經由課堂教學建議問卷，研究者分別根據三種身份別的答題狀況進一步探 討研究問題，因此，研究者依向度的順序，將教學建議問卷的答題內容歸納整 理之後，逐一報導三種身份對教師教學的評價，以及教學建議。
一、課堂教學建議問卷中各向度的觀察與建議
研究者將課堂教學建議問卷的勾選情形加以統計，有做到的指標項目記為 1，沒做到的指標項目則記為 0；而恰當程度的部分則是採計勾選有做到指標項 目的樣本，對於其該表現給分的平均，其中，『4』代表『恰當』；『3』代表『有 點恰當』；『2』代表『有點不恰當』；『1』代表『不恰當』。
研究者將各個向度教學建議問卷的回答狀況，針對不同身分別，加以整理 之後，依照向度順序，報導如下:
1. 多元表徵
「善用多種方式來呈現數學概念」這個向度共有九個指標項目，個別身份 的感知情形如下表所示：
表 4-3-1：課堂教學建議問卷之多元表徵部分
班級別 A B C
教學單元
評估者 T S O T S O T S O 數值實例 1 0.94 0.67 1 0.95 0.33 0 0.97 0.00
恰當程度 4 3.68 4.00 3 3.81 2.00 3.97 生活事物 1 0.92 0.67 1 0.76 0.33 1 1.00 1.00
恰當程度 4 3.76 3.50 3 3.75 1.00 4 3.97 4.00
84
85
「中垂線性質例子應用，使用一△，說明 B、C 兩點重合，得到的摺痕與中 垂線的關係。(圖略)」（OB3a03）
學習者著重的是表徵呈現的方式，最好是能夠具體呈現、能夠具體觀察並 有深刻感受的表徵，可以使學習者印象深刻。如:在函數單元，學生認為畫圖、
用周遭物品比喻、舉生活上的例子、用表格方式呈現，有助於對數學概念的理 解；在幾何的單元，學生認為使用畫圖、用展開性模型作教學、用日常生活的 東西舉例，有助於對數學概念的理解。如:
「用機器比喻」(SA3a02)、
「函數比喻」(SA3a08)、 (SA3a14)
「多比喻」 (SA3a07)、(SA3a09)、(SA3a12)、(SC3a02)
「多舉生活實例」(SA3a31)、(SC3a02)、(SC3a36)
「圖形，利用教具」(SC3a10)、(SC3a19)
「使用模型」(SC3a08) 、(SC3a09)、(SC3a15)、(SC3a18)、(SC3a24)
在多元表徵的向度中，教學者、觀察者與學習者的觀點顯然稍有不同。
2. 數學講解
「數學概念、性質、定理的講解清晰」這個向度共有六個指標項目，個別 身份的感知情形如下表所示：
表 4-3-2：課堂教學建議問卷之講解數學部分
班級別 A B C
教學單元
評估者 T S O T S O T S O 簡潔易懂 1 0.92 1.00 1 1.00 0.67 1 1.00 1.00
86
87
學習者希望講解的呈現方式，最好是能夠善用教具、能夠具體觀察、多舉 實例、並重複重要概念、依照學生思考節奏，由淺入深，可以使學習者印象深 刻。如:
「善用教具」 (SA3b12)、(SB3b26)、(SC3b04)、(SC3b22)、(SC3b35)
「多說幾次」(SA3b31)
「講慢一點」(SA3b15)、(SA3b20)、(SA3b33)、(SB3b16)
「多舉例與講解」(SA3b05)
「重點整理」(SA3b02)、「重複重點題目」(SA3b10)
「由淺入深」(SA3b15)
「一個步驟、一個步驟，慢慢解析」(SC3b36)
在講解數學的向度中，教學者、觀察者與學習者的觀點顯然很相似。
3. 組織銜接
「數學概念之間的銜接良好且很有組織」這個向度共有四個指標項目，個 別身份的感知情形如下表所示：
表 4-3-3：課堂教學建議問卷之概念組織部分
班級別 A B C
教學單元
評估者 T S O T S O T S O 銜接學過的經驗 1 0.78 1.00 1 0.92 0.33 1 0.89 1.00
恰當程度 4 3.75 4.00 3 3.76 3.00 3 3.94 3.00 重視性質或公式推導過程 1 0.83 0.33 1 0.97 1.00 0 0.97 0.33 恰當程度 4 3.70 4.00 4 3.89 3.00 4.00 3.00 概念縱向與橫向延伸良好 1 0.83 1.00 1 0.86 0.33 1 0.97 0.67 恰當程度 3 3.67 3.33 3 3.81 3.00 3 4.00 2.00 重點歸納與整理 1 0.83 0.00 1 0.95 0.67 1 1.00 1.00
88
恰當程度 4 3.73 3 3.83 3.00 4 3.97 3.33
由表中可看出，教學者認為自己用了 3～4 個概念組織銜接的方式，大部分 為恰當或有點恰當；從他們的後續回答中，可以看出教學者著重於利用銜接學 過的經驗、概念縱向與橫向延伸、重點歸納整理、具體操作的方式配合學生認 知理解，組織銜接數學概念。如:
「補充變化題，加深對課程的認知。」、「增加學生討論時間。」（TA3a）
「全等作圖與先前等線段作圖與等角作圖銜接」、「①中垂線性質運用可用 之前線對稱概念摺紙方式銜接②具體操作使學生先觀察再作抽象證明與應 用。」（TB3c）
「利用實物作延伸歸納整理」、「善用學習遷移」（Tc3c）
在觀察者方面，觀察者認為教學者使用了 2 個組織銜接的方式，大部分為 有點恰當，一個為有點不恰當；從他們的後續回答中，可以看出觀察者重視能 符合學習者能力的圖像解題、回顧解題歷程、銜接學過的經驗等方式，引導學 生組織銜接數學概念。如:
「函數與相異質因數個數聯結」、「①複合函數②再畫出文氏圖。」（OA01）
「在解題時，會代入函數對應關係圖」（OA02）
「可以先提供一些解題的關鍵概念並在解題後再次回顧想法和解題歷程。」
（OA03）
「建議可將尺規作圖部分做複習並做連結，並與之前得到的性質做結合」
（OB03）
「一律採用智慧片易類化銜接」、「前導架構及回顧 or 鷹架式的概念結構」
（Oc03）
「使用智慧片呈現具體物並加以延伸，再加以平面圖形表達」、「用概念圖 方式」（Oc02）
89
「讓學生上台畫展開圖」、「移動展開圖的某一部分以呈現不同的展開圖，
並提出不可能的展開圖供同學提問及思考」（Oc01）
很顯然，觀察者認為教學者在組織銜接數學概念的處理上還不夠良好。
學習者希望組織銜接的方式，因為班級活動的不同，一部分學習者認為利 用分組討論、解題、對抗的方式，讓學生印象深刻，而且在分組討論及競賽的 過程中，觸發學生數學思維，激盪組織與銜接的想法。另一部分學習者認為透 過實際模型、拼圖等教具具體操作加上圖形的講解，以學生可以理解、淺顯易 懂的方式，慢慢講解，可以做好數學概念的組織與銜接。如:
「分組討論」(SA3c11)、(SA3c29)、「討論」(SA3c06)、「分組」(SA3c16)
「分組解題」(SA3c01)、
「分組對抗」(SA3c24)、(SA3c28) 、「更多的競賽方式」(SA3c05) 、
「用教具」(SB3c11)、「道具、拼圖」(SC3c04) 、「實際操作」(SC3c15)、
(SC3c24)、「實物操作」(SC3c21)、
「圖解」(SB3c06)、(SB3c08)
「重複基本概念」(SB3c12)、
「淺顯易懂」(SB3c21)、
「圖形+式子+講解」(SC3c14)、
看得出來，學習者認為教學者可以透過討論、競賽、操作，配合學習者的 認知，利用圖形慢慢講解，就可以做好組織銜接數學概念的處理工作。
4. 例子安排
「例子安排恰當」這個向度共有三個指標項目，個別身份的感知情形如下 表所示：
90
表 4-3-4：課堂教學建議問卷之例子安排部分
班級別 A B C
教學單元
評估者 T S O T S O T S O 概念與例子搭配良好 1 0.78 0.33 1 1.00 1.00 1 1.00 1.00
恰當程度 4 3.71 3.00 2 3.81 3.33 2 4.00 3.33 類似題數量充分 1 0.81 0.67 0 0.86 0.33 0 0.92 0.33 恰當程度 4 3.76 3.50 3.75 3.00 3.97 2.00 例題出處多元 1 0.89 1.00 1 0.89 0.33 0 0.95 0.33 恰當程度 4 3.66 4.00 3 3.70 2.00 3.97 2.00
由表中可看出，3 位教學者中有 1 位認為自己的教學行表現恰當；1 位認為 一部分有點恰當，一部分沒做到；1 位認為自己的表現一部分有點不恰當，一 部分沒做到。教學者對於例子安排在教法上，利用圖形、具體化的呈現與搭配 學生學習能力，使用生活化、簡潔化的方式，來幫助學生理解數學概念。如:
「輔以圖形說明」、「鼓勵學生多發表意見，並澄清迷失概念。」（TA3a）、
「例 1 求等腰三角形的面積，例 2 求等腰三角形的腰高，例 3 求正三角形 的高及面積，例 4 求證等腰三角形兩腰的高相等。由一系列的例題可引導 學生理解應用學過的數學概念。」、「例子最好由淺入深」（TB3d）、
「水泥管、咖啡捲心餅」、「生活化切身相關」、「生活化、具體化、簡潔化」
（TC3d）
觀察者認為教學者有 1 位認為的教學行表現恰當；其他 2 位一部分有點恰 當，一部分有點不恰當。觀察者希望透過數學例子安排為工具，因此，工具必 須符合學生的學習能力，進一步將工具結構化，利用生活中的實例，由淺入深 的例子安排順序，逐步培養學生的數學能力。如:
「分數(成績)和座號的對應關係」（OA3d02）
「生活中相關的應用，如函數在生活中的意義與使用時機、地點。」、「可
91
以多出一些相對應的類似題」（OA3d03）
「在正式作圖前，可以先帶學生作草圖設計，再問學生哪個作圖較易處理。」
（OB3d01）
「1.生活化例子或與生活做結合 2.不同類型的例子 3.易錯誤類型的例子 4.比較類型的例子」、「1.可將所用到的概念或性質稍做複習並寫下 2.例子 處理時可應用不同顏色粉筆劃上，讓學生更清楚易看出需要用的性質」
（OB3d03）、
「正反兩面例子的同時呈現」、「更多元、或讓同學舉例」（Oc3d01）
「隨手杯」、「隨手可見的具體物」、「具體-概念應用」（OC3d02）
「拉鍊式的圓柱圓錐」、「生活-概念應用」（OC3d03）
學習者均認為三位教學者的教學行表現恰當。學習者則關注於例子的呈現 對於學習數學概念上的感受。有部分學生對於例子的呈現是否能夠對於數學概 念的理解和學習有幫助，特別在意。也就是說，所舉的例子是否有利於概念的 延伸、難題的解法或是觀念的歸納和整理等。如:
「歸納和整理」 (SA3d32)、
「補充融合題型」 (SA3d32)、
「多元題目」 (SA3d01)
另外一群學生則特別在意教師舉例方式和學習方式對於數學學習的影響。
例如:
「由淺入深」(SA3d27)、 (SC3d32)、
「分組討論」 (SC3d11)、
「分組」(SA3d01)、
「生活上的例子」(SC3d12)、(SC3d16)、(SC3d20)、(SC3d30) 「提供發問機會&討論時間」(SC3d11)、 「道具」 (SC3d35)、
「模型」 (SC3d21)。
92
也就是說，學習者在意的有兩部分，一部分的學生在意教材內容，另一部 分學生在意教學方法，值得教學者重視。
5. 數學解題
「以恰當的方式引領學生進行解題」這個向度共有六個指標項目，個別身 份的感知情形如下表所示：
表 4-3-5：課堂教學建議問卷之解題教學部分
班級別 A B C
教學單元
評估者 T S O T S O T S O 清楚布題 1 0.92 1.00 1 0.88 0.67 1 0.94 1.00
恰當程度 4 3.64 3.67 2 3.93 3.50 4 4.00 4.00 分析題意 1 0.94 1.00 1 0.94 1.00 1 1.00 1.00 恰當程度 4 3.76 4.00 4 3.81 3.00 3 4.00 3.33 分析解題思路 1 0.89 1.00 1 0.94 0.67 1 1.00 1.00 恰當程度 4 3.63 3.33 4 3.84 3.00 4 4.00 4.00 做題目間比較 0 0.81 0.33 1 0.91 0.33 1 0.97 0.67 恰當程度 3.48 4.00 3 3.83 4.00 3 4.00 3.00 多元方式解題 0 0.86 0.00 1 0.94 0.67 0 1.00 0.00
恰當程度 3.61 4 3.84 4.00 3.97 回顧解題 1 0.81 1.00 1 0.91 0.33 1 1.00 0.67
恰當程度 4 3.59 3.33 3 3.72 3.00 3 4.00 3.00
由表中可看出，教學者認為自己用了 4～5 個不同的解題策略，大部分為恰 當；從他們的後續回答中，可以看出教學者認為引領解題時應該要布題提問、
讓學生思考與比較、實物觀察、分組討論等方式，加深學生印象與對數學性質 與內容的了解。如:
「在證明等腰三角形兩底角相同，應用不同方式證明。」、「①不同的輔助
93
線作法，會使用不同的全等性質（全等證明）②提問怎麼證明，輔助線作 法有幾種?分別找出全等條件與性質，使學生逐步思考、比較。」（TB3e）
「討論式，前後左右互教」、「柱體表面積（重疊型）→實物觀察」（TC3e）
就觀察者而言，觀察者認為教學者用了 4～5 個不同的解題策略，大部分為 恰當；從他們的後續回答中，可以看出觀察者認為應該透過舉例、提問、分組 討論、操作、作圖、發表、善用譬喻等方式澄清學習者迷失概念，性質清楚之 後還能加以應用，而不是用強記的方法來記憶數學概念與性質。也就是希望學 生能夠達到關係性的理解，而不是工具性的理解，以加深學生印象，進而了解
就觀察者而言，觀察者認為教學者用了 4～5 個不同的解題策略，大部分為 恰當；從他們的後續回答中，可以看出觀察者認為應該透過舉例、提問、分組 討論、操作、作圖、發表、善用譬喻等方式澄清學習者迷失概念，性質清楚之 後還能加以應用，而不是用強記的方法來記憶數學概念與性質。也就是希望學 生能夠達到關係性的理解，而不是工具性的理解，以加深學生印象，進而了解