一、透過摺紙學習尺規作圖的教材
(一) 設計理念：
此套課程的設計是透過摺紙直觀且容易上手的特性，藉由學生動手操作幫助 學生更容易學習尺規作圖。尺規作圖本身，不論是直尺和圓規的使用，或是作圖 的用意、方式，對學生來說都是陌生的；但摺紙卻不然，大部分學生都會有摺紙 的經驗，研究者所期待藉由這些生活中的經驗，將學生帶入數學的世界。不僅如 此，本教材的設計更為使經由正規教學仍學不太會尺規作圖的學生能學會基本的 尺規作圖，甚至進一步能解決尺規作圖的應用題目。
在課程設計中，研究者考量兩者次序，一為摺紙動作的複雜度，二為課程中 幾何概念的次序。關於摺紙動作的複雜度，在上述摺紙動作一覽表中（表 3-3-2），
有些摺紙動作僅需一個步驟就可以完成，有些摺紙動作需要兩個、甚至更多步驟 方能完成，研究者在編排上會從較少步驟者開始教學。另外，因為兩個步驟以上 的摺紙動作（包括過線外一點作平行線、等線段作圖、等角作圖），皆為重覆應 用一個步驟的基本摺紙動作，因此，研究者亦將其安排在後面。
此外，研究者也考量課程中幾何概念的次序，舉例如下：概念的教學次序應 為：「等角作圖或作垂線（過線外一點和過線上一點） → 線外一點作平行線 → 比例線段作圖 → 縮放圖形（縮小）」。因為線外一點作平行線需要用到同位角相
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等的概念，在作圖中就需要利用等角作圖，或是利用作垂線作出另一角度為 90°
的同位角。接著，比例線段作圖是平行概念的應用，縮放圖形則是比例線段概念 的延伸。因此，在教材編排上會考量順序性。
(二) 課程設計的原則：
原則一：利用學生的先備知識，引導或延伸新的主題或概念；此原則可以是概 念的加深、強化，也可以是提供必備概念，以利學生學習心主題。
原則二：直接教導學生相關概念，然後給予範例練習。
原則三：用探究方式，包括實際動手操作，或是同學間的討論，讓學生自行發 現一些數學關係或概念，最後再給予總結。
原則四：課程中相關幾何概念的介紹，特別是尺規作圖的部分，均強調利用摺 紙對稱性說明。
原則五：所有設計的活動，研究者皆先行操作，確認可行。
(三) 設計的過程：
教材設計參考設計研究法（design research），或是說設計本位研究
（design-based research）的想法（翁穎哲、譚克平，2008；高熏芳、江玫均，2007），
因此，在設計的過程中，常藉由試教與在研究小組中的討論來幫助課程修正與改 善。設計修改過程如下：
1. 摺紙動作 1、4 的探索
研究者經由教科書內容的分析，以及對尺規作圖題的分析，發現等同於畫直 線的摺紙動作 1 有三種情況，分別是摺出通過兩點的直線（原摺紙動作 1 的情境）、 畫出通過一點的任一條直線、在平面上任作一直線，可見表 3-4-1 的說明；至於 等同於圓規畫弧的摺紙動作 4，它的情境為兩點加一線，要將其中一點（動點）
疊到直線上，且讓摺痕通過另一點（固定點），如此一來，共有四種情況，分別 是兩點都不在直線上（原摺紙動作 4）、只有動點在直線上、只有固定的點在直 線上、兩點都在直線上，見 3-4-2。
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表 3-4-1 摺紙動作 1 的三種情況說明
編號 情境說明 圖示
1 摺出通過兩點的直線
2 摺出通過一點的直線
3 摺出任意直線
表 3-4-2 摺紙動作 4 的三種情況說明
編號 情境說明 圖示
1 兩點都不在直線上
2 只有動點 P 在直線上
P P
A A
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3 只有固定的點在直線上
4 兩點都在直線上
註：P 為動點，A 為固定點。
原先研究者考量摺紙動作 1、4 有不同情況，希望將上述情況新增為新的摺 紙動作，編號分別為 1-1、1-2、4-1、4-2、4-3、4-4。但是，增加動作是否會增 加學生記憶負荷？或是學生能學習摺紙動作 1、4 之後，便能自行延伸呢？二者 皆需要考量。
研究者找了 2 位八年級學生與 2 位七年級學生進行訪談，並設計問題請學生 試作，結果發現：摺紙動作 1 的延伸，摺出通過一點或兩點的直線，對學生是容 易的；但摺紙動作 4 則持保留態度，學生覺得這四個情形是不同的想法，較難進 行延伸。不過，此情況也可能是學生不夠了解摺紙動作 4，造成難以自然延伸。
研究者根據此結果，決定不新增摺紙動作，以免過度增加學生記憶負荷，但在設 計課程時，特別將這些情況提出說明，並需注意詳細說明摺紙動作 4 的用意與原 理。
2. 修正課程大綱與調整研究對象
本研究課程大綱經由三個階段的修正與調整，分別如下：
在第一階段，也就是在研究之初，研究者計畫以七年級學生為研究對象，嘗 試探討此套教材是否適合未學過尺規作圖的學生。在教材內容上，以教授基本尺 規作圖為主，除了與 6 個摺紙動作相對應的尺規作圖外，包括直尺畫直線、圓規
P
P
A
A
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2. 作出特殊角（45°、22.5°、15°、30°、60°等）
3. 作出特殊直角三角形
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平行四邊形 2. 利用摺紙作「過線外一點作平行線」
六 線段的移動 利用摺紙進行「等線段作圖」
七 探索角的複製 利用摺紙進行「等角作圖」
(四) 對稱概念融入設計：
對稱是幾何作圖關鍵概念之一，而對稱正是摺紙基本的概念，或者說是反射
（reflection）（Martin，1997）。因此，若配合摺紙的易操作性，應適合成為學生 在使用較精確的尺規作圖前一個讓學生初探的工具（吳思圻，2009；Perks &
Prestage, 2006b）。左台益與陳天宏（2002）的研究中也顯示，國中學生能掌握對 稱圖形的形狀相同，對於對稱的操作性質也以摺紙為主，甚至高層次學生可利用
「對摺會重疊」的摺紙特性來說明線對稱的性質。由此可見，若在課程前端放入 對稱概念與摺紙活動，將有助於學生學習尺規作圖。
本課程將此特性融入整個教學設計中，下方將依序說明七個相關的課程內 容：
1. 對稱軸垂直平分對稱點間的連線
在主題一「摺紙中的對稱 與 摺紙動作之一」中，請學生摺出正方形與正五 邊形的對稱軸，藉此摸索摺紙的對稱性，並利用摺紙的方式說明對稱軸垂直平分 對稱點間的連線。在此以正方形為例（參考圖 3-4-1，為方便說明，圖示加上 M 點、直線 L、∠1 與∠2 及弧線符號）：摺痕直線 L 的產生是因將 A 點 B 點重合，
此時，A 點與 B 點是以直線 L 為對稱軸的對稱點。在摺疊的過程中，AM與MB疊 合在一起，因此，AM=MB，也就是直線 L 垂直平分AB；再者，∠AMB 為平角，
此角被直線 L（對稱軸）分成兩個角，分別是∠1 與∠2，由於此兩個角在摺疊的 過程中重合，所以，∠1=∠2，也就是直線 L 平分∠AMB，故∠1=∠2=90°。
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圖 3-4-1 對稱軸垂直平分對稱點間的連線的說明 2. 摺紙動作 2、3 中之作垂線的原理
在主題一「摺紙中的對稱 與 摺紙動作之一」中，摺紙動作 2 與 3 為何會產 生垂線呢？此兩動作的重點在於將直線 L 分成兩部分，並將此兩部分疊合，所產 生的摺痕就會垂直於直線 L。此處的說明方式與上述「對稱軸垂直平分對稱點間 的連線」相似，簡言之，此舉乃是利用疊合紙張、平分平角而產生垂線。詳見圖 3-4-2 與圖 3-4-3 的示意圖。
疊合圖 動作後之展開圖
圖 3-4-2 摺紙動作 2 的描圖紙示意圖
1 2 L
M
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疊合圖 動作後之展開圖
圖 3-4-3 摺紙動作 3 的描圖紙示意圖 3. 中垂線與角平分線的性質
中垂線的性質為中垂線上任一點到線段兩端點等距離，角平分線的性質為角 平分線上任一點到角的兩邊等距離。在課程教材的安排上，摺紙動作 5 的教學後 進行中垂線性質的教學，摺紙動作 6 的教學後進行角平分線性質的教學，分別位 於主題一與主題二。如圖 3-4-4 所示，利用摺紙動作 5 可以找出AB的中垂線，若 在AB的中垂線上任取一點 P，P 點到 A 點的距離（圖中用虛線標示）會與 P 點 到 B 點的距離（圖中用虛線標示）一樣嗎？若利用摺紙的對稱性，或者說是保 長度的性質，延著AB的中垂線摺疊，我們會發現兩條用虛線標示的距離，也就 是PA與PB會疊在一起，這就代表兩線段相等。
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摺痕為AB的中垂線 以AB的中垂線為摺線摺疊 圖 3-4-4 利用摺紙驗證中垂線性質
同理，如圖 3-4-5 所示，利用摺紙動作 6 可以找出∠BAC 的角平分線，若在
∠BAC 的角平分線上任取一點 P，可以利用摺紙動作 3 分別摺出過 P 點與AB和AC 垂直的直線，此時 P 點到 A 點的距離（圖中用虛線標示）會與 P 點到 B 點的距 離（圖中用虛線標示）一樣。我們一樣可以利用摺紙對稱性，以∠BAC 的角平 分線為摺線摺疊，驗證出兩線段相等。雖然利用摺紙的方式沒有幾何證明嚴謹，
但學生可以透過實際操作經驗，初步了解此性質。
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通過AP的摺痕為∠BAC 的角平分線 延∠BAC 的角平分線摺疊
圖 3-4-5 利用摺紙驗證角平分線性質 4. 等腰三角形的性質
主題三與主題四，課程會介紹 6 個摺紙動作轉換到尺規作圖的方式，同時說 明繪製作圖軌跡，而這些說明過程中，會用到等腰三角形的性質。因此，在主題 二「等腰三角形 與 摺紙動作之二」中，放入讓學生探索等腰三角形性質的內容。
教學中利用摺紙的方式，藉著圖形的重疊，使學生理解等腰三角形的對稱軸是底 邊上的高、底邊的中垂線、頂角的角平分線，也理解等腰三角形的兩底角相等。
5. 用圖形疊合觀察當對稱軸傾斜時的對稱圖形
為幫助學生在對稱軸傾斜時能繪製出正確的對稱圖形，在主題二「等腰三角 形 與 摺紙動作之二」的綜合練習（二）中，放入這類問題供學生練習。在左台 益與陳天宏（2002）的研究中，發現學生在對稱軸傾斜時所畫出的圖形，常以軸 為垂直方向來繪製，因此，本研究預期藉由摺疊紙張，來幫助學生辨認出正確圖 形位置，進而建立學生正確的對稱圖形概念。
為幫助學生在對稱軸傾斜時能繪製出正確的對稱圖形，在主題二「等腰三角 形 與 摺紙動作之二」的綜合練習（二）中，放入這類問題供學生練習。在左台 益與陳天宏（2002）的研究中，發現學生在對稱軸傾斜時所畫出的圖形，常以軸 為垂直方向來繪製，因此，本研究預期藉由摺疊紙張，來幫助學生辨認出正確圖 形位置，進而建立學生正確的對稱圖形概念。