第一章 緒論
第四節 模糊解釋結構模型法
唯考慮輸入「1」與「0」的二項關係為條件，傳統的 ISM 容易解決各要素之 間的相互關係。運用在教學時，係利用圖形理論（graph theory）中的階層有向圖
（hierarchical digraph），來描述課程教材要素之前後順序，如此將可使教師把腦 中片段、抽象化的教材之要素順序，轉變為具體化、全面化的關聯構造階層圖（蔡 秉燁，2002）。
但其在應用中還存在缺陷，即對要素之間的關係不能作明確的判斷，實際上，
不能够只限制於「1」與「0」擇一的嚴格條件。必須導入人類的曖昧性即 Fuzzy 思惟。Fuzzy ISM 應用模糊演算法與 ISM 相結合，解決了此一問題。應用模糊理 論截切矩陣（
- cut matrix），以及察覺的模糊邏輯模式（fuzzy logic model of perception）測度，可以改進傳統 ISM 受限於二元資料的限制。模糊理論是1965 年由 L. A. Zadel 所提出，其思惟不同於古典數學利用二元 邏輯來定義事物現象的敘述方法，以隷屬度（membership）的概念來描述要素對 集合的歸屬關係。模糊理論將要素s與集合A之間的關係介於 [0,1] 之間的隷屬 度來描述：令S表示全域（universal set）
為一映到 [0,1] 之函數，則S
{s}之 模糊子集合A的隷屬函數（membership function）記為～A
（Sugeno, 1974），表示 要素s隷屬於模糊集合 加以表示，即模糊關係矩陣（fuzzy relation matrix）。假設論域S有n個要素，同 様的論域S也有n個要素，則兩集合間的關係即模糊關係矩陣可表示為
～
～
～
１＋
AA
A
1
， 1
（2-19）[Fuzzy 二元關係之隷屬函數]
設集合（系統）
S { s
1, s
2, , s
n}
各要素間的二項關係之隷屬函數為f
r和 fr時，分別定義為：
f
r: S S [ 0 , 1 ]
（2-20）] 1 , 0 [ :
S S
fr （2-21）
則，
f
r與 fr之關係為：
r r
r
f
f f
1
1 ， 1
（2-22）如果有p為半開區間(0,1] 的實數時，
f
r有以下的三個性質。(一) Fuzzy 非自反律
S
S s
s
i i
( , )
，若滿足f
r( s
i, s
i) p
時，則Fuzzy 非自反律成立。(二) Fuzzy 非對稱律
) ( )
,
(
si sj
S
S i
j
，若滿足 fr(
si,
sj)
p or fr(
sj,
si)
p時，則 Fuzzy 非對稱 律成立。(三) Fuzzy 半遞移律
) (
) , ( ) , ( ) ,
(
si sj sj sk si sk
S
S i
j j
k i
k ， ， 其中， ， ，
，當
M f
rs
is
jf
rs
is
kp
n
j
( ( , ) ( , ))
1 時，若滿足
f
r( s
i, s
k) M
，則 Fuzzy 半遞移律成 立。FSM 的算法步驟（Tazaki, and Amagasa, 1979）如下：
步驟一 定義模糊從屬矩陣（subordinate matrix）
設系統為
S { s
1, s
2, , s
n}
，其各要素間之從屬關係，以矩陣A表示，A為S之模糊從屬矩陣，令
A [ a
ij]
nn, i , j 1 , 2 , , n
。矩陣A為一個nn的正方矩陣，矩陣内aij為要素
s
i從屬要素sj之程度，以模糊 二元關係f
r表示為aij
fr(
si,
sj), 0
aij 1 ,
i,
j 1 , 2 , ,
n。若模糊從屬矩陣滿足半遞移律時，則模糊從屬矩陣稱為模糊半可達矩陣
（fuzzy semi-reachability matrix）
步驟二 定義水準集合（level sets）
定義最上層水準集合
L
t(s )
，中間層水準集合L
i(s )
，最下層水準集合L
b(s )
以 及獨立水準集合L
is(s )
分別如下：( ) { }
1
1 lk
n
kj j n
iik j
t
s s a p a
L
， ( ) { , }1
1 kj
n
lk j n
k j
i
s s p a p a
L
， （2-23）( ) { }
1
1 kj
n
lk j n
kl
b
s s a p a
L
， ( ) { , }1
1
a p a p
s s
L
kjn
lk j n
kl
is
屬於最下層水準集合之要素
s
i，其從屬於最上層水準集合之要素B ( s
i)
，其 中B ( s
i) { s
ka
ij p , s
i L
b( s ), s
j L
t( s ) }
。若滿足下列「條件1」或「不滿足條件 1 但滿足條件2」時，即可定義{
Qj}
為「區塊（block）」.條件1：
sj,
sm
Lb,
若B(
sj)
B(
sm) 0
則Qj
rj1 B(
sj)
條件2：集合
s
(k)為由L
b(s )
以任意u個抽取第k個所構成之集合。步驟三 單一階層矩陣
從屬於同一「區塊」
Qj之要素，其要素，其要素間從屬關係亦是由模糊從 屬矩陣所構成；此時，對於各「區塊」所構成之小矩陣稱之為單一階層矩陣A
( j)。 此單一階層矩陣為修正模糊半可達矩陣之結果矩陣A
'，修正過程如下：1. 將矩陣中對應於
L
t(s )
的元素之列消去。2. 將矩陣中對應於
L
b(s )
的元素之行消去。3. 將矩陣中對應於
L
is(s )
的元素之列和行消去。所餘之模糊從屬矩陣為新的
A
'步驟四 將矩陣
A
'對應毎一個「區塊」集合Qj進行分割，作成單一階層矩陣)
A
( j步驟五 設定結構参變數
之値，分別就毎一個單一階層矩陣A
( j)，決定系 統之結構。為了決定模糊從屬矩陣其系統結構的唯一性，必須在單一階層矩陣A
( j) 裡對s
i之階層行為sj進行演算：[
ai] [
ai] [
a1] [
a2] [
an]
。將[ a
i]
以[
ai]
置 換並消去，其中jr jr
jr
a
a a
１＋ 1
。
Fuzzy ISM 圖範例：
本範例採用國中七年級數學科二元一次方程式單元，十題選擇型試題為例，
其試題與試題間的模糊測度表如表2-5 所示。最後經由 ISM 軟體的計算，(i)當取 截切值
0 . 5
，可以得到圖 2-3 FSM 概念結構圖；(ii)當取截切值 0 . 7
，可以 得到圖2-4 FSM 概念結構圖。表2-5 試題之試題-試題模糊測度表
P\S P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P1 0 0.67 0.24 0.42 0.71 0.78 0.81 0.49 0.35 0.51 P2 0 0 0.48 0.81 0.35 0.55 0.4 0.63 0.34 0.68 P3 0 0 0 0.77 0.42 0.46 0.12 0.45 0.59 0.66 P4 0 0 0 0 0.33 0.32 0.16 0.32 0.34 0.48 P5 0 0 0 0 0 0.46 0.22 0.12 0.72 0.16 P6 0 0 0 0 0 0 0.17 0.55 0.46 0.57 P7 0 0 0 0 0 0 0 0.29 0.33 0.64
P8 0 0 0 0 0 0 0 0 0.29 0.33
P9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.64
P10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
資料來源：作者自行整理
圖 2-3 試題之 FSM 結構分析圖-1
圖 2-4 試題之 FSM 結構分析圖-2資料來源：作者自行整理