由於學生的想法與解題歷程並無法透過題本的表現而呈現出來，因此，本節 進一步根據第二節所呈現學生前、後測的表現，藉由訪談深入探討學生進步的原 因，或是學生在作答或解題時遇到何種困難。訪談的題目以後測題目為主。
本節分為兩個部分，第一部分是討論與基本尺規作圖相關的議題，包括作圖 工具的使用限制與基本尺規作圖的原理；第二部分是討論學生在解題的過程中會 遇到的困難，此部分以題目類型為依據來探討，分別是需用到中垂線性質或角平 分線性質的題目、繪製線對稱圖形的題目、需要用到作垂線的題目，以及較複雜 的綜合題。最後，研究者將整理學生在解題過程中會遇到的困難，以及對研究目 的與研究問題的回應作為本節的總結。
一、基本尺規作圖相關問題
基本尺規作圖的學習是很重要的，基本上，所有的尺規作圖問題都可以拆解 成數個基本尺規作圖，或是工具的基本使用來完成。例如，已知∠CAB=130°，
作出一 40°的角，如圖 4-4-1 所示。作圖步驟為先延長AB（直尺的基本使用），
再過 A 點作與AB垂直的直線（基本尺規作圖：過線上一點作垂線）。因此，學生 若不會基本尺規作圖，或是對基本尺規作圖不熟練，將無法正確完成作圖。
圖 4-4-1 作圖題作圖示範
例如，學生 S2 不會「過線上一點作垂線」與「過線外一點作垂線」這兩個 基本尺規作圖，在後測 B 卷二 4 的題目中，至多就是作出長寬符合題目要求的
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長方形，但卻無法作出正確的直角，圖形可見圖 4-4-2。
圖 4-4-2 學生 S2 在後測 B 卷二 4 之題目上的表現 (一) 基本尺規作圖的原理
尺規作圖前後測題本的B卷第一大題，都是關於基本規作圖原理的試題，正 如第二節所呈現的，學生在此部分的答題表現不佳，不符合研究者的預期。因此，
研究者透過質性的訪談欲探知原因何在。
研究者經由訪談發現學生在讀題上有問題，例如題目後測B卷一1，題目如 下：
小英想要作出AB的垂直平分線，她 的作法如下（如右圖所示）：
（1） 分別以 A、B 兩點為圓心，線 段長 a 為半徑各畫一弧，相交 於 P 點。
（2） 分別以 A、B 兩點為圓心，線段長 b 為半徑各畫一弧，相交於 Q 點。
（3） 連接 P、Q 兩點，直線 PQ 即為所求。
請問：步驟(1)中的線段長 a 與步驟(2)的線段長 b 的關係為何？
□ a > b □ a < b □ a = b □ 以上皆可能。
在訪談中發現，學生在讀題時並不知道「線段長a」與「線段長b」代表甚麼 意思，在作答時就只能用猜測的。另外，該班的數學教師也說，以他過去教學的
P
B A
Q
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經驗說，確實有不少學生不會讀尺規作圖的作法，他們無法將文字的敘述與圖示 作對應，甚至讀不懂文字的敘述。
故此，研究者為了知道學生對於作圖的軌跡認識多少，便在訪談中逐步說明 題意後，也就是讓學生知道何謂「線段長a」與「線段長b」，其中有5位學生便 能答出正確的答案。只有學生S2不清楚作圖軌跡的用意。
二、學生在解題過程中遇到的困難
研究者在教學與閱卷的過程中，發現學生在解題上遇到許多困難，比研究者 原先的預期更複雜。關於學生在學習尺規作圖所遇到的困難，在陳宥良（2008）
與譚克平、陳宥良（2009）的研究中，主要提及下列四點：
1、 學生不清楚工具的使用與限制。
2、 基本尺規作圖的動作雖不多，但變化萬千，不容易掌握。
3、 學習者不清楚基本尺規作圖的動作有哪些功能？可以完成哪些圖形？
4、 若已知作圖結果，學習者不知需用哪些動作及該執行的步驟。
簡言之，學生真正在解題時，若能畫出草圖，但工具使用上有誤，便無法成 功作圖；換個角度，學生若清楚工具使用，卻不懂題意、不知如何解題，亦無法 成功作圖。在正式教學前，約莫三月初，曾訪問兩位任教於國中超過十年的資深 教師，其中一名北市某國中資深教師談到，該教師認為，學生學習尺規作圖最大 的困難在於：學生不知道工具的操作與相對的幾何概念之間的關聯，也不知作圖 的目的何在？這顯示學生在工具使用上遇到的困難較不明顯，反而難在學生遇到 題目會不知如何著手，也就是學生缺乏嚴謹的推理能力。另一名苗栗縣某國中的 資深教師說到，學生的困難主要在於不懂題目的要求，而不知該如何繪製圖形；
或是學生可能因為幾何知識不足，而無法作圖；再者，學生也會因著沒有夠多練 習，而容易忘記基本尺規作圖。
研究者依據文獻與實際的經驗，希望在本研究中繼續探討學生在解尺規作圖
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題時會遇到的困難，下方將以不同的困難為分類進行探討：
(一) 學生對點到直線之距離的誤解
首先，學生在後測中有正確的作圖，但是在訪談中發現，學生對題目的了解 可能有誤。舉例來說，當研究者詢問學生 S3 題意（需利用角平分線性質的題目，
題號：後測二 5）時，學生回答如下（該學生的作圖表現呈現於右下圖，O 點是 AB與CD延長線的交點，乃為說明方便而加上）：
43 R 那這一題，妳先跟我講題目是什麼意思。
44 S3 這一段跟這一段不一樣（手指著 AB與CD，如右圖所示），沒有平行，
然後它說，在 B、C 找出一點，然 後讓這一段和那一段（手分別指 著 與 ）相等，然後要作角平 分線。所以，這要先延伸！（手指 著AB與CD）
……
61 R 你覺得 E 到 的距離是哪個？
62 S3 這個吧！加延伸的（手比 加上所畫的延長線）。
63 R 嗯，我是說它的距離。E 點到線段AB的距離，是指哪一段？
64 S3 這一段吧！（手沿過 E 點的直線比到圖上的 O 點，並從 O 點經 過 A 點移到 B 點，重複此動作兩次）
65 R 這樣是一個角度。
66 S3 那就這裡到這裡囉！（手沿 E 比到 B 點，再由 B 點比到 O 點）
67 R 妳是說EB加BA？
68 S3 嗯。
69 R 是嗎？
O
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70 S3 不知道。
根據學生 S3 說明時手指的位置或該學生的說明，發現學生可能對於點到直 線的距離有不正確的觀念，她認為 E 點到AB的距離是圖中的OB（見第 44 行與 第 62 行），或是OB+EB（見第 66 行），其他的學生亦有相同的情形。但這似乎不 會影響學生的作圖，部分學生仍能有正確的作圖。這給研究者一個啟發，在教學 中，對於一些數學的名詞需要重複說明其意義，讓學生不至於盲目的解題。
(二) 學生用估算的方式作圖
學生 S3 在繪製試題後測 B 卷二 1 時，用估算的方式，以圓規完成繪圖。該 名學生知道此題要在BC上找出一點 E，且 E 點到 A 點與到 D 點的距離相等（見 圖 4-4-3）。她便張開圓規，以 A 點為圓心，適當長為半徑畫弧，再以 D 為圓心 同樣半徑畫弧或是比畫兩線段是否一樣長，若不一樣，再畫一次，直到距離一樣。
由圖 4-4-3 可以看見學生在 E 點附近有許多嘗試的痕跡，最後完成繪圖僅是因為
「剛好」。雖然學生沒有用錯工具，但此種方式與需有嚴密邏輯概念的尺規作圖 不符。
圖 4-4-3 學生 S3 在後測 B 卷二 1 題的表現
(三) 學生對三角形的高定義不清
郭毓倫（2008）指出小學六年級的學生在繪製三角形的高時，有許多種錯誤，
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其中有三種在本研究的學生身上出現：第一，學生不會利用延長線來找出連接的 垂線；第二，學生概念錯誤，忽略高要與對邊頂點連接；第三，誤以為高一定要 是由上而下的鉛直線。在本研究中，不僅在試教時發現學生有此情形，正式教學 時也發現學生因著對高的定義不清，造成學生無法畫出鈍角三角形的高。
就著學生後測試卷上的表現而言，學生 S2 與 S1 都利用「過線外一點作垂 線」作出BC上的高，如圖 4-4-4 所示；學生 S5 也是作出BC上的高，但沒有使用 任何正確的基本尺規作圖，如圖 4-4-5 所示；學生 S6 利用「作中垂線」作出BC上 的高，如圖 4-4-6 所示，可能是圖形的關係，讓學生會誤以為所作出的線段是三 角形的高，但也說出學生對三角形的高定義不清楚。
圖 4-4-4 學生 S2 在作AC上的高時的表現
圖 4-4-5 學生 S5 在作AC上的高時的表現
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圖 4-4-6 學生 S6 在作AC上的高時的表現
在這一個部分之中，令人費解的是作鈍角三角形的高在課程中曾經出現在練 習題中，學生也能利用摺紙摺出鈍角三角形的高，然而，在後測中竟然 6 人中有 4 人答錯。這不禁讓人懷疑學生吸收的情形。
(四) 學生覺得垂線可以直接畫上去
學生 S3 在後測 B 卷二 4 題，也就是繪製長方形的題目中，正確利用尺規作 圖完成（見圖 4-4-7），學生雖未繪製草圖，但在訪談中得知學生有在心裡面想草 圖（見下方原案學生於第 40 行的回答），這樣的思考，幫助學生畫出正確的圖形。
圖 4-4-7 學生 S3 在後測 B 卷二 4 題的表現
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訪問的原案摘錄於下方：
33 R 妳有自己先畫一個長方形嗎？
34 S3 沒有！
35 R 那妳怎麼知道大概這樣？
36 S3 直接畫啊。
37 R 直接畫？
38 S3 嗯。
39 R 所以妳原本在心裡面……
40 S3 就有想草圖。
41 R 就有想草圖？
42 S3 嗯。
學生可以在腦中浮現正確的草圖，但從學生的作圖中可以發現，學生仍不夠 清楚尺規作圖的用意與規則，雖然有三個基本尺規作圖，包括過線上一點作垂線、
過線外一點作垂線、作中垂線，可以作出垂線，但學生實際在作圖時卻仍只利用 直尺描準，大略畫出垂直的線。圖 4-4-8 是學生在後測 B 卷二 4 題的錯誤畫法。
學生 S2 的表現 學生 S4 的表現 圖 4-4-8 學生未用尺規作圖畫垂線的情形
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在訪談中，研究者也發現學生親口說出此種傾向，訪談原案如下：
327 R 嗯，那妳怎麼作的？（指後測 B 卷二 4 題）
328 S2 就這樣吧。它說，AB 長要兩倍，就像這樣（手拿著圓規比畫出 當時怎麼畫）
329 R 嗯。
330 S2 所以像這樣，量出它的長，然後畫一個弧，然後因為一樣長，然 後在這邊再畫一個弧。
331 R OK，那長方形，就這個跟這個妳怎麼畫的（手指著長方形的兩 個直角）？
332 S2 因為那兩條是垂直啊，所以我直接把它畫上去啊。
333 R 所以妳是直接畫上去？
334 S2 對啊。
(五) 無法同時處理一個以上的概念
(五) 無法同時處理一個以上的概念