所計算的數值為正或負數，對於學生來說，能否真的感受物體實際運動情形，更是一個相當大的困難。. 二、學習速度概念之數學概念我國國小階段學習何謂速率概念，意即速度之大小，國中階段是到九年級 15.

(22) 的科學課程中的直線運動單元，才開始學習速度概念，若在其中引入數學的概念，不僅是學習公式的內容概念，更在開始學習科學知識之前，建立學生的重要觀念，主要是因為科學中的各種數學符號，都是對應到真實環境相關特性的紀錄與描述。美國數學教育協會（National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000）認為數理教育應當注重學生在數學課中所學得的概念應用到數學以外的活動，轉化數學技能到應用的領域問題。在此，研究者更注意到另一件事，學生早在七年級就已習得座標平面以及直線方程式的相關概念，但許多研究文獻發現九年級學生對於圖形的解釋、公式的結合運用以及現實生活經驗的連結無法一氣呵成、前後呼應，像是鄭如芬（2001）發現大多學生欠缺將生活中的直線運動相同參數間的關係轉成平面圖. 政治大數學問題，若將此問題轉移到理化課程中，學生也單純的看成理化問題，數學立形的能力。也就是說，同樣的直線圖形若放在數學上，學生會相當直覺的當成. ‧ 國. 學. 與理化之間似乎毫無相關。蔡淑君（2010）運動學的知識表徵包含許多符號與方程式，看似數學作為核心的問題，但實際所應用的數學技巧卻是非常簡單，. ‧. 主要是理解數學符號中的係數與真實世界的關聯性，包括將起始位置、初速度、方向之概念融入直線方程式的詮釋，對這些關係的詮釋更是數理知識不可. y. Nat. sit. 不重視的觀點。在國內科學課程中，不難發現如果學生具有良好的數學基礎能. er. io. 力，其所反應在科學上的學習，像是計算形式的問題，通常都會有較良好的表. al. v i n Ch U 表示物體在 t 時刻的位置，若需計算 e n gt =c4h的ix 值，或在4秒後的物體所在位置 n. 現，特別在運動學單元的計算中，更為明顯。例如，方程式 x = 2t + 5 ，其中 x. x ，八年級以上的學生大部分均能透過代入 t = 4 的值，求出 x = 13 。但同樣的. 方程式，若以不同的表徵方式，假設 x 所描述的是一輛小汽車的運動，要求學生不透過計算，對這輛車大致的運動情形作一說明，例如：從方程式中，觀察初始位置在5的位置。針對這種的轉換方式，大部分學生除了反覆計算、或再逐一描點外，鮮少能夠從公式中相關的符號關係，直接觀察到方程式數值所代表的意義與不同的表徵方式，或是對應到真實世界的運動情形。從中，研究者亦發覺，類似的方程式 x = −2t + 5 ，八年級以上的學生大部分依然能透過代入 t = 4 的值，來求出 x = −3，但此時產生極嚴重的兩個問題，一為學生不清楚 t 前. 面的係數－2所代表的意義？而 t = 4 代入後，得到的值為－3又是何意？更不用談論實際給小汽車操作的運動情形。 16.

(23) Halloun & Hestenese（1985）以及Hestenese、Wells與Swackhamer（1992）在力與運動概念之研究中，學生孤立情境而單純的套用科學公式，這樣或許不會出現問題，但是一旦加入情境條件的描述，方程式所代表的意義可能就被忽略或混淆。倘若學生不能透過抽象的方程式來解決相關問題時，如同直線運動的概念相對於線型函數的數學概念，只是一些支離破碎的科學知識，無法連結、融合成完整的大概念，分離數學與科學之關係。因此，錢正之（2003）在學習直線運動的過程中，老師應協助學生以具體的心像（ concrete and meaningful image）連結數學形式與其對應的運動公式，唯有建立、加強此一能力，在解決相關問題時，才能進一步將理論作為分析之工具。科學知識中運用了數學許多不同的表徵，最普遍使用的是圖形表徵，其主. 政治大 Cleveland, Kleiner & Tukey, 立 1983; Lemke, 1998）。就研究者教授數學的經驗來. 要的原因是為透過視覺化來解釋不同變項間的關係（Bastide, 1990; Chambers,. ‧ 國. 學. 說，圖形是轉換文字敘述最好的工具之一，也是讓學生較為接受的一種方法，但是在研讀許多文獻資料的時候發現：雖然在科學與數學教育中強調圖形的表. ‧. 徵，實際上，卻很少研究認同能夠運用圖形表徵的方式來強調許多的主題的研究（Testa, Monroy & Sassi, 2002）。學生在數學課之外時常接觸圖形，像在. y. Nat. sit. 直線運動單元中的主要表徵為物理公式和圖形，而這兩項表徵若要能操作得. er. io. 好，必需建立在良好數學基礎之上。然而所需要的數學概念對學生來說並不是. al. n. v i n Ch 應的科學情境意義，或理解、詮釋x-t、v-t、a-t圖形等；甚至，發現為學生在 engchi U 困難的，學生遭遇到的問題通常出現在科學與數學的連結上，例如方程式所對. 不同表徵之間的轉換有著極大的困難，即使是優秀的學生在處理代數與圖形的表徵時，如同他們面對這些數學問題是彼此獨立、無法產生連結（Mevarech & Kramarsky, 1997; McDermott et al. , 1987；Moschkovich et al. , 1993）。如同研究者前所述，數學與科學是平行的雙軌，而非相輔相成的朋友。相關的研究也. 指出，大多國內九年級學生並不怎麼了解這些圖形的基本意義，而再進一步將這些曲線圖轉換到不同的數學符號系統（如方程式），則更加困難（Kramarski & Mevarech，1997；Leinhardt，Zaslavsky & Stein，1990）。因為對圖形的意義不了解，學生容易在運動曲線圖中產生迷思，將位置隨時間變化的X－T圖，視做實際的路線繪圖，更別談與數學的直線方程式結合，而且這些迷思即使經過正式的教學之後，學習者對曲線圖的錯誤概念還是不易改變（Kramarski & 17.

(24) Mevarech, 1997; Wainer, 1992）。綜合上述，數理教師應該教導學生透過建構或詮釋曲線圖、表格數據、方程式在相關的學科中作為表徵的工具進行溝通或推理，例如詮釋即是指能從曲線圖中獲得意義，而這項能力需藉助數學的能力（Leinhardt, Zaslavsky & Stein, 1990; Mevarech & Kramarsky, 1997）。當然，研究資料顯示出尚有其他數學能力也會間接影響速度概念之學習，吳連鴻（2003）學童具備比和比值的概念有助於速度解題運算，但與「時間」、「距離」沒有關聯結構的順序性產生。廖鴻禧（2003）的研究中，意識到速度的快慢不只決定於距離或時間單一因素，而是跟時間、距離都有關係，但只有少數的學生會利用數學上的比例關係”距離÷時間＝速度”。Trowbridge 與. 政治大經時間」的函數關係，而不認為「速率」僅是「路程長度」與「經歷時間」之立 McDermott（1980，1981）認為「速率」的觀念是「路程長度」，為相對於「歷. ‧ 國. 學. 間單純的比例關係。根據研究者的觀察，部分九年級學生會把在數學上習得的能力，當成是理化運動學的解題技巧，若請這些學生說明，會明顯發現數學和. ‧. 理化是平行的雙軌，換言之，學生只能先把題目轉換成單一面向的思考，再進而回答題目的需求，當然這些並非科學學習的本意，而這些間接的影響因素亦. y. Nat. n. er. io. al. sit. 不在本研究的討論範圍中。. Ch. engchi. 18. i n U. v.

(25) 第四節. 多元智慧. Howard Gardner 於 1983 年《智力架構》著作中發表「多元智慧論（multiple intelligences）」，認為智慧不是單一的，每個人至少擁有八種不同的智慧，經由適當引導，每一種智慧都有其發展的可能性。此智力的理論涵蓋了傳統智力觀點，且進一步的拓展了其範圍，更重要的是它提供了一個可以發揮自我潛能與肯定自我長處的觀點，因為透過各種探索與引導，每個人都可以找到自己的長才（王美充，2005；王涵儀，2002）。八種智慧分別如下：語文智慧、邏輯數學智慧、空間智慧、音樂智慧、肢體－動覺智慧、人際智慧內省智慧和自然觀察智慧（林義祥，2000；張滄敏，2001；郭俊賢等譯，1999）。以下介紹八種智慧的意義：. 政治大. 一、語文智慧（linguistic intelligence）. 立. 語文智慧是指對口語表達或文字書寫有運用自如的能力，結合句法、音. ‧ 國. 學. 韻、語義、語言實用學等能力。此類學童學習運用語言及文字來思考，教師應. ‧. 提供閱讀材料、寫作工具、錄音帶、對話及討論等教學材料與活動。二、邏輯—數學智慧（logical-mathematical intelligence）. y. Nat. io. sit. 邏輯—數學智慧是指對數字運算和邏輯推理有效地運用的能力，包括對量. n. al. er. 化和假設的抽象概念的敏感性。此類學童特別喜歡數學及科學類的課程，較接. Ch. i n U. v. 受可被測量、歸類、分析的事物。此類學童學習靠推理來思考，教師須提供可. engchi. 探索和思考的事物、科學資料、操作、參觀科學、工藝博物館等教學材料及活動。三、空間智慧（spatial intelligence）空間智慧是指能準確地感覺與體認視覺環境的能力，包括對色彩、線條、形狀、形式、空間之敏感性。此類學童學習用意象及圖像來思考，教師須提供藝術、樂高玩具、錄影帶、幻燈片、想像遊戲、視覺遊戲、圖畫書、參觀美展、畫廊等教學材料及活動。四、音樂智慧（musical intelligence）音樂智慧是指察覺、辨別、改變和表達音樂的能力，包括對節奏、音調、 19.

(26) 旋律或音色的敏感性。此類學童學習透過節奏旋律來思考，教師須提供樂器、音樂錄音帶、CD、唱遊時間、聽音樂會、彈奏音樂等教學材料及活動。五、肢體-動覺智慧（bodily-kinesthetic intelligence）肢體-動覺智慧是指善於運用身體四肢靈巧的傳達想法和感覺，包括協調平衡、敏捷彈性和力量速度等特殊的身體技巧。此類學童很難長時間呆坐不動，其學習透過身體感覺來思考，教師須提供演戲、動手操作、建造成品、體育和肢體遊戲、觸覺經驗等教學材料及活動。六、人際智慧（interpersonal intelligence). 治政大能力，此類學童學習靠他人的回饋來思考，教師須提供小組作業、群體遊戲、立人際智慧是指善解人意和察言觀色，能區分別人的情緒感覺、動機意向的. 朋友社交聚會、社團活動、社區參與等教學材料及活動。. ‧ 國. 學. 七、內省智慧（intrapersonal intelligence). ‧. 內省智慧是指建構正確自我知覺的能力和善用知識來計畫和導引自己的. y. Nat. 人生，包括對自我了解，意識到自己的內在情緒、脾氣、意向、動機和欲求，. 須提供秘密的處所、獨處的時間及自我選擇等。. n. al. Ch. 八、自然觀察智慧（naturalist intelligence）. engchi. er. io. sit. 以及自律、自知和自尊的能力。此類學童學習以深入自我的方式來思考，教師. i n U. v. 自然觀察智慧是指對自然景物有誠摯興趣、強烈關懷及敏銳觀察力、辨識動植物和自然界事物的能力，包括狩獵、農耕、和生物科學等。教師須提供參觀動物園、植物園、水族館、天文台、戶外觀察昆蟲、樹林、岩石、飼養寵物、種植蔬菜、花卉並記錄生長情形等教學材料及活動。. 多位學者認為多元智慧論有下列六項特性（王為國，2000；田耐青，1999；侯淑蓉，2004；張滄敏，2001；Aborn, 2006; Diaz-Lefebvre, Rene, 2006)：一、每個人都具備八種智慧，只是有些智慧發達，有些則不發達。二、每種智慧皆有多樣化的表現方式和不同的發展時機。 20.

(27) 三、每一個人有不同獨特的智慧組合，並以複雜方式統合運作。四、智慧沒有判斷聰明與否的一組標準特質。五、人類是以豐富的方式揉和各項智慧，表現其特有的天賦才能。六、多元智慧在適當的教導下，在特定領域裡可以得到相當的發展。. 研究者從 Gardner 的理論獲得關於人類智慧的理論基礎，而且對於學生能力的信念給予有力的支持，因此本研究想要從學生在圖形、口述，以及操作玩具小汽車的表現來探討學生的不同多元智慧，並提醒教師在教學時，注意多元. 政治大. 智慧具有可教導、會成長、因人而異、多樣化、獨特性、互動性等特質，以提升教學成效。. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 21. i n U. v.

(28) 第三章研究方法與步驟第一節. 研究設計. Hoyles（1982）利用半結構的面談法，要84位14歲的中學生說出一個好的，一個不好的學習經驗，據此，檢討學生心目中對數學課的印象。因為學生很自由的在描述中學階段的學習經驗，且面談時，不可能採用固定的系列問題，不過為了系統的探討與收集資料。 Hoyles將面談內容分成六個階段： 1.不拘形式的交談，目的是讓學生覺得自在，並向學生說明將以聊天方式進行。 2.蒐集學生的一般資料。. 治政 4.誘導學生說出具體的細節。大立 5.誘導學生描述當時的感受。 3.正式請學生談一段很難忘好的及壞的學習經驗。. ‧ 國. 學. 6.問還有沒有其它的故事。. 本研究為探索性研究，與 Hoyles 的研究有相似的地方，故此參考該研究. ‧. 的方式，以半結構性晤談法為研究方法，本研究的研究進行如下：. sit. y. Nat. 1.不拘形式的交談，目的是讓學生覺得自在，並向學生說明此施測並非考試，答對、答錯都不影響成績，免得學生因過度緊張而影響作答。. io. n. al. er. 2.說明施測方式及歷程，並請學生提出對施測的疑慮。 3.依照編排的工具施測。. Ch. engchi. i n U. v. 4.依學生的理解程度給予指導語說出具體的細節。. 5.施測時，先給予學生直線型x-t圖形探索圖形之概念，再要求學生在地圖上操作玩具小汽車，以透過實務操作驗證學生對於直線型x-t圖形的處理方式。 6.按照學生回應以決定下一步的施測工具。. 22.

(29) 第二節. 研究工具. 研究工具的形成分四個時期，其中，第一個時期為起始期，與指導教授討論後，將基本直線型 x-t 圖形分為十八張工具圖形。第二個時期為探索期，這個時期研究者在閱讀文獻後，找出學生在直線型 x-t 圖中常見的迷思概念與錯誤類型，並擬製十八張直線型 x-t 圖形探討不同程度的學生，在處理直線型 x-t 圖形時是否可以順利理解，若無法解讀時的迷思歷程為何。第三個時期為修正期，因直線型 x-t 圖形涉及數學與理化，研究者另找若干專家討論與修正十八張工具圖形，因為有些工具圖形會牽涉到截距、斜率，以及方向性的三個概念，有些工具會牽涉到兩個不同的概念，專家提出在此過程應以單純涉及一個概念的方式作為施測工具，故建議以牽涉單一概念的圖形作為施測工具，剔除牽涉. 治政附錄 C。第四時期為施測期，除了以十張直線型大 x-t 圖形作為施測工具，並以立操作玩具小汽車在地圖上的運動狀態來驗證圖形的概念。兩個以上概念的圖形，最後產生十張圖形作為施測工具，並將訪談結果轉錄於. ‧ 國. 學. 一、起始期. 研究者與指導教授討論後，以開放性蒐集學生資料，將研究工具分為十八. ‧. 張基本直線型 x-t 圖形，探討學生處理直線型 x-t 圖形時，是否受到圖形的截. sit. y. Nat. 距與斜率概念影響。以下分作為兩個向度，縱向為斜率概念，橫向為截距概念，. io. er. 如圖所示。再者，由於斜率有大小之分，故將圖中的斜率大小做調整，其中，零斜率的部份因無法再調整，故縮短原本直線長度，如圖 3-2 與圖 3-3 所示。. n. al. 截距斜率. Ch. i n U. 圖3-1 直線傾斜度較大. engchi. v. 0（零截距）. ＋（正截距）. x. x. x. －（負截距）. ＋（正斜率）. t. t. t. x. x. x. 0 （零斜率）. t. t. t. x. x. x. －. t. t. t. （負斜率）. 23.

(30) 圖3-2 直線傾斜度較小截距. 0（零截距）. ＋（正截距）. 斜率. －（負截距）. x. x. x. ＋（正斜率）. t. t. t. x. x. x. 0 （零斜率）. t. t. t. x. x. x. －. t. t. 政治大 t. （負斜率）. 立. ‧ 國. 學. 二、探索期. 經過起始期確定十八張工具圖形後，因十八張工具圖形尚未形成明確架構. ‧. 作為施測工具，所以，研究者在第二階段的探索期，整理了國、內外文獻，並歸納出學生在直線型 x-t 圖形中常見的迷思概念與錯誤類型為三類，以此支持. y. Nat. sit. 本研究中的學生在處理直線型 x-t 圖常見的迷思概念與錯誤類型。. n. al. er. io. 1.x-t 圖學習上常見的錯誤概念. i n U. v. 以下研究者從簡順永（1999）、李如斌（2003）、陳秋萍（2004）三人. Ch. engchi. 對 x-t 圖形的研究，分成下列幾部分說明學生在 x-t 圖形常見的迷失概念與錯誤：（1）誤將圖形視為物體運動圖像( graph as picture) 蔡昆諭（2005）指出直線方向為右上左下或左上右下，學生會視圖形中的升、降代表上坡、下坡之運動方向，也就是將圖形視為圖像 ( graph as picture)，直觀的錯誤連結到現實世界的運動狀態（Cross & Mehegan，1988；Goldberg & Anderson，1989；Brasell & Rowe，1993； Beichner，1994；簡順永，1999；李如斌，2003；陳秋萍，2004；William, Tamara, and Judit，2008）。在學習等速度直線運動時，簡順永（1999）發現學生會以二維的. 24.

(31) 時空座標關係來表示一維的「目睹」運動現象。舉例來說，與日常生活行進的習慣有關，學生只憑水平數線描述物體運動的狀態，換句話說，學生難以接受物體在一個軌道上以等速作運動的情形，轉換成座標平面的x-t圖。 Trowbridge（1980）從運動實況的移動記錄圖的判讀，無法真正瞭解「等速度」的物理涵義應包括「快慢」和「方向」兩個因素。 McDermott（1986）也發現學生視右上左下（向右遞增）的直線圖形，意即位置的數值越來越大，物體運動的速度越來越快；相對的，學生自然會誤以為左上右下（向右遞減）的直線圖形，意即位置的數值越來越小，那麼物體運動的速度就是越來越慢，自然而然地無法從直線. 政治大實際運動軌跡曲線，以路線的形狀判斷物體運動的快慢，而無考慮到立圖形了解到物體真實的運動狀態。有研究發現函數圖的曲線就是物體. ‧ 國. 學. 距離、時間對物體運動快慢的影響（Goldberg & Anderson，1989；Cross & Mehegan，1988）。. ‧. Brasell & Rowe（1993）提到學生易認為左上右下的圖形代表物體. 慢下來，亦代表物體的速度為負值，反之，若線圖為左下幼上，速度. y. Nat. al. er. io. 生無法瞭解運動現況時負向運動之意義。. sit. 變為正值，且代表物體正在加速。簡順永（1999）指出部分九年級學. n. v i n Ch 「線段方向」視為「運動方向」，例如：垂直線段方向向上，就是物 engchi U. 綜合上述，學生在詮釋x-t圖形時，受到「線段方向」的干擾，將. 體往上運動，缺乏探討圖形的合理性，而水平線線段方向向右，即物體往右運動，右上左下（向右遞增）或左上右下（向右遞減）直線圖形的方向，表示為物體運動的方向，物體的直線運動從一維的單一數線表示到二維的座標平面表示，明明是同一運動狀態，但解讀上卻可以是完全不同。（2）忽略等速度直線運動的出發點學生在學習為非原點出發的直線圖形時，易將讀點的數值直接視為答案，如：讀取y軸的數值，直接視為答案（陳秋萍，2004；Brasell & Rowe，1993；Beichner，1994）。舉例來說，學生對一個非原點出發的x-t直線圖形，直接將y軸數值直接除x軸數值，視為物體運動的 25.

(32) 速度。主要是因為在直線圖形為原點出發時，剛好物體運動的速度是可以直接將y軸數值直接除x軸數值計算得到，因而過度推論非原點出發的直線圖形亦是如此，而忽略物體的起始位置並非原點出發。（3）缺乏等速度直線傾斜程度意義的理解學生看到兩相交直線所對應到的物理概念，常以直覺來判斷兩個物體在此時具有相同的速度，不了解交點在x-t圖上表示在該時刻兩個物體具有相同位置之物理意義（Trowbridge & McDermott，1980； Halloun & Hestenes，1985；Cross & Mehegan，1988；Hestenes等人， 1992；陳秋萍，2004；李如斌，2003）。在互相平行的兩直線圖形，學生會認為位置較高的直線，其運動. 政治大置高低來判斷物體的速度，相同的位置，速度一樣快（簡順永，1999；立速度較快，並非是兩個運動速度相同之物理意義。另外，學生會以位. ‧ 國. 學. 李如斌，2003；陳秋萍，2004）。. Cross & Mehegan（1988）發現學生以時間來判斷快慢，同時出發. ‧. 同時到達的物體，其所經過的時間相同就是一樣快。還有，學生也很容易把題意理解為速度一樣時，所花的時間較短的物體就是運動速度. y. Nat. er. io. 動速度就是愈慢，視時間與速率為同義詞。. sit. 比較快，或是在一秒時間內走的距離愈遠，所花的時間愈久，物體運. al. v i n Ch 力有關。如當線段斜率最大或線段最高時，代表物體的速度「最快」 engchi U n. Brasell & Rowe（1993）的研究也指出x-t圖的詮釋能力與語文能. 或是位置變化量「最大」；若為線段呈水平線，斜率為零即是「不變」沒有「變化量」，表示物體的加速度沒有變化，即速度也保持固定，所以真正做等速度直線運動的物體，若用x-t圖表示，應為水平線。由此可知，學生對一物體運動狀態的x-t圖，若未從頭到尾的理解清楚，也就是學生缺乏從各種直線圖形取得足夠的訊息轉化成物體真實的運動狀態，當兩直線運動的物體放在同一座標平面上，在解讀上當然是難上加難，更不用應用同一座標平面上有三條以上的情形。. 2.x-t 圖工具編製依據文獻整理常見 x-t 圖學習上的錯誤類型，研究者擬製十八張直線 26.

(33) 型 x-t 圖形，並劃分成三種不同概念作為，分別是：（1）是否理解圖形非物體運動圖像。（2）是否注意到等速度直線運動的出發點。（3）是否理解不同等速度直線傾斜程度的意義。以為探討不同程度的學生在處理直線型 x-t 圖形時，再透過操作玩具小汽車的方式，以確認學生對於直線型 x-t 圖形概念的理解。三、修正期在修正期，研究者與指導教授討論後，希望能夠將探索期的十八張工具圖形重新定義成附有概念性的工具，也因本研究跨越理化與數學兩科，再加上斜率與截距屬於高中數學課程，於是，研究者向若干專家請益，將原本的三種錯. 政治大. 誤類型重新命名為方向性、截距、斜率三大概念，因截距較為單純，命為第一. 立. 概念，再以斜率作為第二概念，最後則是方向性概念。專家效度訪談表如附錄. ‧ 國. 學. A，專家資料背景如表 3-1 所示，分別是一位高中化學老師、一位高中物理老師、一位國中理化老師、兩位高中數學老師，其中一位高中數學老師是為兼博. ‧. 士生之進修教師。. y. Nat. x. x. io. n. al. er. x. sit. （1）截距概念：. Ch. i n U. engchi. t. v. t. t. 圖 1-1. 圖 1-2. x. 圖 1-3 x. x. t. t. t. 圖 1-4. 圖 1-5. 27. 圖 1-6.

(34) （2）方向性概念： x. x. x. x. t. t. t. t. 圖 3-1. 圖 3-2. x. 圖 3-3. 圖 3-4 x. x. x. t. t. t. 圖 3-5. 圖 3-6. x. t. 圖 3-7. 圖 3-8. 政治大 x. x. 立. x. t. 學. 圖 3-9. ‧ 國. t. t. t. 圖 3-10. 圖 3-11. ‧ sit. y. Nat. （3）斜率概念： x. io. er. x. x. x. n. al. Ch. engchi. i n U. v. t. t. t. t. 圖 2-1. 圖 2-2. 圖 2-3. 圖 2-4. x. x. x. t. t. 圖 2-5. 圖 3-12. t. 圖 2-6. 圖 2-7. 28.

(35) 表 3-1 直線型 x-t 圖形參與校訂之現職教師、研究所博士生一覽表類別. 現職教師. 專家編號. 年資. 職. 1. 7. 導師. 桃園某市立高中. 化學. 2. 8. 導師. 台南某縣立高中. 數學. 3. 15. 導師. 台北某市立高中. 物理. 4. 20. 教學組長. 台北市明湖國中. 理化. 稱. 任教地區. 專. 長. 現職研究所導師台北某市立高中數學 5 7 進修教師兼博士生編號一號的專家表示：一針對截距概念，只需要圖形 1-1、1-2、1-3 即可讓學生瞭解截距的概念，圖形 1-1 可由其截距瞭解到出發點為原點，而利用圖形 1-2 與圖 1-3 則可以用 X 軸截距去判斷出發點為正方向或負方向。若我們只. 政治大. 將焦點放在截距上，圖形 1-4、1-5、1-6 除了截距部分外，另外還牽扯到速度. 立. 方向性的問題，較為麻煩。二針對斜率概念，認為單純抓圖形 2-1、2-2、2-5，. ‧ 國. 學. 因學生在這邊只有快、慢的觀念，尚無方向性的概念，所以，我們可以利用圖形 2-5、2-1、2-2 這三個圖形作為判斷的標準。斜率越大，代表速度越快。圖. ‧. 形 2-3、2-4 因其斜率為負，學生容易產生出盲點，例如：說在數學上斜率（-2）. y. Nat. 大於（-4），但是以物理的觀點，-4 的速度是比-2 來的快。另外，若有考慮到. io. sit. 出發點的不同，那可將 2-5、2-6、2-7 三個圖形做比較。三針對方向性概念，. n. al. er. 個人認為圖形 3-1、3-4 兩個圖形即可。出發點相同、斜率相同，我們只將變. i n U. v. 因操作於其方向性。學生在只學一個觀念的情況下，較不會產生觀念上的迷思。. Ch. engchi. 編號二號的專家表示：一截距概念，下排三張圖 1-4、圖 1-5、圖 1-6 牽涉到方向問題，因為也有單純測方向性概念的圖形，若只是為了物體出發點的問題，建議：截距部份只需使用圖 1-1、圖 1-2、圖 1-3 對學生做施測，會比較單純。在截距的問法上，不建議問學生一次函數。二斜率概念，斜率在物理上就是代表速度，而傾斜大小就是速度大小，建議給學生刻度和單位，讓學生容易算出，就施測圖形部分，建議使用圖 2-1、圖 2-2、圖 2-5、圖 2-6、圖 2-7，而圖 2-3、圖 2-4 牽涉到負斜率，不建議使用。三方向性概念，方向性重點是要了解學生看 x-t 圖時能否直觀反應，不需要這麼多張，建議使用圖 3-1、圖 3-4、圖 3-7、圖 3-8、圖 3-9。建議：在施測時，不宜給予學生太多的線索，宜耐心等待學生的思考及反應。. 29.