貝氏網路

Xk X_k 0 Total

j 1

X  P X( _j1,X_k1) P X( _j1,X_k0) P X( _j1)

j 0

X  P X⁽ j^0,Xk¹⁾ P X( _j0,X_k 0) P X( _j0)

試題 j

Total ^{P X( k 1) P X( k 0)} 1

在 OT 中，令^*_jkP(X_j 0,X_k1)表違反試題j為試題 k之下位試題之機率，

當^*_jk時，其中為一閾值(threshold)且0.020.04（Airasian & Bart,1973），

若介於 0.02 及 0.04 間，則設定試題 j為試題 k之下位試題，記成X_j X_k。

第二節 貝氏網路

創新教學、多元化評量是九年一貫教改政策的核心精神之一，是故傳統的 團班教學評量模式已很難滿足「把每個學生帶上來」的教育理想。最有效的教 學評量模式是依學生個人的能力，提供個別化的教材；同時能夠了解學習者困 難所在，即時輔助學生學習，才不致造成強者更強，弱者恆弱的局面。因此，

電腦化適性測驗提供了新一代的教學評量模式，它可以針對學生的作答反應，

給予不同的題目，用最少的試題達到診斷的效果。

而貝氏網路是近年來在人工智慧領域應用十分廣泛的判斷工具，在醫學、

決策學、工程學等領域應用相當廣泛，由於其具有絕佳的預測及診斷的能力，

近來也被應用在教學評量方面。因此，本研究利用貝氏網路的優點，將其應用 到電腦化適性測驗，在融合電腦化適性測驗的優點與結合貝氏網路的推論能力

下，力求更精準的推論學生的錯誤類型、子技能之有無。

壹、貝氏網路

貝氏網路是先結合先驗知識或專家意見等可觀察的資訊，並以機率圖形模 式的方式呈現，再利用機率分佈將特定領域中的不確定性變項組合成模型的一 種推論模式，因為貝氏網路乃應用模型中變數之間的因果關係與其相互影響的 機率來做推論，所以貝氏網路又稱貝氏信念網路、機率網路（蘇俊和，2002）。

完整的貝氏網路包含二個部分，分別是節點（node）及連結（link）。節點代表 有限範圍內任意的「概念」或「變數」，例如在本研究中提到的能力指標、子技 能、錯誤類型或試題皆是節點，而節點與節點之間是以「有向邊」做連結，有 向邊的有無意味著節點與節點之間因果關係的強度，即節點之間的關係是屬於 條件相依或條件獨立（劉湘川，2004）。因此，貝氏網路是一種以條件機率

（conditional probability）為基礎，以有向邊連結有限個節點所建構之非循環有 向圖（directed acyclic graph,DAG），且節點之間可藉由「親屬上下關係」來表 示。如圖 2-2-1 所示，A、B 兩節點有 A→B的關係，稱「A 為 B 之親代」且

「B 為 A 之子代」，也可說 A 是 B 的親節點，B 是 A 的子節點。

圖2-2-1 貝氏網路非循環有向圖

A

B

C

節點(node)

連線(link) 條件機率

(conditional probability)

貳、貝氏定理

貝氏網路圖型模式是利用貝氏定理來推論，底下以圖2-2-2所示之兩節點貝 氏網路結構圖做說明。

圖2-2-2 兩節點貝氏網路結構圖

假設a事件所發生的機率用P(a)表示，b事件所發生的機率用P(b)表示，P(a,b) 表示a事件和b事件同時發生的機率，則可用P(b|a)來表示在a事件發生的條件之 下，b事件所發生的機率（公式2.1）。P(b)和P(a)是可用訓練樣本所求得的先驗 機率，而P(b|a)可視為條件機率，且P(a)、P(b)不為0，因為若先驗機率P(b)=0，

那麼兩者的條件機率P(b|a)也會為0，在這種情形下我們是不考慮的。同理，也可 用P(a|b)來表示在b事件發生的條件之下，a事件所發生的機率（公式2.2）。

所以，從公式2.1與公式2.2可以推導出公式2.3，此即為Thomas Bayes於1763 年提出之貝氏定理。

節點(node)

連線(link)

節點(node)

根據貝氏定理，可求出在發生b事件的條件之下，發生a事件的後驗機率值 P(a|b)。因此，若已知貝氏結構圖中某觀測節點之先驗機率值，則可依貝氏定理 推論出其他所要觀察節點之條件機率值，同時可產生P(b|a)的機率表，此條件機 率表即為貝氏網路推論的基礎。

圖2-2-3 多節點貝氏網路結構圖

如果當貝氏網路節點數增加時，要找出此貝氏網路節點發生的機率還是可以 用聯合機率的方式求得，如圖2-2-3 所示，在多節點貝氏網路結構模式中，a是b 的親節點，有條件機率 P(b|a)。b和c是d的親節點，所以條件機率是P(d|b,c)。貝 氏網路全部節點的聯合機率為個別節點機率的連乘積，如公式2.4：

P(a,b,c,d) =P(a)P(b|a)P(c)P(d| b,c) (2.4) 因此，若已知觀測節點d的機率值，可以依貝氏定理推論，求其餘節點發生 論。如圖2-2-4所示，建立模型的過程分成以下三個步驟（楊智為，2007）：

d

a b

c

圖 2-2-4 建立貝氏網路模型的流程圖

一、根據研究資料，設立貝氏網路節點及連結

根據所確立的研究資料，進行學科專業知識探討與分析，建立節點與節點之 間的連線關係，其連結需符合該領域資料群體特性及專業知識，組成完整的貝氏 網路結構。

二、設定模型中節點的機率分布

計算所有可觀測節點和未觀測節點的先驗機率及條件機率分布。以觀測的資 料當證據，透過貝氏網路推論，獲得所感興趣的未觀測節點之後驗機率分布。

三、評估後驗機率的正確性

評估模型填入這些資料是否適合，以及這後驗機率對建立模型中所要知道的 節點推論是否正確。

根據以上步驟取得一個完整且最合適的貝氏網路模型後，便可依據此貝氏 網路模型來進行推論。本研究將根據相關研究結果，採二元資料輸入值，及動 態決斷值選取法（許雅菱，2005；郭伯臣、李俊儀、許雅菱、林文質，2005）

確立研究資料

架構貝氏網路圖形模式

驗證貝氏網路模型 設定模型中 節點的機率分布 觀測

資料

叁、貝氏網路在教育測驗上的應用

國內外已有不少的相關研究報告顯示，貝氏網路應用於教育測驗上的可行性 相當高，利用貝氏網路機率推論的方法，可以快速又有效率幫助教學者診斷出學 生在學習上錯誤類型與子技能的有無情形（Lee & Vomlel, 2003；施淑娟，2006；

吳仁奇，2006)。相關文獻整理如表2-2-1。

表 2-2-1 貝氏網路在教育測驗上之應用

研究者 研究內容摘要

施淑娟、許雅菱、

李俊儀、郭伯臣、

劉湘川 (2004)

以國小四年級「小數加減」單元為研究範圍，建立貝氏網 路來進行診斷測驗。

許雅菱 (2005)

探討以證據中心為基礎的評量設計，以貝氏網路為基礎，

建構以概念性的評量架構為主的評量傳遞模式。

蘇文君、汪端正、

郭伯臣 (2006)

以國小數學「等值分數」單元為研究範圍，探討技能層之 間有上下位關係的貝氏網路診斷精準度。

汪端正、蘇文君、

郭伯臣、楊智為 (2006)

以數學領域「數與量」能力指標為研究範圍，探討技能層 之間的上下位關係，應用四層之貝氏網路進行診斷測驗。

吳仁奇 (2006)

以數學能力指標「分數」建立貝氏網路，並製作補救教學 動畫，以利在診斷測驗後進行有效的補救教學。

游國昌 (2006)

以「證據中心的評量設計」之架構為基礎，設計以證據為 中心的題組試題，進行實徵研究，並結合貝氏網路對施測 資料進行分析。

表 2-2-1 貝氏網路在教育測驗上之應用（續）

研究者 研究內容摘要

楊智為、劉育隆、

楊晉民、曾彥鈞 (2006)

利用試題順序理論進行電腦化適性測驗後，使用貝氏網路 作為診斷工具。能節省施測題數並保有一定的辨識率。

王尉讚 (2007)

以順序理論來提升貝氏網路診斷測驗之成效，以電腦化自 動線上適性診斷測驗系統，適性補救教學系統來進行驗證。

黃秋蓉 (2007)

結合不同貝氏網路，作為電腦適性診斷測驗之選題及推論 依據，並根據子技能編寫電腦補救教學，結合成一套適性 學習系統，進行施測並評估其成效。

由以上文獻研究結果可知，在教育測驗上應用貝氏網路的機率推論模型作 為診斷評量的工具確實有效、可行，因此本研究將配合本章第一節中所述，採 用「以知識結構結合貝氏網路機率模型」為基礎之電腦適性診斷測驗系統作為 診斷評量的工具，藉由貝氏網路的高推論精準度研判學生的錯誤概念，以利後 續實驗中補救教學的實施與成效評估。