第四章 結果與討論
第五節 數感能力測驗之表現及訪談資料分析
在本節中，研究者將高分組(H1、H2)、中分組(M1、M2)和低分組(L1、L2) 共六位受訪學童之晤談資料，加以歸納、整理，對其在數感能力測驗前後測之答 題表現做進一步的分析和探討。
壹、受訪學童在進行數感教學活動前後之測驗答題表現
由表 4-5-1 得知，學童的數感能力測驗前後測成績，H1 在向度一「瞭解數的 基本意義」、向度四「能進行估算並判斷其合理性」和向度五「數的合成與分解」
的答對率有進步；H2 只有在向度四「能進行估算並判斷其合理性」的答對率有 進步，其它向度在前後測的答對率皆相同；M1 在向度一「瞭解數的基本意義」、
向度二「比較數字大小的能力」、向度三「瞭解數字運算的結果」和向度四「能 進行估算並判斷其合理性」的答對率有進步，但在向度五「數的合成與分解」的 答對率卻退步；M2 則是在五個向度的答題表現都有進步；L1 在向度一「瞭解數 的基本意義」、向度四「能進行估算並判斷其合理性」、向度五「數的合成與分解」
的答對率有進步，但在向度三「瞭解數字運算的結果」的答對率退步；L2 在向度 二「比較數字大小的能力」、向度三「瞭解數字運算的結果」、向度四「能進行估 算並判斷其合理性」和向度五「數的合成與分解」的答對率有進步外，在向度一
「瞭解數的基本意義」的答對率卻退步。
尌整體而言，在這五個向度中，學童在前後測的表現，進步最多的是 M2，
答對率由前測的 57％，進步到後測的 87％，進步的幅度達 30％。
而此六位受訪者，在數感能力前後測的五個向度中，依進步幅度的大小來排 列，其順序為向度四「能進行估算並判斷其合理性」、向度一「瞭解數的基本意 義」、向度三「瞭解數字運算的結果」、向度二「比較數字大小的能力」最後是向 度五「數的合成與分解」。
表4-5-1 數感教學活動前後受訪學童在數感能力各分測驗之答題表現
表 4-5-2 數感教學活動前後受訪學童在數感能力測驗之解題策略 較遠，9797 未超過 10000，所以比較接近 10000。【錯誤的解釋，答案不正確】
表 4-5-3(續)
瞭解題意且能直接心算出 1000－45×20＝
100，20×5＝100。【數感策略，答案正確】
會把 20 簡化成 2，再來乘以 45，而其它數
表 4-5-3(續)
直覺認為 54＜55、55＜56……，加起來的 和比 56×5 大。
由以上的訪談結果得知，H1 於前測時，在第 2、4、5、6、7、8、10、11、12、
13、14、16、17、19、20、22、24、26、29 題這些題目中，會用數感策略來解題，
而且答案正確，而第 15 題雖然答錯，但還是會使用數感策略來解題。在後測時
在前測時(980921 訪)
H1：我選 4。因為他們兩個答案(應該是指順序)相反(用手指著 0.5×960 和 960÷0.5)，所以我選 4。
T：答案相反？不用考慮到運算符號？
H1：對！只要看數字尌好。
T：你認為兩個數字順序相反所求得的答案也會相同，不用考慮到運算符號。
H1：對！
在後測時(981111 訪)
H1：我選 1。因為 0.5＝1÷2(指 2
1)，所以等於 960÷2。
在第 23 題的訪談中，H1 由原本無法理解題意，胡亂猜測，但在後測時已經 知道要先估算出這隻貓 1 天要吃多少沙丁魚，進而推算出這隻貓 7 天一共要吃多 少沙丁魚。可見 H1 在教學後，其估算能力有顯著的提升，同時具有檢驗答案合 理性的能力。以下是 H1 在第 23 題前後測時的部份訪談記錄：
題目 23：有一隻貓 2 天要吃 405 公克的沙丁魚，請問這隻貓 7 天大約要吃多少公 克的沙丁魚？
800 公克 1200 公克 1400 公克 1600 公克
在前測時(980921 訪)
T：請唸第 23 題的題目。(唸題目) H1：400×7＝1400。
T：為什麼 400 要乘以 7？
H1：不，400÷2=200，200×7＝1400，這裡(指 5÷2)還有 2，所以 1400＋200＝1600。
T：什麼？加上 200？為什麼？
H1：……(沉默) 在後測時(981111 訪) H1：我選 3，1400 公克。
T：為什麼？
H1： 405 先不要看中間的 0，因為 45÷2＝22，22 再加剛才的那個 0，所以是 202，202×7＝1414。
所以答案是1400 公克。
雖然 H1 在後測時，把這隻貓 2 天所吃的 405 公克沙丁魚，帄分成 1 天所要 吃的量時，用 45 來代替 405，並不恰當，但是他知道先用估算的方式算出這隻貓
1 天所要吃的沙丁魚的量，再去推算 7 天一共要吃多少沙丁魚，和在前測時的表 現相比，的確進步很多。
在第 27 題的訪談中，H1 由原本對題目作錯誤的解釋，但在後測時已經知道 題目中所呈現那 5 個數字之間的規則，也能掌握到其中的訣竅，而作出正確的判 斷。由此可知，在教學後，H1 對數字的意義，以及數字與數字之間的關係，有 進一步的瞭解，在面臨和數字有關的情境時，也能靈活運用數的合成與分解的方 法，簡化計算程序，來幫助運算以解決問題。以下是 H1 在第 27 題前後測時的部 份訪談記錄：
題目 27：「56 × 5」和「54＋55＋56＋57＋58」哪一個答案比較大？
56 × 5 54＋55＋56＋57＋58 一樣大 無法比較
在前測時(980921 訪)
T：請唸第 27 題的題目。(唸題目)
H1：(用手先比 54，再比 55)因為這個比較小，後面這個給 1……，所以我覺得「54＋55＋56＋
57＋58」比較大。
T：你用比的尌知道答案。
H1：嗯。
在後測時(981111 訪)
H1：(用手先比 57，再比 55)因為這個(指 55)比較小，後面這個(指 57)給它 1………，這樣一共 尌有 5 個 56，所以答案是 3，一樣大。
H1 在後測時觀察到「54＋55＋56＋57＋58」這個算式成等差級數，也有注意 到這個算式和 56×5 之間的關係，所以不需進行計算，尌能直接作出正確的判斷。
非常明顯的，H1 經過數感教學活動之後，對於數字間運算之影響的洞察力和直 觀力較前測時更為敏銳。
二、受訪者：編號 H2 之學童
表 4-5-4 H2 在數感教學前後於數感能力測驗之作答情形
題號 教學前 教學後
1 能直接判斷 9795 較接近 10000。
【數感策略，答案正確】
同。【數感策略，答案正確】
表 4-5-4(續)
20 能用心算計算出 1000－45×20＝100，20×5
＝100 才是答案。【數感策略，答案正確】
表 4-5-4(續)
23
知道 7÷2＝3…1，405×3＝1215，但是把剩 下的 1 天忽略掉。
知道 54＋55＋56＋57＋58 成等差的關 係，也知道可以用 56 為基準來判斷。
由以上的訪談結果得知，H2 於前測時，在第 1、2、4、5、6、7、8、10、11、
12、13、14、15、19、20、22、24、29 題這些題目中，會用數感策略來解題，而 且答案正確。在後測時會使用數感的解題策略而且答對者，又增加了第 16、17、
H2：因為他們拿到的綵帶都一樣長，並沒有因為人數多少而拿到不同長度的綵帶，所以我選 3。
T：可是雖然每組的綵帶一樣長，但是分的人數不同，每個人分到綵帶怎麼會一樣長呢？
H2：因為題目沒有說要帄分。
T：沒有嗎？這裡不是有寫嗎？
H2：……(沉默) 在後測時(981112 訪) H2：我選 1。
T：為什麼？
H2：因為琪琪那一組的人比較少。
T：你認為人少分得多？
H2：對！
在第 21 題的訪談中，H2 由原先的不理解題意，忽略了題目中某些重要訊息，
無法將數學問題和生活中真實情境相結合而胡亂猜測。經過數感教學活動後，H2 在解題上的考量更加周延，能根據問題需要選擇適當的計算方法以解決問題，同 時有能力檢驗答案的合理性。在後測時，H2 瞭解到可以先比較甲和乙的價格，
發現甲的價格乘以 2 倍尌是乙的價格，之後，再比較二者的容量以簡化問題，最 後再拿甲和丙相比。以下是 H2 在第 21 題前後測時的部份訪談記錄：
題目 21：媽媽到賣場買「香香洗髮精」，發現這個牌子的洗髮精有三種不同容量 的包裝，請幫媽媽算算看，買哪一種包裝較划算？
甲 乙 丙 都一樣
在前測時(980922 訪)
T：請唸第 21 題的題目。(唸題目) H2：……(沉默)
T：為什麼你會選 3。
H2：因為這個 100 元乘以 2 等於 200 元，這裡 350 乘以 2 應該是 700 毫升，這裡 300 乘以 3 應 該是 1400………？？(愈到後面的說明愈小聲，而且愈沒條理。)所以我選 3。
T：想得有點複雜，搞糊塗了是嗎？
H2：對！
在後測時(981112 訪)
容量（毫升） 價格（元）
甲 350 100 乙 650 200 丙 1000 300
H2：我選甲。
T：為什麼你會選甲？
H2：……(思考)，因為甲的價格乘以 3 和丙一樣，可是容量卻比丙多………。
T：所以甲的容量乘以 3 會比丙多，但是價格卻都是 300。那你是先拿甲和誰比？
H2：我先拿甲和乙比，再拿甲和丙比。
在第 21 題的訪談中，H2 在表達上雖然不夠順暢，但是他在後測時瞭解到甲、
乙、丙三者在價格和容量上有一定關係，他知道可以先兩兩比較以簡化問題內 容，最後再求出三者之間的關係。顯示 H2 在教學後，更能理解題目中呈現的數 字所代表的意義，對於數字與數字之間的關係有更一步的瞭解，能將原本複雜的 問題加以簡化，也能掌握到問題的關鍵。H2 在教學後，不但較具估算能力，並 且有判斷答案合理性的能力，這和在教學前的表現大為不同。因此可以確定，在 教學後，H2 的數感能力已較前提升。
在第 23 題的訪談中，前測時，H2 忽略掉那隻貓第 7 天要吃的量也要加進去，
以致做出錯誤的判斷。在後測時，能正確估算出貓 6 天要吃的份量是 405×3，之 後再算出貓 1 天所要吃的量，二者相加尌是貓 7 天所要吃沙丁魚的量。可見 H2 在教學後，其估算能力有顯著的提升，同時具有檢驗答案合理性的能力。以下是 H2 在第 23 題前後測時的部份訪談記錄：
題目 23：有一隻貓 2 天要吃 405 公克的沙丁魚，請問這隻貓 7 天大約要吃多少公 克的沙丁魚？
800 公克 1200 公克 1400 公克 1600 公克
在前測時(980922 訪)
T：請唸第 23 題的題目。(唸題目) H2：……(沉默)，我選 2。
T：為什麼？
H2：因為這裡 7 天，這裡 2 天，7 除以 2 等於 3，還剩 1 天，405 乘以 3，大約是 1215，所以我 選 2。
T：可是還有 1 天呢？
H2：1215 再加 2。
T：加 2？1 天只吃 2 公克？
H2：405×3。
T：那 7 天呢？ 數是 10000，但卻算出 99999－10000＝
88888。【數感策略，答案不正確】
表 4-5-5(續)
11 能估算出 1440×4＞5000，但卻選錯答案。
【數感策略，答案不正確】
能估算出 1440×4＞5000，而且選答正確。
【數感策略，答案正確】
20 能直接心算出 1000-45×20＝100，而 20×5
＝100 尌是答案。【數感策略，答案正確】
直接心算出 198×5＝990，1000－990＝
10。【傳統算法，答案正確】
表 4-5-5(續)
由以上的訪談結果得知，M1 於前測時，在第 1、3、6、8、10、12、19、20、
22、24、26、29、30 題這些題目中，會用數感策略來解題，而且答案正確，而在 第 4、5、7、11、13 題雖然會用數感策略來解題但卻選錯答案。在後測時，用數 感策略來解題，而且答題正確的題目又增加了第 4、5、7、11、13、14、16、17、
18、23、27 這 11 題，其中第 4、5、7、11、13 題在前測時，已經會用數感策略
T：可是你的答案選的是琪琪，而不是明明，
題目 23：有一隻貓 2 天要吃 405 公克的沙丁魚，請問這隻貓 7 天大約要吃多少公
表 4-5-6(續)
表 4-5-6(續)
由以上的訪談結果得知，M2 於前測時，在第 1、4、6、7、8、11、13、14、
15、19、22、24、29、30 題這些題目中，會用數感策略來解題，而且答案正確，
而第 10、17 題雖然答錯，但還是會使用數感策略來解題。經過為期一個月的數 感教學活動之後，M2 在後測時會使用數感策略來解題而且答對者，又增加了第 3、5、10、17、18、21、23、26、27 題，共增加了 9 題。而第 30 題在前測時 M2 能用數感策略來解題，但在後測時卻作了錯誤的解釋，原因在後續的訪談分
T：所以你認為被除數乘以 0.5 和除以 5 是一樣的？
M2：是。
在後測時(981113 訪)
M2：這一題我選 1。因為它是 0.5 乘以 960，可以變成 960÷2。
T：為什麼？
M2：因為 1÷2＝0.5，所以 0.5×960 尌等於 960÷2。
在第 5 題的訪談中，M2 在前測時認為，最大的五位數是 99999，最小的五位
在第 5 題的訪談中，M2 在前測時認為，最大的五位數是 99999，最小的五位