本研究的第二個研究目的為依照研究目的一的結果，也就是教材內容分析後 的結果，編寫一套利用摺紙學習尺規作圖的教材，以幫助低成就學生學習尺規作 圖，並探討此教材對學生的實際幫助為何。研究者經由三階段課程的編修，並進 行七個主題的授課。
針對研究目的二，研究者為探討此課程的效益，發展出四個研究問題：
第一個研究問題是探討學生在課堂中的學習表現與反應，研究者利用 D-analysis 與謄錄稿分析進行討論，詳見本章第一節。
第二與第三個研究問題是關於學生在「基本尺規作圖」與「作圖題解題」的 表現，「基本尺規作圖」包括認知與技能兩個部分，也就是課程對於學生理解基 本尺規作圖的畫法與如何畫的幫助為何；而「作圖題的解題」的範圍限於八年級 下學期第二次月考範圍內會出現的作圖題，研究者將其區分為四類：需作垂線的 題目、需運用作中垂線或角平分線的題目、利用尺規作圖完成線對稱圖形的題目 與綜合題，分別討論學生的表現為何。
第四個研究問題是關於摺紙動作與尺規作圖的轉換，學生對於此轉換是覺得 容易，還是覺得困難，若學生感到困難，原因何在？此部分的討論將在本章的第 三節說明。
本節將透過尺規作圖前後測題本所呈現的學生表現，以較客觀的方式，初步 反應學生的學習成效。分析的內容包括尺規作圖工具使用的限制、基本尺規作圖、
作圖題解題與對稱圖形的繪製問題。研究者會將對稱相關概念的問題特別提出探 討的原因，已在第三章的課程設計中說明，將不再贅述，大略來說，這部分乃為 證實摺紙中的對稱性能直觀地提升學生繪製對稱圖形的能力。
一、尺規作圖工具使用的限制
在前測 A 卷的第三大題與後測 A 卷的第一大題是關於尺規作圖工具的使用，
89
也就是測驗學生是否知道直尺與圓規的使用限制。整體而言，學生並沒有因為課 程而改變她們對工具使用上的考量，如表 4-2-1 所示。其中，6 位學生中僅 1 位 學生有更改一題的答案，其餘學生前、後測都勾選相同答案。另外，學生 S2 與 S4 全對，學生 S3 是前、後測有更改答案的學生，更改後答題表現為全對。
表 4-2-1 學生於尺規作圖工具使用試題的答題情況
試題內容
答對人數 前測 後測
1 利用直尺將直線延長 6 6
2 利用直尺的刻度找出線段的中點 5 5
3 利用直尺的刻度畫垂直線 5 5
4 利用直尺的兩平行邊畫出平行線 3 3
5 利用直尺的相鄰兩邊畫出直角 4 4
6 利用圓規量測兩線段是否等長 6 6
7 利用直尺上的刻度量測兩線段是否等長 4 5
二、基本尺規作圖
學生在基本尺規作圖方面的表現，包括等線段作圖、等角作圖、過線上一點 作垂線、過線外一點作垂線、作中垂線、作角平分線、過線外一點作平行線等七 個作圖，在尺規作圖前後測題本中關注基本尺規作圖的三個議題，第一是關於基 本尺規作圖的原理，也就是學生是否知道作圖時的軌跡用意為何，題目位於前測 B 卷的第一大題與後測 B 卷的第一大題；第二是關於學生是否能正確作出這七個 基本尺規作圖，題目位於前測 A 卷的第四大題與後測 A 卷的第二大題。第三是 利用態度問卷呈現學生對記憶基本尺規作圖上的觀感。
90
91
2 等角作圖 3 6
3 作角平分線 5 6
4 過線外一點作垂線 2 5
5 過線上一點作垂線 2 5
6 作中垂線 5 6
7 過線外一點作平行線 0 1
另外，由於學生尚未學過「過線外一點作平行線」的作圖，前測無人答對，
代表此 6 名學生都沒有預先學習的問題。然而，學生在後測的表現依然不佳，僅 1 人正確畫出圖形，而且還不是上課教師的教法（圖 4-2-1），足見學生學習的情 況不佳。
圖 4-2-1 學生 S3 在「過線外一點作平行線」的表現
再者，就前 6 個基本尺規作圖而言，前測時，僅 1 位學生（S3）全部答對，
也就是正確完成作圖；經過教學後，剩 1 位學生（S2）無法正確完成此 6 個基本 尺規作圖。此學生都在「等角作圖」上有進步，但在「過線上一點作垂線」與「過 線外一點作垂線」這兩個作圖上遇到困難。
若扣除「過線外一點作平行線」，由表 4-2-3 也可以知道，在前測時，學生 在「過線上一點作垂線」與「過線外一點作垂線」兩個基本尺規作圖的表現較差
（6 位學生僅 2 位答對）；甚至，在前測的問卷中，學生也普遍顯示，這兩個作
A B C
D
92
圖是較難記憶的基本尺規作圖，6 位學生中有 4 位認為要記得作垂線的基本尺規 作圖動作是困難的。此結果與陳宥良（2009）大量施測的結果一致，在其受試的 150 名學生中，「作中垂線」與「作角平分線」分別有 76%與 70%的學生畫對，
明顯優於「過線上一點作垂線」與「過線外一點作垂線」的 55%與 59%。這也 就是在基本的尺規作圖中，「過線上一點作垂線」與「過線外一點作垂線」這兩 個作圖，對學生來說是相對困難的，學生也覺得不容易記得。
(三) 基本尺規作圖的記憶負擔
此部分是為了知道學生是否覺得記得基本尺規作圖的動作是困難的，由於
「過線外一點作平行線」在前測時學生尚未學過，所以僅詢問另外六個基本尺規 作圖。由表 4-2-4 可以知道，學生經由此套實驗課程後，對記憶尺規作圖動作的 難度大為降低，在六個基本尺規作圖動作的反應上，都沒有學生勾選「同意」或
「非常同意」。此結果顯示，此課程能幫助學生記憶基本尺規作圖動作。
表 4-2-4 前後測態度問卷中，關於基本尺規作圖記憶難度的人數對照表
問卷題目
填寫同意或非常同 意的人數（人）
前測 後測
我覺得要記得等線段作圖的尺規作圖動作很困難。 3 0
我覺得要記得等角作圖的尺規作圖動作很困難。 3 0
我覺得要記得過線外一點作垂線的尺規作圖動作很困難。 4 0 我覺得要記得過線上一點作垂線的尺規作圖動作很困難。 4 0
我覺得要記得作中垂線的尺規作圖動作很困難。 2 0
我覺得要記得作角平分線的尺規作圖動作很困難。 2 0
93
三、作圖題解題
此部分對學生而言是一綜合能力的考驗，學生不僅需要會作基本尺規作圖，
還需要了解題意，並利用相關的幾何知識，而創作出正確的圖形。任何一個環節 出差錯，都會造成學生無法正確完成作圖。單就學生前、後測的試卷，亦無法完 全了解學生解題的流程與狀況，因此，第四節將利用質性訪談進行更詳細的分析。
此部分僅就學生答題情況進行分析。
由表 4-2-5 顯示學生在作圖題前、後測的表現，我們可以發現，學生在運用 中垂線性質和運用角平分線性質題目有明顯的進步，運用中垂線的題目從前測的 0 人答對到後測的 2 人答對，運用角平分線的題目從前測的 0 人答對到後測的 4 人答對；但其餘的題目卻都沒有進步。若將此結果與基本尺規作圖的正確率作比 較，前者兩類的題目所需的基本尺規作圖（作中垂線與作角平分線）答對率較高
（後測皆全對），但後者題目所需的基本尺規作圖（過線上一點作垂線與過線外 一點作垂線）答對率卻較低（後測中皆僅 4 人答對），學生在基本尺規作圖上出 問題，勢必影響學生在解尺規作圖題的表現。但是否還有其他影響因素呢？本文 將在第三節加入進一步的討論。
表 4-2-5 作圖題解題前、後測答對人數對照表
編號 題目向度 前測答對人數 後測答對人數
1 運用中垂線性質 0 2
2 利用線外一點作垂線 3 2
3 完成線對稱圖形（軸水平） 1
4
完成線對稱圖形（軸傾斜） 1 0
不受軸傾斜影響 1 5
5
作正方形（長方形） 1 1
可畫出正確草圖者 5 5
94
6 運用角平分線性質的綜合題 0 4
7 等面積問題（綜合題） 0 0
另外，就繪製線對稱圖形或是畫幾何圖形（前後測分別為正方形與長方形）
而言，有兩種特殊的情形，皆與學生能畫出正確草圖有關。第一，在表 4-2-5 所 示，編號 4 的試題向度中，包含一向度為「不受軸傾斜影響」，意指學生雖未能 正確完成線對稱圖形，但學生進步到所繪製的圖形是正確的，不會因為對稱軸傾 斜而畫出錯誤位置的圖形。可見圖 4-2-2 學生 S1 的表現。
前測的表現 後測的表現
圖 4-2-2 學生 S1 在完成對稱的圖形之前、後測表現對照圖
第二，在表 4-2-5 所示，編號 5 的試題向度中，包含一向度為「可畫出正確 草圖者」，意指學生畫出正確的正方形或長方形，甚至利用等線段作圖畫出正確 的長度，但是卻未利用尺規作圖畫出垂線，可見圖 4-2-3 學生 S2 的表現。
95
前測的表現 後測的表現
圖 4-2-3 學生 S2 在繪製正方形或長方形之前、後測表現對照圖
由上述兩種情形可知，學生可能有正確的圖像，也就是能畫出正確的草圖，
卻無法正確利用直尺與圓規作圖，詳細原因，後文會進一步討論。
四、對稱圖形的繪製
在前、後測中，對稱圖形的繪製有兩種題型，一種是有正方形方格作為網底 來完成對稱圖形（前測 A 卷三 10a、b，後測 A 卷一 8a、b）；另一種是利用尺規 作圖完成線對稱圖形（前測 B 卷二 3、4，後測 B 卷二 3）。學生的答題表現可見 表 4-2-6。
表 4-2-6 繪製對稱圖形之前、後測答對人數對照表
試題向度 前測答對人數 後測答對人數
題型一
對稱軸傾斜 2 6
對稱軸為水平方向 5
對稱軸為鉛直方向 6
題型二 對稱軸傾斜 1 0
96
對稱軸為水平方向 1
由學生答題表現我們可以發現，就題型一而言，學生在對稱軸傾斜的問題上 有明顯的進步，由前測的 2 人答對進步到後測的 6 人答對，錯誤的類型均為如同 圖 4-2-4 的 a 小題；而對稱軸為水平方向或是鉛直方向的問題，學生幾乎都能正 確無誤的畫出，僅在後測對稱軸為水平方向時，有 1 人答錯，不過，在事後訪談
由學生答題表現我們可以發現，就題型一而言，學生在對稱軸傾斜的問題上 有明顯的進步，由前測的 2 人答對進步到後測的 6 人答對，錯誤的類型均為如同 圖 4-2-4 的 a 小題；而對稱軸為水平方向或是鉛直方向的問題，學生幾乎都能正 確無誤的畫出，僅在後測對稱軸為水平方向時，有 1 人答錯，不過，在事後訪談