數感的意涵及其重要性

壹、數感的意涵

數學源自生活，數學教學應該要與生活相結合(教育部，2003；莊璧徽，2007)。

我國九年一貫課程(教育部，2003)數學領域，其精神強調數學教學應生活化，應 培養學生擁有「帶著走」的能力，注重學生的創造、思考、合理判斷、理性溝通 等能力，而數感教學，正好提供學生這樣的的學習空間(楊德清，2003)。

所謂的數感也尌是一種對數字的直覺。數感能力好的人面對和數字有關的問 題時，能不頇完全依賴紙筆，尌能找到合理的解答。數感和生活息息相關，數感 教學尌是要讓學生用心去感受數字。

Greeno (1991)認為，數感的領域包含數與量(numbers and quantities)，數感是 許多重要但難以理解的能力，也是在心智上一系列建構與推理的能力，包括能彈 性的運用心算、數的估算和量的判斷。Trafton (1989)則認為，數感像是把數當成 具體的量來處理，而不認為數是抽象的符號。

數感是個人處理數的經驗所發展出的基模或者是概念，個體在情境中對數之 所以產生感覺主要來自這個基模或概念，也可藉此協助進行數的關係判斷或推理 (林素微，2002)。楊德清(2001)表示，數在小學課程中佔有極為重要的角色，而數 與我們的生活亦息息相關。因此，不懂得數的意義與數字大小將無法開啓數學學 習之大門。在二十一世紀的今天，協助兒童發展良好的數感能力已倍受國際間數 學教育學者的重視。

數感(number sense)一詞，也有譯成「數字常識」(楊德清，2002)。對於數感

的真正涵義，可以從國內外許多專家學者對於數感的詮釋，對數感的本質有更深 入的瞭解。研究者將所蒐集到有關數感涵義的資料依其特性歸納整理如下：

一、數感是一種能力的展現

數感是一種潛在的能力和傾向，具有數感的人能採用變通的方式去進行有關 數與量問題的判斷，並能發展有用的策略去掌握數字和操作數學，不落入數字的 陷阱中。數感是重要的，是多種能力的組合，是個體必備的但卻是難以理解的能 力，也是個體一種能力的展現。一個具有數感的人，在面對和數學有關的問題時，

可以將數字和數學學習意義化，同時也能駕馭數字，對數字的組成型態具有辨識 能力，也能夠預設合理的答案，據此來排除不合理的答案(支毅君，1997；林素微，

2002；楊德清，2002；Blastland & Dilnot, 2007；Dougherty & Crites, 1989；Greeno, 1989, 1991；Hope, 1989；Mclntosh, Reys & Reys, 1992；Reys & Yang, 1998；Resnick, 1989；Trafton, 1989)。

二、數感屬於高層次的思考

數感是一種高層次、開放性的思考歷程，也是一種推理能力，個人在面對和 數字有關的問題時，能將數字意義化，可以採用多元的解題策略來處理和數字有 關的問題，也是一系列在心智上的建構與推理的能力(支毅君，1997；曹雅玲，

2006；Greeno, 1991)。

三、數感是一種對數字的直覺

數 感 可 以 被 描 述 為 ， 個 體 對 於 數 字 及 其 之 間 關 係 的 一 種 良 好 的 直 覺 (intuition)。數感是直觀的、浪漫的、不證自明的，也是一種對數字或是數字與周 遭環境相關的一種直覺，對數字與運算符號之意義理解，帄時儲存在長期記憶區 中，當有需要時可以自動取出來使用(林素微，2002；曹雅玲，2006；楊德清，2002；

Greeno, 1991；Howden, 1989；NCTM, 1989)。

四、具有數感能力的人在面對數字時較有信心

具有數感能力的人，在遇到與數字有關的問題時，有能力探求各種可能的解 決方法，不僅在面對和數字有關問題時較有信心，對數字的處理也同樣有信心，

在解題過程中不但可以建立自信，也能找到學習數學的樂趣(支毅君，1997；

Bednarz & Janvier, 1988；Howden, 1989；Tucker & Newman, 1988)。

五、數感是一種對數字和運算的理解

具有數感的人，能理解數字所代表的真正意義，對特殊數字有真實的感覺，

而不陷於數字的迷思。而且在面對和數字有關問題時，有能力對數字進行分解和 組合，能選擇適當有效的計算方式（例如，心算、估算、或者電算器的使用。），

不受限於傳統制式的紙筆計算之規則系統，能自行發展出多元且有效的解題策 略，對於計算結果的合理性以及答案的適切性也能加以判斷，亦即具有自我監控 的能力(支毅君，1997；楊德清，2002；Dougherty & Crites, 1989；Greeno, 1991；

Hope, 1989；Howden, 1989；Kathotia, 2009；Mclntosh, Reys & Reys, 1992；NCTM, 1989；Reys, 1994)。

六、數感的發展是逐步漸進的

數感並不是一個實體，數感是一種常識，可以有一定的形式，可藉由努力得 來，而且是逐步發展的。具有數感的人，有能力將新舊經驗作一個連結，數感能 力亦會隨著知識與經驗的累積而有所增長(曹雅玲，2006；Bednarz & Janvier, 1988；Greeno, 1991；Howden, 1989；Reys, 1994；Thornton & Tucker, 1989)。

由以上的論述可以得知，所謂的數感是一種對數字的直覺，包含對數字以及 運算符號之理解與應用，也是多種能力的組合，這些能力包括瞭解數字的基本意 義、比較數字大小的能力、瞭解數字運算的結果、能進行估算並判斷其合理性以 及數的合成與分解。數感能力好的人，面對和數字有關的問題時，能不頇完全依 賴紙筆，尌能找到合理的解答。數感是屬於高層次的思考能力，同時也是高度個 人化的，它和運算以及日常的生活情境是相關聯的，當個體面臨和數字有關的問 題時，能運用彈性思考，發展出多元的解題策略，對於運算的歷程及答案的合理 性，能透過後設認知的覺察力，達到自我監控的目的，同時數感能力可藉由努力 而獲得，亦會隨著知識與經驗的累積而有所增長。

貳、數感的重要性

九年一貫課程(教育部，2003)數學領域中提及，在進入二十一世紀且處於高 度文明化的世界中，「數學知識」及「數學能力」已逐漸成為日常生活及職場裡 應具備的基本能力。所謂的「數學能力」，是指對數學掌握的綜合性能力，以及 對數學有整體性的感覺。而學生數學能力的深化，奠基在揉合舊有的直觀和新的 觀念，進而擴展成一種新的直觀。「直觀」指的是思維流暢的具體展現，能擺脫 數學形式規則的束縛。而且在課程中強調，數學要與學生的生活相結合，讓學生 能將課堂上所學的知識實際應用在日常生活中，使數學學習成為一種快樂的經 驗，更要培養學生擁有「帶著走」的能力，其精神和數感教學的理念不謀而合。

認知心理學家將知識分成「描述性知識」和「程序性知識」。由認知心理學家 對數學的觀點來看，數感應該是屬於「描述性知識」。數學學得好的學生，在這 兩類知識上通常要比一般的學生好。近年來，更發現數學概念的理解(描述性知 識)，在使用解題策略(程序性知識)的過程中，扮演重要的角色，而在數學概念理 解的過程中，很多學者發現數感的重要性(林素微，2002；張漢宜，1997)。

Turkel & Newman (1988)表示，有數感的人能輕易地覺察數字之間的關係，他 們對數字相當有自信，而且知道如何去解釋數字，且對數字有良好的理解，他們 有能力去使用和瞭解他們身邊的數字。同時，Blasland & Dilnot (2007)認為，生活 中充滿了數字，舉凡新聞、政治、或者是日常生活都可以見到數字，數字儼然已 成為一種強勢的公眾語言(pre-eminent public language)，而數字有時卻會掩蓋事 實。因此，我們要運用本身已具有的知識、經驗、以及對數字的直覺來看穿數字 的陷阱。數感能力是逐步發展的，不受限於傳統制式的規則系統(Greeno, 1991)。

學童數感能力的培養，不能光靠教師來傳授，它是要由學童主動的去思考、去探 索、運用既有的知識去解決問題，它是一種要靠日積月累的、漸進的能力。

美國國家研究協會(NRC, 1989)在出版的 Everybody Counts 一書中主張數感教 學應該為小學數學教育的主要目標。美國國家數學教師協會(NCTM, 1989）出版 的「學校數學課程與評量標準」(Curriculum and Evaluation Standards)在文中明確

指出，數感是一種對數字的直覺，這種感覺來自於兒童對數字及其意義的理解，

亦在數學教學課程標準中列入數感教學這一項。並於 2000 年公布的「學校數學 課 程 原 則 與 標 準 」 (The principles and standards for school mathematics, 簡 稱 PSSM），在數與計算(Number and Operations)的標準中亦明確指出「數與計算的標 準之核心 在於發 展兒童 的數感 能力」 (Central to the Number and Operations Standard is the Development of Number Sense)。我國九年一貫課程(教育部，2003) 數學領域中提及「流暢的計算能力有如語文學習中基本的文字駕馭能力，可以內 化學童的數字感。」其中也隱含了數感的精神。

數感的重要性可列舉如下(林素微，2002；張漢宜，1997)：

一、引發學習數學的興趣：相較於傳統的數學教學，數感教學有助學生去探索數 字的關係，而避免枯燥的記憶。

二、協助發展心算、估算、估測等技巧：心算、估算是屬於策略性的知識，從現 有的研究中可以發現，有些心算活動涉及到分配律(distribution law)的使用，而分 配率的使用和數感有關。

三、增進解題過程中的後設認知能力：具有良好數感的人，能在解題過程中，先 根據題意來預設合理的答案，並能據此排除不合理的答案(Dougherty & Crites, 1989)。

雖然，對於數感一詞至今仍是難以理解的，但可以確定的是，它和許多重要 的能力有關。法國數學家同時也是神經心理學家 Dehaene (1997)(王麗娟譯，2000) 嘗詴由心理學的角度來認識人類的數學能力，而從動物與嬰兒的實驗中得知，透 過後天環境的訓練與培養，可以提升其數感能力。而 Su, Marinas & Furner (2010) 曾建議，為提升學生的數感能力，亦可以透過免費的網路資源，如 The Square Tool 這個新興的網路工具，透過選擇任何整齊有規則的數字方陣，可以幫助學童來理 解和發現加法、乘法、除法、因數和倍數等之間的數字關係，以增進學童數感能 力之發展。

具有數感的人，能察覺和善用環境中數字與數量(numbers and quantities)的關

係，且能加以靈活的運用來解決問題(Greeno, 1989)。而擁有良好數感的人，對於

Bobis (1991)曾經說明數感在使用電算器來計算的三個階段中所扮演的角 色，如表 2-1-1 所述(引自 Bobis, 1991,p.42)。

表 2-1-1 數感在使用電算器來計算的三個階段中所扮演的角色

表 2-1-1 數感在使用電算器來計算的三個階段中所扮演的角色