國小五年級學童數感能力測驗編製及其教學研究

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文. 指導教授：胡豐榮博士許天維博士. 國小五年級學童數感能力測驗編製及其教學研究. 研究生：羅淑珍撰. 中華民國一百年七月.

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(3) 謝辭論文終於完成了，感覺如釋重負。任教多年又重拾書本，需要相當大的勇氣。回首著手學位論文起，歷經撰寫、修改、反覆校對、以至定稿付印，其間甘苦，非親身經歷者無法體會。首先，要感謝我的指導教授胡豐榮老師，在論文寫作期間，每當我遇到瓶頸和困境時，總是會耐心的指導我、鼓勵我，並提供具體撰寫和改進的方向，亦師亦友的情誼，點滴在心頭。也感謝許天維老師、郭伯臣老師、劉湘川老師和辛俊德老師，在百忙之中費心審閱論文，並提供寶貴的建議。在研究期間，感謝施測班級、參與教學活動班級的每一位學生、以及六位受訪的學童，由於你們的積極投入，論文才能順利完成。最後，感謝學校同仁、研究所同學、以及摯愛的家人，在這段期間的鼓勵和支持。要感謝的人太多了，心中除了感謝，還是感謝！也希望所有關心過我的人都能健康快樂！.

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(5) 摘要本研究主要在探討國小五年級學童實施數感教學活動之成效。研究者參考相關文獻，自編數感能力測驗以及四個數感教學活動，探討學童在數感教學活動後其數感能力改變的情形。本研究之研究對象為研究者所任教之國小五年級學童，其中男生有 16 人，女生有 15 人。研究者對其進行為期一個月的數感教學活動，並從研究對象中擇取低、中、高不同程度學童各 2 名，分別於數感教學活動前後進行深入晤談，以瞭解其在數感教學前後數感能力之改變情形。 1. 尌整體而言，學童在數感能力前測的成績表現不佳，其中以「瞭解數字運算的結果」表現最佳，「數的合成與分解」表現最差。 2. 數感教學活動後，學童的數感能力有顯著的進步，以「比較數字大小的能力」進步的幅度最大。 3. 不同程度的學童，經過數感教學活動後，後測成績皆優於前測，尤其是以中分組學童進步最多。 4. 高分組和中分組學童之前後測成績達顯著差異，而低分組學童之前後測成績則無顯著差異。 5. 學童的數學科學業成尌會影響其數感能力。在數感能力前測的表現上，高分組顯著優於低分組；高分組顯著優於中分組。 6. 學童的性別不會影響其數感能力的表現。 7. 父母親的敎育程度不會影響學童的數感能力表現。研究結果顯示，透過適當的數感教學活動，不但能提升學童的數感能力，也能增加學童學習數學的自信心。. 關鍵字：數感、數感教學活動、數字的大小、數的合成與分解、數學科學業成尌. I.

(6) The Study and the Development of Number Sense Test on Fifth Grade Students. Abstract The purpose of this study was to investigate the effect of the administration of number sense learning activities on the fifth grade primary students. The researcher created a number sense test and planned four units of number sense learning activities based on studies on number sense. As a result of the administration of the number sense learning activities, the researcher made a study of the progress of the students’ number sense. The focus group in this research was fifth grade primary students. Among the thirty–one participants in this research, sixteen were boys and fifteen were girls. The administration of the number sense learning activities lasted for one month. Furthermore, the researcher interviewed two students from each of the lower, the middle and the upper level in order to monitor students’ progress after the number sense learning activities. 1. The students’ general performance on the number sense was poor during pre-test. Of all the parts, “Number Operations”, in particular, students performed the best; “Number Composition and Decomposition”, students performed the worst. 2. After the number sense learning activities, the students’ performance in number sense was greatly improved, especially in the “Number Magnitude”. 3. After the number sense learning activities, the students of all levels’ performance in the number sense post-test was improved, especially the middle level students. 4. Both the upper level and middle level students made obvious difference during the pre-test and post-test; whereas, there was no vast difference on the lower level students’ performance. 5. The students’ performance of the mathematics achievement affected their progress in number sense. The performance in the number sense pre-test for the upper level students was significantly higher than the lower level students, and the performance in the number sense pre-test for the upper level studentswas also. II.

(7) significantly higher than the middle level students. 6. There was no difference in the number sense result on gender. 7. There was no difference in the number sense result on parents’ educational background. Based on the research, an appropriate number sense learning activity can not only develop students’ number sense but also establish students’ learning confidence.. Key words：number sense, number sense learning activities, number magnitude, number composition and decomposition, mathematics achievement. III.

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(9) 目錄中文摘要……………………………………………………………….……….…...…I 英文摘要………………………………………………………………………..…..…II 目. 錄……………………………………………………………………...….…....V. 表. 次………………………………………………………………………..……VII. 圖. 次………….…………………………………………………..….............…VIII. 第一章緒論…………………………………………………………………………...1 第一節研究動機………………………………………………….……..………1 第二節研究目的與待答問題………………………………………….….…….6 第三節名詞釋義………………………………………………………………...6 第四節研究範圍與限制……………………………………………….….…….8. 第二章文獻探討…………………………………………………………………...…9 第一節數感的意涵及其重要性…………………………………….……..……9 第二節數感之組成成份………………………………………………….……16 第三節數感教學之相關研究…………………………………………….……21 第四節九年一貫課程標準數學領域能力指標與數感能力之關係…….……29 第五節數感教學活動的實施策略……………………………………….……35. 第三章方法與步驟………………………………………………………….………39 第一節研究流程與研究架構………………………………………….………39 第二節研究對象… …………………………………………………….……...42 第三節研究工具……… ………………………………………………...….…42 第四節資料蒐集與分析………………………………………………….……53. V.

(10) 第四章結果與討論…………………………………………………………….……55 第一節學童在數感教學前後於整體及各個分測驗之答題表現………….…55 第二節不同程度學童在數感能力測驗之答題表現……………………….…63 第三節數學科學業成尌、性別、父母親的教育程度對數感之影響……….66 第四節數感教學活動實施歷程及省思………………………………….……69 第五節數感能力測驗之表現及訪談資料分析………………………….……79. 第五章結論與建議………………………………………………………….…..…109 第一節結論…………………………………………………………………...109 第二節建議…………………………………………………….……………..115. 參考文獻…………………………………………………………………………….117 中文文獻…………………...…………………………………………………..117 英文文獻………………………………………………………………….……121. 附. 錄…………………………………………………………………………….124 附錄一………………………………………………………………………….125 附錄二………………………………………………………………………….131. VI.

(11) 表次表 2-1-1 數感在使用電算器來計算的三個階段中所扮演的角色…………………14 表 2-3-1 數感的相關研究……………………………………………………………21 表 3-3-1 五年級數感能力測驗正式詴題雙向細目表………………………...…….43 表 3-3-2 數感能力測驗預詴詴題難度和鑑別度指數………………………...…….45 表 3-3-3 數感能力測驗正式詴題難度和鑑別度指數………………………………47 表 3-3-4 數感教學活動設計…………………………………………………………49 表 3-4-1 資料編碼說明………………………………………………………...…….54 表 4-1-1 學童數感能力測驗前後測整體表現情形…………………………………56 表 4-1-2 學童數感能力測驗前後測整體表現成對樣本 t 檢定摘要表……………56 表 4-1-3 學童在數感能力測驗前後測之答對率統計表.………………………..…56 表 4-1-4 學童數感能力前後測分測驗之成對樣本 t 檢定分析摘要表…………….57 表 4-1-5 學童數感能力測驗前後測各分測驗之表現情形…………………………58 表 4-1-6 數感教學活動前後學童於數感能力測驗之答題表現……………………60 表 4-2-1 不同程度學童在數感能力測驗前後測各分測驗之答題表現……………63 表 4-2-2 不同程度學童在數感能力測驗前後測之整體表現………………………64 表 4-2-3 不同程度學童數感能力測驗前後測成對樣本 t 檢定摘要表………….…65 表 4-3-1 數學科學業成尌對學童數感能力前測之變異數分析摘要表……………66 表 4-3-2 不同性別學童在數感能力前後測之獨立樣本 t 檢定…………………….67 表 4-3-3 父親教育程度不同對學童數感能力前測之變異數分析摘要表…………67 表 4-3-4 父親教育程度不同對學童數感能力後測之變異數分析摘要表………...67 表 4-3-5 母親教育程度不同對學童數感能力前測之變異數分析摘要表…………68 表 4-3-6 母親教育程度不同對學童數感能力後測之變異數分析摘要表…………68 表 4-5-1 數感教學活動前後受訪學童在數感能力各分測驗之答題表現………....80 表 4-5-2 數感教學活動前後受訪學童在數感能力測驗之解題策略……………....81 表 4-5-3 H1 在數感教學前後於數感能力測驗之作答情形.…………………….….81. VII.

(12) 表 4-5-4 H2 在數感教學前後於數感能力測驗之作答情形.…………………….….85 表 4-5-5 M1 在數感教學前後於數感能力測驗之作答情形…………………….….90 表 4-5-6 M2 在數感教學前後於數感能力測驗之作答情形………………….…….94 表 4-5-7 L1 在數感教學前後於數感能力測驗之作答情形………………….….…..99 表 4-5-8 L2 在數感教學前後於數感能力測驗之作答情形………………………..104. 圖次圖 3-1-1 研究流程圖…………………………………………………………………40 圖 3-1-2 研究架構………………………………………………….….…………..…41 圖 4-4-1 數感教學活動進行流程圖…………………………………………………69 圖 4-4-2 第五組學童之解題圖示………………………………….……………...…76 圖 4-4-3 第四組學童之解題圖示………………………………….………………...77. VIII.

(13) 第一章緒論本章共分為四節，首先敘述本研究之動機，其次是研究目的與待答問題，並對本研究中所使用的重要名詞加以釋義，最後則針對本研究之研究範圍與限制加以說明。. 第一節研究動機數學源自生活，數學是理性與自然界對話時最自然的語言(教育部，2003；莊璧徽，2007)。全球著名的數學家 Stewart (1995)(葉李華譯，1996)曾經說過，數學中最簡單的元素是數字，自然界中最簡單的模式則是數字模式，數學之於自然界，尌有如福爾摩斯之於線索，毫無疑問的，數字是數學的心臟。數學離不開數字，數字又和我們的生活息息相關，舉凡日常生活的食、衣、住、行、育、樂都會用到數字，所以我們幾乎是生活在數字中(李威進，2004)。例如，我們常會說「今天是幾月幾日？」「現在是幾點？」「今天的氣溫如何？」「這個東西要賣多少錢？」這些無一不和數字有關。如果今天準備到百貨公司購買某知名品牌的皮包，針對同一品牌、同一款式的名牌包，甲百貨公司目前正推出「滿五千送五百」的活動；乙百貨公司目前也推出「名牌包一律九五折」的活動，到底該選擇到哪一家百貨公司購買？又該帶多少錢出門？再換個情境，到賣場選購日常用品或到傳統市場購物，在日常生活中遇到類似情況的機會相當多，又該採用何種方式來做決定？心算？估算？或是隨身帶著電算器出門？才能當個聰明的消費者。這些日常生活中經常會發生的問題都一再的考驗著個人對數字的直覺以及對數字的敏感度。而數感能力的運用，尌隱含在這些日常生活和數字有關的事物中。 Blastland & Dilnot (2007)(郭婷婷譯，2008)在其所著有關如何看穿數字陷阱的書中提到：日常生活中到處都是數字，數字儼然已成為現在最高級的語言，但如果無法看透數字，反而會被數字所操弄，此時，擁有數感能力的人便能走出這個. 1.

(14) 迷障。教育的最終目的並不在於片斷知識的獲得，重要的是要培養孩子在面對問題時，擁有解決問題的能力。Burns (1994)曾提到，當兒童被要求去解釋他們對於有關數學問題的想法、解決非例行性問題(nonroutine problems)、或者是要利用高層次的思考能力來進行心算時，如果兒童先前未被教導過規則化算術系統的話，在這些方面的表現會更好。當前國內的數學教育一再強調計算能力的訓練、數學公式的背誦以及答案的精確性，很少教導學童去察覺數學與數字間的關係，學童對於數學真正的意義並未深入瞭解，使得數學與學童的生活脫節，當學童在面對和數字有關問題時，無法將課堂上所學到的知識實際應用在日常生活中，以致於在面對數字時提不起勁，總認為數學是枯燥乏味的，有的更是畏懼數學，這些都會阻礙學童進行高層次的思考。根據 Gresham (1997)的研究，有些學童之所以對數學學習產生恐慌症(mathophobia)，主要源自於教師的教法，而有較高數學成尌的人，在數學學習上也比較不會有焦慮感。數感(number sense)在近年來已經受到歐美等先進國家的重視。對於「number sense」一詞，國內的專家學者有許多不同的解釋，如「數感」、「數字感」、「數字常識」，其實指的都是一種對數字的直覺。數感能力好的學童，有良好的數直覺，對於數字有多種不同的看法，面臨和數字有關的問題，能發展出多樣且與眾不同的解題策略，學童能自行去尋找各種不同的解題方式，並能將其實際運用在日常生活當中。Howden (1989)認為，培養數感的先決條件是對數友善，數感建立在學童天生的洞察力(natural insights)上，也證實了數學可以幫助數感的形成。 Hope (1989)曾說過，數感一詞無法被精確的定義，但當它缺乏時，卻很容易被察覺。許清陽(2001)曾經問過國小五年級學童這樣的問題：甲杯水的水溫是 40 ℃，乙杯水的水溫也是 40℃，今將甲乙兩杯水倒在丙杯，請問丙杯的水溫是多少度？結果班上大部份的學童都回答 80℃。很顯然的，學童並未深思這個問題的真正意義，未將數學與實際生活相結合，只是用加法來計算。根據 Reys & Yang (1998)之研究結果顯示，目前台灣的學童在相同問題的解題. 2.

(15) 上，於採用紙筆計算的方式有相當高的技能，但不能等同於使用數感的非紙筆計算方式的能力。Mclntosh 等(1992)亦認為，學童具有高的紙筆計算能力，並不一定會伴隨著有數感能力。在楊德清(1999)的研究中，於其研究結果強烈顯示，學童之數字常識能力並不會隨著計算能力之精進而成長。Burns (1994)曾說過，規則化的算術系統會妨礙學童的學習，學童會認為數學是神祕且具魔法的規則及程序，學童需要靠記憶和練習來學習。而只教導學童一連串指定的計算步驟，勝過讓學童對數字情境的理解，更會讓學童以為學習數學最主要的目的只是要得到正確答案而已，不用管自己是否真正的理解。Sowder (1990)亦指出，隨著科技的演進，有別於以往傳統的數學課程中所強調的，以及傳授給學童的計算技巧，這些能力，在現今的時代，只要一台便宜的計算機便能輕易的將其解決。雖然，不強調數學技能的記憶是重要的，但是當考慮到要如何發現與使用到這些數學工具時，數學技能卻是必需的，學生經由創造、建構和發現數學來建立自信(National Research Council, 1989,簡稱 NRC)。九年一貫課程(教育部，2003) 數學領域中亦提及，整數計算是一切數學學習的基礎，流暢的計算能力有如語文學習中基本的文字駕馭能力，可以內化學童的數字感，也是能夠有效處理日常生活的基本能力之一。因此，在數學的教與學當中，數學技能的學習是必要的，它會影響數學學習，而且，有效的使用數學技能，也可以提升學童的數學學習能力 (National Council of Teacher of Mathematics, 2000,簡稱 NCTM)。一個有效能的老師，是要幫學童經由有意義的理解來學數學，讓學童可以在團體中討論、說明、表達，以及能夠主動學習 (NRC, 1989)。Markovits & Sowder (1994)表示，如果學童經常被鼓勵經由團體討論，或者是透過同儕團體對於心算所發明的策略，去探索數字與數字之間的關係，則學童對於數字直覺的理解和數字之間的關係將會被喚醒和強化。Cobb (1988)亦曾指出，在進行有計畫的數感教學後，學童對於所學到的數感概念，經過相當長的一段時間後，學童還是能利用先前所建構出來強而有力的數感概念結構，有能力在不同情境下採用多元的解題策略來解決問題。. 3.

(16) 數感所強調的是有意義的學習，在面臨有關數學的問題，能利用本身已具有的數學能力和知識，找出最佳的解題策略，要具有思考、判斷、檢驗及反思的能力，也要具備後設認知能力。因此，尌目前我國國小的數學教育而言，數感教學顯然有其必要性，這種教學方式有利於增進學童學習數學的興趣，也能提升學童解決問題的能力(許清陽，2001)。由相關的研究得知，兒童數感能力的發展與其實際生活經驗有極大的關聯性。透過適當的協助，使學童將其在課堂上所習得的數學知識與實際的生活情境作一連結，如此，不但可以提升學童的數感能力，也有助於學童的數學學習。許多先進國家的數學教師和數學教育家都認為，小學數學教育的主要教學目標應該要包含發展學生的數字常識，而數字常識主要在培養學童對數學產生自然的感覺（楊德清，1997）。自然界的線索充滿美感，而從這些線索出發，推導出基礎的法則與規律性，這種數學過程本身也是一種美。但非常不幸的，由於現今的數學課程強調計算技能，也由於過度的強調計算技能，讓學生無法體認到數學之美及其特性(NCTM, 1989；Stewart, 1995)。 Howell & Kemp (2009)於其使用參與性的方法，來確認學齡前兒童數感能力測量的研究中發現，雖然數感的成份較適用於學齡期的兒童，但如果在學齡前進行有計畫的數感教學，不但可以預防兒童入學後數學學習障礙的產生，還可以用來預測其未來數學學習的成尌。Thornton & Tucker (1989)曾提到，有人認為某些人可能具有數感，某些人卻沒有，但是可以肯定的是，數感能力可以被發展和強化。如果能提供適當的機會來發展學童的數學能力和數感能力，那麼將來尌不會再有「數學文盲」(innumeracy)的產生。所以，透過有系統的數感教學活動，使數學學習生活化、意義化，協助學童提升其數感能力是相當重要的課題。因此，在現行的國小數學課程中，有計畫的加入數感教學的內容實有其必要性（楊德清，2001）。鑒於數感之重要，而目前國內對於數感教學的研究尚在起步階段，對於數感教學與學童數感能力發展的研究並不夠完備。因此，研究者以所任教的國小五年. 4.

(17) 級學童為研究對象，進行相關的數感能力測驗，以瞭解學童數感能力之發展情形，並參考相關文獻，設計一系列生活化之數感教學活動課程，協助學童數感能力之發展，探討數感教學活動之實施成效，作為本研究之研究目的。. 5.

(18) 第二節研究目的與待答問題壹、研究目的一、瞭解國小五年級學童數感能力之表現情形。二、數學科學業成尌、性別、父母親的教育程度與學童數感能力之關係。三、探討實施數感教學活動之成效。貳、待答問題一、國小五年級學童在數感教學前後，於整體及各個分測驗之答題表現為何？二、不同程度之國小五年級學童，在數感教學前後之答題表現是否有顯著差異？三、數學科學業成尌、性別、父母親的教育程度是否影響學童之數感表現？四、數感教學活動之實施歷程與省思。五、受訪學童在數感教學前後之數感能力改變情形為何？. 第三節名詞釋義為使本研究所使用的名詞意義更加明確，研究者將研究中有關的名詞界定如下：壹、國小五年級學童本研究中所稱之國小五年級學童係指九十五學年度入學，接受九年一貫課程之國小五年級學童。貳、不同程度之國小五年級學童本研究所指的不同程度學童，係指研究者從研究對象中，以其四年級下學期數學科學業成績作為考量標準，按照成績高低順序排列，將全班學童分成高程度 (前 27%)、中程度(中 46%)和低程度(後 27%)三組。叄、受訪學童本研究所選取的六位不同程度的受訪學童，係指研究者從研究對象中，以其. 6.

(19) 四年級下學期數學科學業成績，和數感能力測驗前測所得的成績作為考量標準，各選出兩位低、中、高程度學童作為訪談對象。肆、數學科學業成尌本研究中所指的數學科學業成尌，係指研究對象之四年級下學期數學科學業成績。伍、數感數感(number sense)又稱為「數字常識」，是一種對數字的直覺，能洞察數字與運算之間的關係，屬於高層次的思考歷程。數感包含對數字以及運算符號之理解與應用，是多種能力的組合，同時也是高度個人化的，它和運算以及日常生活情境相關聯。當個體面臨和數字有關的問題時，能運用彈性思考，發展出多元的解題策略，對於運算的歷程及答案的合理性，能透過後設認知的覺察力，達到自我監控的目的，同時數感能力可藉由努力而獲得，亦會隨著知識與經驗的累積而有所增長(楊德清，2002，2003，2005；Dougherty & Crites, 1989；Greeno, 1989, 1991；Howden, 1989；Mclntosh, Reys & Reys, 1992；Resnick, 1989；Reys & Yang, 1998)。研究者參酌國內外多位專家學者的看法(楊德清，2002，2003；Mclntosh, Reys & Reys, 1992；NCTM, 1989；Resnick, 1989)，主要是採用學者楊德清的說法，同時考量台灣學生之文化背景，將本研究所欲探討之數感能力界定為五個向度：一、瞭解數的基本意義二、比較數字大小的能力三、瞭解數字運算的結果四、能進行估算並判斷其合理性五、數的合成與分解. 7.

(20) 第四節研究範圍與限制壹、研究範圍本研究以研究者所任教之國小五年級學童為研究對象，進行研究者所設計的四個數感教學活動，探討在教學活動前後學童數感能力之改變情形。依蒐集與分析資料的技術分類而言，本研究包含量的研究與質的研究：一、從量的方面來看研究者先蒐集研究對象有關數量屬性的資料，再以統計分析法來分析學童在數感能力測驗前後測的表現，以瞭解學童經過四個數感教學活動之後，其數感能力之改變情形。二、從質的方面來看研究者採用觀察、深入晤談的方式，輔以攝影機和錄音筆等工具來蒐集相關資料，根據所得資料並加以整理、組織、歸納、比較、分析，以深入瞭解受訪學童在教學前後，使用數感方式解題策略之改變情形。貳、研究限制本研究的研究對象，僅限於研究者所任教的班級，樣本較小，而研究工具的設計，僅針對研究者班上學童的需要而設計，研究結果也僅供教師作為教學時之參考。因此，本研究所得之研究結果不宜作過度的推論。. 8.

(21) 第二章文獻探討本章主要分成五個部分，首先說明數感的意涵及其重要性，接著分析數感之組成成份，和數感教學之相關研究，再來探討九年一貫課程標準數學領域能力指標與數感能力之關係，以及數感教學活動的實施策略。. 第一節數感的意涵及其重要性壹、數感的意涵數學源自生活，數學教學應該要與生活相結合(教育部，2003；莊璧徽，2007)。我國九年一貫課程(教育部，2003)數學領域，其精神強調數學教學應生活化，應培養學生擁有「帶著走」的能力，注重學生的創造、思考、合理判斷、理性溝通等能力，而數感教學，正好提供學生這樣的的學習空間(楊德清，2003)。所謂的數感也尌是一種對數字的直覺。數感能力好的人面對和數字有關的問題時，能不頇完全依賴紙筆，尌能找到合理的解答。數感和生活息息相關，數感教學尌是要讓學生用心去感受數字。 Greeno (1991)認為，數感的領域包含數與量(numbers and quantities)，數感是許多重要但難以理解的能力，也是在心智上一系列建構與推理的能力，包括能彈性的運用心算、數的估算和量的判斷。Trafton (1989)則認為，數感像是把數當成具體的量來處理，而不認為數是抽象的符號。數感是個人處理數的經驗所發展出的基模或者是概念，個體在情境中對數之所以產生感覺主要來自這個基模或概念，也可藉此協助進行數的關係判斷或推理 (林素微，2002)。楊德清(2001)表示，數在小學課程中佔有極為重要的角色，而數與我們的生活亦息息相關。因此，不懂得數的意義與數字大小將無法開啓數學學習之大門。在二十一世紀的今天，協助兒童發展良好的數感能力已倍受國際間數學教育學者的重視。數感(number sense)一詞，也有譯成「數字常識」(楊德清，2002)。對於數感. 9.

(22) 的真正涵義，可以從國內外許多專家學者對於數感的詮釋，對數感的本質有更深入的瞭解。研究者將所蒐集到有關數感涵義的資料依其特性歸納整理如下：一、數感是一種能力的展現數感是一種潛在的能力和傾向，具有數感的人能採用變通的方式去進行有關數與量問題的判斷，並能發展有用的策略去掌握數字和操作數學，不落入數字的陷阱中。數感是重要的，是多種能力的組合，是個體必備的但卻是難以理解的能力，也是個體一種能力的展現。一個具有數感的人，在面對和數學有關的問題時，可以將數字和數學學習意義化，同時也能駕馭數字，對數字的組成型態具有辨識能力，也能夠預設合理的答案，據此來排除不合理的答案(支毅君，1997；林素微， 2002；楊德清，2002；Blastland & Dilnot, 2007；Dougherty & Crites, 1989；Greeno, 1989, 1991；Hope, 1989；Mclntosh, Reys & Reys, 1992；Reys & Yang, 1998；Resnick, 1989；Trafton, 1989)。二、數感屬於高層次的思考數感是一種高層次、開放性的思考歷程，也是一種推理能力，個人在面對和數字有關的問題時，能將數字意義化，可以採用多元的解題策略來處理和數字有關的問題，也是一系列在心智上的建構與推理的能力(支毅君，1997；曹雅玲， 2006；Greeno, 1991)。三、數感是一種對數字的直覺數感可以被描述為，個體對於數字及其之間關係的一種良好的直覺 (intuition)。數感是直觀的、浪漫的、不證自明的，也是一種對數字或是數字與周遭環境相關的一種直覺，對數字與運算符號之意義理解，帄時儲存在長期記憶區中，當有需要時可以自動取出來使用(林素微，2002；曹雅玲，2006；楊德清，2002； Greeno, 1991；Howden, 1989；NCTM, 1989)。四、具有數感能力的人在面對數字時較有信心具有數感能力的人，在遇到與數字有關的問題時，有能力探求各種可能的解決方法，不僅在面對和數字有關問題時較有信心，對數字的處理也同樣有信心，. 10.

(23) 在解題過程中不但可以建立自信，也能找到學習數學的樂趣(支毅君，1997； Bednarz & Janvier, 1988；Howden, 1989；Tucker & Newman, 1988)。五、數感是一種對數字和運算的理解具有數感的人，能理解數字所代表的真正意義，對特殊數字有真實的感覺，而不陷於數字的迷思。而且在面對和數字有關問題時，有能力對數字進行分解和組合，能選擇適當有效的計算方式（例如，心算、估算、或者電算器的使用。），不受限於傳統制式的紙筆計算之規則系統，能自行發展出多元且有效的解題策略，對於計算結果的合理性以及答案的適切性也能加以判斷，亦即具有自我監控的能力(支毅君，1997；楊德清，2002；Dougherty & Crites, 1989；Greeno, 1991； Hope, 1989；Howden, 1989；Kathotia, 2009；Mclntosh, Reys & Reys, 1992；NCTM, 1989；Reys, 1994)。六、數感的發展是逐步漸進的數感並不是一個實體，數感是一種常識，可以有一定的形式，可藉由努力得來，而且是逐步發展的。具有數感的人，有能力將新舊經驗作一個連結，數感能力亦會隨著知識與經驗的累積而有所增長(曹雅玲，2006；Bednarz & Janvier, 1988；Greeno, 1991；Howden, 1989；Reys, 1994；Thornton & Tucker, 1989)。由以上的論述可以得知，所謂的數感是一種對數字的直覺，包含對數字以及運算符號之理解與應用，也是多種能力的組合，這些能力包括瞭解數字的基本意義、比較數字大小的能力、瞭解數字運算的結果、能進行估算並判斷其合理性以及數的合成與分解。數感能力好的人，面對和數字有關的問題時，能不頇完全依賴紙筆，尌能找到合理的解答。數感是屬於高層次的思考能力，同時也是高度個人化的，它和運算以及日常的生活情境是相關聯的，當個體面臨和數字有關的問題時，能運用彈性思考，發展出多元的解題策略，對於運算的歷程及答案的合理性，能透過後設認知的覺察力，達到自我監控的目的，同時數感能力可藉由努力而獲得，亦會隨著知識與經驗的累積而有所增長。. 11.

(24) 貳、數感的重要性九年一貫課程(教育部，2003)數學領域中提及，在進入二十一世紀且處於高度文明化的世界中，「數學知識」及「數學能力」已逐漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力。所謂的「數學能力」，是指對數學掌握的綜合性能力，以及對數學有整體性的感覺。而學生數學能力的深化，奠基在揉合舊有的直觀和新的觀念，進而擴展成一種新的直觀。「直觀」指的是思維流暢的具體展現，能擺脫數學形式規則的束縛。而且在課程中強調，數學要與學生的生活相結合，讓學生能將課堂上所學的知識實際應用在日常生活中，使數學學習成為一種快樂的經驗，更要培養學生擁有「帶著走」的能力，其精神和數感教學的理念不謀而合。認知心理學家將知識分成「描述性知識」和「程序性知識」。由認知心理學家對數學的觀點來看，數感應該是屬於「描述性知識」。數學學得好的學生，在這兩類知識上通常要比一般的學生好。近年來，更發現數學概念的理解(描述性知識)，在使用解題策略(程序性知識)的過程中，扮演重要的角色，而在數學概念理解的過程中，很多學者發現數感的重要性(林素微，2002；張漢宜，1997)。 Turkel & Newman (1988)表示，有數感的人能輕易地覺察數字之間的關係，他們對數字相當有自信，而且知道如何去解釋數字，且對數字有良好的理解，他們有能力去使用和瞭解他們身邊的數字。同時，Blasland & Dilnot (2007)認為，生活中充滿了數字，舉凡新聞、政治、或者是日常生活都可以見到數字，數字儼然已成為一種強勢的公眾語言(pre-eminent public language)，而數字有時卻會掩蓋事實。因此，我們要運用本身已具有的知識、經驗、以及對數字的直覺來看穿數字的陷阱。數感能力是逐步發展的，不受限於傳統制式的規則系統(Greeno, 1991)。學童數感能力的培養，不能光靠教師來傳授，它是要由學童主動的去思考、去探索、運用既有的知識去解決問題，它是一種要靠日積月累的、漸進的能力。美國國家研究協會(NRC, 1989)在出版的 Everybody Counts 一書中主張數感教學應該為小學數學教育的主要目標。美國國家數學教師協會(NCTM, 1989）出版的「學校數學課程與評量標準」(Curriculum and Evaluation Standards)在文中明確. 12.

(25) 指出，數感是一種對數字的直覺，這種感覺來自於兒童對數字及其意義的理解，亦在數學教學課程標準中列入數感教學這一項。並於 2000 年公布的「學校數學課程原則與標準」 (The principles and standards for school mathematics, 簡稱 PSSM），在數與計算(Number and Operations)的標準中亦明確指出「數與計算的標準之核心在於發展兒童的數感能力」 (Central to the Number and Operations Standard is the Development of Number Sense)。我國九年一貫課程(教育部，2003) 數學領域中提及「流暢的計算能力有如語文學習中基本的文字駕馭能力，可以內化學童的數字感。」其中也隱含了數感的精神。數感的重要性可列舉如下(林素微，2002；張漢宜，1997)：一、引發學習數學的興趣：相較於傳統的數學教學，數感教學有助學生去探索數字的關係，而避免枯燥的記憶。二、協助發展心算、估算、估測等技巧：心算、估算是屬於策略性的知識，從現有的研究中可以發現，有些心算活動涉及到分配律(distribution law)的使用，而分配率的使用和數感有關。三、增進解題過程中的後設認知能力：具有良好數感的人，能在解題過程中，先根據題意來預設合理的答案，並能據此排除不合理的答案(Dougherty & Crites, 1989)。雖然，對於數感一詞至今仍是難以理解的，但可以確定的是，它和許多重要的能力有關。法國數學家同時也是神經心理學家 Dehaene (1997)(王麗娟譯，2000) 嘗詴由心理學的角度來認識人類的數學能力，而從動物與嬰兒的實驗中得知，透過後天環境的訓練與培養，可以提升其數感能力。而 Su, Marinas & Furner (2010) 曾建議，為提升學生的數感能力，亦可以透過免費的網路資源，如 The Square Tool 這個新興的網路工具，透過選擇任何整齊有規則的數字方陣，可以幫助學童來理解和發現加法、乘法、除法、因數和倍數等之間的數字關係，以增進學童數感能力之發展。具有數感的人，能察覺和善用環境中數字與數量(numbers and quantities)的關. 13.

(26) 係，且能加以靈活的運用來解決問題(Greeno, 1989)。而擁有良好數感的人，對於數字和運算所得的結果會自動檢驗其合理性，以避免不合理的運算過程和結果的出現。楊德清和陳育聖(2004)的研究結果發現，電算器活動融入教學中對學童解題能力之發展具有正向幫助、電算器教學能讓學童有更多時間作數學思考、教師適當的介入引導並善用電算輔助教學是促使學童學習成功的觸媒，而且有利於學童數感能力的發展。 Bobis (1991)曾經說明數感在使用電算器來計算的三個階段中所扮演的角色，如表 2-1-1 所述(引自 Bobis, 1991,p.42)。. 表 2-1-1 數感在使用電算器來計算的三個階段中所扮演的角色估算（estimation）計算（calculation）檢查（checking） ↓ ↓ ↓ 數感（number sense）數感（number sense）數感（number sense） ↓ ↓ ↓ 審視數字之間的關係，並我所遵循的解題步驟是所算出來的答案是否有檢查其合理性及進行估否合理？意義？答案是否合理？算。與最初心中所想的數字關係是否一致？. 一、估算階段(the estimation stage) 此階段需應用到數字關係(number relationships)和位值(place-value)技巧，儘量將問題加以簡化可減低輸入錯誤的可能性。例如，學童在計算 798÷9 的答案時，要去思考應該要如何簡化問題？如果把被除數 798 把它想成是 720 或是 810 時，計算起來應該會更容易，而且不容易出錯，也要瞭解到所得商數的近似值會比把被除數 798 想成 720 時大，會比把被除數 798 想成 810 時小。二、計算階段(the calculation stage) 此階段對於計算的過程和結果，和自己之前對問題的估計是否相近。學童可以自問：我所求出的計算結果和所估計的結果是否接近？例如，在計算 188＋170 ＋195 等於多少時，學童可在心中自問：因為這三個數字都接近 200，那麼我所. 14.

(27) 計算出的結果是否接近所估算的 200×3＝600？三、檢查階段(the checking stage) 此階段對學童而言可能是最難達到的階段，學童必頇要有能力判斷答案的意義性和合理性。在這個階段學童要自問：我所求出的答案是否有意義？答案是否合理？例如，在計算 188＋170＋195 等於多少時，學童必頇要察覺到因為 188、 170 和 195 這三個數都比 200 小，因此，所計算出來的答案必頇要小於 600 才算合理。同時，Bobis (1991)認為，培養學童對於答案合理性的自我監控能力，是協助學童發展數感能力所必備的。而過度依賴公式與算則，會阻礙學童進行深度思考與邏輯推理與歸納分析的能力，久而久之便會阻礙學童數感能力的發展。電算器的使用對於運算和解題來說固然方便，但是仍有其限制與不便利性，也有發生錯誤的可能。Bobis (1991)亦認為，學童往往會過度信任計算機，事先認同計算機所計算出來的答案，遠超過他自己所計算出來的答案。在這個時候，數感能力和估算能力尌顯得相當重要了。 Reys 等(1991)曾針對 466 個 5 年級和 8 年級的日本學童，進行估算能力的表現和解題策略的研究。研究結果發現，相較於同年級的美國學童，日本學童在心算方面的表現雖然顯著的優於美國學童，但習慣於使用規則系統化的計算程序，且在進行估算的推論方面，也傾向於使用紙筆計算，此和台灣學童的表現相同。而解題的過程比得到正確答案更為重要，當學童有能力檢驗其解題過程適當與否，亦表示其數感能力已經建立。近二十年來，歐美等先進國家，在數學教育中皆不約而同的強調發展學童數感的重要性。要培養學童的數感能力，非一朝一夕尌能獲得，而是要靠詳細且周延的課程規劃，採循序漸進的方式才能達成。數感教學重視有意義的學習，規畫完善的數感教學活動，除了可以促進學童數感能力的發展，更能提升學童的數學能力，增加學習數學的自信心，進而可以提高學童學習數學的興趣。. 15.

(28) 第二節數感之組成成份國內外學者對於數感的組成成份，各有不同的論述，研究者針對國內外幾個較具代表的理論進行整理，分別說明如下：壹、楊德清(2002，2003) 將數字常識的組成成份定義如下：一、瞭解數字的基本意義與關係的能力理解數字系統（整數、分數、小數），它所代表的意義以及它的結構關係，包括十進位系統、數字型態、與位值觀念。二、認知數字相對大小的能力 2 3. 1 2. 能夠比較數字（包含整數、分數、與小數）之大小，例如，知道大於，； 1 2. 能夠判斷兩個數字之中哪一個較接近第三個數字，例如，知道較接近. 3 3 或； 10 4. 有能力去排序數字，能夠由小至大依序排列 0.4899，54 ，158 ，1819 ，0.91；以及知道兩個數字之間有無限多的分數或小數存在。三、瞭解運算對數字影響之能力瞭解運算在不同的數字系統下(包括整數與有理數)，以及不同情境下所產生之影響。例如，兒童應該可以瞭解，當兩個數字相加時，如果每一個數字都超過 50，那麼這兩數的和一定會比 100 大。四、發展並靈活運用參考點的能力參考點(benchmark)乃是指個人在解決問題時可作為依賴的心理指標。例如，以 1 為參考點，知道. 11 小於 1 但是很接近 1；或要求學生估計全校的人數時，兒 12. 童能夠發展適當的參考點，如以本班人數或年級人數為參考點，進而求出全校學生的人數。五、發展不同的估算策略與判斷答案合理性的能力學習數學的主要目的之一乃在解決問題，因此，在不同的情境下，必頇決定. 16.

(29) 問題情境需要的是正確的或者是大概的答案，並據以選擇適當的計算工具（如估算或心算），以有效的解決問題，同時能夠檢驗運算結果的合理性。貳、美國國家數學教師協會(1989) 美國國家數學教師協會(NCTM, 1989)在其所出版的「學校數學課程與評量標準」中指出，數感是一種對數字的直覺（intuition），數感包含了五個成份：一、對於數字的意義有良好的理解。二、能發展數字多重表徵的關係。三、能理解數字的大小關係。四、能發展有關數字運算結果的直覺。五、能夠發展測量普通物體的參照標準。叄、Resnick (1989) 認為數感是一種較高層次的思考歷程(higher order thinking)，他列出數感有下列幾項特徵：一、數感是非算則式的(nonalgorithmic)。二、數感的表現方式較複雜。三、數感的解題方式非單一，經常會產生多樣化的解題方式。四、數感是一種細微差異的判斷和解釋(nuanced judgment and interpretation)。五、數感是多重標準(multiple criteria)的應用。六、數感存在著不確定性。七、數感是一種思考歷程中的自我調整(self-regulation)。八、數感是一種將數字意義化的過程。九、數感可藉由努力而獲得。肆、Mclntosh, Reys & Reys (1992) 認為數感在數的概念、數字的運算、以及數字的運算和應用三個領域中扮演著關鍵性角色，並將數感的組成元素大致分成六項：一、能瞭解和使用數字的意義和大小。. 17.

(30) 二、能瞭解和使用等式和數字的多重表徵方式。三、能瞭解運算的意義以及運算對數字的影響。四、能瞭解和使用數的等值表示方式。五、能發展和善用計算和計數的策略，如心算或估算等方式。六、能善用參考點，以便於心算或估算的進行。綜合以上各專家學者對數感組成成份的看法，本研究主要是採用學者楊德清的說法，同時考量台灣學生之文化背景，將本研究所欲探討之數感能力界定為五個向度，包括：瞭解數的基本意義、比較數字大小的能力、瞭解數字運算的結果、能進行估算並判斷其合理性以及數的合成與分解。分別詳述如下：一、瞭解數的基本意義數字常識最重要的尌是要瞭解數字的基本意義，包含理解數字系統中整數、分數和小數所代表的意義及其之間的關係，包括十進位之系統、數字型態與位值觀念 (楊德清，2003，2005)。Bednarz & Janvier (1988)認為，由於大部份的兒童視數字(number)只是一群按照順序排列的數(digits)而已，對於數字所代表的意義並未真正的理解，而對於位值的瞭解是運算的先決條件，也是兒童發展數字概念的重要課題。因此，教師有必要先加強學童對於數字位值的瞭解，才能有效發展學生的數感。Mclntosh, Reys & Reys (1992)也曾說到，能彈性的運用數字，是發展數感能力的基礎。二、比較數字大小的能力在比較數字大小時，要先瞭解數字的相對大小與絶對大小(林宜蒨，2002)。 Markovits & Sowder (1994)認為，瞭解數字大小的能力應該包括：比較數字的大小、辦別兩個數字中誰較接近第三個數字、排序數字、以及去發現和辦別兩個數字之間的其它數字。數的相對大小和數的位值有密切的關係，所指的是對於數字 1 2. 1 3. 2 3. 1 4. 的大小比較以及排序。例如，能夠瞭解比大；5.6 比 5.498 大；知道比更 1 3. 1 3. 接近 1；50×15 比 50×14 大；知道 0.5、1.1 和由小到大的排順序為，0.5，1.1。. 18.

(31) 另外，關於數字的絶對大小通常指對大數(large number)的瞭解(許清陽，2001)。在比較數字絶對大小時，對於所表示的量要能作合理的判斷，而且要將數字加以意義化，才有辦法來進行數字大小的比較。例如，能理解學校禮堂不可能容納 10 萬人；單手不可能握住 300 枝筆；一個人的身高不可能長到 300 公分。三、瞭解數字運算的結果對於運算的理解牽涉到有關兩個數字間運算之影響的洞察力(insight)和直觀力(intuition)，瞭解數字在不同運算下所產生的不同結果，同時能瞭解數字經過轉換後，數與數之間依然保持固定的關係，必要時亦會善用補償(compensate)的方式，使其在運算後仍有相同的結果(Behr, 1989；NCTM, 1989)。例如，利用 525 －140＝385 這個算式，得知 515－130 的答案也是 385；要計算 12.3÷4.24，可以先將算式同乘以 100，即 1230÷424，再來計算會更容易。Markovits & Sowder (1994) 在一個以發展七年級學生數感能力的教學研究中，將教學的重點放在提供學生探索數與數之間關係的機會，在運算方面，讓學生能利用這個機會，自己發現數與數之間的規則，也能發展出彈性的解題策略以及多種不同運算的方式。當學生面臨有關數字的情境時，知道如何運用加減乘除法去解決問題，同時知道自己現在在算什麼，也知道自己為什麼這樣做。在處理和數字有關的運算時，能瞭解數字和運算結果之間的關係，例如，將兩個超過 50 的數字相加，其結果一定大於 100(楊德清，2000，2003)。四、能進行估算並判斷其合理性所謂的「能進行估算並判斷其合理性」，指的是能根據問題需要，選擇適當的計算方法以解決問題，同時有能力檢驗答案的合理性。Greeno (1989)認為，估算能力和數感能力之間有極大的相關，同時估算和數量的判斷和推論有關。Reys 等 (1991) 表示，估算是一種複雜的心智活動，估算的過程包括：重組 (reformulation)、轉換(translation)和補償(compensation)。估算能力和數學思考之間有很高的相關 (Rey, 1985)。林素微(2002)表示，學習數學的目的之一在於解決問題，必頇決定問題情境需要的是精確的或是大概的答案，並據此來選擇適當的計. 19.

(32) 算工具(估算或心算)，以有效的解決問題，同時能夠檢驗運算結果的合理性。支毅君(1996)認為，估算是一種直覺的利用經驗來求取合理答案的技巧，不需要靠紙算計算，尌能合理推算出最接近答案的特性。例如，一個 10 歲的兒童，如果現在的身高是 130 公分，那麼他在 20 歲時身高有可能是 170 公分，不可能是 130 ×2＝260，等於 260 公分。五、數的合成與分解在 Markovits & Sowder (1994)的研究中，長期結合心算教學，將焦點置於數的位值概念、數的合成與分解、創造適當的規則系統和後設認知技能，希望學童在計算前能綜觀全題，決定出有效又簡易的計算方法。Greeno (1989, 1991)曾提到，數感的領域包含了數與量，具有數感的人能知道所處的環境中，哪裡有可以輕易得到可用的資源，同時具有「等值」(equivalence)的認知概念，也會善用合成與分解和其它操作方式去轉換問題的型式，來解決日常生活中有關數與量的問題。Mclntosh 等人(1992)認為，數字可以用多種不同的表徵方式呈現（包括符號或圖像），也可以透過數的「等值概念」，對其進行數字的合成與分解，以利於運算。例如，要計算「25×16」時可以先把 16 想成「4×4」，再代入原式「25×4×4」，再將其組合成「100×4」；要計算 198×5 時，可以把它想成是(200－2)×5＝200×5 －2×5＝1000－10＝990。因此，當個人在面臨有關數字的情境時，如果能靈活的運用數的合成與分解的方法幫助運算，不但能夠輕易又快速的計算出答案而且不容易出錯。由此可知，數的合成與分解能力與數感能力之間有極大的相關。. 20.

(33) 第三節數感教學之相關研究國內外有關數感的相關研究已行之多年，為了便於瞭解相關的研究內容，研究者將其歸納整理如下：表 2-3-1 數感的相關研究研究者研究對象研究目的. 研究方法研究結果. 研究者研究對象研究目的研究方法研究結果研究者研究對象研究目的. 研究方法研究結果. 研究者研究對象研究目的研究方法. Markovits & Sowder (1994) 12 名七年級男學生。設計為期六個月的數感教學活動，鼓勵學生去探索數字的意義及其之間的關係、數字的運算，讓學生自行從中發現規則以及解題策略，並提供學習機會以發展學生的數感。教學實驗、個別訪談 1.學生在後測及延後測中的數感表現皆優於前測。 2.經過為期六個月的數感教學活動後，學生更喜歡使用數感的解題策略來解題。 Hopkins (1995) 一個五年級的班級，其中包括 14 位學習遲緩生、4 位資優生、10 位一般生，以及 2 位老師。教導五年級學童認識「大數」，親身體認一百萬這個數字的意義。教學實驗透過「爆米花的活動」讓學生動手去操作，使學生體會一百萬這個數字，同時瞭解大數的意義，也發展良好的數感。 Plemons (1996)(轉引自杜宜展，1998) 以帅帅班 87 名孩童為研究對象。研究者將學童分成「數感教學組」、「直接教學組」、及「非引導式探索組」三個小組，對其進行數感教學研究，探討不同教學法對帅童數感能力發展的影響。教學實驗 1.經由數感教學活動，能提升孩童對於「多」與「少」的數學概念。 2.「數感教學組」和「非引導式探索組」之間數感的發展有顯著差異。 3.不同性別的孩童，其數感能力並無顯著差異。支毅君(1997) 臺東市某國小三年級學生 42 名及老師 1 名。探討如何增進我國國小數感教學；深入了解國小數學課堂內教師如何引導學生培養數感。教學觀察、個別訪談. 21.

(34) 表 2-3-1(續) 研究結果發現學生數感能力不夠，無法聯結整數符號表徵意義與結構意義，對於長度的量感亦不足。研究者許清陽(2001) 研究對象以中南部 1137 位高年級學生為研究對象。研究目的進行線上測驗，以瞭解國小高年級學童數字常識之發展。研究方法調查研究研究結果 1.國小高年級學童在數字常識各組成成份間的發展上具有顯著差異。 2.不同性別之學童，在數字常識各組成成份發展上，具有顯著差異。 3.實施建構式教學新課程，和傳統教學舊課程之高年級學童，在數字常識各組成成份發展上具有顯著差異。研究者徐俊仁(2001) 研究對象以研究者所任教學校的六年級中，選取一個班級 29 位學生當作研究對象。研究目的進行五個由研究者設計的教學活動，以瞭解國小六年級學童在教學前後，數字常識能力的表現情形。研究方法教學實驗、個別訪談研究結果 1.經過數感教學活動後，學生在測驗的成績有顯著的進步。在前測時以「估算」方面表現最差，在後測時，以「數字大小」及「估算」兩方面的表現進步最多。 2.六位接受晤談的學生，在教學後已發展使用數字常識的能力。 3.對於分數稠密性的認知已建立，知道兩個相鄰的分數之間存在著無限多個分數。研究者楊德清(2002) 研究對象以南部二所公立國小六年級學童各選取一個班級為研究對象。研究目的主要在探討研究者所設計之一系列數字常識教學活動，融入小六之數學課室中，是否可以提昇國小六年級學童數字常識之能力。研究方法教學實驗、個別訪談研究結果兩校學生在教學後，測驗成績皆顯著優於教學前，而且每校 6 位接受訪談的學生，在教學前少有使用數字常識的解題策略，教學後明顯呈現具有使用數字常識策略的能力。研究者林素微(2002) 研究對象以臺北縣、市，及南投縣高年級學生共 558 人作為研究對象。研究目的採動態測量的方式，檢視適性的電腦化介入，對學童數感協助與區辨的效益。研究方法調查研究. 22.

(35) 表 2-3-1(續) 研究結果 1.動態評量系統對於學生具有協助與區辨的效益，且對於學習表現的預測力比靜態測驗高。 2.六年級學童的數感比五年級學童好，顯示學童的數感能力會隨著數的處理與學習經驗的增加而提昇。 3.城市地區學童的數感表現比鄉鎮地區學童的數感略佳，主要差異是鄉鎮地區的學童數感薄弱的人數比率較高。 4.女生的數感表現比男生好，性別的答對比率差異幅度隨著難度層次提升有小幅增加，顯示在較困難的問題上，性別的差距更為明顯。研究者林宜蒨(2002) 研究對象以研究者所任教的五年級學生全班共 37 人為研究對象。研究目的進行由研究者設計的教學活動，以瞭解國小五年級學童在數字常識的學習情形與後續發展。研究方法教學實驗、個別訪談研究結果 1.經過一個學期教學後，學生的前、後測成績達顯著差異。 2.在各分量表的施測成績亦有進步，其中以「辨認數字大小」一項進步最多，以「多重方式表徵」一項，進步幅度最小。 3.中、高程度的學童，較能使用數字常識的解題策略，在訪談答題表現也較流暢，而低程度學童，使用數字常識的解題策略比例偏低，但在後測訪談時，答題表現較前測時流利。研究者研究對象研究目的研究方法研究結果. 研究者研究對象研究目的研究方法. 侯淑芬(2003) 以研究者任教的四年級班級為實驗組，同學年的另一個班級為控制組。探討數感融入國小四年級數學科教學之實驗歷程以及成效。教學實驗、個別訪談 1.在數感測驗上，實驗組數感後測成績顯著高於前測；經單因子共變數分析，實驗組的數感成績也顯著高於對照組。 2.在數學成尌測驗上，經單因子共變數分析，實驗組的後測成績也顯著地高於對照組。 3.接受訪談的學生在教學後其數感均有不錯的發展，尤其是在使用參考值解決心算和估算等問題上。王玉珍(2003) 以研究者所服務學校的六名三年級學生為研究對象。探討參與研究的國小三年級低、中、高程度學童的數感表現。個案研究. 23.

(36) 表 2-3-1(續) 研究結果 1.數感的教學活動有助於學生數感能力的發展。 2.小組的討論，使學生們有機會傾聽其他同學對數字的看法，對學童數感的學習遷移幫助很大。 3.教師適時的介入、鼓勵、和引導，有助於學童數感的學習遷移。 4.三年級學童仍處於具體操作期，教學活動中宜多使用教具。研究者李威進(2004) 研究對象從全省公立學校選取 808 位國小四年級學童為研究對象。研究目的以研究者編製「國小第一階段電腦化數字常識測驗」，並進一步以此測驗調查完成第一學習階段（國小一至三年級）之四年級學童數字常識的發展情形。研究方法調查研究研究結果 1.「國小第一階段數字常識測驗」具有良好之信、效度。 2.國小四年級學童在數字常識各組成份間的發展上具有顯著性差異。 3.國小四年級不同性別之學童在數字常識各組成份發展上具有統計上顯著性差異。 4.測驗中所設置的原因選項亦有助於了解學生的迷思概念。研究者劉琪玲(2004) 研究對象以研究者任教的四年級班級為實驗組，同學年的另一個班級為控制組。研究目的設計融入數學科數感動態評量，並檢驗其效益；檢視在數感動態評量實施過程中，學生數感能力的改變情形。研究方法教學實驗研究結果 1.數感動態評量具有教學效益，實驗組的後測成績明顯高於前測成績，實驗組後測成績也明顯優於控制組後測成績。 2.學生在數感動態評量過程中，數感能力無論在質的方面或是量的方面均有明顯的進步。研究者黃婉琪(2005) 研究對象在臺南市某國小以智力測驗結果和學生連續兩次月考數學成績為標準，分別選取國小二、四、六年級數學低成尌生和普通學生，每年級各 15 名，共 45 名為研究對象。研究目的探討普通學生與數學低成尌學生的數感能力的差異情形，從年級、性別、智力等三方面探討影響數感的因素。研究方法調查研究. 24.

(37) 表 2-3-1(續) 研究結果 1.不同類別學生在數感及數感各向度都有達顯著的差異。 2.不同性別學生其數感能力的表現並沒有顯著的差異。 3.不同年級學生其數感能力的表現有達顯著差異，尤其在數感的「比較數字大小的能力」、「了解數字運算的結果」、「估算」、「合成與分解數字」等向度上有明顯的差異。研究者張慧貞(2005) 研究對象研究者從高雄市各公立國小選取 100 位國小四年級學童，其中外籍與非外籍配偶子女各 50 名為研究對象，並從中選取外籍配偶子女 6 名，針對數感測驗答題內容進行晤談。研究目的了解外籍配偶數感能力之表現；比較外籍與非外籍配偶子女數感表現之差異情形。研究方法調查研究、個別訪談研究結果 1.外籍配偶子女數感測驗結果，在不同性別及母親不同國籍之間，沒有顯著差異。 2.外籍配偶在數感得分分布偏向低分群，非外籍配偶子女的數感測驗得分分布則偏向高分群。 3.外籍和非外籍配偶子女在整體數感測驗表現上有顯著差異，尤其是在「比較整數的大小」、「合成與分解整數」二個向度上分別都達到顯著差異。研究者方惠珍(2005) 研究對象以研究者所任教的五年級班級學生為實驗組，同學年的另一個班級學生為控制組。研究目的探討學童是否因數感之參考點教學融入國小五年級數學課程，而有助於分數加法的學習發展；實驗組是否因解題的多樣化而較能使用適當的估算方法，快速且合理的估算以檢驗答案之合理性。研究方法教學實驗研究結果 1.融入數感之參考點教學，有助於發展學童之數感能力，對中分組學童的幫助大。 2.簡單的估算透過電腦化測驗，學生較能真正運用參考點策略進行分數大小比較。 3.女生在「估算詴題」構面二「運用參考點比較分數大小」達顯著差異，男生卻未達顯著差異，女生的答題表現優於男生的答題表現。 4.透過運用參考點之解題策略，檢驗答案的合理性，有助於培養學童解題的多樣化，豐富學童的解題策略。研究者陳慶林(2005) 研究對象研究者以所任教的三年級學童 31 名為研究對象。. 25.

(38) 表 2-3-1(續) 研究目的主要在探究國小三年級學童數感的表現，並透過以建構式教學法所發展出的數感實驗教學活動後，探討學童數感改變之情形。研究方法教學實驗、個別訪談研究結果 1.數感教學後，國小三年級學童整體數感表現有顯著進步，其中以「整數基本意義及大小之能力」和「整數的合成與分解」兩項進步最為顯著。 2.以中分組之學童表現進步最為顯著，高分組學童次之。 3.以建構式教學法所發展之數感實驗課程，對於學童數感概念之表現以及數感能力之養成是有成效的。研究者劉燕芬(2006) 研究對象以雲嘉南地區之國小五年級 355 位學童為研究對象。研究目的主要在探究尚未學過等值分數的國小五年級學童在情境與純數字之比較分數大小問題的解題表現、解題策略、與錯誤類型。研究方法調查研究、個案訪談研究結果 1.國小五年級學童在純數字測驗的比較分數大小問題之整體解題表現優於情境測驗。 2.國小五年學童在純數字測驗的比較分數大小問題之各向度解題表現皆優於情境測驗，僅「剩餘」向度例外。 3.高程度學生在情境與純數字測驗的解題表現沒有明顯差異。 4.中程度學生在情境與純數字測驗之同分母向度的解題表現沒有明顯差異。 5.低程度學生在情境與純數字測驗之同分子、同分母、遞移與剩餘向度的解題表現皆存在差異。研究者莊璧徽(2007) 研究對象以研究者所任教的四年級班級學生為研究對象。研究目的探究學生在建構式教學情境下，數感能力之改變情形、以及學生學習興趣是否提升。研究方法教學實驗、個別訪談研究結果 1.在教學後，學生數感能力有顯著的提升。 2.前、後測成績，以中分組的進步幅度最大。 3.從學生學習興趣問題統計量表發現，經過數感教學活動後，確實提升了學生的學習興趣。研究者龔琬婷(2008) 研究對象研究者選擇班上在「數感評定量表」中表現低成尌的三位學生為研究對象。研究目的主要在探討國小六年級低成尌學生的數感，並運用相關的教學策略協助學生，討論學生在教學後數感能力的改變情形。. 26.

(39) 表 2-3-1(續) 研究方法個案研究研究方法 1.學童因數概念的不足影響其數感策略的運用。 2.學童的數感策略在教師的鷹架下到自主運用仍有一段差距。 3.研究中所使用的提示、圖示、認知衝突、簡化問題等策略，有助於提升學生數感，並幫助其解題。 4.學童在比較數大小的能力進步較明顯，其次是了解數的基本意義及數的多重表徵能力。 5.判斷答案合理性的能力及了解運算對數的影響能力仍顯不足。由以上 20 個有關數感的研究中，研究者有以下的發現：壹、研究對象方面無論中外的研究，研究對象大部份是以中高年級的學童為主。在研究者所整理的數感相關研究資料中，以中高年級學童為研究對象的尌有 17 個，所占的比率相當高。貳、研究方法方面研究者針對以上 20 個有關數感研究的分析，以班級為單位來進行數感研究的有 10 個；採用教學實驗的方式來進行數感研究的有 11 個，其中同時輔以個別訪談的方式，以深入瞭解學童數感能力發展之情形的研究有 7 個；採用調查研究方式來進行數感研究的有 6 個，同時輔以個別訪談的有 2 個；採用教學觀察法來進行數感研究，同時輔以個別訪談的有 1 個；單純採用個案研究的方式來進行數感研究的只有 2 個。叄、研究結果方面學童在經過研究者精心設計的數感教學課程之後，學童的數感能力皆有顯著的提升，而相較於傳統式的數學教學方式，採用數感的教學方式更能提高學童學習數學的興趣。由以上的資料可以發現：有關數感的研究，研究對象大部份還是以中高年級的學童為主；以班級為單位採用教學實驗的方式來進行數感研究的比率相當高；進行規劃完善的系統化數感教學活動能有效的提升學童的數感能力；在研究方法的使用上，無論是採用教學實驗法、調查法或是個案研究法的數感研究，同時輔. 27.

(40) 以個別訪談的方法，所占的比率相當高，可見採用個別訪談的方式來深入瞭解學童數感能力發展，在數感的教學研究中是相當常用的方式。對於國內外數感的研究，大致可以歸納出三個方向：一、透過研究者使用自編或既有的數感能力測驗，採用標準化紙筆測驗的方式，獲得所欲研究對象之數感能力相關資料，以瞭解其數感能力之發展情形，並分析學童在數感各個向度的表現，以及學童在面對和數字有關問題時，其思考歷程和解題策略的運用情形。二、研究者根據所設定之研究目的，設計一系列有關提升學童數感能力的教學活動課程，進行系統化的教學活動後，透過數感能力測驗所得的統計結果和晤談資料，進一步分析學童數感能力之改變情形，以瞭解數感教學活動之實施成效。三、由研究者編製和數感有關的詴題或問卷，透過網際網路，使用電腦化線上檢測系統來進行學童數感資料的蒐集，透過相關資料之統計分析結果，以瞭解學生數感能力之發展情形。針對兒童數感能力發展之研究，有關兒童數感能力之評量，目前主要還是以標準化紙筆測驗和晤談為主。在相關研究中，大多是採用選擇題的型式來呈現。透過這種評量方式的優點是，可以大量施測較經濟省時，而且有標準化答案，不但評分容易，而且結果易於解釋(林素微，2002)。同時，de la Torre (2009a, 2009b) 亦表示，雖然使用選擇題(Multiple-Choice)測驗的方式來獲得學童答題反應的相關資料，存在著許多缺失，但還是被廣泛的運用。因為，經由此種測驗方式得到學生不同能力的相關資料，可以從學生錯誤的答題表現中，經由認知診斷的方式來發現學生學習困難所在及其另類概念(alternative conceptions)。但是在詴題的效度方面，可能無法涵蓋所有和數感有關的能力。透過網際網路，使用電腦化線上檢測系統來進行學童數感資料的蒐集，在施測時可以不受時間、空間的限制，而且一次可以施測很多人，研究者亦可獲得相關的額外訊息。相信透過網際網路的便捷性與流通性，使用電腦化測驗來進行學童數感能力相關資料的蒐集與分析的研究方式，是未來數感研究發展的趨勢。. 28.