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第一章 緒論
第一節 研究背景與研究動機
國際知名數學學家丘成桐曾說：數學是科學的語言，數學也是協助工業和 商業發展的工具之一，學習數學不僅能讓我們擁有解決困難問題的能力，還能 幫助我們了解大自然以至於宇宙的運作。蔡淑君（2010）指出科學知識源自人 們科學現象的觀察，透過歸納與推理而建立科學概念，漸漸形成知識，進一步 了解科學現象中變項與變項之間的關係。而這些關係即使頗為複雜，然而數學 卻能夠簡潔的、明確的表達變項與變項之間的關係，因此，科學知識常以數學 作為表徵的工具或語言，而好的科學學習則是將科學現象、科學知識、數學知 識三者緊緊相扣。隨著科技的進步我們的生活愈來愈便利，例如，自2007年高 鐵通行後，台北到高雄不再需要費時一天的車程，只要短短兩個小時以內就能 抵達；大眾捷運的文湖線開通以後，從內湖到木柵動物園看貓熊，也能在四十 分鐘內抵達，便捷與快速的大眾運輸縮短兩地的距離以及時間的花費，這些都 需歸功於科學家為提升我們生活品質所做的貢獻。從科學史可以發現在自然現 象中，從觀察物體運動的快慢，到深入了解以及描述速度的概念，進而發展了 數學的變量及函數等概念作為描述的工具，對物體運動的問題建立起運動學的 科學知識。
既然速度問題環繞在日常生活中，研究者發現不同的求學階段，所能傳達 的物理概念也不同，根據皮亞傑的認知發展論，本國國小學童在學習速度問題 時，大多學童屬於具體運思期（concrete operational stage）的認知階段，尚未 到達形式運思期（formal operational stage），對於負速度用來表示物體反向運 動之概念，以及生活經驗影響的緣故，是以「速度」一詞取代物理定義中的速 率概念來描述物體運動的快慢，並且不涉及方向的問題；到了國中階段，才開 始引入物理定義的速度概念：所謂速度（velocity）是描述物體運動的快慢以 及運動方向的物理量，包含單位時間內物體位移的距離和方向三種要素，是一
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個向量（vector quantity）；而速率是物體位移的距離與所耗費時間之比，它是 速度的大小不含方向，只是一個純量（scalar）（大華百科全書，1995；牛頓 數學辭典，1997；物理大辭典，1974）。由於物體運動速度的快慢根據物理的 定義是位移與時間的關係，洪健寶（2005）指出變項與變項之間的關係，時常 會透過數學式、表列，以及圖形三種方式描述。而常雲惠（2002）則認為數學 式與表列或圖形的功能相當，皆可表示變項與變項之間的關係，通常數學式是 最簡潔的表達方式；表列是把各個變項的數值以列表的方式呈現；圖形則是利 用視覺的方式，透過對圖形的觀察掌握各個變項之間的關係，甚至用來預測變 項之間未來的發展，亦能釐清數學式中的係數所表示的意義，或是表列中許許 多多的數字間所隱藏的意涵。換句話說，描述運動中的物體位置隨著時間的改 變，可以透過數學的語言作轉換，分別以數學式、表列、圖形三種不同的型式 來呈現。
對於科學學習來說，大部分都以圖形作為教學上的考量，陳秋萍（2004）
指出在科學的教科書或有關於科學的報導中，圖形的應用相當普遍，我國中小 學的教科書就含有大量的圖形。科學運用數學上的圖形工具是因為它不但可以 視覺化的解釋各變項之間的關係（Bastide, 1990; Chambers, Cleveland, Kleiner
& Tukey, 1983; Lemke, 1998），可以取代文字敘述之外，亦將抽象概念轉化成 具體的圖像，也比較容易引起學習者的注意力，進而幫助記憶。科學家從觀察 科學現象中取得訊息，利用圖形將訊息做有系統、具體的呈現。我國在國中階 段自然科學所學的直線運動單元，對於描述物體運動的狀態，便足以直線的關 係圖形來表示，像是位置–時間圖、速度–時間圖、加速度–時間圖等，而直線 雖然是圖形中較簡單的圖形，但卻令人意外的是，在許多人的研究中發現：以 直線圖形呈現的物理概念，常常是讓學生感到比較難理解的部份（簡順永，
1999；McDermott, 1986; Trowbridge, 1980; Brasell & Rowe, 1993）。研究者在陳 秋萍的文獻中發覺學生會將速度–時間圖形混淆成位置–時間圖形，亦如圖形視 同圖像（graph as picture），然低分組的學生較容易產生這類的錯誤，圖形視同 運動的軌跡，而研究者也在一本教科書中發現到這個問題，學生會將圖形的曲 線視為物體所走的路徑（Janvier, 1978），如下圖1所示：
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圖1 圖形視為圖像
資料來源：by Janvier C.（1987）
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也有的學生視位置–時間圖為物體運動的軌跡圖，將線段的方向認為是物 體運動的方向，線段往上就表示物體往上運動，線段往下就表示物體往下運 動。研究者在去年任教九年級的學生，學生正值理化科學習等速度運動單元及 數學科複習進度在線型函數的單元，研究者亦發現許多學生在這兩科相關的學 習上並沒有利於正向遷移，反而產生許多混淆及當成不相關的片面知識，進而 造成許多學生對於科學，特別是對物理產生了莫大的恐懼感，當他們產生這樣 的感受時，又正值學習時數減少和國中基本學力測驗的升學壓力，也難怪學生 對於圖形及相對的公式，自然就以背誦和記憶的方式處理，如此的能力與九年 一貫所培養的「帶著走的能力」有著極大的差異。
美國數學教育協會（National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000）認為數理教育應當注重學生在數學課中所學得的概念應用到數學以外的 活動，轉化數學技能到應用的領域問題。故加強學生在圖形與真實情境間的轉 換、以及數學式間的轉換的同時，讓學生明白數學與科學之間的關係，就是學 生所學習到部份的科學知識是科學家們將所觀察到的科學現象，透過嚴謹的數 學方法驗證及描述後建立起來的，而抽離了這些情境後的數學，自然就是一堆 抽象的符號。在McDermott 等人（1987）的研究發現有些學生無法將他們在 數學課裡學到的圖形概念應用到其他學科。根據研究者在國中的教學經驗，學 生學完三年數學後，即使了解數學與科學之間關係密切，但對數學的觀感仍是
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一堆公式、符號、證明、計算，根本無法連結、應用到其他學習領域，徐文鈺
（1992）認為像是數線、座標圖等都是與數學學習有關的呈現方式，將抽象的 概念或內心所想概念以視覺的方式表現。因此，研究者欲探討學完數學線型函 數能力的九年級學生，在科學課程所面臨到的位置–時間圖形是否能改變一次 函數，及對於圖形所對應到真實情境之相關性為何，並對學生解讀圖形之歷程 作質化分析，以提供數學、科學教學者，在未來兩大學習領域有更多的連結。
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第二節 研究目的
鑒於以上研究動機，本研究的研究目的為了解九年級學生在處理位置–時 間圖形問題，是否掌握位置–時間圖形中所隱含的數學概念，以及位置–時間圖 所對應真實物體之運動狀態。
第三節 研究問題
1.九年級學生如何處理直線型x–t圖形中的截距和斜率概念？
2.九年級學生在處理直線型x–t圖形時，是否能對應到的真實物體運動狀態？
第四節 名詞界定
1.直線型：本研究所探討的位置時間圖皆以直線型為主。
2.位置–時間圖：縱軸表示物體的位置、橫軸表示物體運動的時刻，此研究將 以x–t圖簡稱。
3.正向遷移：學習過的舊事物後的經驗有助於以後新學習現象。
4.斜率：在座標平面上，直線上的某一點水平往右一個單位時，再往上或往下 移動多少單位才回到直線，此量以斜率稱之。
5.截距：直線與 x 軸交點的坐標稱為直線的 x 截距，與 y 軸交點的坐標稱為直 線的y 截距。
第五節 研究限制
1.本研究欲探討教學現場的真實現況，但限於人力、物力及客觀的因素，且九 年級學生正逢考試衝刺期，無法有大量時間做前測，故不預設工具施測結 果，以探索性的心態蒐集原案全貌。僅以台北市立某國中十二位九年級學生 為樣本，因此不宜過度推論。
2.本研究以半結構性晤談的方式來蒐集學生對應到的數學能力及 x-t 圖轉換到 的真實物體運動，但礙於受試者有時候很難同步作到邊看、邊說、邊想、邊 寫，故有時候難以得到受試者完整的訊息。
3.本研究只限於研究 x-t 圖，且以單一直線為主，未來可以探討綜合圖形或是 兩條以上的直線圖形，甚至可以再深入研究v-t 圖、a-t 圖。