在探討教學者的整體教學風格之後，這一節將針對教學者在課堂上的具體 教學行為進行報導。
研究者利用課堂教學表現問卷，收集、分析教學者與學習者的知覺，以俾 獲得兩者之間對於教師教學表現認知落差的圖像。
根據課堂教學表現問卷的勾選情形，分別從以下 11 個向度報導對於教學者 教學狀況之評估情形。
(一) 向度一：善用多種方式來呈現數學概念 1. 教師部分：
從表 4-2-1 可以看出，三位教學者在某次課堂單元中，認為自己能夠善用 多元表徵進行教學(3 分，大部分達成)、會用 4~5 種表徵來幫助學生的學習；
研究者認為在一堂課中，能使用到 4 種以上的表徵，確實可以視為表徵呈現多 元而豐富。
2. 學生部分：
三班學生都給予三位教學者很高的評價(分數介於 3.38~3.92 之間，指向大 部分達成偏達成)，顯示教師們對於教學過程中各種概念的呈現與不同方式的表 徵展現，學生們在教學過程中都有人感受到。值得一提的是，仔細觀察三班學 習者針對不同數學教師教學行為的勾選結果，某種程度反映了教師的教學風格 與教學呈現的狀況；也就是說，從學生的勾選中，可以看出有一些較明顯的個 人特質，例如:A 班學生在勾選 A 班教師在表徵利用周遭物品的比率只有 0.11；
同樣地，在生活事物的比率也只有 0.31，這種現象有可能是 A 班教師較少使用 或較不擅長使用這兩種表徵來呈現數學概念。而 C 班教師則可能是較不會善用 表格呈現概念(0.38)。
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學生勾選的整體平均，甚至都在倒數三名內，顯示學生對自己較熟悉 的這兩項表徵方式有較高的要求，也可能是因為教師使用得不當，或 者選材不當。
總結來看，三位老師與學生都給予 3 分以上的評價，顯示教師們對於教學 過程中各種概念的呈現與不同方式的表徵展現，都有相當程度的把握；而學生 對於教師在教學上的表現，也都給予肯定。不管是對於數值實例、生活事物、
比喻、周遭物品、畫圖、表格、式子、定義都會在不同的單元中呈現出來。此 外，認為老師有達到「善用多種方式來呈現數學概念」的學生，在 9 個項目中，
平均勾選 6.58 個做得好的項目。
(二) 向度二：數學概念、性質、定理的講解清晰 1. 教師部分：
從表 4-2-2 可以看出，三位教師在這個向度的表現，均給自己不錯的評價 (3 分，大部分達成)，但也都認為自己在簡潔易懂與性質推導過程簡易兩個指 標部分表現較為不佳，顯示三位教學者認為教變數與函數、三角形全等、生活 中的立體圖形等單元，不容易將簡潔易懂與性質推導過程簡易做得好。
2. 學生部分：
三班學習者均給三位教學者「大部分達成」以上的評價(分數介於
3.41~3.95 之間)，顯示學生對於三位教師教學上該具備的基本條件：將「數學 概念、性質、定理的講解清晰」都很肯定。在指標項目上，三班學生均認為三 位教師在「使用教具」上，沒有使用或作得比較不佳之外(皆低於平均)，其餘 的表現都有獲得一半以上的學生認同。
表 4-2-2：課堂教學表現問卷之講解數學部分
班級別 A B C
評估者 T S T S T S
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2. 有兩位教學者認為重視公式或性質的推導過程沒做好，可是三班學生 卻一致在這個項目給分都是最高分。顯示教學者如何認定自己教學過 程中公式或性質的推導過程、學習者如何看待教師教學中公式或性質 的推導過程，是值得探討的部分，但礙於研究主題的關係，不在本研 究範圍中。
3. 對於概念縱向與橫向延伸的部分，有兩位教學者認為自己有做到，而 兩班的學生的看法歧異，顯示概念延伸良好並不容易做到。如果與銜 接學過的概念比較，會發現學習者並不會將兩者混為一談，或是把銜 接舊經驗看成概念延伸良好的前提，此處數值的一致僅為巧合2。 4. 在指標項目重點歸納與整理部分，兩種身份給分都很高的項目，可以
看出教學者均認為自己有做到、學習者均認同（0.7 以上）教師在這 個課堂中的表現，認為教師將重點歸納與整理，可以讓學習者理解，
因此研究者將這重點歸納與整理認定為基本數學教學能力。
三位教師對於這個部分的感知，均給自己 3 分的評價，顯示教師對於自己 的專業背景有相當程度的信心。而學習者對於教師這方面的表現也都給予高度 肯定的答案。此外，認為老師有達到「數學概念之間的銜接良好且很有組織」
的學生，在 4 個項目中，平均勾選 3.37 個做得好的項目。
(四) 向度四：例子安排恰當
例子的安排對於學生的學習是重要的，好的編排方式可以讓學生從理解、
操作例子的過程中，逐步形成概念並建構自己的知識體系。這個向度比較強調 教材的內容，考量教師是站在教學者的立場或是學習者的立場，而會有不同的 安排；學習者站在學習的角度看待例子的安排是否對於概念的學習有所幫助。
1. 教師部分：
2 兩個項目的勾選情形中，不一致的比例分別為 41%、28%、11%，顯示認為兩項都沒做好的 學生僅為 15%、6%、0%。
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3. 關於例題出處多元這個指標項目沒有教師勾選認為自己做得好，研究 者認為在目前的教學現場中，教師們大都依照課本的內容，來教授學 生所要學習的數學知識內容，他們可能沒有能力自己設計這樣的例 題，或者沒有時間安排如此多樣的例題。
總結三種身份別在這個向度上的感知，教學者給分不高，自認為較難提供 多元、充分的題目；而學生卻都給予高度地肯定。此外，認為老師有達到「例 子安排恰當」的學生，在 3 個項目中，平均勾選 2.60 個做得好的項目。
(五) 向度五：以恰當的方式引領學生進行解題
這個部分強調的是教師的學科教學知能（p.c.k.）。如何帶領學生，順著老 師的布題、思維、教學技巧，理解題目所要的數學知識，並從解題的過程中，
培養學生運用高階的能力，分析、比較、回顧，形成自己的數學知識體系。
1. 教師部分：
從表 4-2-5 可以看出，三位教師在這個面向的表現均給自己不錯的評價(分 數都是 3 分，大部分達成)，他們都認為自己有做到分析題意、分析解題思路，
但也承認自己有時候較缺乏某個表現，例如: A、C 老師認為自己在作題目間的 比較、多元解題部分沒有做好；B 老師認為自己在清楚布題與回顧解題部分沒 有做好。
2. 學生部分：
學生對三位教師在這個部分的表現均給予很高的評價(分數介於
3.35~4.00 之間，大部分達成偏達成)，顯示學生認為教師的解題引導方式，對 於數學學習很有幫助，相對地，他們也認為教師在清楚布題與回顧解題這兩項，
表現較差（均為倒數三名內）。
表 4-2-5：課堂教學表現問卷之解題教學部分
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的。
4. 依照教學者均認為自己有做到、學習者均認同（0.7 以上）的標準來 看，教師在這個課堂中的表現，分析題意與分析解題思路是給分都很 高的指標項目，認為教師將分析題意與分析解題思路後，有助於學習 者學習與理解。因此，研究者將此兩個項目視為基本數學教學能力。
總結來看，教師對於學生的需求不夠了解，將清楚布題與回顧解題想得太 簡單，又將多元解題想得太困難。此外，認為老師有達到「以恰當的方式引領 學生進行解題」的學生，在 6 個項目中，平均勾選 5.17 個做得好的項目。
(六) 向度六：以恰當的方式促動學生思考數學
一堂優良的數學教學，不僅只有知識的學習，還可以引發學生的思考。無 論淺層、甚至是深層的思考，啟迪學生對於數學的觀感與提升學習數學的興致，
影響學生的觀念與態度，讓學生喜歡上數學課，不僅深感有收穫，而且饒富興 致。因此，能促動學生思考並有意願主動學習數學的教學法，是非常重要且需 時時提醒教師注意的。
但是，因為要讓學生有主動性的淺層或深層的思考，在課堂上的社會行為，
就必須以學生為主體，教師必須適度的解放其對教室行為的掌控權，因此，難 度也很高。因為思考性問題的鋪陳、討論的進行、秩序的掌握，對老師而言都 非常具有挑戰性，處理不好或是成績方面沒有相當的表現，將造成學校行政與 教師、家長之間衍生出其他的問題。所以，不是經驗豐富或是教學方面很有把 握的老師，可能不敢輕易嘗試這樣的課堂教學策略與教學行為。
1. 教師部分：
從表 4-2-6 可以看出，三位教師在這個向度的表現給自己的評價都是大部 分達成(分數都是 3 分)的評價。除了 B 教師認為自己在布置思考性問題、安排 討論方面做得不好之外，A、C 兩位教師均覺得自己在此向度所有指標項目做得
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的要求與提問較少，但是會安排很多機會與時間讓學生主動思考。學 習者的評價與上述教學風格大致吻合。
總結來說，是否要求學生提問並非決定促動學生思考數學的主要因素。此 外，認為老師有達到「以恰當的方式促動學生思考數學」的學生，在 4 個項目 中，平均勾選 3.26 個做得好的項目。
(七) 向度七：善用各種教學手法強化學生認知理解
教學手法的多樣性，可以讓不同學習風格的學生，有較多的機會學會相關 的學習內容，豐富學生概念心象並產生學習遷移；相對地，單調的教學方式，
容易引起學生的反感與學習上的疲乏。因此若能依據不同的教材單元，運用各 種不同的教學手法，對於學生的認知理解，應該會有很大的幫助。
1. 教師部分：
從表 4-2-7 可以看出，三位教師在這個向度的表現給自己不錯的評價(都是
從表 4-2-7 可以看出，三位教師在這個向度的表現給自己不錯的評價(都是