灰結構模型法

系統的結構分析通常是十分複雜；很難直接對系統資料或訊息進行分析，因 此常藉助模型來分析系統的結構。模型是傳達事物的一種表示方法，也是理解、

分析、開發或改造事物原型的一種常用方法。灰結構模型（Grey Structural Modeling, GSM）根據永井正武提出的 GRA（Grey relational analysis）計算出 LGRA 與 GGRA 之灰關聯度以及排序（Grey relational ordinal），根據灰關聯度數值進行比較，當 其中的一方有較大的值時，就被認定為較重要的項目，而成為結構系統排序的準 則。GSM 的基本思惟，以 Y 軸為 LGRA，以 X 軸為 GGRA 演算出來的二維平面 圖（Digrap）。

GSM的算法如下所示：

步驟一 根據永井正武所提案的 GSM 結構分析理論（Yamaguchi, et al., 2007） 進行矩陣排列，是採用分層法中之敏考斯基距離（Minkosky distance）（永 井正武、山口大輔、李国棟、水谷晃三，2005；Yamaguchi, Li, and Nagai, 2005；

Yamaguchi, Li, Mizutani, Akabane, Nagai and Kitaoka, 2006；Yamaguchi, Li, Mizutani, Akabane, Nagai and Kitaoka, 2007；Liang, Lee and Nagai, 2011；Liang, Sheu, Wang, Tzeng, and Nagai, 2011；Wang, Sheu, Liang, Tzeng and Nagai, 2011, 2012），計算出灰關聯度及排序，能夠呈現出整體研究結果的排序狀態。

比方，以S-P表為例時，令 i 為受測者（學生），j 為試題，定義其原始矩 陣，其中

i

,

j

1,2,,

m

;

0  

_ij

 1

，接著運用永井灰關聯度排序（Yamaguchi, Li and Nagai., 2007），其範圍為



[0,1]。

因此局部灰關聯度LGRA（Localized grey relational analysis）公式為：



整體灰關聯度GGRA（Globalized grey relational analysis）公式為：



對於集合 C_i 與 C_j，定義多層級階層集合為 Q_ij



C_i



C_j，其誤差值為

j i

e

ij



₀



₀ ，界定其範圍為

0 

e_ij

 1

，且

e

_ii

 0

_。

優先進行排序的集合為 C_i 時，需要滿足下列兩個條件：

條件 1 C_i 是所有尚未排序集合中的基數之最小，亦即 { } min{ _{i i}是尚未排序的集合}

i i

card C C

C

card

  ，簡記為 _i

i i

C

C

card

{ } min 。 條件 2 對於任意尚未排序集合 C_j，

j

1,2,,

m

;，必須滿足

C

_i 

C

_j。

步驟三 階層結構的劃分方式是根據永井正武的階層理論（Yamaguchi, Li, Akabane, et al., 2007），GSM 圖的階層劃分，是將數個有相關的元素集群在一起，

公式如下：

} ,

) ,

{( x

_i

x

_{j ij 0i 0j}

P      _ 

（2-28）

其中，



是一個共同係數，其範圍介於

0    1

，二者之間可以是共同的 關係，可表示為 (x_i,x_j)，P 也可以是經由上、下之間的關係所組成。

GSM 圖範例：

本範例採用國中七年級數學科一元一次方程式單元，以式子的運算為例；共 分為三個子單元，十二個學習概念，如表2-1 所示；概念間的因果關連結構矩陣，

如表2-2 所示。採用兩個班級的前測與後測學生答題反應數據，進行加總，可得 此兩個班級學生迷思試題之總和；研究中，抽取學生不同時答對與答錯之試題，

再對應前測問題-概念表和後測問題-概念表，可得表 2-6 前測總迷思試題之問題-概念表與表2-7 後測總迷思試題之問題-概念表。

將表2-6 前測迷思試題之總和之問題-概念表的數據矩陣進行轉置，帶入永井 正武的公式中，使用局部性灰關聯度公式及望大值公式定義，以 GSM 軟體進行 計算，繪出GSM 圖，呈現出概念之排序結構，如圖 2-5 所示。

 

表2-6 前測總迷思試題之問題-概念表

試題\概念 1: a 2: * 3: / 4: + 5: - 6: al 7: as 8: +- 9: x/ 10: () 11: xx 12: tol

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

9 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1

11 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

13 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0

14 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0

15 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

資料來源：許天維、曾建維、蔡清斌、陳姿良與永井正武，2012，結合迷思序與結構分析法於 學習迷思解析探討—以國中數學一元一次方程式為例，第7 頁

圖 2-5 前測總迷思試題之概念 GSM 結構分析圖

資料來源：許天維、曾建維、蔡清斌、陳姿良與永井正武，2012，結合迷思序與結構分析法於 學習迷思解析探討—以國中數學一元一次方程式為例，第8 頁

表2-7 後測總迷思試題之問題-概念表

試題\概念 1: a 2: * 3 :/ 4: + 5: - 6: al 7: as 8: +- 9: x/ 10: () 11: xx 12: tol

4 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

7 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0

11 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0

12 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0

資料來源：許天維、曾建維、蔡清斌、陳姿良與永井正武，2012，結合迷思序與結構分析法於 學習迷思解析探討—以國中數學一元一次方程式為例，第8 頁

將表2-7 後測總迷思試題之問題-概念表的數據矩陣進行轉置，使用上述局部 性灰關聯度公式及望大值公式定義；以GSM 軟體進行計算，繪出 GSM 圖，呈現 出後測概念之排序結構，如圖2-6 所示。

經過上述分辨係數



，階層係數



與共同係數



的調整，從試題-概念

（P-C 表）或是 LGRA-S 與 LGRA-P 的數據，可以得到如圖 2-5 的前測總迷思 試題之概念GSM 結構分析圖，顯示前測之概念最困難（即 Gamma 值為較上層）。

可看出概念8:+-、6:al、9:x/與 10:()，與圖 2-6 的後測總迷思試題之概念 GSM 結 構分析圖，顯示後測之概念最困難（即Gamma 值為較上層）。概念 6:al、5:-、

3:/、8:+-、9:x/與 10:()，LGRA 值越接近 1 代表越迷思的試題概念。因此，透過 教師所建立ISM 概念結構圖，與經由 Rasch Model GSP 表判讀為 0.5 之學生，其 迷思試題所對應之概念GSM 結構分析圖，亦可正確的判讀學生學習迷思概念之 所在。

圖 2-6 後測總迷思試題之概念 GSM 結構分析圖

資料來源：許天維、曾建維、蔡清斌、陳姿良與永井正武，2012，結合迷思序與結構分析法於 學習迷思解析探討—以國中數學一元一次方程式為例，第8 頁

 

第六節 粗糙集結構法

許天維、陳姿良、蔡清斌、永井正武等人（2013）提出粗糙集結構法（RSM），

其針對毎一個概念設其「外延」之後，再配給各個概念定義的「內涵」，也就是 説給於一個滿足各個 「外延



內涵」 條件的新概念為定義，這是一種形式概念。

建立這樣的形式概念，可以在數學形式上忠實地實現數學使用方法（Ganter, Stumme, and Wille, 2005；Birkoff, 1967；Diaz-Agudo, and González -Calero, 2001；

Jiang, Ogasawara, Endoh, and Sakurai, 2003），此外，由於數理演算手法的適用與 可視化，可以直觀地去理解有關結構分析的數理問題（永井正武、蔡清斌、陳姿 良，2013）。

根據RSM 的基礎理論，演算法步驟如下所示：

步驟一 確認研究目的及系統中所需要的元素，並生成所需要的形式背景W_i，

k

i

1 ,2, , 。

一個形式背景可以用一個關係表來表示，根據原始資料處理後得到「物件－

屬性關係表」。如表2-8 所示，關係表的列代表的是物件（

^x

_i,

i

1 ,2, ,

m

），行 為屬性（r_j,

j

1 ,2, ,

n

），則

m

1列、

n

1行的交叉處是×，表示物件

x

_m具有屬 性

r

j_。

表2-8 形式背景

U ＼R

r

₁

r

₂ …

r

n

x

1 ×

x

2 × ×

：

x

m × ×

將形式背景透過函數

U  R  

^f

{ 0 , 1 }

轉換，可得到二元矩陣 R

 [

a_ij

]

_mn ，

m

總數（Prosser, 1959）。

再配置矩陣有以下幾個特徵（永井正武、蔡清斌、陳姿良，2013）：

結線的増減。此外，可以直接針對必要的元素

s

_k於再配置矩陣給予増加與消除，

以控制節點的増減。増加時，原先定義該概念之後加入

s

_k與補充s_kRs_j

 1

或

0

j kRs

s 的各値，消除時則只將相當

s

_i和s_j之k的行與列從該再配置矩陣除去即 可。

步驟四 根據 ISM 中可達矩陣的運算方式建構可達矩陣。

根據可達矩陣的計算方式，關係矩陣對角線上的值一定是 0。因此再配置矩 陣W 對角線上的値也一定是 0。完成再配置矩陣的實際數據配置後，運用圖形理 論，將上面的再配置矩陣W 加上單位矩陣I，變為「含有自己的因果關係矩陣」， 以B表示，

B



W



I

。透過

B



W



I

（I 為單位矩陣），將矩陣W 轉換成含有自己 的因果關係矩陣B。接著，再透過布爾代數規則（111，101，011，

0 0

0  ，00 0，010，100，111），使B 連乘n次，得到

T

B B

B B

B 

²



³

  

^n1



ⁿ



（

B

ⁿ代表B連乘n次）。重覆的作此一運算，直到 矩陣結果不產生變化為止，此時之矩陣稱為可達矩陣

T  B

ⁿ。

步驟五 完成 RSM 圖。

對可達矩陣而言，稱列的集合稱為可達集合，以

P

(S)表示，而稱行的集合稱 為先行集合，以

Q

(S)表示，兩者之交集

P

(

S

)

Q

(

S

)稱為共通集合。即可建立系 統的多層級結構模型，也就是RSM 圖。透過 RSM 圖，可以將事件中的所有構造 要素，轉變成關聯構造階層圖，而得到各構造要素的分佈位置。

RSM 圖範例：

本範例採用中部某國小數學科小數單元，教師自訂的23 題選擇型試題，6 個 學習概念的測驗為例。其迷思區學生、學習概念與決策屬性所形成的 RSM 矩陣 如表2-9 所示。最後經由永井正武的 ISM 軟體計算，可以得到圖 2-7 RSM 概念結 構圖。

表2-9 學生概念可達矩陣

M\M S1 S7 S8 S9 S12 S14 S20 S21 S22 S23 S24 S28 C1 C2 C3 C4 C5 C6 D D1-5 D6-10 D10 以上

S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0

S7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

S8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0

S9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

S12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

S14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

S20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

S21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0

S22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

S23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0

S24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

S28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0

C1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

C2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

C3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

C4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

C5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

C6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

D1-5 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

D6-10 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

D10 以上 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

資料來源：許天維、陳姿良、蔡清斌、永井正武，2013，利用粗糙集和可達矩陣製作決策結構 圖，第7 頁

圖 2-7 RSM 圖

資料來源：許天維、陳姿良、蔡清斌、永井正武，2013，利用粗糙集和可達矩陣製作決策結構 圖，第8 頁

在文檔中 MSM暨教育測驗統計之應用 (頁 66-75)