第四章 資料分析
第二節 x-t 圖形的斜率概念
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第二節 x-t 圖形的斜率概念
本節所要探討的是從直線型x-t 圖形的斜率概念，對應到小汽車的運動狀 態。研究者在此以單純的傾斜程度，作為探討直線型x-t 圖形中斜率概念的分 析，測試的工具為圖2-1、圖 2-2、圖 2-3、圖 2-4、圖 2-5、圖 2-6、圖 2-7，
而圖2-3、圖 2-4 兩張工具是提供受試者圖 2-1 與圖 2-2 需有刻度才能求得物 體的運動速度。
一、高數理能力受試者的理解情形 1.過原點不同傾斜程度的直線圖形：
（1）圖形表現方面：
在兩張沒有標示刻度的座標平面下，分別給了兩條不同傾斜程 度的直線，如圖2-1及圖2-2。三位高數理能力受試者GH1、BH1、
BH2，第一時間皆以傾斜程度的大小直接反應成物體運動速度的快 慢，即直線越斜則速度越快。而受試者GH2卻是以單位時間內的路 程長短來決定速度快慢，從圖形獲得運動速度的訊息，如圖4-3所 示（見下頁）。
圖2-1 過原點較斜直線型x-t圖
x
t
圖2-2 過原點較緩直線型x-t圖
x
t
三位高數理能力受試者GH1、BH1、BH2，特別注意到x軸與 t軸刻度比例大小也會影響到傾斜程度，換句話說，在座標軸沒有 刻度的情況下，雖然傾斜程度不同，可以透過兩軸刻度的變化，
是可能讓兩條直線的速度是一樣的，因此研究者再以圖2-3（見下 頁）測驗受試者是否真的能從圖形獲得物體運動的速度。
圖4-3 高數理能力受試者GH2在過原點圖形之斜率表現
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圖 2-3 過原點直線型 x-t 圖
（附刻度）
x
2 t 6
x
t 1
3
值得一提的是高數理能力受試者BH2更發現：傾斜程度雖然 不同，但是受到兩軸刻度比例之影響，有可能產生相同的速度，
故不能單從直線的傾斜程度來判斷速度的快慢，除非是在相同的 座標之下，這也是本研究十二位受試者中，唯一充分說明刻度比 例大小對於直線傾斜程度之影響的重要性。以下對話：
BH1：……，但要考慮刻度，若刻度不一樣的兩個圖形，就不能 從直線的傾斜程度判斷小汽車運動的快慢。
T ：計算圖 2-3 上、下兩個圖形之速度？
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速度前進。其中，三位高數理能力受試者GH1、BH1、BH2，除了 在第一時間內以直線的傾斜程度判斷小汽車運動速度之快慢，也提 出在不同座標軸刻度大小的直線，有可能會有相同的斜率，亦即小‧ 國
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汽車的運動速度可能會相同，因而主張不可從直線的傾斜程度直接 判斷小汽車運動速度的快慢。而高數理能力受試者BH2 也特別提 到，除非是在相同的座標軸下，才能夠以直線的傾斜程度比較小汽 車運動速度之快慢。
另一位高數理能力受試者GH2 則是自行標示座標軸刻度，從 不同圖形獲得小汽車的運動速度快慢差異之訊息，故研究者推斷四 位高數理能力受試者在圖形與真實物體運動狀態均有一致表現。
2.水平直線的圖形：
（1）圖形表現方面：
三位高數理能力受試者GH1、BH1、BH2，很清楚地說明水平 直線圖形，如圖2-5、圖2-6、圖2-7。當時間軸越往右增加，位置軸 皆為固定不改變，即表示物體的位置不曾改變。但，高數理能力受 試者GH2當水平直線與t軸重疊時，才認為物體是靜止不動，主要 是因為位置在零的地方。而當水平直線不與t軸重疊的時候，產生 錯誤的解釋，隨時間軸往右增加的改變，忽略位置軸並未改變，故 受試者GH2在水平直線圖形不與t軸重疊的情況下判斷有誤。
圖2-5
與t軸重疊的直線型x-t圖
x
t
圖2-6
不與t軸重疊的直線型x-t圖
x
t
圖2-7
不與t軸重疊的直線型x-t圖
x
t
（2）實際操作方面：
.
Ⅰ 與 t 軸重疊：
四位高數理能力受試者，皆能理解與 t 軸重疊的水平直線 圖形，所對應的小汽車為靜止不動，如以下對話：
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T ：請從圖 2-5 觀察出小汽車實際的運動狀態，並在地圖上操 作。
GH1：小汽車在地圖上的原點靜止不動。
GH2：小汽車在原點不動，速度是 0。
BH1：小汽車在地圖上的原點靜止不動。
BH2：小汽車在原點靜止不動。
. t
Ⅱ 軸 之 上 的 水 平 直 線 ：
三位高數理能力受試者GH1、BH1、BH2，皆能理解不與 t 軸重疊，但在 t 軸之上的水平直線圖形，所對應的小汽車 離原點正向兩個單位的位置，運動狀態為靜止不動。而受試者 GH2 對圖形產生錯誤的解讀，解釋成圖形中的 t 軸每向右增加 一個單位，物體也向右移動一個單位長，忽略x 軸從未改變的 事實，進而操作成小汽車的運動狀態以等速度前進，而非靜止 狀態。如以下對話：
T ：請從圖 2-6 觀察出小汽車實際的運動狀態，並在地圖上操 作。
GH1：小汽車在離原點 1km 處靜止不動。
BH1：小汽車在離原點 2km 處靜止不動。
BH2：小汽車在原點北方 2 個單位的地方，就像是待在新家不 動。
GH2：小汽車從離原點 2 格的地方出發，再往右走 7 格，且速 度是1km hr 。 /
. t
Ⅲ 軸 之 下 的 水 平 直 線 ：
同樣地，三位高數理能力受試者GH1、BH1、BH2，皆能 理解不 與 t 軸重疊，但在 t 軸之下的水平直線圖形，所對應 的小汽車離原點負向兩個單位的位置，運動狀態為靜止不動。
而受試者GH2 對圖形產生錯誤的解讀，解釋成圖形中的 t 軸每 向右增加一個單位，物體也向右移動一個單位長，忽略x 軸從 未改變的事實，進而操作成小汽車的運動狀態以等速度前進，
而非靜止狀態。如以下對話：
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力受試者在探索直線型x-t圖形的斜率概念比較，其中，包含受試者在 不相同座標軸刻度下的討論，以及不與t軸重疊的水平直線，以○表示 該受試者能夠理解，X表示該受試者不能夠理解，–表示該受試者沒有 在此項並無作答。
表 4-5 高數理能力受試者在相同座標軸刻度的圖形比較物體運動快慢 高數理能力
直線 圖形
小汽車
速度 GH1 GH2 BH1 BH2
斜 快 ○ ○算 ○ ○
緩 慢 ○ ○算 ○ ○
水平 靜止 ○ ○ ○ ○
表 4-6 高數理能力受試者在探索直線型 x-t 圖形的斜率概念比較 高數理能力
直線圖形 小汽車速度
GH1 GH2 BH1 BH2
斜 快 – ○算式有問題 – –
緩 慢 – ○算式有問題 – –
直覺 ○ – ○ ○
影響 刻度 – 刻度 刻度
座標軸 刻度
不影響 – ○ – –
與t軸重疊之水平線 ○ ○ ○ ○
t軸之上水平線 ○ X運動方式 ○ ○ t軸之下水平線 ○ X運動方式 ○ ○
○算：表示不受座標軸刻度的影響，會自行標示刻度。
○：表示該受試者能夠從圖形對應到小汽車的運動狀態。
X：表示該受試者無法從圖形對應到小汽車的運動狀態。
X運動方式：小汽車為等速度，但運動的模式錯誤：如往右7格、再往上7格。
–：表示該受試者在此項並無作答。
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二、中數理能力受試者的理解情形
1.過原點不同傾斜程度的直線圖形：
（1）圖形表現方面：
在兩張沒有清楚刻度的座標平面下，分別給了兩條傾斜程度 不同的直線，如圖2-1及圖2-2。中數理能力受試者BM1、GM1、
GM2，三位一開始皆認定速度是一樣的，研究者推論中數理能力 受試者認為座標平面上直線的傾斜程度並不是代表物體運動速度 之快慢。
圖2-1 過原點較斜直線型x-t圖
x
t
圖2-2 過原點較緩直線型x-t圖
x
t
但中數理能力受試者BM2則是以直線傾斜程度的直覺，判斷 物體運動速度的快慢，如以下為部份對話：
T ：請從圖 2-1&圖 2-2 觀察出小汽車實際的運動狀態，並在地 圖上操作。
BM1：速度是一樣的。
GM1：速度是一樣的。
GM2：各自以相同的等速度前進。
BM2：小汽車從原點出發，圖 2-2 的速度比圖 2-1 的慢，朝正方 向前進。
當問及不同直線傾斜程度所代表的速度快慢，四位中數理能 力受試者，皆會主動標上刻度，透過運算求出速度大小，達到比 較結果。如以下部份對話及圖4-4、圖4-5、圖4-6分別為三位中數 理能力GM1、GM2、BM2在過原點圖形之斜率表現，而受試者BM1
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單純以目視結果後，再口頭回答。
T ：圖 2-1 和圖 2-2 鐘的小汽車之速度？
GM1 ： 圖 2-1 的 速 度 是2 2 1÷ =
(
km hr/)
； 圖 2-2 的 速 度 是( )
2 4 1 / 2 km hr
÷ =
GM2：小汽車在圖 2-1，以速度2 2 1÷ =
(
km hr/)
朝正方向前進；在圖2-2 以速度2 4 1
(
/)
2 km hr
÷ = 朝正方向前進。
BM2：在圖 2-1，小汽車的速度是7
7 = ；在圖 2-2，小汽車的速度1 是3.
0.428 7."=
"
BM1 ： 圖 2-1 的 速 度 是2 2 1÷ =
(
km hr/)
； 圖 2-2 的 速 度 是( )
1 4 1 / 4 km hr
÷ =
圖4-4 中數理能力受試者GM1在過原點圖形之斜率表現
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圖4-5 中數理能力受試者GM2在過原點圖形之斜率表現
圖4-6 中數理能力受試者BM2在過原點圖形之斜率表現
但是，必須注意中數理能力受試者BM2在圖2-2是以計算格子 的方式，求算圖形中的物體運動速度，雖然能夠比較兩張圖形的 速度，研究者斷定受試者BM2受到直線長度影響，而以直線長度 為為物體所走的距離來計算路程；而圖2-1是以直接目視，並未在
‧
GM1：觀察圖 2-1、2-2。速度是一樣的，但是，等到標上刻度後，
發現兩速度是不同的，圖2-1 的速度是2 2 1÷ =
(
km hr/)
，BM1：觀察圖 2-1、2-2。速度是一樣的，但是，等到標上刻度後，
發 現 兩 速 度 是 不 同 的 ， 其 中 ， 圖 2-1 的 速 度 是
( )
2 2 1÷ = km hr/ 、圖2-2 的速度是1 4 1
(
/)
4 km hr
÷ = 。
BM2：觀察圖 2-1、2-2。看圖可知，小汽車從原點出發，且圖 2-2 的速度比圖2-1 的慢。
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體運動速度快慢，在自行標示座標軸刻度後，透過計算的佐證，才 確定對應兩張圖形的小汽車是以不相同的等速度前進。特別是中數 理能力受試者BM1 注意到改變座標軸的刻度，物體有可能會以相 同的運動速度前進。
而研究者也發現中數理能力受試者BM2 錯誤計算，雖然小汽 車是以較慢的等速度前進，但計算出的速度值是錯誤的，也就是 說，單純從圖形判斷物體的快慢，受試者BM2 是可以正確回答，
但若以計算的形式，則有很大的錯誤存在。故研究者推斷四位中數 理能力受試者在圖形與真實物體運動狀態均有一致表現。
2.水平直線的圖形：
圖2-5
與t軸重疊的直線型x-t圖
x
t
圖2-6
不與t軸重疊的直線型x-t圖
x
t
圖2-7
不與t軸重疊的直線型x-t圖
x
t
（1）圖形表現方面：
四位中數理能力受試者，皆能夠清楚地說明水平直線圖形，
如圖2-5。當時間軸越往右增加，位置軸皆為固定不改變，即表示 物體的位置不曾改變。
如圖2-5。當時間軸越往右增加，位置軸皆為固定不改變，即表示 物體的位置不曾改變。