數感之組成成份

國內外學者對於數感的組成成份，各有不同的論述，研究者針對國內外幾個 較具代表的理論進行整理，分別說明如下：

壹、楊德清(2002，2003)

將數字常識的組成成份定義如下：

一、瞭解數字的基本意義與關係的能力

理解數字系統（整數、分數、小數），它所代表的意義以及它的結構關係，

包括十進位系統、數字型態、與位值觀念。

二、認知數字相對大小的能力

能夠比較數字（包含整數、分數、與小數）之大小，例如，知道 3 2大於

2 1，；

能夠判斷兩個數字之中哪一個較接近第三個數字，例如，知道 2

1較接近

10 3 或

4 3； 有能力去排序數字，能夠由小至大依序排列 0.4899，54 ，158 ，1819 ，0.91；

以及知道兩個數字之間有無限多的分數或小數存在。

三、瞭解運算對數字影響之能力

瞭解運算在不同的數字系統下(包括整數與有理數)，以及不同情境下所產生 之影響。例如，兒童應該可以瞭解，當兩個數字相加時，如果每一個數字都超過 50，那麼這兩數的和一定會比 100 大。

四、發展並靈活運用參考點的能力

參考點(benchmark)乃是指個人在解決問題時可作為依賴的心理指標。例如，

以 1 為參考點，知道 12

11小於 1 但是很接近 1；或要求學生估計全校的人數時，兒 童能夠發展適當的參考點，如以本班人數或年級人數為參考點，進而求出全校學 生的人數。

五、發展不同的估算策略與判斷答案合理性的能力

學習數學的主要目的之一乃在解決問題，因此，在不同的情境下，必頇決定

問題情境需要的是正確的或者是大概的答案，並據以選擇適當的計算工具（如估 算或心算），以有效的解決問題，同時能夠檢驗運算結果的合理性。

貳、美國國家數學教師協會(1989)

美國國家數學教師協會(NCTM, 1989)在其所出版的「學校數學課程與評量標 準」中指出，數感是一種對數字的直覺（intuition），數感包含了五個成份：

一、對於數字的意義有良好的理解。

二、能發展數字多重表徵的關係。

三、能理解數字的大小關係。

四、能發展有關數字運算結果的直覺。

五、能夠發展測量普通物體的參照標準。

叄、Resnick (1989)

認為數感是一種較高層次的思考歷程(higher order thinking)，他列出數感有下 列幾項特徵：

一、數感是非算則式的(nonalgorithmic)。

二、數感的表現方式較複雜。

三、數感的解題方式非單一，經常會產生多樣化的解題方式。

四、數感是一種細微差異的判斷和解釋(nuanced judgment and interpretation)。

五、數感是多重標準(multiple criteria)的應用。

六、數感存在著不確定性。

七、數感是一種思考歷程中的自我調整(self-regulation)。

八、數感是一種將數字意義化的過程。

九、數感可藉由努力而獲得。

肆、Mclntosh, Reys & Reys (1992)

認為數感在數的概念、數字的運算、以及數字的運算和應用三個領域中扮演 著關鍵性角色，並將數感的組成元素大致分成六項：

一、能瞭解和使用數字的意義和大小。

二、能瞭解和使用等式和數字的多重表徵方式。

三、能瞭解運算的意義以及運算對數字的影響。

四、能瞭解和使用數的等值表示方式。

五、能發展和善用計算和計數的策略，如心算或估算等方式。

六、能善用參考點，以便於心算或估算的進行。

綜合以上各專家學者對數感組成成份的看法，本研究主要是採用學者楊德清 的說法，同時考量台灣學生之文化背景，將本研究所欲探討之數感能力界定為五 個向度，包括：瞭解數的基本意義、比較數字大小的能力、瞭解數字運算的結果、

能進行估算並判斷其合理性以及數的合成與分解。分別詳述如下：

一、瞭解數的基本意義

數字常識最重要的尌是要瞭解數字的基本意義，包含理解數字系統中整數、

分數和小數所代表的意義及其之間的關係，包括十進位之系統、數字型態與位值 觀念 (楊德清，2003，2005)。Bednarz & Janvier (1988)認為，由於大部份的兒童 視數字(number)只是一群按照順序排列的數(digits)而已，對於數字所代表的意義 並未真正的理解，而對於位值的瞭解是運算的先決條件，也是兒童發展數字概念 的重要課題。因此，教師有必要先加強學童對於數字位值的瞭解，才能有效發展 學生的數感。Mclntosh, Reys & Reys (1992)也曾說到，能彈性的運用數字，是發 展數感能力的基礎。

二、比較數字大小的能力

在比較數字大小時，要先瞭解數字的相對大小與絶對大小(林宜蒨，2002)。

Markovits & Sowder (1994)認為，瞭解數字大小的能力應該包括：比較數字的大 小、辦別兩個數字中誰較接近第三個數字、排序數字、以及去發現和辦別兩個數 字之間的其它數字。數的相對大小和數的位值有密切的關係，所指的是對於數字 的大小比較以及排序。例如，能夠瞭解

2 1比

3

1大；5.6 比 5.498 大；知道 3 2比

4 1 更

接近 1；50×15 比 50×14 大；知道 0.5、1.1 和 3

1由小到大的排順序為 3

1，0.5，1.1。

另外，關於數字的絶對大小通常指對大數(large number)的瞭解(許清陽，2001)。

在比較數字絶對大小時，對於所表示的量要能作合理的判斷，而且要將數字加以 意義化，才有辦法來進行數字大小的比較。例如，能理解學校禮堂不可能容納 10 萬人；單手不可能握住 300 枝筆；一個人的身高不可能長到 300 公分。

三、瞭解數字運算的結果

對於運算的理解牽涉到有關兩個數字間運算之影響的洞察力(insight)和直觀 力(intuition)，瞭解數字在不同運算下所產生的不同結果，同時能瞭解數字經過轉 換後，數與數之間依然保持固定的關係，必要時亦會善用補償(compensate)的方 式，使其在運算後仍有相同的結果(Behr, 1989；NCTM, 1989)。例如，利用 525

－140＝385 這個算式，得知 515－130 的答案也是 385；要計算 12.3÷4.24，可以 先將算式同乘以 100，即 1230÷424，再來計算會更容易。Markovits & Sowder (1994) 在一個以發展七年級學生數感能力的教學研究中，將教學的重點放在提供學生探 索數與數之間關係的機會，在運算方面，讓學生能利用這個機會，自己發現數與 數之間的規則，也能發展出彈性的解題策略以及多種不同運算的方式。當學生面 臨有關數字的情境時，知道如何運用加減乘除法去解決問題，同時知道自己現在 在算什麼，也知道自己為什麼這樣做。在處理和數字有關的運算時，能瞭解數字 和運算結果之間的關係，例如，將兩個超過 50 的數字相加，其結果一定大於 100(楊 德清，2000，2003)。

四、能進行估算並判斷其合理性

所謂的「能進行估算並判斷其合理性」，指的是能根據問題需要，選擇適當的 計算方法以解決問題，同時有能力檢驗答案的合理性。Greeno (1989)認為，估算 能力和數感能力之間有極大的相關，同時估算和數量的判斷和推論有關。Reys 等 (1991) 表 示 ， 估 算 是 一 種 複 雜 的 心 智 活 動 ， 估 算 的 過 程 包 括 ： 重 組 (reformulation)、轉換(translation)和補償(compensation)。估算能力和數學思考之間 有很高的相關 (Rey, 1985)。林素微(2002)表示，學習數學的目的之一在於解決問 題，必頇決定問題情境需要的是精確的或是大概的答案，並據此來選擇適當的計

算工具(估算或心算)，以有效的解決問題，同時能夠檢驗運算結果的合理性。支 毅君(1996)認為，估算是一種直覺的利用經驗來求取合理答案的技巧，不需要靠 紙算計算，尌能合理推算出最接近答案的特性。例如，一個 10 歲的兒童，如果 現在的身高是 130 公分，那麼他在 20 歲時身高有可能是 170 公分，不可能是 130

×2＝260，等於 260 公分。

五、數的合成與分解

在 Markovits & Sowder (1994)的研究中，長期結合心算教學，將焦點置於數 的位值概念、數的合成與分解、創造適當的規則系統和後設認知技能，希望學童 在計算前能綜觀全題，決定出有效又簡易的計算方法。Greeno (1989, 1991)曾提 到，數感的領域包含了數與量，具有數感的人能知道所處的環境中，哪裡有可以 輕易得到可用的資源，同時具有「等值」(equivalence)的認知概念，也會善用合 成與分解和其它操作方式去轉換問題的型式，來解決日常生活中有關數與量的問 題。Mclntosh 等人(1992)認為，數字可以用多種不同的表徵方式呈現（包括符號 或圖像），也可以透過數的「等值概念」，對其進行數字的合成與分解，以利於運 算。例如，要計算「25×16」時可以先把 16 想成「4×4」，再代入原式「25×4×4」，

再將其組合成「100×4」；要計算 198×5 時，可以把它想成是(200－2)×5＝200×5

－2×5＝1000－10＝990。因此，當個人在面臨有關數字的情境時，如果能靈活的 運用數的合成與分解的方法幫助運算，不但能夠輕易又快速的計算出答案而且不 容易出錯。由此可知，數的合成與分解能力與數感能力之間有極大的相關。