第二章 文獻探討
第二節 幼兒數學能力發展與評量
一、幼兒數學能力的定義與內涵
幼兒的數學能力乃為解決生活中實用問題而自然萌發，此一特性與人類 歷史中數學之所以被發明的現象是一樣的（周淑惠，1999）。數學能力含數 字和運算；樣式、函數、代數；幾何；測量；資料分析和機率；解題能力；
推理能力；連結發現幼兒在重複型式的認知概念優於增長能力；溝通能力；
表述能力（陳英娥、陳彥廷、柳嘉玲譯 Rosalind Charlesworth 著（2006）。
黎佳欣（2008）數能力包含正式數學能力與非正式數學能力。非正式數學能 力包括：唱數、數量與數字符號、記數、數字相對概念、基數、簡易的加減 法等。正式數學能力包含有：數字讀寫與符號的認識、運算表、直式加減、
十進位與位數概念等等。很多的研究也證實學前幼兒在未進入小學正式教育 前就擁有數學的計算解題能力或自行發明算數方法（周淑惠，1999）。Pollio 和 Whitacre(1970)認為，數數(counting)是最早出現的一種數字能力，且這項
能力可以用來預測兒童其他的數字能力(number skills)。Saxe 和 Kaplan(1981) 研究發現，手指點算策略隨幼兒年齡之發展而遞減。
Krutetskii(1976)從數學思考的基本特質中，提出九項數學能力的因子
（引自黃志賢，2003）：
（一）形成問題的能力
（二）一般化的能力
（三）以數字與文字符號運算的能力
（四）邏輯推理的能力
（五）簡捷思考的能力
（六）逆向思考的能力
（七）彈性思考的能力
（八）數學記憶的能力
（九）空間概念的能力
NAEP(1999)在 1996 年所進行的數學科評量中，將數學能力分為（引自 黃志賢，2003）：
（一）概念的瞭解
1.對於概念符號的正反例能加以辨識 2.能利用模型、圖形及符號來表示概念 3.辨識和應用原理原則
4.知道和應用事實與定義
5.能整合相關概念和原理原則，擴充原本的概念和原理原則 6.能辨識和應用符號表示概念
7.能詮釋概念間相關結論與關係
（二）程序性的知識
1.正確地選擇和應用程序
2.能對程序的運用加以說明及判斷其正確性 3.擴充或修正程序，以處理問題中原有的因素
（三）解題
1.在新的情境中能使用數學知識 2.能確認及明確地陳述問題
3.能運用策略、數據、模型及相關的數學 4.能創造與使用程序並予以發展和修正 5.能判斷解答的正確性與合理性
另包括三種數學力(Mathematical Power)：推理、連結及溝通。
教育部（2003）九年一貫課程綱要在數學領域期望學生達到的目標有：
（一）培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力
（二）學習應用問題的解題方法。
（三）奠定下一階段的數學基礎
（四）培養欣賞數學的態度及能力。
綜上所述，為了達成這些目標數學學習必須以生活為中心，配合各階段 學習者的身心發展歷程，提供適合學習者能力及興趣的學習方式。數學的學 習活動要能引發學習者討論、激盪各種想法，在社會互動中建構數學知識。
二、幼兒數學概念的發展與評量
數學的觀念如同概念網絡是連結於各個不同的學習領域，這些連結可以 幫助孩子全面性的學習，如科學中的測量工具的使用、預測、觀察紀錄表徵 符號的使用等等；歷史中的年代統計、圖表分析等。因此，早期教育工作者 在幼兒數學的學習上首要之務，即是提供給孩子主動學習的機會讓幼兒對數 學產生興趣。(詹勳國等人譯，Linda Pound 著，2003)。
關於幼兒數學概念的發展簡單的分成兩個主要學派：一是行為主義學 派，一是認知心理學派分述如下：
行為學派主要以桑代克（Edward L.Thorndike）、斯金納（B.F.Skinner）
和新行為學派的葛聶（Robert Gange）為代表人物。他們視數學為一組事實 和技能，數學學習的目的就是學會這些事實和技能。認為數學的知識必須透 過工作分析有系統、有組織、有順序的的教給孩子，並搭配外在增強物來控 制學習的進度。強調以教學者為主體，學習者是被動的吸收知識。主張數學 的學習必須靠不斷的練習、背誦強化聯結關係，不認為「理解」是必要的，
只要多練習就可以堆積概念（周淑惠，1999）。
認知心理學派主要代表人物就是皮亞傑，此外還有追隨皮亞傑的卡密
（Constance Kamii）等人。他們認為數學是一組關係，這種關係必須由學習 者自己內在的心靈去創造，因此在教學上強調的是理解。他們認為孩子的學
習過程重於學習結果的獲得（周淑惠，1999）。幼兒藉由與環境的互動來建 構知識，是主動的學習者而非被動的吸收者。以認知心心理學派為理論依據 的就是建構主義，陳英娥等人（2006）皮亞傑的數學知識分成三大類：
（一）物理知識：
認識物體和特徵（顏色、重量、大小、材質、和其他透過觀察可以得知 的物品本身的特性。）
（二）邏輯數學知識：
運用個體構造的關係（異同、多與少、數字、分類等等）來探知世界並 整理所得到的資訊。
（三）社會知識：
人類所制定的知識內容，例如：聖誕節是每年的 12 月 25 日；握手時伸 出右手等。
根據 Piaget 認知發展階段理論，處於「運思前期」約二至七歲的幼兒能 對簡單的文字、數字和圖形產生學習與發展，並利用這些較為抽象的符號去 從事思考活動，但需透過具體實物操作來促成 (Piaget & Inhelder, 1969)。
陳英娥等人譯 Rosalind Charlesworth 著（2006）幼兒時期是人類積極學習基 本概念與過程技能(process skills)的時期。概念是又許多知識區塊建構而來，
人們運用這些習得的概念來解決生活中所面臨到的問題及組織分類所得到 的資訊。幼兒在學前階段已經開始建構概念，並學習運用這些概念並延伸出 新的概念。
在認知心理學派之還有一宗主要人物就是維高斯基，最廣為人知的就是
「鷹架理論」。他和皮亞傑都是研究認知發展的學者，不同於皮亞傑的理論 是—維高斯基認為發展同時受到學習者本身和所處環境的力量。不同於皮亞 傑認為幼兒完全靠自己的探索和獨立建構知識來發展智能，維高斯基則提出 最近發展區來探討幼兒的認知發展。（陳英娥等人，2006）
Rosalind Charlesworth（2006）NAEYC 針對數學和科學教育領域
（Bredekamp &Copple.1997;Bredekamp.1987）認為三歲的幼兒是透過物體的 接觸學習數學，比如說積木、水、沙子；四歲到五歲的幼兒玩扮家家酒、透 過觀察周遭的環境變化、工具的使用、分類、探索動植物和機械；五歲～八 歲適合從事探索、發現和解決問題中學習。
Rosalind Charlesworth（2006）陳英娥等人譯，將孩子從出生到小學階 段的數學概念發展做了以下的整理（如表 2-1~2-3）：
表 2-1 Rosalind Charlesworth（2006）出生到小學階段的數學概念發展 概念與技能：數學理解的起點
（informal measurement）:
重量、長度、溫 度、體積、時間、
數列
數字表徵
（Number symbols）配對 與表徵（Sets and symbols）
轉換期
（5~7 歲）
運用圖表解釋資 料
具體加減運算
（concrete addition and subtraction）
具體運思期
表 2-2 從皮亞傑的認知理論看幼兒學齡前的數概念發展：
年齡 發展內容
2~7（前運思期）（準備運 思期）
1.開始發展像成人的概念
2.能說出表達概念的字眼如：大小、輕重、形狀、時 間（早晚）
3.從遊戲扮演中瞭解符號的功用，有助於日後瞭解抽 象符號，如數字、量詞、文字、字母
4.發展特徵：自我中心
5.保留概念：能在腦中記住原本的形狀且可以還原物 品原來的樣子的能力，稱為「保留」，缺乏保留能力 是前運思其幼兒的一項重要特徵，這個階段所使用 的計數、一對一、形狀、空間和比較的概念，可逐 步發展成「保留」的概念（5 歲有質量保留概念、六 歲有重量保留概念、七歲才有容量保留概念。（王珮 玲,1998）
6.此階段亦發展排序、分類
表 2-3 從嬰幼兒動作發展評量檢核表（1993）中看數概念的項目（王珮玲,1998）
三歲
1.會表示數字一或二的概念嗎？例如能夠選擇一個 或二個物體，能說出一個或兩個東西等。
2.能依「「放---在盒子內」「把---從盒子裡拿出來做反 應嗎？」
3.能照指示做正確選擇嗎？例如：大或小，一或二
四歲
1.會配對六種顏色嗎？
2.會由一數到五嗎？
3.會針對「放在旁邊」「放在下面」做正確反應嗎？
五歲
1.會指出並說出三種形狀嗎？
2.能表示數字一到四或五的概念嗎？
3.能正確指出一分、五分及一角的硬幣嗎？
4.能用過去式和未來式做說明嗎？
六歲 1.會根據物品的顏色、形狀或功能等性質的一種或一
種以上做區分嗎？
2.會計數到十嗎？知道十以後的數字嗎？
3.有時間和日常作息的觀念嗎？
綜合以上所論得知，幼兒數概念的發展依序是數與量，其次是幾何圖形 最後才是空間、時間等，而對幼兒來說，學習必須透過具體操作，在操作中 建構數學概念。Bredekamp(1987)數學計畫的目標在是孩子透過探索、發現 和解決有意義的問題等活動去運用數學。要獲得數學技巧必須參考孩子自發 的遊戲、計畫與日常生活情境，並且由老師自編教材來引導結構化的學習引 出一些有趣的數學思考（引自詹勳國等人譯 Linda Pound 著，2003）。
三、幼兒數學概念發展之相關研究
國內特別針對幼兒數概念能力和發展特性的研究及描述較少，且多限於 幼兒學習成果的描述。
簡楚瑛（1993）針對幼兒數概念的發展做了文獻探討的研究將國內外的 相關文獻作分析比較後得到以下的結論，認為幼兒在數學概念上的發展如 下：
（一）數概念的發展
1.以發展順序來看依序為唱數→計數→基數→序數。
2.唱數方面：2～3 歲的幼兒可以數 1~2；四歲到四歲半的幼兒以能從 1 數到 39；二歲到六歲間的幼兒有很大的差異，但多數在六歲時都能從 1 數到 100。
3.對應概念：大約三～五歲間幼兒可以發展出一一對應的概念。
4.次序無關原則：大約四～五歲間，幼兒在計數上可以發展出次序無關 原則
5.基數：大約四歲八個月左右～五歲間幼兒可以發展出基數概念。
6.數字序列、大小比較：大約在三歲～六歲大的幼兒，可以發展出數字
6.數字序列、大小比較：大約在三歲～六歲大的幼兒，可以發展出數字