摺紙活動對尺規作圖學習之效益研究－以八年級學生補救教學為例

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(1)國立臺灣師範大學科學教育研究所碩士班碩士論文指導教授：譚克平博士 . 摺紙活動對尺規作圖學習之效益研究－以八年級學生補救教學為例 . On the effectiveness of teaching straightedge and compass construction via origami construction to eighth graders in a remedial context . 研究生：陳聖別中華民國 101 年 7 月. .

(2) . 誌. 謝. 隨著論文的完成，埋首研究的日子即將畫上句點，在這富於挑戰的兩年裡，我首先要感謝隨時隨地與我同在的主耶穌。當口試通過的那天，腦中想起主耶穌在十字架上將要斷氣時說的話：「成了！」祂這位神子竟歷經地上一切甘苦，甚至捨命拯救我們，更因著祂的「成了」，我們在今日可以得享祂夠用的恩典與扶持。感謝神的安排，為我預備一位同是基督徒的指導教授，譚克平老師，感謝他讓我更認識神，也讓我學習進行研究，培養作研究嚴謹、敬業的態度。也感謝兩位口委，洪萬生老師與劉柏宏老師的指教與鼓勵，讓我獲益匪淺！另外，我也感謝科教所這個大家庭，有盡心竭力的老師、傾囊相授的學長姐、一同奮鬥的同學，還有樂於助人的學弟妹，使我在研究過程中更有力量。最後，我也感謝愛我的家人，以及在神家中的親人，你們在我研究遇到瓶頸時，給我即時的鼓勵與幫助；在我有進展時，給我歡呼與掌聲，讓我更加體會在人生中要珍惜許多的「你們」，正如聖經中的一句話：「因為我知道，這事藉著你們的祈求，和耶穌基督之靈全備的供應，終必叫我得救。」願神祝福你們每一位，都平安、喜樂、康壯、有活力！. i .

(3) . 摘. 要. 摺紙活動對尺規作圖學習之效益研究－以八年級學生補救教學為例陳聖別利用有趣的摺紙活動學習尺規作圖，是使課室活潑化的方式之一，也能幫助學生克服學習尺規作圖的困難。因此，本研究的目的有三，第一，藉由分析國中教材中的尺規作圖，探討陳宥良（2008）提出的六個摺紙動作是否足夠應付國中教材；第二，編製一套透過摺紙學習尺規作圖的教材，並探討此套教材在認知面向對學生的幫助。第三，探討此課程在情意面向對學生的幫助。本研究的研究設計採質性研究，為著深入探討本實驗課程的成效，分為兩個部分：第一部分是藉由分析現行國中教科書中所有的尺規作圖題，以找出所有尺規作圖的動作，並發展出能應付所有教科書內尺規作圖的摺紙動作。第二部分乃是根據第一部分的結果，參考設計研究法的精神，編製一套透過摺紙學習尺規作圖的教材，並採前實驗研究法進行教學實驗，對象為苗栗縣某國中 6 名學生。資料分析參考 David Middleton 提出的 D-analysis 進行教學過程分析，再加上前後測結果與質性訪談的內容，探討此教材的有效性。本研究主要的研究結果如下： (1) 摺紙能幫助學生記憶基本尺規作圖的繪圖步驟。 (2) 摺紙能強化學生對稱的概念，且增強他們等距離的直覺。 (3) 摺紙能成為學生驗證作圖正確性的工具之一。 (4) 摺紙能提供學生解題的想法，特別在「完成線對稱圖形」與「需利用中垂線性質或角平分線性質」兩種題型上尤其明顯。 (5) 學生容易利用摺紙動作聯想、理解並記憶尺規作圖動作，並且此種轉換未對學生造成認知負荷。. ii .

(4) . (6) 參與的學生接受並喜愛利用摺紙學習尺規作圖，並且透過摺紙學習能使學生更有興趣學習尺規作圖。根據本研究的結果，研究者建議可進一步透過較大樣本的教學實驗驗證其有效性，並在較大的班級中利用分組的方式讓學生進行摺紙活動。本研究也發現「過線外一點作平行線」、「等線段作圖」、「等角作圖」對參與的學生而言有相當程度的困難，因此，研究者建議可進一步研究，探討如何有效的幫助學生學習藉由摺紙進行此三種作圖，並從摺紙作圖轉換到尺規作圖。. 關鍵字：摺紙作圖、尺規作圖、D 分析. iii .

(5) . Abstract On the effectiveness of teaching straightedge and compass construction via origami construction to eighth graders in a remedial context by Sheng-Pieh Chen Learning geometric construction through origami activities is one way to make mathematics lessons more interesting. Could hands-on activities through origami also help students to overcome their difficulties in learning geometric construction? The answer to this question is explored in the present study, which carries three purposes. The first is to investigate whether the six origami operations delineated in Chen (2008) form an adequate system for use at the junior high school level. The second is to design teaching materials that relate origami activities to straightedge and compass construction. Its effectiveness in the cognitive domain will be explored and relevant issues in this regard will be discussed. The third is to discuss the efficacy of such activities in terms of the affective domain. This study adopted two different process in its research design. The first one involved analyzing the geometric construction contents and problems in Taiwan’s junior high textbooks so as to find out what were covered at the junior high school level. The result from this process was used to develop teaching materials that intended to enhance students learning straightedge and compass construction via origami construction. This is done by way of following principles from design research. A teaching experiment on six participating eighth grade students from the Miao-Li County was conducted according to the pre-experimental design. Data from iv .

(6) . the teaching experiment were partly analyzed by using D-analysis as proposed by David Middleton, whereas the rest of the results from the pretest, posttest, and interviews were analyzed qualitatively. Major findings of this study are as follows: (1) Origami can help students memorize the procedures when constructing geometric figures. (2) Origami can reinforce students’ conception of symmetry and strengthen their intuition about equivalent length. (3) Origami can be a useful tool for students to check the validity of a construction procedure. (4) Origami can provide students with heuristics to solve construction problems, particularly in relation to two formats of problem, namely, those related to completing figures with symmetrical features, and those that involve the construction of perpendicular bisectors or angle bisectors. (5) It is relatively easy for students to think of, understand, and remember origami construction procedures. They can then relate these procedures to the corresponding straightedge and compass construction procedures. Moreover, such transitions do not impose an extensive amount of cognitive load on the participating students. (6) The participating students expressed positive acceptance and enjoyment in learning geometric construction through origami activities. Such activities enhanced the students’ interest while they learned geometric construction. According to the results of this study, it is suggested that the effectiveness of the teaching materials can be tested out in a larger scale study, with the materials introduced to larger classes using small group teaching method. This study found that such tasks as “construct parallel lines through a given point,” “construct a segment of v .

(7) . equal length to a given segment,” and “construct an angle of equal magnitude to a given angle” posed a certain degree of difficulty on the participants. Hence it is suggested that more research is necessary regarding how to teach effectively the above mentioned procedures, both in terms of construction by origami as well as transition from origami construction to straightedge and compass construction.. Key words: origami construction, straightedge and compass construction, D-analysis. vi .

(8) . 目. 錄. 第壹章緒論...............................................................................................1 第一節研究動機.................................................................................................. 1 第二節研究目的.................................................................................................. 5 第三節研究問題.................................................................................................. 5 第四節名詞釋義.................................................................................................. 7 第五節本研究的貢獻........................................................................................ 10 第六節研究限制................................................................................................ 10. 第貳章文獻探討 .................................................................................... 11 第一節尺規作圖................................................................................................ 11 第二節摺紙活動與數學學習............................................................................ 18 第三節摺紙與尺規作圖.................................................................................... 22. 第參章研究方法 ....................................................................................32 第一節研究設計................................................................................................ 32 第二節研究對象................................................................................................ 35 第三節教材內容分析........................................................................................ 37 第四節研究工具................................................................................................ 42 第五節資料處理的方法.................................................................................... 63. 第肆章資料分析 ....................................................................................65 第一節教學過程分析........................................................................................ 66 第二節六名學生前、後測的表現.................................................................... 88 第三節摺紙對學生學習之效益分析................................................................ 99 第四節學生基本尺規作圖與解題問題之後設分析...................................... 115 vii .

(9) . 第五節關於情意面向的探討.......................................................................... 128. 第伍章討論與建議 ..............................................................................136 第一節討論...................................................................................................... 136 第二節建議...................................................................................................... 151. 參考文獻.................................................................................................155 中文部分............................................................................................................ 155 英文部分............................................................................................................ 158. 附. 錄.................................................................................................161 附錄一尺規作圖實驗課程前測試題（B 卷） .............................................. 161 附錄二尺規作圖實驗課程後測試題（A 卷） .............................................. 167 附錄三尺規作圖實驗課程後測試題（B 卷） .............................................. 172 附錄四尺規作圖實驗課程前、後測試題專家審核表（節錄）.................. 178 附錄五「摺紙動作轉換到尺規作圖試卷」.................................................. 181 附錄六摺紙動作與尺規作圖轉換表.............................................................. 185 附錄七單元一的學習單.................................................................................. 187 附錄八學生摺紙作品的情況表與部分學生作品.......................................... 195. viii .

(10) . 圖. 次. 圖 1-1-1 正三角形作圖 ................................................................................................ 3 圖 2-1-1 圖解證明「算術平均數大於幾何平均數」 .............................................. 13 圖 2-3-1 Auckly 與 Cleveland（1995）的前三個摺紙動作 ..................................... 25 圖 2-3-2 Auckly 與 Cleveland（1995）的第四個摺紙動作 ..................................... 25 圖 2-3-3 「給定對稱軸搬運直線」的圖示 .............................................................. 30 圖 3-1-1 研究時程圖 .................................................................................................. 34 ___ 圖 3-3-1 題目「已知鈍角△ABC，求作AB上的高」之圖示 ................................. 39 圖 3-3-2 「過線外一點作平行線」的摺法 .............................................................. 41 圖 3-4-1 對稱軸垂直平分對稱點間的連線的說明 .................................................. 50 圖 3-4-2 摺紙動作 2 的描圖紙示意圖 ...................................................................... 50 圖 3-4-3 摺紙動作 3 的描圖紙示意圖 ...................................................................... 51 圖 3-4-4 利用摺紙驗證中垂線性質 .......................................................................... 52 圖 3-4-5 利用摺紙驗證角平分線性質 ...................................................................... 53 圖 3-4-6 用摺紙幫助繪製對稱圖形 .......................................................................... 54 圖 3-4-7 摺紙動作 2 與 3 的尺規作圖畫法 .............................................................. 55 圖 3-4-8 摺紙動作 5 的尺規作圖畫法 ...................................................................... 55 圖 3-4-9 摺紙動作 6 的尺規作圖畫法 ...................................................................... 56 圖 4-1-1 學生 S6 摺正方形與正五邊形對稱軸的作品 ............................................ 71 圖 4-1-2 學生 S3 進行摺紙動作 2 與 3 的作品 ........................................................ 79 圖 4-1-3 摺紙動作 2 與 3 之練習－學生的作品 ...................................................... 80 圖 4-1-4 利用摺紙摺出「過線外一點作平行線」的作圖－學生的作品 .............. 82 圖 4-1-5 綜合練習（五）第 2 題的圖示 .................................................................. 83 圖 4-1-6 綜合練習（五）第 2 題－學生的作品 ...................................................... 83 圖 4-2-1 學生 S3 在「過線外一點作平行線」的表現 ............................................ 91 ix .

(11) . 圖 4-2-2 學生 S1 在完成對稱的圖形之前、後測表現對照圖 ................................ 94 圖 4-2-3 學生 S2 在繪製正方形或長方形之前、後測表現對照圖........................ 95 圖 4-2-4 學生 S6 在方格紙上繪製線對稱圖形的表現（前測） ............................ 96 圖 4-2-5 學生 S6 在方格紙上繪製線對稱圖形的表現（後測） ............................ 97 圖 4-3-1 學生 S3 在「過線外一點作平行線」的表現 .......................................... 102 圖 4-3-2 利用摺紙引導學生進行「過線外一點作平行線」之尺規作圖的作品 103 圖 4-3-3 學生 S4 於試題前測 B 卷二 1 的表現 ..................................................... 103 圖 4-3-4 學生 S4 於試題後測 B 卷二 1 的表現 ..................................................... 104 圖 4-3-5 學生 S3 在後測 B 卷二 1 題於訪談時的表現 ......................................... 107 圖 4-3-6 學生 S5 在後測 B 卷二 5 題的表現 ......................................................... 109 圖 4-3-7 完成線對稱的題目－學生 S3 訪談後畫出的圖形 .................................. 110 圖 4-4-1 作圖題作圖示範 ........................................................................................ 115 圖 4-4-2 學生 S2 在後測 B 卷二 4 之題目上的表現 ............................................. 116 圖 4-4-3 學生 S3 在後測 B 卷二 1 題的表現 ......................................................... 119 ___ 圖 4-4-4 學生 S2 在作AC上的高時的表現 ............................................................. 120 ___ 圖 4-4-5 學生 S5 在作AC上的高時的表現 ............................................................. 120 ___ 圖 4-4-6 學生 S6 在作AC上的高時的表現 ............................................................. 121 圖 4-4-7 學生 S3 在後測 B 卷二 4 題的表現 ......................................................... 121 圖 4-4-8 學生未用尺規作圖畫垂線的情形 ............................................................ 122 圖 4-4-9 學生 S3 於綜合題的前、後測表現 .......................................................... 124 圖 4-4-10 學生 S4 於綜合題的後測表現 ................................................................ 124 圖 5-1-1 需要用到畫兩弧找交點的 SSS 三角形全等作圖示意圖 ....................... 140 圖 5-1-2 學生利用摺紙作圖發現草圖繪製錯誤的示意圖 .................................... 149 . . x . .

(12) . 表. 次. 表 2-1-1 歷年來尺規作圖試題統計表 ...................................................................... 13 表 2-2-1 歷年來摺紙試題統計表 .............................................................................. 21 表 2-3-1 Yates（1949）所提出的 3 個摺紙動作 ...................................................... 23 表 2-3-2 Huzita-Hatori Axioms 與 Circle Origami Axioms ....................................... 27 表 3-2-1 學生尺規作圖的學習態度與觀感之態度量表 .......................................... 36 表 3-3-1 尺規作圖題在各版本中的題數分佈 .......................................................... 38 表 3-3-2 教科書與國中基測歷屆考題中，尺規作圖動作與題數對照表 .............. 40 表 3-4-1 摺紙動作 1 的三種情況說明 ...................................................................... 44 表 3-4-2 摺紙動作 4 的三種情況說明 ...................................................................... 44 表 3-4-3 第一階段課程大綱與重點 .......................................................................... 46 表 3-4-4 第二階段課程大綱與重點 .......................................................................... 47 表 3-4-5 第三階段課程大綱與重點 .......................................................................... 48 表 3-4-6 各單元與能力指標對照表 .......................................................................... 56 表 3-4-7 前後測試題架構 .......................................................................................... 58 表 3-4-8 基本尺規作圖、基本尺規作圖的原理、作圖題解題之單項細目表 ...... 59 表 3-4-9 專家審查平行題本之範例試題內容 .......................................................... 61 表 3-4-10 摺紙動作轉換到尺規作圖題本之各題與摺紙動作對照表 .................... 62 表 4-1-1 課程授課日期、時間與進度表 .................................................................. 68 表 4-1-2 各主題重點與授課方式一覽表 .................................................................. 69 表 4-1-3 課程中教授的幾何概念與摺紙動作一覽表 .............................................. 69 表 4-1-4 課程的幾何概念經 D-analysis 分析的結果 ............................................... 84 表 4-1-5 課程中的摺紙動作經 D-analysis 分析的結果 ........................................... 85 表 4-1-6 學生摺紙作品的情況統計表 ...................................................................... 86 表 4-2-1 學生於尺規作圖工具使用試題的答題情況 .............................................. 89 xi .

(13) . 表 4-2-2 學生在基本尺規作圖原理試題的表現 ...................................................... 90 表 4-2-3 基本尺規作圖前、後測答對人數對照表 .................................................. 90 表 4-2-4 前後測態度問卷中，關於基本尺規作圖記憶難度的人數對照表 .......... 92 表 4-2-5 作圖題解題前、後測答對人數對照表 ...................................................... 93 表 4-2-6 繪製對稱圖形之前、後測答對人數對照表 .............................................. 95 表 4-3-1 學生 S2 在基本尺規作圖題的前、後測表現 ............................................ 99 表 4-3-2 學生 S5 在基本尺規作圖題的前、後測表現 .......................................... 100 表 4-3-3 訪談時學生對 6 個摺紙動作的記憶情形 ................................................ 111 表 4-3-4 學生於「摺紙動作轉換到尺規作圖試卷」的答題表現 ........................ 112 表 4-5-1 實驗課程態度問卷學生答題表現（一） ................................................ 129 表 4-5-2 實驗課程態度問卷學生答題表現（二） ................................................ 130 表 4-5-3 實驗課程態度問卷學生答題表現（三） ................................................ 131 表 4-5-4 實驗課程態度問卷學生答題表現（四） ................................................ 132 表 4-5-5 前後測態度問卷中，學生對尺規作圖之感受的人數對照表 ................ 133 表 4-5-6 實驗課程對學生尺規作圖學習的效益總覽表 ........................................ 135 表 5-1-1 摺紙作圖與尺規作圖在步驟數上的比較表 ............................................ 138 表 5-1-2 本研究與陳宥良（2008）之研究的比較表 ............................................ 142 表 5-1-3 摺紙與動態幾何軟體比較 ........................................................................ 150. xii .

(14) . 第壹章緒論尺規作圖是國中數學頗具挑戰性，且不可或缺的單元，在國中基測考題中出現頻繁。然而，尺規作圖卻也被發現是學生的學習上較困難以及錯誤類型；針對這個問題，已有研究者透過發展摺紙動作幫助學生學習，並在研究中論證其有效性。依各版本教科書內容觀之，許多教科書已將摺紙納入教學，但成效為何，不得而知。雖然陳宥良（2008）的研究中，已證實摺紙對於尺規作圖補救教學有實質助益，但是否能繼續推廣，甚至放入教材中，也尚未有明確的答案。本章將分成五個小節，第一節說明研究者進行本研究的動機；第二節說明研究目的；第三節說明研究問題；第四節解釋一些本研究中專用的名詞；第五節說明本研究的限制。. 第一節研究動機於民國 100 年 5 月間一次返家時間，與幾位青少年一同聚餐，一位剛考完基測的國三生語出驚人：「我基測數學，除了第 33 題（尺規作圖題），其餘全對！」一位數學程度不錯的學生，竟然幾乎直接放棄尺規作圖，更何況程度不佳的學生！此事件更加引起我探究其原因的心。到底是尺規作圖的分量不重，造成學生的忽視，還是學習尺規作圖上的困難造成這一位學生的放棄呢？國中學習數學時研究者就覺得尺規作圖頗有挑戰性，老師不僅要求成功作圖，更須寫下完整證明。雖然目前基測只有選擇題，難以考出需動手操作的尺規作圖題，但根據研究者搜尋近十年的國中基測有關尺規作圖的考題，卻發現自民國 90 年至 100 年國中基測，除 93 年外，每一年都出現尺規作圖題目，尺規作圖儼然成了必考題，也凸顯尺規作圖在國中數學教育中的重要性。而在教材方面，根據研究者檢視國內之國中教材的兩個版本：翰林版與康軒版，也發現尺規作圖分佈於八年級下學期與九年級上學期的幾何課程中，特別的是，幾乎每一單元，從介紹尺規作圖、三角形的全等、平行與四邊形、相似三角形、圓到三角形的心等 1 .

(15) . 單元，都會提及尺規作圖的問題。由此可知尺規作圖在教學現場重要性，以及尺規作圖對學生在提升解題能力上的幫助。但到底有什麼方法能夠提升學生在學習尺規作圖上的興趣與效率呢？在一次課堂中偶然的機會裡，聽到老師介紹陳宥良（2008）的研究，他提出教導學生從摺紙活動學習尺規作圖的想法，探討透過摺紙學習尺規作圖的可行性。研究者兒時的記憶隨之浮現：「平時隨手玩玩的摺紙，竟可用於數學學習！而且是特別難的尺規作圖！我們竟能利用摺紙學習操弄直尺與圓規等兩種工具，實在稀奇！」因此引發我進一步探究摺紙活動教學法的興趣。除了陳宥良（2008），另外有兩位研究者進行與尺規作圖相關的研究，其中之一是劉繕榜（1999），曾針對資優學生進行研究，找出學生的學習困難以及錯誤類型；另一位是葉福進（2005），研究學生使用三種工具作圖時所遇到的困難，發現學生在尺規作圖上，工具使用錯誤；另外，經由一群研究者的努力（陳宥良， 2008；陳宥良、譚克平、趙君培，2009；譚克平、陳宥良，2009），他們初步發展出與尺規作圖動作相對應的摺紙動作，以幫助低學習成就的學生學習尺規作圖，在研究中也指出其有效性。這是目前唯一的教材與研究。有鑑於此，研究者欲繼續發展此套創新教學法，以期能更完善，且能應用於與圓相關的尺規作圖。陳宥良（2008）的研究中，提及摺紙活動對學生學習尺規作圖的幫助。在三位進行補救教學的學生中，其中一位在回答一尺規作圖題如下：『已知 A、B 兩點在直線 L 的異側，請利用尺規作圖的方法，找出直線 L 上的一點 P，使得PA=PB。』 A. L B 在訪談中，學生原先不知該如何解題，但他透過摺紙來思考，發現作圖區有兩個點，而想到有一個摺紙動作是將兩點重合，他嘗試並驗證其想法，找出正確 2 .

(16) . 的解題步驟，並成功完成作圖。這位學生也表示，經過透過摺紙活動進行尺規作圖的教學，他會喜歡用摺紙方式去思考，因為會比正規尺規作圖還要快速！在文中，還有一尺規作圖題目如下：『已知一線段 a，求作邊長為 a 的正△ ABC。』其中兩位個別訪談的學生都成功解題，但作法卻與一般的作法不同。通常會先畫出底邊，再利用底邊的兩個端點，分別以邊長 a 畫弧，交於一點，此點即為正三角形的第三點。然而，這兩位學生卻不約而同在作出底邊後，先畫出底邊的中垂線，再分別以底邊的兩端點為圓心，邊長為半徑畫弧而找出正三角形的第三點（兩種作法可見圖 1-1-1）。他們的解法雖然多此一舉，而且從歐幾里得之《幾何原本》的公理安排來看，此舉有循環論證之嫌，但考量陳宥良（2008）的研究對象是低學習成就的學生，學生能利用此法完成作圖，已說明摺紙活動達到幫助學生學習的效果，且在作圖過程中，讓學生聯想到對稱的性質，提供學生不同的解題策略與想法，亦值得嘉許。. （一般作法）. （學生不同的解題方式）. 圖 1-1-1 正三角形作圖這給我們一個想法，當學生面臨尺規作圖題，不知該如何下手時，若給他一張紙動手摺一摺，或許能提供學生一些想法，甚至產生像草圖的功能，而使學生突破困境並成功解題！ 3 .

(17) . 既然摺紙活動能幫助尺規作圖學習，但若要融入課程，或是提供教師作為補救教學教材，陳宥良（2008）所提出的六個基本摺紙動作足夠嗎？例如，在他的研究中，學生對於「線外一點作平行線」的作圖是感到困難的，僅約三成（44/150 人）學生作出，甚至有 67 人空白未作答。但在摺紙教學中，卻未針對此幾本尺規作圖的摺紙動作多作解釋。因此，本研究在陳宥良（2008）研究的基礎上，特別針對數學低學習成就的學生，更有系統的研究摺紙活動，並編製合適的教材，以幫助他們學習尺規作圖。. 4 .

(18) . 第二節研究目的有鑑於陳宥良等人的研究對象，主要是針對低學習成就的學生，而且摺紙動作乃針對基本尺規作圖編製，因此，他們的摺紙動作可能僅適合於部分題目。為使摺紙動作更加完整，本研究有以下三個主要的研究目的：第一，分析陳宥良等人的六個摺紙動作，是否適合國中生學習尺規作圖？並探討是否有需要補充的地方？第二，依研究目的一的結果，編寫一套利用摺紙學習尺規作圖的教材，以幫助低成就學生學習尺規作圖，並探討此教材在認知方面對學生的幫助。第三，探討此套教材在情意方面對學生的幫助。. 第三節研究問題基於上一節所述之研究目的，本研究的研究問題如下：一、針對研究目的一，欲探討的研究問題如下： 1. 陳宥良（2008）提出六個可以進行作圖的摺紙動作來幫助學生學習尺規作圖，首先分析兩個關乎直尺與圓規基本使用的摺紙動作（編號 1 與 4），探討何處需要改進或補充？ 2. 分析陳宥良（2008）提出的六個摺紙動作，包括研究問題 1 的兩個動作，再加上四個關於「基本尺規作圖」的摺紙動作（編號 2、3、5、6），分別是「過線上一點作垂線」、「過線外一點作垂線」、「中垂線作圖」、「角平分線作圖」，是否可延伸出其他重要的基本作圖動作？ a. 如何利用六個摺紙動作摺出「過線外一點作平行線」的作圖？ b. 如何利用六個摺紙動作摺出「等線段作圖」？ c. 如何利用六個摺紙動作摺出「等角作圖」？二、針對研究目的二，欲探討的研究問題如下： 1. 學生在學習過程中的表現與反應為何？ 5 .

(19) . 2. 透過此套教材的學習，學生對於「基本尺規作圖」的表現如何？ a. 學生是否能作出七個「基本尺規作圖」，包括過線上一點作垂線、過線外一點作垂線、作中垂線、作角平分線、過線外一點作平行線、等線段作圖與等角作圖？ b. 透過摺紙教學的幫助，學生在理解過線上一點作垂線、過線外一點作垂線、作中垂線、作角平分線等原理上是否有進步？ 3. 透過此套教材的學習，學生對於「作圖題的解題」的表現如何？ a. 學生在作答需作垂線的題目上的表現為何？ b. 學生在作答需運用作中垂線或角平分線的題目上的表現為何？ c. 學生在作答利用尺規作圖完成線對稱圖形的題目上的表現為何？ 4. 學生是否容易進行摺紙動作與尺規作圖之間的轉換？其轉換是否會干擾學生學習尺規作圖而造成認知負荷？三、針對研究目的三，欲探討的研究問題如下： 1. 經過「摺紙課程」教學，學生對整套實驗課程的接受程度為何？ 2. 經過「摺紙課程」教學，對於摺紙活動的操作，學生是否覺得容易？是否感興趣？ 3. 經過「摺紙課程」教學後，學生對於學習尺規作圖，是否更感興趣？. 6 .

(20) . 第四節名詞釋義一、基本尺規作圖陳宥良（2008）以九年一貫課程綱要（教育部，2003）為依據，參考能力指標「8-s-07 能熟練基本尺規作圖」所提及之項目與各版本教科書，將「等線段作圖」、「等角作圖」、「線段中垂線作圖」、「角平分線作圖」、「線外一點作垂線」、「線上一點作垂線」、「線外一點作平行線」等七個作圖當作「基本尺規作圖」，可作為學生進行尺規作圖時的基礎。因此，本文所提的「基本尺規作圖」係指上述七個作圖。. 二、基本摺紙動作「基本摺紙動作」係指利用摺紙來進行作圖的動作，主要有陳宥良（2008）的研究中用於教學實驗研究中的「六個摺紙動作」，依序為「摺紙動作 1：摺出通過兩點的直線」、「摺紙動作 2：線上一點作垂線」、「摺紙動作 3：線外一點作垂線」、「摺紙動作 4：一點到一線，摺線過一點」、「摺紙動作 5：兩點重合」、「摺紙動作 6：兩線重合」，請見下頁圖示說明，圖片均取自陳宥良（2008）的論文，在後文中，研究者也將依照上述的編號稱呼各個摺紙動作。在本文特稱此六個摺紙動作為「基本摺紙動作」。. 7 .

(21) .  摺紙動作 1：摺出通過兩點的直線如下圖，紙上有 A、B 兩點，可摺出摺痕 M 線通過此兩點。. .  摺紙動作 2：過線上一點作垂線如下圖，紙上有一直線 L 與直線 L 上的一點 A，可摺出通過 A 點且垂直於直線 L 的摺痕 M。.  摺紙動作 3：過線外一點作垂線紙上有一直線 L 與直線 L 外的一點 A，可摺出通過 A 點且垂直於直線 L 的摺痕 M。. . 8 .

(22) .  摺紙動作 4：在直線上取等線段長如下圖，紙上有一直線 L 與 A、B 兩點，可同時將 A 點摺至直線 L 上（假設與 A’點重合）而且讓摺痕 M 通過 B 點，並在紙張未攤開時，用筆尖輕壓紙張（痕跡會印到紙張的另一面），而畫出 A’點。. .  摺紙動作 5：將兩點重合如下圖，紙上有兩點 A 與 B，將這兩點重合可產生一條摺痕 M。.  摺紙動作 6：將兩直線重合如下圖，紙上有兩條直線 L1 與 L2，將這兩條直線重合可產生一條摺痕 M。. . 9 .

(23) . 三、尺規作圖動作「只利用直尺（沒有刻度）及圓規製作圖形之方法，稱為尺規作圖。」（教育部，2008）直尺（沒有刻度）與圓規是尺規作圖中所使用的工具，直尺可用來畫出直線或線段，圓規可用於畫弧或畫圓，這是「工具的基本使用」。因此，我們可以利用直尺和圓規完成一些作圖問題，例如：「線上一點作垂線」、「線外一點作垂線」、「中垂線作圖」、「角平分線作圖」等，或是其餘的尺規作圖題目。這些在本文通稱「尺規作圖動作」。. 第五節本研究的貢獻一、本研究將利用摺紙學習尺規作圖的教材進行延伸，涵括國中教材中的七個基本尺規作圖動作。二、本研究以國中現行教材為出發點，分析教材的內容，並編製一套透過摺紙學習尺規作圖的創新課程，以期能配合一般課室的教學。三、本研究特別針對摺紙的對稱性，延伸陳宥良（2008）初步發現摺紙能幫助學生聯想到圖形的對稱性質，以此為主軸設計課程。. 第六節研究限制一、本研究的樣本並非隨機抽樣，乃採立意取樣，不宜將結果過度進行推論。二、本研究的教材設計乃針對國中教科書的內容與歷年國中基測的試題，惟需要利用圓規畫圓的作圖不在本研究探討的範圍內。因此，此套教材若要用於更廣泛的尺規作圖題，需要另行衡量。三、本研究採質性研究法，有主觀的因素在其中。另外，若要與傳統尺規作圖的教學方式相比較，有待後人繼續檢查其結果。. 10 .

(24) . 第貳章文獻探討本章將分成三節來討論，第一節是關於尺規作圖的學習與相關的研究；第二節說明摺紙用於教學的想法與好處；第三節是關於尺規作圖與摺紙的結合，也就是如何利用摺紙進行尺規作圖。. 第一節尺規作圖尺規作圖可稱作歷經兩千餘年的古老遊戲，其間雖有人進行改良，原始規則卻無可取代。回溯至古希臘時代，他們如何進行此遊戲呢？柏拉圖認為「圓」與「直線」為最美且最簡單之圖形，他曾對能畫出直線與圓的直尺與圓規做出下面的規定：  直尺只能用來畫通過已知兩點的直線。  圓規只能用來畫已知圓心且通過另一點的圓。從此規定我們可發現，至少要先存在兩點才能使用圓規與直尺。如此一來，我們現在常用的作圖，如「以已知點為圓心，任意長為半徑作出圓」、「過一點作一直線」等都是不被允許的動作，而這些「點」只能是已知的點，或是作圖時產生的新交點。數學軟體 GSP（The Geometer’s Sketchpad）的作圖形式與上述的規定相近（謝佳叡，1999）。歐幾里得在其《幾何原本》中，也提及三條公設以進行尺規作圖：公設 1：由任意一點到任意一點可以作直線。公設 2：一條有限直線可以繼續延長。公設 3：以任意的點為圓心及任意的線段為距離可以畫圓。歐幾里得在《幾何原本》中，定義「線的兩端是點」，使得公設 2 符合柏拉圖的定規。另外，上述兩位都沒有假設我們可以利用圓規移動或是複製線段，公設 3 保證我們可以畫圓，但畫圓後圓規並不會保持原有的半徑，有人開玩笑說這是一個「坍塌的圓規」（梁子傑，2005）。不過，歐幾里得已在其命題中證明「坍 11 .

(25) . 塌的圓規」可以達成「現代圓規」可以辦到的事，只是較複雜、步驟較多罷了！這將與利用摺紙進行尺規作圖有異曲同工之妙，詳見本研究之探討。. 一、學習尺規作圖的目的隨著國中基測的實施，該測驗全部為選擇題的題型，使得需動手實作的作圖題漸漸在國中數學教學中不受重視，甚至有高中教師反應，每次接任高一新生時，總有學生在國中時期從未使用過直尺與圓規進行尺規作圖（彭良禎，2011）。但尺規作圖的相關題目卻未曾在國中基測中缺席，可見擁有悠久歷史的尺規作圖仍然在國中幾何課程中占有一席之地，在國中各版本的教科書中，亦可看見尺規作圖的內容，為何尺規作圖如此重要呢？學習尺規作圖究竟對學生有何幫助？首先，藉由尺規作圖，可以將一些顯而易見的概念或性質，甚至數學上的關係，用可見的方式驗證出來，此舉可強化證明以使人信服（陳玉芬，2009；Sanders, 1998, 引自 Pandiscio, 2002）。這對於正從具體運思期要跨入形式運思期的國中生而言是相當重要的（Robertson, 1986, 引自 Pandiscio, 2002）。再者，尺規作圖對邏輯思考能力的訓練是不容置疑的，在進行尺規作圖的過程中，能培養解題所需之解析（analysis）和綜合（synthesis）的能力，這是數學經驗中極寶貴的一塊，它甚至也為分析和證明立下良好的基礎（洪萬生，2008；陳玉芬，2009；Pandiscio, 2002; Sanders, 1998）。正如「所有三角形都是等腰三角形」的謬論，來說明幾何作圖的重要性。在此命題中，若給予一個看似合理卻不準確的圖形，可以寫出一個嚴謹無誤的證明，印證此命題的正確性；殊不知此圖形在經由正確的幾何作圖後，反為不可能出現的圖形，此即說明最基本的尺規作圖的重要（韓結，2006；Posamentier, 2003）。另外，尺規作圖也使學生能將抽象幾何概念的視覺化，增進學生對數學概念的理解。舉例來說，Sanders（1998）利用幾何圖像去描述算術平均數大於幾何平均數的關係，如圖 2-1-1 所示，D 為半圓上的一點，使得△ADC 為直角三角形， 12 .

(26) . 且BD為三角形斜邊上的高。經過計算可知，AB和BC的幾何平均數（GM）恰為BD，而AB和BC的算術平均數（AM）為EF，由圖形可知惟有當 B 點位於圓心時，BD才會等於EF，也就是幾何平均數等於算數平均數，其於情況BD都會小於EF。用圖形證明的方式，可以加深學生的印象，亦可幫助學生的學習。. F D. A. B. C. E. 圖 2-1-1 圖解證明「算術平均數大於幾何平均數」學習尺規作圖對教學的幫助不勝枚舉，諸如：為教師提供機會去增添多元智慧（Sanders, 1998），或是因著尺規作圖的一題多解，使學生的創造力得以發揮出來（Sanders, 1998）等，有待教學研究者繼續發現。有鑑於此，歷年來的國中基本能力測驗，尺規作圖的題目未曾缺席過，詳見表 2-1-1。表 2-1-1 歷年來尺規作圖試題統計表年度. 練習題. 90. 91. 92. 94. 17. 96. 97. 98. 99. 12 23. 基測一. 95. 24. 100 24. 16 27. 29. 22. 19. 33. 28. 28. 30. 30. 31. 32. 33 10. 18 基測二. 29. 26 26. 9. 31. 30. 28. 32 34. 34 北北基. 23. 13 .

(27) . 聯測一. 29. 註 1：98 年第二次基測的第 32 題為洪萬生（2011）遺漏的題目，特別補上。修改自洪萬生（2011）。摺摺稱奇：初登大雅之堂的摺紙數學（頁 81）。臺北市：三民。註 2：表中的數字為該年試題的「題號」。. 二、國內關於尺規作圖的研究研究者於 2010 年間利用台灣碩博士論文知識加值系統，鍵入「尺規作圖」搜尋「論文名稱」與「關鍵詞」，計可找到 11 篇相關的研究。首先，有一類的研究多在探討不同教學方法，或創新的教學設計對學生學習的影響，而尺規作圖僅是它們探討的題材，此類共有 5 篇，分別是劉仁智（2009）考量不同多媒體教學設計對學生學習效益與認知負荷的影響、王郁文（2008）探討數學史輔助教學法對國二學生數學學習動機的影響、張祐誠（2007）研究激發式動態呈現之教學設計－文導圖模式與觸發模式的比較、曾妙玲（2007）乃進行激發式動態呈現教學設計的研究－觸發模式有/無字幕的比較、許湄（2007）則是探究式教學法融入幾何尺規作圖單元之行動研究。第二，真正有處理到尺規作圖學習的研究有 4 篇，曾喬志（2007）研究從實物操作、尺規作圖到 GSP 的幾何教學過程是否合宜；葉福進（2005）探討學生利用三種不同的構圖工具，分別是一般構圖、尺規構圖與 GSP 軟體的構圖，進行構圖活動會有何種表現；劉繕榜（1999）特別針對國中數學資優生，探討他們在尺規作圖與幾何證明中所發生的困難；陳宥良（2008）則是透過摺紙活動來幫助學生學習尺規作圖。第三，屬其他類，共 2 篇。分別是劉蕙菁（1999）較純粹數學理論的探討，聚焦於垂足曲線和反演曲線的尺規作圖。陳玉芬（2005）以數學史的角度，從 HPM 觀點看九年一貫國中數學幾何教材，尺規作圖自然出現在討論中。 14 .

(28) . 三、九年一貫課綱中的尺規作圖下文欲探討九年一貫的課綱中（教育部，2008），有提及尺規作圖的部分：首先，在能力指標中僅有一處提及尺規作圖：「S-4-10 能根據直尺、圓規操作過程的敘述，完成尺規作圖（S：幾何，4：第四階段－國中一至三年級）。」依據此能力指標，現行教科書將尺規作圖編入八年級下學期至九年級上學期的幾何課程中，也就是第四冊與第五冊的範圍。分別在各種幾何單元中，如簡單幾何圖形、三角形的性質、平行與四邊形、相似形、圓、幾何與證明等，加入尺規作圖的內容。另外，在八年級分年細目中也有一條：「8-s-11 能認識尺規作圖並能做基本的尺規作圖。」在分年細目中有詳細說明。第二，關於能力指標的細目詮釋中，有五條提及尺規作圖，分列如下：「8-n-01 能理解二次方根的意義及熟練二次方根的計算。（N-4-11、N-4-12）」（N：數與量）在說明中指出，盼望學生在二次方根，諸如：√2、√3 等數的教學中，利用畢氏定理理解這些數可用尺規作圖方式解得。但根號概念的教學安排在尺規作圖的教學之前，因此，在課程中，此類題目通常出現在尺規作圖的單元之後。「8-s-04 能認識垂直以及相關的概念。（S-4-01、S-4-04）」在說明中指出，通過直線 L 外的一點 P，可以尺規作圖作一直線 PQ 垂直於直線 L，且交 L 於一點 Q。我們稱點 Q 為直線 PQ 在 L 上的垂足。利用畢氏定理，來說明PQ為點 P 到直線 L 的最短距離。我們稱點 P 到垂足 Q 的距離PQ為點 P 到直線 L 的距離。此為基本的尺規作圖之一：「過線外一點作垂線。」「8-s-08 能理解畢氏定理（Pythagorean Theorem）及其應用。(同 8-a-05) （S-4-05、A-4-15）」在說明中有指出，利用尺規作圖及 SSS 全等性質，來理解三邊長滿足畢氏定理之三角形是一個直角三角形。「8-s-11 能認識尺規作圖並能做基本的尺規作圖。（S-4-10）」此綱要為最主要、最詳細提及尺規作圖的一部分，說明如下： 15 .

(29) .  只利用直尺(沒有刻度)及圓規製作圖形之方法，稱為尺規作圖。  本細目只強調會做基本的尺規作圖即可，基本的尺規作圖明列如下面。在每一尺規作圖應能明確的說明此尺規作圖的原理，這種說明在教學上是必須的，但可以不做評量。  能以尺規作圖複製已知的線段、圓、角、三角形。  能以尺規作圖平分一已知線段。  能以尺規作圖作一已知線段之中垂線。  能以尺規作圖作一已知角的角平分線。  過一直線外的已知點，能以尺規作圖作此直線之平行線與垂直線。  過一直線上的已知點，能以尺規作圖作此直線之垂直線。  如果已知三個正數滿足任兩數和大於第三數，則可用尺規作圖作出以此三數為邊長之三角形。「8-s-12 能理解特殊的三角形與特殊的四邊形的性質。」在說明中有指出，利用尺規作圖及 SSS 全等性質，來理解三邊長滿足畢氏定理之三角形是一個直角三角形。總而言之，九年一貫課綱中所提及『尺規作圖』所需的概念發展如下：先了解線對稱圖形的意義與性質，進一步討論等腰三角形的對稱性質，其中包含全等的概念；再者，提出「任意兩個共底邊的等腰三角形具有相同的對稱軸」與「任意兩個共底邊的等腰三角形的頂角頂點必在其對稱軸上」作為學習尺規作圖的基礎。接著指出各種的「基本尺規作圖」，以及其在幾何上的應用。這與 Perks 與 Prestage（2006a, 2006b, 2006c）所提出的想法相符合。. 四、學生在尺規作圖學習上的困難與協助之道譚克平、陳宥良（2009）曾舉民國 98 年第一次國中基本學力測驗的數學題為例，該題答對率僅 28％，況且此題僅要求學生判斷對錯，而非測試學生直接 16 .

(30) . 利用尺規作圖應答的能力。由此看出學生對尺規作圖題深感困難。學生在學習尺規作圖時，究竟遇到甚麼困難呢？首先，學生不清楚工具的使用與限制。在尺規作圖中，直尺只能用來畫直線，並不能用來量長度，或是利用直尺的邊緣畫直角；圓規可以用來畫弧或畫圓，甚至可以用來複製線段。然而，許多學生卻不了解直尺與圓規可以做到那些繪圖，或是作圖中的限制。在陳宥良（2008）的研究中，發現 150 位已學完國中幾何的九年級生中，竟有約 85％（沒有全對者）的學生不清楚尺規作圖的工具使用。研究中也發現學生會誤以為只要是圓規和直尺畫出來的圖形都是正確的，會以作圖的結果判斷作圖的正確性，並未考慮作圖的步驟。另外，基本尺規作圖的動作雖不多，但能作出的圖形卻變化萬千，不容易掌握。學生也不清楚基本尺規作圖的動作有哪些功能，可以完成哪些圖形？陳宥良（2008）設計的「尺規作圖試題」，也探討了學生是否能熟練與應用基本的尺規作圖。在五個基本尺規作圖中，有 19％的學生無法完成任何一個尺規作圖，另外，值得注意的是，線外一點作平行線僅有 28％的答對率，其餘四個基本尺規作圖答對率均過半，足見線外一點作平行線最具困難度。另外，許多學生會作圖，卻不知道原因，在資料分析中，有近三成的學生能完成至少一個基本尺規作圖，卻不知道任何一題作圖的所根據的理由，其中不乏可完成五個基本尺規作圖者。在文中，研究者亦分別列出五個基本尺規作圖，以及學生在繪製時的正確類型與錯誤類型。其中，線外一點作平行線有五種正確作圖的類型，為作圖類型最多元者。至於，學生在應用基本尺規作圖上的表現，實驗結果顯示，學生表現普遍不佳，平均答對率僅 32％，有三分之一的學生無法完全無誤的完成任何一個作圖。未能熟練基本作圖可能是應用尺規作圖的表現不佳的原因之一，在對照「基本作圖正確題數」與「應用作圖正確題數」後，發現基本上學生的「應用作圖正確題數」不大於「基本作圖正確題數」，因為解決應用作圖題需要重複使用基本尺規作圖（Kramer, Hadas, & Hershkowitz, 1986）。 17 .

(31) . 最後，學生解題時，若已知作圖結果，學習者不知需用哪些動作及該執行的步驟，學生仍無法完成作圖。為著協助學生學習尺規作圖，有許多學者提出不同的作圖工具，例如：摺紙，用以幫助學生進行作圖時的思考，或是協助學生學習尺規作圖。利用這些替代工具，可以提供新的機會給學生投入數學的推理（Gibb, 1982; Robertson, 1986），並且 Pandiscio（2002）曾提出用不同作圖工具來促進學生幾何思考的想法，他認為在每一工具都能促進學生數學的思考，並且能有想法間的連結的前提下，用多樣作圖工具完成簡單任務，會比用相同工具完成複雜任務更具數學思索的感覺。. 第二節摺紙活動與數學學習在幾何的學習中，對於圖形的觀察與繪圖的操作是相當重要的（Bishop, 1983; Grande, 1990, 引自左台益、陳天宏，2002），甚至此種以操作為基礎的教學，亦能增進學生對幾何概念的理解，甚至當學生有適當的心像操作會促進其邏輯論證的過程更清晰（Hershkowitz, 1989; Sfard, 1991, 引自陳天宏，2002）。因此，摺紙正是必須透過動手操作的學習方式，能對學生在數學的幾何學習方面帶來助益。中文的「摺紙」一辭，常用的外文翻譯有兩種，一為源自日本摺紙術的「origami」，此詞創造於 1880 年，由兩個字所組成：摺（oru）與紙（kami）（Pearl, 1993; Wu, 2006）。另一為英文的直接翻譯，代表將紙進行摺疊的動作，稱為「paper folding」。摺紙的興起於何時何地已難以考究，一些歷史學家認為在蔡倫於西元 105 年發明紙之後，就有摺紙術的產生。然而，日本被公認為摺紙藝術較完整且全面發展的起源地（Wu, 2006）。摺紙最早用於僧侶的祭祀中，甚至有專門談論摺紙的書籍產生，可能源自 1797 年的《秘傳千羽鶴折形》。但在早年的發展中花樣 18 .

(32) . 並不多，直到 1930 年代的吉澤章研發，摺紙方出現大量的花樣與造型，進而於 1960 年代推廣到國際間，因而使得日語的「origami」成為此種藝術的代名詞（李國偉，2008）。. 一、摺紙引入課堂的想法摺紙常存在我們兒時的記憶中，藉由簡單的動手操作，就能產生不同的花樣與造型，譬如孩童喜愛摺紙飛機，比賽誰的設計能讓紙飛機飛得最遠。不僅如此，摺紙除了作為供人欣賞的藝術品，以及作為兒童把玩的玩具，許多教育學家亦將摺紙用於數學的學習中，就如摺紙之於幾何作圖，摺紙產生的摺痕，豈不與作圖產生的筆跡雷同？李國偉（2008）也說，摺紙在作圖上的發展，值得教育工作者留心其發展，若能適當引入課堂中，必使教學更加活潑！其實，早在 17 年前，謝豐瑞（1994）就曾發表過一篇文章，名為《使幾何教學活潑化－摺紙及剪紙篇》。文中作者提出幾何學習的一種有效方法，就是透過操作（Learning by Doing）、觀察（Learning by Observing）、思考（Learning by Thinking）的過程，讓學生手腦並用，以增進他們的思考能力。而在許多的教學活動中，摺紙與剪紙名列其中，學生可以輕易動手操作，並觀察他們手中的作品，而帶進幾何的思考歷程。不僅如此，因著摺紙與剪紙饒富趣味，將死版且抽象的幾何教學活潑起來。作者也提出摺紙與剪紙三方面的功能：第一，幾何圖形的創造，其中已提到摺出中垂線與角平分線的動作。第二，幾何性質的驗證。第三，輔助線的建構。將摺紙融入數學學習的想法，在銀林浩（2002）整編的《用摺紙來學數學》一書中，我們也可以看見許多想法，包括正多邊形、各式多面體的摺法；利用摺紙來學分數、小數；用摺紙學習二次方程式、二次曲線、橢圓、圓錐體等；還有介紹相似形的概念。從國小到中學的數學，從代數到幾何，竟然都可以利用摺紙來學習，若能適當引入課堂中，勢必可增加教學的活潑度，也可以提高學生學習 19 .

(33) . 的動機與興趣。 Coad（2006）曾談到將摺紙融入中學數學教學的想法，也提出關於摺紙融入教學的優點。就功能而言，摺紙鼓勵學生去猜測，並幫助老師思考證明的意義；由於摺紙貼近生活經驗，容易接近，因此學生較樂意採用，也就是感情上的獲益（affective benefits）。另外，摺紙也被用於歐氏的尺規作圖，可以解決「三等分角」與「倍立方體」兩種原先無法解決的問題。最後，若摺紙能結合動態幾何軟體（DGS：dynamic geometric software）將會成為更有力的工具。就工具而言，若用半透明的紙（translucent paper）會使任務更容易，例如，在進行角度的比較時，可將兩個角分別畫在兩張半透明的紙上，再將兩張紙重疊，便可直接比較大小。在文中，Coad（2006）也簡略說明了作中垂線、角平分線與角的比大小，加上找尋四邊形種類的例子。 NCTM（美國數學教師協會）編寫的《中小學數學課程與評量標準》（NCTM, 1989, 引自 Cipoletti & Wilson, 2004）提出利用日常生活中的東西，比方說紙，來使學生探索幾何的關係與字彙（Cipoletti & Wilson, 2004）。Cipoletti 與 Wilson （2004）也指出摺紙的活動給予師生之間、學生之間、學校與社群之間利用幾何語言溝通的機會。但摺紙活動的指導語並不一定符合數學語言的溝通，甚至有自己獨特的用語，例如：「山線」、「谷線」等，因此，研究者為使摺紙活動更能引導學生進行數學語言的溝通且能增進概念的理解，提出重寫摺紙指導語的需要與步驟。然而，試想初學的學生拿到改寫過的指導語，是否能很快讀懂呢？或是，我們該藉由幾何的指導語引入，再指引學生進入幾何的語言，學生會較容易接受呢？這些想法在在證實了摺紙融入課程中的可行性，特別是對於國中的學生而言，正處於從具體思考轉入抽象思考的過渡時期，若有摺紙的輔助，相信學生必能從中獲益。不僅課程值得融入摺紙活動，近年來的國中基本能力測驗亦有許多摺紙、剪紙的問題，或是題幹敘述，亦或是探討摺疊或剪裁後的幾何關係，以考驗學生對幾何概念的掌握程度，可見表 2-2-1，這 21 題讓試卷更加活潑與生活化！ 20 .

(34) . 表 2-2-1 歷年來摺紙試題統計表年度. 基測一. 練習題. 28. 90. 91. 32. 92. 93. 95. 96. 14. 2. 18. 11. 22. 29. 97. 99. 100. 13. 20. 26. 16 17. 15. 20. 24. 基測二. 25. 25. 29 33. 北北基 15 聯測一資料來源：洪萬生（2011）。摺摺稱奇：初登大雅之堂的摺紙數學（頁 72）。臺北市：三民。註：表中的數字為該年試題的「題號」。. 二、透過摺紙學習的好處摺紙是大家都有的經驗，許多研究者論及透過摺紙學習所帶來的助益。 Johnson（1957）提及在數學教學中，摺紙能增添其實用性並激起學生的興趣。摺紙不僅簡化數學的學習，它也可以建立對概念的理解與對數學的鑑賞。舉例來說，要在一張紙上摺出互相垂直的摺痕是一件簡單的事，學習者也容易發現並說明角與線的關係。 Cipoletti 與 Wilson（2004）指出教師使用摺紙活動進行教學可以為著下列的目的：修正學生對幾何術語的理解、再教導幾何術語的意義、使用幾何語言進行溝通、提供導入幾何單元的介紹課程、增進學生對幾何活動的興趣等。 Pearl（1993）指出，透過摺紙學習數學可以減輕學生對數學的焦慮感，並提供他們正面積極的學習經驗。另外，摺紙是獨特的（unique），工具獨一－紙， 21 .

(35) . 技術也獨一－摺（folding）。再者，透過摺紙可以習得的經驗如下：按順序排列、組織、空間的關係、聆聽且跟隨指導、讀圖、批判性思考、問題解決，以及發展詞彙與概念。 Huse、Bluemel 與 Taylor（1994）指出可動手操作的紙張可以連結基本的幾何圖形到尺寸（dimension）和動作，將沒興趣的學生連到數學，將孩子所理解的數學連於他們世界的整個部分，以及將學生帶到圖書館，做為一生學習的資產。. 第三節摺紙與尺規作圖一、摺紙公設的演進 (一) 初期的探索談到摺紙（Origami），我們常想到許多令人嘆為觀止的摺紙藝術品，但亦有學者將摺紙（Paperfolding）運用在數學作圖中，作為教學的素材。Bogomolny （2011）和 Martin（1997）都指出此想法是由 Row 於 1893 年公諸於世。Row （1893/1941）在《Geometric exercises in paper folding》一書中，提供了大量的摺紙實例，其中包括各種三角形與正多邊形的摺法，也討論了摺紙與數列、圓周率、圓錐曲線等主題的關係。雖然，Row 提出利用摺紙解決「三等分角」的問題，但 Martin（1997）卻驗證出 Row 的作法僅是近似值；另外，Martin 也發現 Row 錯誤暗示「倍立方體」的問題無法用摺紙解決。數學是一個講究嚴謹性的領域，就連利用摺紙作圖也不例外。Yates 於 1949 年在《Geometric Tools》一書中，首次使用嚴謹的數學論證方式進行透過摺紙作圖的研究（Bogomolny, 2011; Martin, 1997）。Yates（1949）證明出 Row 曾提及「所 22 .

(36) . 有用尺規所能作的圖都能用摺紙來完成」。他首先提出了三個摺紙的動作（請見表 2-3-1），但是在他的理論中，只有定義摺痕為直線與三個摺紙動作，並沒有說明「點」的產生，例如動作三可以產生通過 B 點的摺痕，但卻找不到 A 點在直線 L 上所對應的點。表 2-3-1 Yates（1949）所提出的 3 個摺紙動作. 資料來源：陳宥良（2009）。探討國中三年級學生透過摺紙活動進行尺規作圖補救教學之成效（頁 15）。台灣師範大學科學教育研究所碩士論文。 Johnson（1957）在數學教學中指出，摺紙能增添其實用性並激起學生的興趣。摺紙不僅簡化數學的學習，它也可以建立對概念的理解與對數學的鑑賞。例 23 .

(37) . 如，要在一張紙上摺出互相垂直的摺痕是一件簡單的事，學習者也容易發現並說明角與線的關係。Olson（1975）延續 Yates 的想法繼續發展摺紙的理論，也提供許多摺紙運用於幾何教學的實例，其中包括「作任一直線」、「過一點作直線」、「作一直線的垂線」、「過線上一點作垂線」、「過線外一點作垂線」、「作線段的垂直平分線」、「作平行線」、「線外一點平行線」、「作角平分線等」，這些都是在尺規作圖中常用的動作，Olson（1975）都利用摺紙將其完成。 (二) 廣為人接受的 Huzita-Hatori Axioms 自 1970 年代起，許多學者開始系統化研究在不同連結中的基本操作，例如，點與點之間，或是點與線之間等，而首位系統化的研究者與近年來最廣為人們接受的首推 Humiaki Huzita 於 1989 年提出的六個摺紙動作，後稱之為 Huzita 公設。在他發表此想法的會議中，Justin（1989）比 Huzita 多提出一種摺紙動作，但由於不為學者所知而被忽略，反而被 Hatori（2001）搶走名聲，發表第七種摺紙動作，現今人稱 Huzita-Hatori Axioms。於 2006 年，Alperin 與 Lang 將上述公設，對於點線的疊合處理有相當詳細的列舉，這些公設已廣為摺紙社群所接受（Asem, Fadua, & Tetsuo, 2011; Lang, 2010）。接著，Asem、Fadua 與 Tetsuo（2011）發現 Huzita-Hatori 摺紙公設的缺失，有一些情況是摺紙無法摺出的，或是有無限條摺痕的情況，再提出修正後的公設。然而，欲將摺紙用於教學中，動作是否容易自然是必要的考量。Auckly 與 Cleveland（1995）提出四種自然的摺紙方法，這四種摺紙方法都在一張矩形的紙上得以完成，分述如下（前三個摺紙動作請見圖 2-3-1，第四個摺紙動作請見圖 2-3-2，圖中的矩形 ABCD 視為矩形的紙張）：摺紙動作 1：摺出一條線，例如：摺出通過兩角 A 與 C 的摺線 L1，此動作相當於畫出通過點 A 與點 C 的直線。摺紙動作 2：藉由將兩角疊合摺出一條線，例如：將紙張的兩角 A 與 C 疊合，產生摺線 L2，此動作相當於作出AC的中垂線。 24 .

(38) . 摺紙動作 3：藉由將兩條線疊合摺出一條線，例如：將 L2 與紙張的邊BC疊合，產生摺線 L3，此動作相當於作出兩條線產生之角的角平分線。摺紙動作 4：連續摺疊的動作，例如：在紙張上有 L1 與 L2 兩條摺痕，先以 L1 為摺線摺一次，再以 L2 為摺線摺一次（此時同時摺兩層紙），便可以在紙張上產生一條新摺線 L3，此動作相當於將 L2 以 L1 為對稱軸作鏡射。. A. B. L1. D. L2. C. L3. 圖 2-3-1 Auckly 與 Cleveland（1995）的前三個摺紙動作. L2 L1. L2. L3 L1. L1. L2. 圖 2-3-2 Auckly 與 Cleveland（1995）的第四個摺紙動作 Auckly 與 Cleveland（1995）提出的四種自然摺紙方法給我們一種啟發，雖然有許多摺紙動作可以配合尺規作圖動作，但為著幫助學生學習，或是將摺紙活動帶到教學現場使用，摺紙動作越少、越自然，學生越容易上手，以免造成學生 25 .

(39) . 額外的負擔。 (三) 關於圓的摺紙作圖圓是圓規所能作出的基本圖形之一，但我們從上述的探討中發現，鮮少出現利用摺紙處理與圓相關的作圖，在透過摺紙進行尺規作圖的理論探討中，也僅限於點與點、線與線、點與線之間的討論。這是何緣故呢？無法利用摺紙摺出圓是一個顯而易見的原因，然而，若我們接受「用摺紙找出的圓心與圓上一點，就可以看作摺出一圓」，要「摺出圓」就成為可行的一件事（譚克平、陳宥良，2009）。以下將介紹近年來在這方面的研究：事實上，早在 1975 年，Olson（1975）一系列的摺紙作圖中，就已經有九例藉由摺紙探討圓關係的實例，例如：如何摺出圓的直徑？如何找出圓心？如何作出通過圓上一點的切線？另外，在 Huzita-Hatori 公設出現後，Hansen-Smith、Bogomolny、Droujkova、 Droujkov 與 McAllister（2010）又繼續延伸 Huzita-Hatori Axioms 的七個摺紙動作，將直線換成圓，使得摺紙動作能擴及圓上，詳見表 2-3-2 所示（動作 6 與動作 7 並非本研究所使用的摺紙動作，因此不列在表中），摺紙動作在圓上的延伸。 Asem、Fadua 與 Tetsuo（2011）則提供了與圓相關之摺紙動作的理論證明。文中亦利用圓規做為延伸摺紙的其他幾何工具，並提出加入圓規使用所需的證明與三條公設，稱為 Origami-and-Compass Axioms（OCA）。在應用上，它使利用摺紙解決三等分角的問題更為簡化，只是做出來的角在原來的角之外。文章也建議，此法應可找出作正多邊形的新方法，因為正多邊形的角都位於其內接圓上。. 26 .

(40) . 表 2-3-2 Huzita-Hatori Axioms 與 Circle Origami Axioms Huzita-Hatori Axioms. Circle Origami Axioms. 動作 1：給兩點 P1 與 P2，可摺出過此兩點的. 動作 2-3-C：給圓上兩點 P1 與 P2，可藉由疊. 摺痕 Lf。. 合 P1 與 P2 摺出一摺痕 Lf，此摺痕亦可使半 P1. Lf. P2. 圓 C1 與 C2 疊合一起。. Lf 動作 2：給兩點 P1 與 P2，可藉由疊合 P1 與. C1 P2 摺出一摺痕 Lf。. P1. C2. P1. P2. Lf P2. 此動作等於找出圓心到 P1 與 P2 所成之角的動作 3：給兩線 L1 與 L2，可藉由疊合 L1 與. 角平分線。. L2 摺出一摺痕 Lf。. L1 Lf L2 此動作等於找出 L1 與 L2 的角平分線。動作 4：給一點 P1 與一線 L1，可通過點 P1. 動作 4-C：給一點 P1，可通過點 P1 摺出一. 摺出與 L1 垂直的摺痕 Lf。. 摺痕 Lf，使得半圓 C1 與 C2 疊合一起。 Lf. L1. P1. C1. Lf C2. 此動作等於找出過 P1 且與 L1 垂直的垂線。. 此動作等於找出通過 P1 的直徑。 27 . . P1.

(41) . Huzita-Hatori Axioms. Circle Origami Axioms. 動作 5：給兩點 P1、P2，以及直線 L1，可摺. 動作 5-C：給兩點 P1、P2，以及圓 C1，可摺. 出通過 P2 的摺線 Lf，且將 P1 疊於 L1 上。. 出通過 P2 的摺線 Lf，且將 P1 疊於 C1 上。此. Hansen-Smith et al.（2010）提出此動作的三. 動作亦有三種情況，分別為：. 種情況，分別為：. 1、若 d( P2,C1) < P P ，可產生兩摺痕。. 1、若 d( P2, L1) < P P ，可產生兩摺痕。. 2、若 d( P2,C1) < P P ，僅產生一摺痕。. 2、若 d( P2, L1) < P P ，僅產生一摺痕。. 3、若 d( P2,C1) < P P ，找不出摺痕。. 3、若 d( P2, L1) < P P ，找不出摺痕。 P1. P2. Lf. P2. P1. C1. Lf. Lf L1. Lf. P1. P2. P2 Lf. P1. C1 L1. P1. P2. P2. L1. C1. 此動作相當於作出以 P1 為圓心， d( P2, L1). Lf. 為半徑之圓與直線 L1 的交點。 28 . P1.

(42) . 二、摺紙理論引入教學現場 (一) 摺紙動作的編修為著能建立一套摺紙動作以解決尺規作圖的問題，近年來有許多討論，儘管如此，這套摺紙動作若要作為教學的素材，目前還鮮少人研究。在台灣只有陳宥良等人（陳宥良，2008；陳宥良、譚克平、趙君培，2009；譚克平、陳宥良，2009）所作的研究。首先，陳宥良、譚克平、趙君培（2009）提出四個基本假設，做為摺紙作圖遊戲的起點：一、摺紙動作所產生的摺痕均視為直線，多邊形紙張的邊亦視為直線。二、任意兩條不平行直線相交處視為一個點。三、經紙張摺疊後可重合的兩線段或兩角均視為相等。四、當一個作圖問題中所有交點的相對位置均確定後，此作圖問題即視為作圖完成。他們亦根據近年來在這方面的討論，以 Huzita-Hatori 公設的七個摺紙動作為基礎，提出七個摺紙動作，若重複使用便能解決所有尺規作圖的問題，分別如下： 1、摺出通過兩點的直線。2、兩點重合。3、兩線重合。4、摺疊再摺疊。5、線外一點作垂線。6、線上一點作垂線。7、一點到一線，摺線過一點。動作 1 是直尺的使用，動作 2、3、5、6 是代表「線段中垂線作圖」、「角平分線作圖」、「過線外一點作垂線」、「過線上一點作垂線」等四個基本尺規作圖，而動作 7 是圓規複製線段的功能之一。陳宥良（2008）又針對七個摺紙動作進行修正，刪去學生在操作時會有辨識上困難的「給定對稱軸搬運直線」（譚克平、陳宥良，2009）的動作（該動作參圖 2-3-3），以及在「一點到一線，摺線過一點」的動作上加入允許以筆取點，使點的位置可以確定。至終，用於教學實驗的「六個摺紙動作」依順序分別為「摺出通過兩點的直線」、「線上一點作垂線」、「線外一點作垂線」、「一點到一線，摺線過一點」、「兩點重合」、「兩線重合」。. 29 .

(43) . 資料來源：運用摺紙提升學生尺規作圖技巧，譚克平、陳宥良，2009，科學教育月刊，323，19。圖 2-3-3 「給定對稱軸搬運直線」的圖示 (二) 關於補救教學課程陳宥良（2008）特別針對在學習尺規作圖上有困難的學生進行補救教學，由於學生不清楚「基本尺規作圖」可以畫出哪些圖形，也不熟練繪製「基本尺規作圖」的技術，使得學生雖具備解題所需的幾何知識，仍無法成功解題。所以課程的重點在於：透過較容易讓學生理解且操作的摺紙，幫助學生跨過無法熟練作圖工具的門檻。至於，將摺紙轉換成尺規作圖的方法，研究者不直接告知，乃利用將摺痕視為「等腰三角形的對稱軸」，加上幾何性質「任意兩個共底邊的等腰三角形具有相同的對稱軸」與「任意兩個共底邊的等腰三角形的頂角必在其對稱軸上」來引導學生進行思考，進而幫助學生利用直尺與圓規作圖。實驗教學的流程分為四個階段：第一階段：學習摺紙動作；第二階段：思考作圖問題，在蠟紙上摺出題目所求的圖形；第三階段：學習摺紙動作轉換尺規作圖的方法；第四階段：利用尺規作圖解決第二階段的問題。最後，關於透過摺紙活動進行尺規作圖補救教學的成效也有相當的討論，首先，透過摺紙動作轉換為尺規作圖方法的過程，幫助學生產生更多幾何概念的思考，使學生不是僅記憶基本尺規作圖的動作。第二，學生對作圖的經驗較深刻，容易往後再提取。第三，摺紙能幫助學生分析題目，驗證想法的正確性，並找出作圖的步驟（此點勝於草圖，因為草圖僅顯示圖形，卻不能幫助學生找出作圖步 30 .

(44) . 驟）。第四，摺紙所重複使用的對稱性質，可提供學生不同的解題思路。第五，摺紙能提升學生學習尺規作圖的興趣。. 31 .

(45) . 第參章研究方法本研究的主要目的在於編製一套利用摺紙學習尺規作圖的教材，並經由教學實驗探討此教材的成效，以提供欲利用此教材教學的教師一些建議。因此，本研究採質性的研究方法，為深入了解此套課程的效益，本章將分成五節，依序說明本研究的研究設計、研究對象、教材內容分析、研究工具與資料處理的方法。. 第一節研究設計本研究主要採質性研究方法，原因是考量質性的研究較能深入了解課堂實際狀況、學生答題的表現與困難，也更能解釋學生在試題表現優劣的內在原因。再加上以尺規作圖而言，光看學生的作圖軌跡，無法完全明白學生對尺規作圖的掌握程度，但透過深度的訪談與觀察，我們可以深入理解學生的認知與思考過程。本研究在資料蒐集上，不僅有前後測題本，更透過教材內容分析、課程編撰、上課影音分析與兩次訪談等步驟，深入探討本實驗課程的效益，並討論低學習成就學生在解尺規作圖問題時，會遇到的困難。首先，本研究採內容分析法，分析目前國中各版本數學課本（包括：部編本、南一版、康軒版、翰林版）與國中基本學力測驗中所有的尺規作圖題目，找出所有尺規作圖需用到的概念，以及每一尺規作圖題目所有需要用到的尺規作圖動作與作圖的步驟，以檢核陳宥良（2008）所提出的六個摺紙動作，以及探討透過摺紙學習尺規作圖的適用範圍。因此，本階段將找出所有解尺規作圖題時需要的動作，並找出可能需要新增的相對應摺紙動作。再者，本研究透過文獻探討與教材分析所得的結果，進行「透過摺紙活動學習尺規作圖」之創新教材的編撰與教學，本階段採前實驗研究法（pre-experimental design）的精神來設計教學實驗，意即只以單一組別進行小規模的實驗教學，將對該組施以前、後測並進一步深入訪談參與研究的學生，藉以深入了解本實驗課程成效的細節。研究對象為八年級學生，研究者與合作教師討論後選出兩類學生 32 .

摺紙活動對尺規作圖學習之效益研究 －以八年級學生補救教學為例

摺紙活動對尺規作圖學習之效益研究－以八年級學生補救教學為例