本研究採用摺紙來輔助學生學習尺規作圖，但究竟效益為何呢？本節將利用 前後測尺規作圖題本、實驗課程態度問卷與質性訪談的結果，來探討此議題。本 節分為兩個部分，第一部分探討摺紙在學生學習基本尺規作圖和學生進行作圖題 解題時，有何種幫助；第二部分探討學生學習摺紙動作是否會對學生造成負擔，
造成反效果。
一、摺紙對學生學習的幫助
這 6 名學生原先在尺規作圖的學習上的表現普遍不佳，但藉由摺紙融入的教 學而有進步，以下將利用學生前、後測的表現，以及質性訪談的結果來說明摺紙 對學生的幫助。
(一) 幫助學生記憶基本尺規作圖的動作
關於基本尺規作圖的繪製，學生通常只能硬記作法，造成學生容易忘記。在 本研究中，經過教學後，僅1位學生（S2）無法正確完成此6個基本尺規作圖，可 參考表4-3-1看該名學生作答情況。
表 4-3-1 學生 S2 在基本尺規作圖題的前、後測表現
題型 前測 後測
1 等線段作圖
2 等角作圖
3 作角平分線
4 過線外一點作垂線
5 過線上一點作垂線
6 作中垂線
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7 過線外一點作平行線
備註：正確記為「ˇ」，錯誤記為「」。
另外，學生S5經過課程教學後，有明顯的進步，她學會了「等角作圖」、
「過線外一點作垂線」、「過線上一點作垂線」（答題情況可見表4-3-2），在 訪談中她表示，摺紙有幫助她學會基本尺規作圖，訪談原案如下：
48 R （於前測時）你只畫出中垂線跟角平分線，但是你後來都會畫了。
你是怎麼會畫的？就是你從課程中有聽到什麼讓你變成會畫？
49 S5 就那個吧，
50 R 幫助到你。
51 S5 摺紙的吧！
（後續請該名學生舉例，該名學生舉出作垂線的例子，說明她從摺紙得到畫 圖的想法。）
表 4-3-2 學生 S5 在基本尺規作圖題的前、後測表現
題型 前測 後測
1 等線段作圖
2 等角作圖
3 作角平分線
4 過線外一點作垂線
5 過線上一點作垂線
6 作中垂線
7 過線外一點作平行線
備註：正確記為「ˇ」，錯誤記為「」。
在訪談不同的學生時，也有出現相似的回應，學生因著學習摺紙的關係，較 容易記得作圖的軌跡，能夠正確完成基本的尺規作圖。舉一個例子：學生 S4 表
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示，摺紙可以幫助她記憶「作角平分線」的尺規作圖動作，對話原案如下：
315 R 妳覺得學摺紙動作會幫助妳記那個尺規作圖的動作嗎？
316 S3 會。
317 R 會，譬如說？
318 S3 （停頓數秒）作角平分線，會比較知道怎麼作。
319 R 怎麼說？
320 S3 比較懂吧！
321 R 比較懂？
322 S3 嗯。
323 R 怎麼說比較懂？譬如說我這裡有個角（在紙上畫出一個角），妳 在畫的時候哪裡會讓妳、摺紙會讓妳覺得比較懂？
324 S3 就這一條線和這條線會重疊，然後中間會卡著，然後這個角跟這 個，就這兩個會不同，就這兩個角是平分，而且它是相等。
325 R 嗯，所以會讓妳作尺規作圖哪個部分比較好懂？
326 S3 嗯，平分的時候。
327 R 平分的時候，是指哪個？
328 S3 這個角。
329 R 嗯，我是指說，妳不是用圓規畫嗎？妳畫到哪裡的時候，會比較 容易聯想？
330 S3 在畫叉叉的時候（意指兩弧的交點）。 331 R 後面畫叉叉？
332 S3 嗯，跟這一點連起來的時候（手比到角的頂點）。
333 R 就是妳如果記得摺紙這樣摺，會比較容易想到要那樣子畫……。
學生認為摺紙可以幫助她在作圖時記得作圖的軌跡（見第 329 與 330 行），
例如，在作角平分線時，需要畫弧以找出角平分線上的點。這可能是拜摺紙的對
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稱性所賜，讓學生產生左右兩邊做同樣的事的想法（見第 324 行），如此作便會 產生相等的角，也就是平分一個角。
另外，關於「過線外一點作平行線」的作圖，雖然上課有教過，卻只有 1 位學生答對，而且她使用的方式卻非課堂上所教的方法，在訪談中，該名學生表 示摺紙幫助她這樣聯想。她的作法如下（參考圖 4-3-1，A、B、C、D 點乃為說 明方便加上），情境為過直線 L 外一點 P 作與直線 L 平行的直線：
1. 過 P 點作與直線 L 垂直的直線，且此直線交直線 L 於 C 點，繪製過程中 的弧線分別交直線 L 於 A 點與 B 點。
2. 分別過 A、B 兩點作與直線 L 垂直的直線。（過 B 點的直線稱為直線 M）
3. 以 B 點為圓心，PC為半徑畫弧，交直線 M 於 D 點。
4. 連接 P、D 兩點，此直線即為所求。
圖 4-3-1 學生 S3 在「過線外一點作平行線」的表現
「過線外一點作平行線」的作圖，在課程中僅利用摺紙幫助學生摺出，並沒 有當下讓學生利用尺規進行作圖。因此，學生在後測表現不佳可能是因為學生對 平行概念不佳而忘記，或是不知如何將摺紙動作轉換到尺規作圖。
另外，在訪談時，研究者嘗試利用摺紙引導學生進行「過線外一點作平行線」
的尺規作圖，也就是先請學生摺出「過線外一點作平行線」，再請學生利用摺紙 動作去連結到尺規作圖的動作，學生 S2 與 S4 都能畫出正確的圖形，如圖 4-3-2 學生 S2 的作品。這顯示摺紙可以作為解題的輔助，有繪製草圖的功能，讓學生
A B C
D
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可以成功完成尺規作圖的問題。
學生 S2 的描圖紙 學生 S2 用尺規作圖的痕跡
圖 4-3-2 利用摺紙引導學生進行「過線外一點作平行線」之尺規作圖的作品 (二) 利用摺紙協助思考中垂線性質
試題前測 B 卷二 1 的解題需要用到中垂線的性質，也就是中垂線上的任一 點到線段的兩端點等距離，學生 S4 的作圖如圖 4-3-3：
圖 4-3-3 學生 S4 於試題前測 B 卷二 1 的表現
學生 S4 在前測的回答中，利用作BC上的中垂線進行嘗試，可能因為此法找 出的 D 點，當學生檢驗AD是否等於DB時，發現差不多相等，因此認為此作圖正 確。但學生卻未將作中垂線聯於它的性質，進而找出正確的作圖。
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圖 4-3-4 學生 S4 於試題後測 B 卷二 1 的表現
然而，試題後測 B 卷二 1 為此題的平行題目，學生 S4 能將中垂線的性質與 作中垂線進行連結，進而找出正確的 E 點，該學生的表現可見圖 4-3-4，與學生 的訪談原案如下：
64 R 這個題目（後測之作圖題解題第 1 題）在上課之前有做過一次，
那一次妳好像不太會作。然後，後測的時候妳就會作了，所以，
想知道妳是怎麼想的。
65 S4 因為它說上面找一點（指在BC 上），然後這裡跟這裡要一樣
（指BC上的點到 A 點與 D 點 的距離），所以，是它們（手 比著 A 點與 D 點）的一點（手 比到AD的中間），再連過來這
一點（手從AD的中間移到BC上的點）。
66 R 嗯。
67 S4 我那時候也一直畫這裡（手比著BC），但是它們（手比著BC上的
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點到 A 點與 D 點的距離）不一樣長。所以，應該是它們（手比著 A 點與 D 點）的中垂線，才能把它們兩個一樣。
……
70 R 嗯。那妳最後怎麼會想到中垂線？
71 S4 因為它中垂線的某一點一定會跟兩…也就是假如畫這邊跟這邊
（手比著 E 到 A 與 E 到 D），它們會一樣長。
72 R 那妳是從哪裡學到或想到的？
73 S4 用摺紙來判斷啊！
74 R 用摺紙的什麼判斷？
75 S4 把這兩點重疊（手指著 A 點與 D 點）就找出這一點（手指著AD的 中點）。
……
86 R 那妳會用摺紙說明中垂線的性質嗎？
87 S4 甚麼意思？
88 R 就是它（指中垂線）線上的一點到線段的兩端點距離會一樣。
89 S4 因為把它對摺以後會重疊。
90 R 嗯，哪兩邊會重疊？
91 S4 假如這裡取一點（手指著AD的中垂線上的某處），A、E 跟 E、D 會一樣（手依序指著 A、E、D 三點）。
由上述的對話以及學生的作圖中，我們可以發現學生的進步：在 73 至 75 行中，學生的確可以將兩點重合的摺紙動作與作出線段中垂線作連結，並且紙張 的疊合也可以讓學生想到中垂線的性質，正如第 89 行所示。再者，在前測時，
學生僅能透過猜測與利用工具驗證，來進行作圖；但在後測時，學生已能透過摺 紙的想法，以及思考幾何的性質（此處為中垂線性質），進而利用直尺與圓規來 完成作圖。
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再舉一個例子，在訪談學生 S3 的過程中，該名學生突然想到正確的做法（如 下方原案的第 160 行所示）。接著，研究者便追問其想法是否正確，以及如何想 到此想法，過程如下方原案：
159 R 可是我記得妳那天在跟學生 S2 討論的時候，突然妳想到了正確 的。
160 S3 真的哦（停頓數秒），哦，這裡畫中垂線（手指著AD的中間）。
……
168 S3 （學生在新的試卷上，畫AD的中垂線，交BC於 E 點）然後這點 是 E 點，然後 E 點到這裡，跟這裡到這裡是一樣的（手從 E 點移 到 A 點，再從 E 點移到 D 點）。
169 R 妳剛才怎麼會突然想到：畫中垂線可以？
170 S3 因為中垂線，這條線任何一點，任何一點都會一樣啊，任何一點，
就是如果這裡也有一點的話，然後這裡和這裡還是一樣的（手再 次從 E 點移到 A 點，再從 E 點移到 D 點），就像對稱軸、對稱圖 形這樣。
171 R O.K.，妳覺得妳是從哪裡學到這個東西，就是課程中哪裡讓妳記 得的？
172 S3 畫蟑螂啊。（「畫蟑螂」意指中垂線作圖，此乃該名學生的慣用語。）
173 R 畫蟑螂？
174 S3 就是作中垂線。
175 R 作中垂線。那妳覺得我上的課程有哪裡幫助妳記得這個部分？
176 S3 這個嘛，就畫這條線的時候，這裡跟這裡是一樣（指AD被平分），
而且它垂直，然後又平分，然後用摺紙畫出來，它也會重疊，然 後是相等的。
177 R 嗯，O.K.，摺紙的時候這段和這段會（手比著EA與ED）？
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178 S3 相等。會重疊！
從第 170 行可見，學生 S3 確實了解中垂線的性質，也就是中垂線上任何一 點，到線段的兩端點等距離，不過，學生卻無法用確定的語言說明，她乃是利用 手指比畫出她要表達的概念。然後，該名學生也指出中垂線會垂直平分該線段，
並且她記得摺紙驗證的方式，或許這告訴我們摺紙給她一個印象，使她容易思考 與中垂線相關的幾何概念。此學生最後完成的作品列於圖 4-3-5。
圖 4-3-5 學生 S3 在後測 B 卷二 1 題於訪談時的表現 (三) 提供學生等距離的想法
題目後測 B 卷二 5 需利用角平分線去找出到兩邊等距離的點，然而，因著 摺紙可以帶給學生等距離的想法，使得學生可能不清楚點到直線距離的意義，甚 至不完全清楚題意，只憑著要找出到兩邊等距離的點，學生便可正確完成作圖。
題目後測 B 卷二 5 需利用角平分線去找出到兩邊等距離的點，然而，因著 摺紙可以帶給學生等距離的想法，使得學生可能不清楚點到直線距離的意義，甚 至不完全清楚題意，只憑著要找出到兩邊等距離的點，學生便可正確完成作圖。