第二節 摺紙活動與數學學習
在幾何的學習中，對於圖形的觀察與繪圖的操作是相當重要的（Bishop, 1983;
Grande, 1990, 引自左台益、陳天宏，2002），甚至此種以操作為基礎的教學，
亦能增進學生對幾何概念的理解，甚至當學生有適當的心像操作會促進其邏輯論 證的過程更清晰（Hershkowitz, 1989; Sfard, 1991, 引自陳天宏，2002）。因此，
摺紙正是必須透過動手操作的學習方式，能對學生在數學的幾何學習方面帶來助 益。
中文的「摺紙」一辭，常用的外文翻譯有兩種，一為源自日本摺紙術的
「origami」，此詞創造於 1880 年，由兩個字所組成：摺（oru）與紙（kami）（Pearl, 1993; Wu, 2006）。另一為英文的直接翻譯，代表將紙進行摺疊的動作，稱為「paper folding」。
摺紙的興起於何時何地已難以考究，一些歷史學家認為在蔡倫於西元 105 年發明紙之後，就有摺紙術的產生。然而，日本被公認為摺紙藝術較完整且全面 發展的起源地（Wu, 2006）。摺紙最早用於僧侶的祭祀中，甚至有專門談論摺紙 的書籍產生，可能源自 1797 年的《秘傳千羽鶴折形》。但在早年的發展中花樣
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並不多，直到 1930 年代的吉澤章研發，摺紙方出現大量的花樣與造型，進而於 1960 年代推廣到國際間，因而使得日語的「origami」成為此種藝術的代名詞（李 國偉，2008）。
一、摺紙引入課堂的想法
摺紙常存在我們兒時的記憶中，藉由簡單的動手操作，就能產生不同的花樣 與造型，譬如孩童喜愛摺紙飛機，比賽誰的設計能讓紙飛機飛得最遠。不僅如此，
摺紙除了作為供人欣賞的藝術品，以及作為兒童把玩的玩具，許多教育學家亦將 摺紙用於數學的學習中，就如摺紙之於幾何作圖，摺紙產生的摺痕，豈不與作圖 產生的筆跡雷同？李國偉（2008）也說，摺紙在作圖上的發展，值得教育工作者 留心其發展，若能適當引入課堂中，必使教學更加活潑！
其實，早在 17 年前，謝豐瑞（1994）就曾發表過一篇文章，名為《使幾何 教學活潑化－摺紙及剪紙篇》。文中作者提出幾何學習的一種有效方法，就是透 過操作（Learning by Doing）、觀察（Learning by Observing）、思考（Learning by Thinking）的過程，讓學生手腦並用，以增進他們的思考能力。而在許多的教學 活動中，摺紙與剪紙名列其中，學生可以輕易動手操作，並觀察他們手中的作品，
而帶進幾何的思考歷程。不僅如此，因著摺紙與剪紙饒富趣味，將死版且抽象的 幾何教學活潑起來。作者也提出摺紙與剪紙三方面的功能：第一，幾何圖形的創 造，其中已提到摺出中垂線與角平分線的動作。第二，幾何性質的驗證。第三，
輔助線的建構。
將摺紙融入數學學習的想法，在銀林浩（2002）整編的《用摺紙來學數學》
一書中，我們也可以看見許多想法，包括正多邊形、各式多面體的摺法；利用摺 紙來學分數、小數；用摺紙學習二次方程式、二次曲線、橢圓、圓錐體等；還有 介紹相似形的概念。從國小到中學的數學，從代數到幾何，竟然都可以利用摺紙 來學習，若能適當引入課堂中，勢必可增加教學的活潑度，也可以提高學生學習
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的動機與興趣。
Coad（2006）曾談到將摺紙融入中學數學教學的想法，也提出關於摺紙融 入教學的優點。就功能而言，摺紙鼓勵學生去猜測，並幫助老師思考證明的意義；
由於摺紙貼近生活經驗，容易接近，因此學生較樂意採用，也就是感情上的獲益
（affective benefits）。另外，摺紙也被用於歐氏的尺規作圖，可以解決「三等分 角」與「倍立方體」兩種原先無法解決的問題。最後，若摺紙能結合動態幾何軟 體（DGS：dynamic geometric software）將會成為更有力的工具。就工具而言，
若用半透明的紙（translucent paper）會使任務更容易，例如，在進行角度的比較 時，可將兩個角分別畫在兩張半透明的紙上，再將兩張紙重疊，便可直接比較大 小。在文中，Coad（2006）也簡略說明了作中垂線、角平分線與角的比大小，
加上找尋四邊形種類的例子。
NCTM（美國數學教師協會）編寫的《中小學數學課程與評量標準》（NCTM, 1989, 引自 Cipoletti & Wilson, 2004）提出利用日常生活中的東西，比方說紙，
來使學生探索幾何的關係與字彙（Cipoletti & Wilson, 2004）。Cipoletti 與 Wilson
（2004）也指出摺紙的活動給予師生之間、學生之間、學校與社群之間利用幾 何語言溝通的機會。但摺紙活動的指導語並不一定符合數學語言的溝通，甚至 有自己獨特的用語，例如：「山線」、「谷線」等，因此，研究者為使摺紙活動更 能引導學生進行數學語言的溝通且能增進概念的理解，提出重寫摺紙指導語的 需要與步驟。然而，試想初學的學生拿到改寫過的指導語，是否能很快讀懂呢？
或是，我們該藉由幾何的指導語引入，再指引學生進入幾何的語言，學生會較 容易接受呢？
這些想法在在證實了摺紙融入課程中的可行性，特別是對於國中的學生而言，
正處於從具體思考轉入抽象思考的過渡時期，若有摺紙的輔助，相信學生必能從 中獲益。不僅課程值得融入摺紙活動，近年來的國中基本能力測驗亦有許多摺紙、
剪紙的問題，或是題幹敘述，亦或是探討摺疊或剪裁後的幾何關係，以考驗學生 對幾何概念的掌握程度，可見表 2-2-1，這 21 題讓試卷更加活潑與生活化！
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Cipoletti 與 Wilson（2004）指出教師使用摺紙活動進行教學可以為著下列 的目的：修正學生對幾何術語的理解、再教導幾何術語的意義、使用幾何語言進 行溝通、提供導入幾何單元的介紹課程、增進學生對幾何活動的興趣等。
Pearl（1993）指出，透過摺紙學習數學可以減輕學生對數學的焦慮感，並提 供他們正面積極的學習經驗。另外，摺紙是獨特的（unique），工具獨一－紙，
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技術也獨一－摺（folding）。再者，透過摺紙可以習得的經驗如下：按順序排列、
組織、空間的關係、聆聽且跟隨指導、讀圖、批判性思考、問題解決，以及發展 詞彙與概念。
Huse、Bluemel 與 Taylor（1994）指出可動手操作的紙張可以連結基本的幾 何圖形到尺寸（dimension）和動作，將沒興趣的學生連到數學，將孩子所理解 的數學連於他們世界的整個部分，以及將學生帶到圖書館，做為一生學習的資 產。