從第肆章的研究結果可以知道，利用摺紙活動的確可以幫助學生學習尺規作 圖，且值得繼續推廣。但研究者在研究的過程中，亦發現一些與原預期不盡相同 的研究結果，需要改善以讓此創新教學方式能更完善。例如：研究者原先預期學 生在解題上能有明顯的進步，但學生後測試題的進步幅度卻不如預期；另外，研 究者認為要將摺紙動作轉換到尺規作圖是一件很容易的事，但學生卻在「摺紙動 作轉換到尺規作圖題本」的表現不佳；再者，由於本研究著重於課程開發，對於 研究工具的效化過程著墨較少，學生經由工具所呈現出來的表現，未必能充分反 應出學生的真實情況。
故此，研究者在經過資料分析階段的探討後，提出四個值得作進一步反思與 討論的議題，分別如下：
第一，根據研究成果與教學過程中的發現，探討摺紙融入課程的利弊。
第二，從比較本研究與陳宥良（2008）的研究出發，針對學生能力、課程內 容編排、時間運用與上課形式來討論本課程的效益。
第三，分享本研究利用 D-analysis 進行教學過程分析的成效與心得。
第四，根據本研究與研究者自身的經驗，試比較在教學上融入摺紙活動或動 態幾何軟體的差異。
一、摺紙融入課程之利弊的探討
在本研究中，研究對象對數學的學習興趣與學習成就普遍不高，但卻接受此
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套課程，願意利用課餘時間參加本實驗課程。此部分將從工具使用開始，歸納並 討論摺紙活動融入課程的利弊。
(一) 工具的使用限制
學生在學習尺規作圖之初，常因對工具的使用限制不熟悉而導致不正確的作 圖。但若以摺紙為學習的開始，紙張沒有刻度、沒有直角、沒也平行線可利用，
可以除去尺規作圖工具限制的問題。學生只需記得六個基本摺紙動作，便可重複 利用這六個動作摺疊出欲創作的圖形。如此可讓學生在學習上，暫時不受工具使 用限制的影響。這是利用摺紙初學尺規作圖的優勢所在。
但摺紙其實也有使用上的限制，例如：以筆取點的動作必須取在已知的直線 上，不可直接取點，因為此動作雖方便達到作圖的目的，卻無法轉換到尺規作圖；
但在教學過程中，研究者發現學生容易犯此錯誤。又例如：摺紙時不可以摺疊再 摺疊，也就是說，每摺疊一次後都需要將紙張攤開，再進行下一個動作。另外，
一般的摺紙活動都是以紙張的邊緣作為摺疊的主要依據，但本研究中的摺紙動作 卻不以紙張的邊緣為摺疊的依據。這些摺紙動作的限制都是為了讓基本摺紙動作 更貼近基本尺規作圖。
綜觀之，直尺與圓規的使用與摺紙的動作都有其限制，在使用上都需要特別 留意。不同的是，研究者不認同的摺紙動作仍然都可轉換到尺規作圖，只是較不 自然，而直尺與圓規的錯誤用法，卻是在作圖上不允許的。不過，研究者認為任 何遊戲都是有遊戲規則的，遊戲要玩得盡興，了解並遵守遊戲規則是必須的，因 此，若將尺規作圖視為一數學遊戲，自然得遵守其遊戲規則，以達其目的，也才 能學得其精隨。
(二) 對學生的幫助與好處 1. 本研究的研究結果摘錄
摺紙對學生學習的幫助，以在第貳章第二節與第肆章第三節詳細說明與討論，
此處僅簡要摘錄。摺紙能引發學生學習尺規作圖的興趣是不容置疑的，一面學生
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驚奇並讚嘆竟能利用摺紙作圖，另一方面也拉近學生與尺規作圖之間的距離。就 摺紙對學生在學習上的幫助，簡單來說，本研究發現摺紙能幫助學生思考基本尺 規作圖的軌跡，進而幫助學生更容易記得基本尺規作圖；利用摺紙作圖也能提升 學生對稱的概念，且提供學生驗證幾何圖形的方式；在作圖題的解題上，摺紙亦 可提供學生解題的想法，特別是在需要利用作中垂線與作角平分線的問題。這的 確驗證摺紙的直觀與易接近的特性，對學生的數學學習帶來幫助。
2. 作圖步驟的簡化
作圖步驟的多寡會影響學生的學習負擔，由表 5-1-1 可知，在七個基本尺規 作圖中，有五個基本尺規作圖是較簡化的摺紙動作，甚至有四個摺紙動作僅一個 步驟便能完成作圖。這對於初學作圖的學生而言，勢必減輕了學生的學習負擔，
也會增加學生的學習意願。
表 5-1-1 摺紙作圖與尺規作圖在步驟數上的比較表
基本尺規作圖 摺紙的步驟 尺規作圖的步驟
線段中垂線作圖 1 3
角平分線作圖 1 4
過線外一點作垂線 1 4
過線上一點作垂線 1 4
過線外一點作平行線 2 6
等線段作圖 步驟數不一定 2
等角作圖 步驟數不一定 5
註 1：基本尺規作圖的作圖方式不僅一種，此處特選取最少步驟的 方式。
註 2：等線段作圖與等角作圖的方式與情境有許多方式，因此，僅 寫上「步驟數不一定」，但步驟數皆多於尺規作圖。
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(三) 對學生學習的妨礙與缺失
正如「水能載舟，亦能覆舟」，摺紙也是如此。以下將提出兩個摺紙作圖對 學生學習的妨礙與缺失：
1. 摺紙作圖的軌跡較尺規作圖凌亂：
在尺規作圖中，當繪圖的軌跡增加時，作圖就會受到干擾和影響。尺規作圖 的軌跡，主要是畫直線或圓弧的痕跡，我們可以依照需要畫出適當長度即可，以 避免不必要的痕跡出現，甚至若使用鉛筆作圖，還可以用像皮擦擦去不必要或錯 誤的痕跡。
然而，摺紙作圖便不是如此，摺紙作圖的痕跡皆為直線，頂多出現摺紙動作 4 所取出的點，且當在摺疊時較難控制摺痕的長短，以致常會有多餘的痕跡出現，
造成作圖區域因痕跡而凌亂。另外，紙張摺疊後便無法復原，如果摺錯，只能換 一張新的紙進行摺疊，以致在教學上需要多預備新的紙張。再者，摺紙作圖的痕 跡較不準確，學生容易因摺疊時的不注意而摺歪，也容易因摺疊時未壓緊而造成 痕跡不清楚。
2. 摺紙無法摺出找兩弧交點的作圖
因摺紙只能摺出直線，使得圓規畫弧的功用受到忽略，特別是在需要用畫弧 找交點的時候。其實，基本尺規作圖中，「過線上一點作垂線」、「過線外一點作 垂線」、「作中垂線」、「作角平分線」都需要利用兩弧找交點而進行作圖，但因這 些作圖找交點的方式具有對稱性，因此利用摺紙可避開找交點的問題，造就更容 易的作圖方式。但是某些作圖問題就無法避免使用圓規找交點的功能，例如：我 們在進行 SSS 三角形全等作圖時，就需要利用畫弧的方式找出第三個頂點的位 置，如圖 5-1-1 所示。
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圖 5-1-1 需要用到畫兩弧找交點的 SSS 三角形全等作圖示意圖
二、關於課程效益的討論
在教學的現場有許多複雜的情境脈絡，在一般控制教學環境下的實驗設計，
較無法解決實務的問題（Collins, 1999；The Design-Based Research Collective, 2003，
引自翁穎哲、譚克平，2008）。因此，本研究透過質性分析，期望能發現在教學 現場，學生在利用摺紙學習尺規作圖時會遇到的狀況，以提供第一線教師參考。
以下將根據第肆章資料分析的結果進行討論：
(一) 與陳宥良的結果對比
由於本研究進一步延伸陳宥良（2008）的研究，研究者有必要說明本研究的 貢獻與延伸的地方。整體來說，陳宥良的研究著重於學生尺規作圖困難的分析與 摺紙動作的開發，並初步證明其有效；而本研究以課程為出發點，檢視並補充摺 紙動作，並編製課程進行教學實驗，深入探討其成效。下面將分成五個部分進行 比較與探討，頭四個部分說明本研究的貢獻與延伸之處，第五個部分列出兩個研 究的比較表供讀者參考。
1. 課程：
本研究透過教材分析，證實陳宥良（2008）提出的六個摺紙動作足以應付國 中教材中，除了圓以外的尺規作圖問題，並進一步補充摺紙動作 1 與 4 的不同情 況。
A'
B C
A
B' C'
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2. 基本尺規作圖：
陳宥良（2008）的研究只發展了四個基本尺規作圖的摺紙方式，本研究繼續 延伸基本尺規作圖的摺紙方式，包括過線外一點作平行線、等線段作圖與等角作 圖，使利用摺紙學習尺規作圖的教材更完整。
不過，根據教學的情況與學生的表現，這三種作圖的教學果效不甚理想。研 究者經討論後認為，摺出「過線外一點作平行線」宜配合教材進行，可提供學生 不同作圖的方式；而利用摺紙進行「等線段作圖」與「等角作圖」可視為延伸的 教材，讓學生透過摺紙活動複習與活用八年級下學期所學習的幾何教材。
3. 摺紙的對稱性：
陳宥良（2008）有初步發現摺紙能幫助學生聯想到圖形的對稱性質，提供不 同的解題思路。本研究進一步以對稱概念為主軸設計課程，也發現學生在對稱概 念上的進步，例如：經過實驗課程後，學生在繪製線對稱圖形上（不論是在方格 紙上，或利用尺規作圖完成線對稱圖形）的表現，較不會受對稱軸傾斜的影響；
也因著對稱性，學生更容易記得基本尺規作圖繪製的軌跡，以及學生能運用中垂 線性質與角平分線性質解題。
可惜的是，學生對稱的概念雖受調整，但仍不會運用尺規作圖繪製正確的圖 形。研究者認為這可能是較多步驟的尺規作圖題對學生來說是困難的，因為需要 將許多數學概念綜合起來，才能完成解題。
4. 課程的分析：
教師的教學與學生學習的情況也是在開發教材中需要關切的議題，在陳宥良
（2008）的研究中，並未在這方面有著墨。本研究利用 D-analysis 嘗試呈現課堂
（2008）的研究中，並未在這方面有著墨。本研究利用 D-analysis 嘗試呈現課堂