第三節 摺紙與尺規作圖
一、摺紙公設的演進
(一) 初期的探索
談到摺紙（Origami），我們常想到許多令人嘆為觀止的摺紙藝術品，但亦有 學者將摺紙（Paperfolding）運用在數學作圖中，作為教學的素材。Bogomolny
（2011）和 Martin（1997）都指出此想法是由 Row 於 1893 年公諸於世。Row
（1893/1941）在《Geometric exercises in paper folding》一書中，提供了大量的摺 紙實例，其中包括各種三角形與正多邊形的摺法，也討論了摺紙與數列、圓周率、
圓錐曲線等主題的關係。
雖然，Row 提出利用摺紙解決「三等分角」的問題，但 Martin（1997）卻 驗證出 Row 的作法僅是近似值；另外，Martin 也發現 Row 錯誤暗示「倍立方體」
的問題無法用摺紙解決。
數學是一個講究嚴謹性的領域，就連利用摺紙作圖也不例外。Yates 於 1949 年在《Geometric Tools》一書中，首次使用嚴謹的數學論證方式進行透過摺紙作 圖的研究（Bogomolny, 2011; Martin, 1997）。Yates（1949）證明出 Row 曾提及「所
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有用尺規所能作的圖都能用摺紙來完成」。他首先提出了三個摺紙的動作（請見 表 2-3-1），但是在他的理論中，只有定義摺痕為直線與三個摺紙動作，並沒有說 明「點」的產生，例如動作三可以產生通過 B 點的摺痕，但卻找不到 A 點在直 線 L 上所對應的點。
表 2-3-1 Yates（1949）所提出的 3 個摺紙動作
資料來源：陳宥良（2009）。探討國中三年級學生透過摺紙活動進行尺規作 圖補救教學之成效（頁 15）。台灣師範大學科學教育研究所碩士論文。
Johnson（1957）在數學教學中指出，摺紙能增添其實用性並激起學生的興 趣。摺紙不僅簡化數學的學習，它也可以建立對概念的理解與對數學的鑑賞。例
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如，要在一張紙上摺出互相垂直的摺痕是一件簡單的事，學習者也容易發現並說 明角與線的關係。Olson（1975）延續 Yates 的想法繼續發展摺紙的理論，也提供 許多摺紙運用於幾何教學的實例，其中包括「作任一直線」、「過一點作直線」、「作 一直線的垂線」、「過線上一點作垂線」、「過線外一點作垂線」、「作線段的垂直平 分線」、「作平行線」、「線外一點平行線」、「作角平分線等」，這些都是在尺規作 圖中常用的動作，Olson（1975）都利用摺紙將其完成。
(二) 廣為人接受的 Huzita-Hatori Axioms
自 1970 年代起，許多學者開始系統化研究在不同連結中的基本操作，例如，
點與點之間，或是點與線之間等，而首位系統化的研究者與近年來最廣為人們接 受的首推 Humiaki Huzita 於 1989 年提出的六個摺紙動作，後稱之為 Huzita 公設。
在他發表此想法的會議中，Justin（1989）比 Huzita 多提出一種摺紙動作，但由 於不為學者所知而被忽略，反而被 Hatori（2001）搶走名聲，發表第七種摺紙動 作，現今人稱 Huzita-Hatori Axioms。於 2006 年，Alperin 與 Lang 將上述公設，
對於點線的疊合處理有相當詳細的列舉，這些公設已廣為摺紙社群所接受（Asem, Fadua, & Tetsuo, 2011; Lang, 2010）。接著，Asem、Fadua 與 Tetsuo（2011）發 現 Huzita-Hatori 摺紙公設的缺失，有一些情況是摺紙無法摺出的，或是有無限條 摺痕的情況，再提出修正後的公設。
然而，欲將摺紙用於教學中，動作是否容易自然是必要的考量。Auckly 與 Cleveland（1995）提出四種自然的摺紙方法，這四種摺紙方法都在一張矩形的紙 上得以完成，分述如下（前三個摺紙動作請見圖 2-3-1，第四個摺紙動作請見圖 2-3-2，圖中的矩形 ABCD 視為矩形的紙張）：
摺紙動作 1：摺出一條線，例如：摺出通過兩角 A 與 C 的摺線 L1，此動作 相當於畫出通過點 A 與點 C 的直線。
摺紙動作 2：藉由將兩角疊合摺出一條線，例如：將紙張的兩角 A 與 C 疊 合，產生摺線 L2，此動作相當於作出AC的中垂線。
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摺紙動作 3：藉由將兩條線疊合摺出一條線，例如：將 L2與紙張的邊BC疊 合，產生摺線 L3，此動作相當於作出兩條線產生之角的角平分線。
摺紙動作 4：連續摺疊的動作，例如：在紙張上有 L1與 L2兩條摺痕，先以
L
1為摺線摺一次，再以 L2為摺線摺一次（此時同時摺兩層紙），便可以在紙張上 產生一條新摺線 L3，此動作相當於將 L2以 L1為對稱軸作鏡射。圖 2-3-1 Auckly 與 Cleveland（1995）的前三個摺紙動作
圖 2-3-2 Auckly 與 Cleveland（1995）的第四個摺紙動作
Auckly 與 Cleveland（1995）提出的四種自然摺紙方法給我們一種啟發，雖 然有許多摺紙動作可以配合尺規作圖動作，但為著幫助學生學習，或是將摺紙活 動帶到教學現場使用，摺紙動作越少、越自然，學生越容易上手，以免造成學生
B
D C
A
L
1L
2L
3L
1L
1L
1L
2L
2L
2L
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額外的負擔。
(三) 關於圓的摺紙作圖
圓是圓規所能作出的基本圖形之一，但我們從上述的探討中發現，鮮少出現 利用摺紙處理與圓相關的作圖，在透過摺紙進行尺規作圖的理論探討中，也僅限 於點與點、線與線、點與線之間的討論。這是何緣故呢？無法利用摺紙摺出圓是 一個顯而易見的原因，然而，若我們接受「用摺紙找出的圓心與圓上一點，就可 以看作摺出一圓」，要「摺出圓」就成為可行的一件事（譚克平、陳宥良，2009）。
以下將介紹近年來在這方面的研究：
事實上，早在 1975 年，Olson（1975）一系列的摺紙作圖中，就已經有九例 藉由摺紙探討圓關係的實例，例如：如何摺出圓的直徑？如何找出圓心？如何作 出通過圓上一點的切線？
另外，在 Huzita-Hatori 公設出現後，Hansen-Smith、Bogomolny、Droujkova、
Droujkov 與 McAllister（2010）又繼續延伸 Huzita-Hatori Axioms 的七個摺紙動 作，將直線換成圓，使得摺紙動作能擴及圓上，詳見表 2-3-2 所示（動作 6 與動 作 7 並非本研究所使用的摺紙動作，因此不列在表中），摺紙動作在圓上的延伸。
Asem、Fadua 與 Tetsuo（2011）則提供了與圓相關之摺紙動作的理論證明。
文中亦利用圓規做為延伸摺紙的其他幾何工具，並提出加入圓規使用所需的證明 與三條公設，稱為 Origami-and-Compass Axioms（OCA）。在應用上，它使利用 摺紙解決三等分角的問題更為簡化，只是做出來的角在原來的角之外。文章也建 議，此法應可找出作正多邊形的新方法，因為正多邊形的角都位於其內接圓上。
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表 2-3-2 Huzita-Hatori Axioms 與 Circle Origami Axioms
Huzita-Hatori Axioms Circle Origami Axioms
動作 1：給兩點 P1與 P2，可摺出過此兩點的
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Huzita-Hatori Axioms Circle Origami Axioms
動作 5：給兩點 P1、P2，以及直線 L1，可摺 出通過 P2的摺線 Lf，且將 P1疊於 L1上。
Hansen-Smith et al.（2010）提出此動作的三 種情況，分別為：
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二、摺紙理論引入教學現場
(一) 摺紙動作的編修
為著能建立一套摺紙動作以解決尺規作圖的問題，近年來有許多討論，儘管 如此，這套摺紙動作若要作為教學的素材，目前還鮮少人研究。在台灣只有陳宥 良等人（陳宥良，2008；陳宥良、譚克平、趙君培，2009；譚克平、陳宥良，2009）
所作的研究。
首先，陳宥良、譚克平、趙君培（2009）提出四個基本假設，做為摺紙作圖 遊戲的起點：一、摺紙動作所產生的摺痕均視為直線，多邊形紙張的邊亦視為直 線。二、任意兩條不平行直線相交處視為一個點。三、經紙張摺疊後可重合的兩 線段或兩角均視為相等。四、當一個作圖問題中所有交點的相對位置均確定後，
此作圖問題即視為作圖完成。
他們亦根據近年來在這方面的討論，以 Huzita-Hatori 公設的七個摺紙動作為 基礎，提出七個摺紙動作，若重複使用便能解決所有尺規作圖的問題，分別如下：
1、摺出通過兩點的直線。2、兩點重合。3、兩線重合。4、摺疊再摺疊。5、線 外一點作垂線。6、線上一點作垂線。7、一點到一線，摺線過一點。動作 1 是直 尺的使用，動作 2、3、5、6 是代表「線段中垂線作圖」、「角平分線作圖」、
「過線外一點作垂線」、「過線上一點作垂線」等四個基本尺規作圖，而動作 7 是圓規複製線段的功能之一。
陳宥良（2008）又針對七個摺紙動作進行修正，刪去學生在操作時會有辨識 上困難的「給定對稱軸搬運直線」（譚克平、陳宥良，2009）的動作（該動作參 圖 2-3-3），以及在「一點到一線，摺線過一點」的動作上加入允許以筆取點，使 點的位置可以確定。至終，用於教學實驗的「六個摺紙動作」依順序分別為「摺 出通過兩點的直線」、「線上一點作垂線」、「線外一點作垂線」、「一點到一線，摺 線過一點」、「兩點重合」、「兩線重合」。
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資料來源：運用摺紙提升學生尺規作圖技巧，譚克平、陳宥良，2009，科學教 育月刊，323，19。
圖 2-3-3 「給定對稱軸搬運直線」的圖示 (二) 關於補救教學課程
陳宥良（2008）特別針對在學習尺規作圖上有困難的學生進行補救教學，由 於學生不清楚「基本尺規作圖」可以畫出哪些圖形，也不熟練繪製「基本尺規作 圖」的技術，使得學生雖具備解題所需的幾何知識，仍無法成功解題。所以課程 的重點在於：透過較容易讓學生理解且操作的摺紙，幫助學生跨過無法熟練作圖 工具的門檻。
至於，將摺紙轉換成尺規作圖的方法，研究者不直接告知，乃利用將摺痕視 為「等腰三角形的對稱軸」，加上幾何性質「任意兩個共底邊的等腰三角形具有 相同的對稱軸」與「任意兩個共底邊的等腰三角形的頂角必在其對稱軸上」來引 導學生進行思考，進而幫助學生利用直尺與圓規作圖。
實驗教學的流程分為四個階段：第一階段：學習摺紙動作；第二階段：思考 作圖問題，在蠟紙上摺出題目所求的圖形；第三階段：學習摺紙動作轉換尺規作 圖的方法；第四階段：利用尺規作圖解決第二階段的問題。
最後，關於透過摺紙活動進行尺規作圖補救教學的成效也有相當的討論，首 先，透過摺紙動作轉換為尺規作圖方法的過程，幫助學生產生更多幾何概念的思 考，使學生不是僅記憶基本尺規作圖的動作。第二，學生對作圖的經驗較深刻，
容易往後再提取。第三，摺紙能幫助學生分析題目，驗證想法的正確性，並找出 作圖的步驟（此點勝於草圖，因為草圖僅顯示圖形，卻不能幫助學生找出作圖步
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驟）。第四，摺紙所重複使用的對稱性質，可提供學生不同的解題思路。第五，
摺紙能提升學生學習尺規作圖的興趣。
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第參章 研究方法
本研究的主要目的在於編製一套利用摺紙學習尺規作圖的教材，並經由教學
本研究的主要目的在於編製一套利用摺紙學習尺規作圖的教材，並經由教學