數學學習心理學理論

第二章文獻探討

第四節數學學習心理學理論

學習是以學童為主體的，教學者想要成功的幫助學童得到真正的理解，做有意義的學習，就必須以學童的角度來看待「學習」這件事。雖然目前數學教育改革如火如荼的進行，教師和家長卻是以成人的數學思考方式去教導學童學習數學，造成學童無法輕鬆的接受數學知識，所以就記憶數學概念、背誦數學算則（不是真正的、理解的學習）。學童不能理解數學在教什麼，而教師或是家長又誤認為是學童努力得不夠，要求他們不停地反覆練習、計算出正確答案，必然將這些焦慮不安的孩子推入更大的危機（ Whitney， 1985， P123）。因此數學教育若要成功實行，必須深入瞭解學童智慧思考的特質，掌握學童數學學習的特性。以下便對學童智慧思考的特質、真正理解的學習、數學概念的學習，分述如下：

一、學童智慧思考的特質

為下一階段作準備。每一個發展階段為一種獨立結構，性質不同，發展的起點是認知之ㄧ種結構，終點卻為另一種認知結構。例如：由「整數加法」發展而來的「整數乘法」，學習的終點是可以達到「分數乘法」概念。各個發展階段是連續不斷的，其轉變是長時漸進的。每個階段均環環相扣，不可分割、截斷，此與數學的特性有異曲同工之妙（謝淡宜， 1990 ）。例如：小學二年級的學童，可以用 2×3 ＝ 6 來代表 2 枝鉛筆加上 2 枝鉛筆再加上 2 枝鉛筆等於 6 枝鉛筆，表示學童可以經由經驗、察覺 2 的乘法，理解、建立 2 的乘法規則，甚至可以推理到 3 的乘法等等，當然要進入此一階段之前，學童必須要具備整數加法的認知結構，且也為下一階段的分數乘法奠定了基礎（可以學習轉移到分數乘以整數，陳小玲， 2006）。

二、真正理解的學習

Skemp(1987)認為理解可以分為四種：第一是機械式的理解，知其然但是不知其所以然；第二是因果式的理解，知其然又知其所以然；第三是邏輯式的理解，會作邏輯、推演的說明；第四是符號式的理解，能運用符號以解決問題（符號理解常隱藏於邏輯理解內，此二種理解在小學階段較少被提及）。學童在接觸一個新概念時，常常會有所疑惑，當解釋的理由觸及到個人已有認知或是經驗時，學童會有「原來如此」、「喔！我懂了！」的感受，才是真正的理解，也就是有了因果式的理解。由此可知，學童豐富的舊有認知結構是促進學童真正理解的重要關鍵。這和後設認知教學重視學童舊有認知的理由是一樣的。

Skemp(1987)認為學童能真正理解學到的知識必是植基於他內在已有的心靈影像 (schema)。光是靠記憶來學習新的東西，會讓學童學習的負擔愈來愈重，到最後不能負荷，而無法進展去學習更新更多的知識（所以應該避免機械式的理解）。藉著心靈影像，學童只要調適舊有認知無法同化的部分即可，大大減少這個負擔。第一次接觸海水的小孩，一定會在腦海中湧起在浴缸中洗澡時關於「水」的心靈影像，他會想起「水」是無法用手抓起來的、是可以激起水花的、是透明無色的等等（也就是 Piaget 說的同化部分）。接著他只要嘗過海水的味道是鹹鹹的，就能了解浴缸裡的水和海水不同的部份是味道鹹鹹的（也就是 Piaget 說的調適）。這樣子的學習方式就能讓孩子認識海水了，而且這樣的方式更貼近孩子的學習本

性、更簡單易懂。 Skemp 在 1985 年曾實驗證實學童先前學習所建立的心靈影像，對往後學習的難易度有決定性的影響。也就是說在獲取新知識時，我們幾乎都會依賴一些已經學過的東西做基礎。所以鼓勵學童達到因果式的理解，就能如同滾雪球般的創造豐富心靈影像，才能為將來邏輯與符號理解的學習奠定更好的基礎。

黃敏晃教授主張心靈影像的學習是同化，但新教材的學習必有適應行為（調適）產生。真正成功有效的調適不是完全推翻原先的心靈影像，而是溶入新的心靈影像之中，把新經驗同化入已有的心靈影像之中，不僅學習負擔減少了，也可以產生成就感，使學童樂於接受。這樣心靈影像的學習有四項特徵：第一是更貼近人類學習的本性，使學童可以輕鬆學習；第二是具有統合先前概念的功用，為更有效的學習方式；第三則是現在新建立的心靈影像為將來的學習準備了一套心智工具，奠定未來學習的基礎；第四是將來學習使用到這套心智工具時等於是把早先學到的心靈影像再整理鞏固了一次。這也是心靈影像學習優於反覆記憶學習的原因。

不過心靈影像的學習也會有幾個可能的缺點，首先是心靈影像式學習可能要花較多時間，第二個可能缺點是心靈影像式學習顧此失彼 (Skemp ， 1987)。研究者認為這二個缺點可以藉著教學者後設認知的教學活動而改進。首先是心靈影像的建立是需要花較多的時間，學童在學習過程中一定接受過不少的概念，這些已有的認知可能在學童腦海中雜亂的儲存著，若要靠著學童自己提取相關的舊有認知來建立新知識，必定是花費不少時間嘗試失敗和挫折，才能成功的，教學者若是可以省思自己的教學知識，包含對學童先前概念的了解以及對數學概念的了解，就能幫助學童有效率的找尋相關認知，以進行新問題的解決。其次是心靈影像的學習容易顧此失彼，對任何已有的心靈影像來說，合乎它的新經驗在當時一定是印象最深刻的，學童也容易因滿足新問題的解決而喪失學習其他的學習內容之動機，教學者如果可以激勵班級學童討論的風氣，鼓勵班級學童分享解題的過程，造成合作學習，學童就能以更多元的角度去提取舊有認知以面對新問題，造成學童的解題多元化，靈活地統整、連結各種舊認知來進行解題。

三、數學概念的學習

概念是處理資料的依據，讓我們把新情況套入舊經驗之中（也就是同化與調適），找出共通相似性，做出適當反應 (Skemp， 1987)。我們日常生活的知識通常由環境學來的，其中牽涉到的概念不會太過抽象。但是數學概念的學習因過於抽象和一般化，且數學知識的高低階段概念環環相扣比一般知識更明顯，故比一般概念的學習困難些也更重要些。於是以舊有認知為學習基礎的後設認知之學習方式，就更能顯示出學童學習的成效。

我們都明白學習數學需要的是數學想法的溝通，並非是數學想法的堆砌，這道理看似簡單明瞭，但是應用在數學教學上就要動動腦筋來實行了。數學概念學習的問題出在過於抽象和一般化， Skemp(1987)主張在數學教學上就必要把握幾個原則： (1)超過個人已有概念階段的高階概念不能用定義方式來溝通，只能搜集有關的例子供其經驗，再靠他自己抽象以形成概念。 (2)在數學中，有關的例子多少又含有其他概念，我們在提供例子時必須確定學生已經形成這些預先概念。許多數學教材常常以定義方式引入新的話題，而非先提出例子讓學童進行抽象化 (abstracting) 。對教學者而言（他早就學過這些概念了），這或許是最簡潔、最精確的方式，但對學童而言，卻是遙不可及、陌生的想法，就像翻閱一本超過你數學能力的數學書，不要看例子、不要看介紹，直接看一個定義，你會有興趣學習嗎？對那個定義牽涉到的概念了解多少？對定義的記憶又能維持多長的時間？如果不看書本，直接做練習題，又能答對多少？就能體會學童直接由定義來學習數學概念的感覺了。所以教學者應以同理心，站在學習者的立場，提供學童更多的情境、訊息，以喚醒學童的心靈影像，讓學童可以理解、歸納出數學的原理與原則。而且這樣歸納式的學習，遠比演繹式的學習更有效果。

好的教學者會選擇恰當的例子來說明定義、引出定義，這些恰當的例子必須具備我們想要傳達的概念通性，且是學童所熟悉的例子，但不要牽涉太多其他干擾的概念。也就是說，在教新概念時教學者設計幾個複習問題是很有用的，讓學童可以自行回顧、複習相關的先前概念，使學習者扮演一個積極學習的角色，為了需要而自動回顧以往的概念比教師命令更有效，而且成功解決新問題的成就感也會讓學童更樂於學習數學。稍後概念建構得較堅固時，教學者可以使用高干擾的較難例子，使學童脫離對教師

的依賴，獨立抽象出所學的概念性質。這樣的抽象化過程對學習者才具有實質的意義，而不只是在堆砌數學知識而已。

四、小結

研究者認為，想要讓學童理解數學在教什麼，就必須明白學童智慧思考的特質、掌握學童先前概念的建立，充分利用其心靈影像，引導學童做有意義的數學概念之學習。換言之，教學者要先了解各時期學童的認知結構有何特質，分析新概念與學童已經具備的先前概念之脈絡，喚醒學童相關的舊認知，也必須提供正確、相關的例題，讓學童體會、經驗，利用例子把新經驗同化至已有的心靈影像之中，讓學童可以自己抽象出新概念的性質，成功的建構新概念。所以數學教師有以下四方面的責任：第一是教師必須依照學童已有的認知結構去選擇（或設計）適當的敎材；第二是教師提供教材的方式必須和學童思考的方式相符合（包括直覺推理、抽象推

在文檔中資訊融入與合作學習在國小分數除法教學應用之成效研究 (頁 59-64)

數學學 習心 理學 理論

第二章 文獻探 討

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