能力指標6-n-01相關單元「質數與合數」教材分析

壹、能力指標 6-n-01 概念內涵在不同課程標準時代下的編排分析

本研究中之「質數與合數」單元是依九年一貫數學領域六年級能力指標 6-n-01「能認識質數、合數，並作質因數的分解（質數＜20，質因數＜10，被 分解數＜100）」內容設計而成，乃延續自國小五年級能力指標 5-n-03「能理 解因數、倍數、公因數與公倍數」的指標內涵，繼續探討質數、合數、質因數 與質因數分解等概念，同時也是六年級能力指標 6-n-02「能認識兩數的最大公 因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方 式，並能將分數約成最簡分數」、以及七年級能力指標 7-n-09、7-n-10、7-n-11 的先備指標。以下分別就 64 年、82 年及 89 年課程標準中與能力指標 6-n-01 之相關教材做介紹。

一、「能力指標 6-n-01 概念內涵」在 64 年版國小數學課程標準中的編排（國立 編譯館，1991-1992），如下表 2-3-1：

表 2-3-1 64 年版國小數學課程與「能力指標 6-n-01 概念內涵」之相關教材編排

年級 單元及單元名稱 教材內容

第一單元 因數

利用「方陣排列」與「等分組」情境，經驗因數的意 義。（質數與合數的先備概念）

質數與合數的意義。

公因數與最大公因數的意義。（質因數分解的應用）

互質的意義。

第二單元 倍數

倍數的意義。

倍數與最小公倍數的意義。（質因數分解的應用）

奇數與偶數的意義。（2、3、5 的倍數判別的銜接教材）

五年級上學期

第五單元 分數

約分的意義。（質因數分解的應用）

通分的意義。（質因數分解的應用）

二、「能力指標 6-n-01 概念內涵」在 82 年版國小數學課程標準中的編排（國立 編譯館，1999-2000），如下表 2-3-2。

表 2-3-2 82 年版國小數學課程與「能力指標 6-n-01 概念內涵」之相關教材編排 編排（南一出版社，2007），如下表 2-3-3。

表 2-3-3 89 年版國小數學課程與「能力指標 6-n-01 概念內涵」之相關教材編排

表 2-3-3 89 年版國小數學課程與「能力指標 6-n-01 概念內涵」之相關教材編排（續）

玆將九年一貫數學正式課程綱要（教育部，2003）中，與「能力指標 6-n-01 概念內涵」前後銜接的相關分年細目及對照的能力指標，加以整理如表 2-3-4。

表 2-3-4 能力指標 6-n-01 之相關分年細目表

分年細目代碼 分年細目內容 對照指標

1-n-07 能進行 2 個一數、5 個一數、10 個一數等活動。 N-1-01 N-1-03 2-n-06 能理解乘法的意義，使用×、＝作橫式紀錄，並解決

生活中的問題。 N-1-03

2-n-08 能理解九九乘法。 N-1-06

A-1-03 3-n-04 能理解除法的意義，運用÷、＝作橫式紀錄（包括有

餘數的情況），並解決生活中的問題。 N-1-04 5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 N-2-04 6-n-01 能認識質數、合數，並作質因數的分解（質數＜20，

質因數＜10，被分解數＜100）。 N-3-01 6-n-02

能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質 的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，

並能將分數約成最簡分數。

N-3-02

表 2-3-4 能力指標 6-n-01 之相關分年細目表（續）

（南一書局，2007）

對照表 2-3-1、2-3-2、2-3-3、2-3-4，可以發現國小 82 年課程標準強調 建構式教學方法及培養學生帶得走的獨立思考能力，所以在課程安排上，將 64

過程中存有「建構式數學理念」、「能力指標解讀」、「教學時數」、「課程與版本 銜接」、「一綱多本」、……等的問題，以及「學童計算能力有下滑的傾向，同時 在思考能力上，也未見提升，部分學童因計算能力的薄弱，導致解題上頻頻挫 敗，喪失學習信心與學習意願」的擔憂與爭議（林宜臻、林沂昇，2007），有鑑 於此，教育部再度修訂 89 年版數學暫行綱要，並於民國 92 年公佈九年一貫數 學課程綱要，將「能力指標 6-n-01 概念內涵」再度歸入六年級數與計算範疇中。

貳、依數學能力指標 6-n-01 設計之「質數與合數」單元教材分析

本研究中之「質數與合數」單元是依九年一貫數學領域六年級能力指標 6-n-01 內容設計而成，茲將該指標需達成之細部內容進一步整理如表 2-3-5。

表 2-3-5 九年一貫數學能力指標 6-n-01 分年細目說明（教育部，2003）

指標編號 指標內容

6-n-01 能認識質數、合數，並作質因數的分解（質數＜20，質因數＜10，

被分解數＜100）。

細 目 說 明

◆在 5-n-03，製作整數的因數表時，可以發現有一些整數不能再被 分解，這些數稱為質數，他們的因數只有 1 與自己而已。大於 1 且不是質數的整數（或有 3 個以上因數的整數）稱為合數。

◆在對一數做因數分解的練習裡，發現遇到質數就必須停下來[註 解 3]。同時在紀錄分解的樣式及整理中（此時的質因數乘積不寫 成指數形式），發現不管怎麼分解，形式都一樣。

例：60＝6×10＝(2×3)×(2×5)＝2×2×3×5，

或 60＝15×4＝(3×5)×(2×2)＝2×2×3×5＝22×3×5 等。

◆牽涉因數分解的細目（參見 6-n-02），都應遵循如下原則：質因 數＜10，被分解數＜100。

◆讓學童熟悉 20 以內的質數之倍數（小於 200）。並可從活動中，

讓學童掌握 2、3、5 的倍數規則。

根據表 2-3-5 九年一貫「數與量」主題中第三階段（6~7 年級）能力指標 分年細目的說明，研究者將能力指標 6-n-01 的概念內涵分為以下三部份做進一 步的闡釋：

一、質數、合數的意義與判別

由分年細目的說明中可發現本指標內涵是先以複習找因數的經驗導入學 習，讓學生發現正整數的因數有三種情況：只有 1 個因數、剛好有 2 個因數、

有超過 2 個以上的因數，藉此認識質數與合數的意義。

因為質數與合數的定義相當抽象，且涉及學生語意理解的問題，初學者判 別較有困難，故可在教材中引入西元前三世紀的天文學家 Eratosthenes 所提出的 厄拉多塞篩法（Eratosthenes sieve），藉著利用視覺性、操作性等比較具體的方 式來尋找質數（不名，1983; Arlene, 2001），並利用製表方式，進行整理並 實際經驗 20 以內質數的倍數為何的數感教學活動。同時也藉著篩選質數的活動 中，輔導學生依據數的結構，從數的分析中掌握 2、3、5、7、11 等質數的簡捷 倍數判別規則（李信樂，1979；Barry , 2005）；此外，也有建構主義學者主張 讓學生經由拆解的遊戲中，以因數的組合、分析之辯證觀點來進行質數與質因 數分解的教學（史英，2003；Barry, 2005）。雖然六年級學生的認知發展階段 剛邁入形式運思期，漸漸的能從根據具體經驗思維解決問題的發展階段，轉向 以抽象思維表徵解決問題的階段，但是認知發展因人而異且有個別差異，因此 古今中外學者皆不排除透過圖像、情境等方式，來幫助學生學習能力指標 6-n-01 中「質數、合數的意義與判別」的概念內涵。

二、質因數的意義、判別及質因數分解

判別某數的質因數為何，有兩道過程：一是質數，一是因數，兩個條件皆

狀分解法，一是短除法（李信樂，1979）。關於使用樹狀圖（tree diagram）學 習因數概念的方法，即利用因數樹（factor trees）一層一層的將某數一再的命名，

不斷的擴展層級，直到最後一層都成為質數為止。另有學者則藉由樹狀圖記錄 質因數分解的過程中，引導學生發現：不管怎麼分解，最後整理出來的乘積的 樣式都一樣（Christiana & Thomasenia, 2007）。此種藉由圖解的形式，可幫助 學生了解「自然數的質因數分解為唯一」的概念（不名，1983）及解題技巧。

「短除法」也是有助於學生切入「自然數的質因數分解為唯一」概念的另 一種方法，它是根據算術基本定理（The fundamental theorem of arithmetic），

即任意大於 1 的正整數，若不計較其質因數出現的次序，則此分解法為唯一（劉 好，1986）而來的計算方式。短除法有別於學生過去所學的長除法，只寫出除 數和商，是一種過程中省略了除法運算過程的寫法，它是除法直式計算的簡化，

且在使用短除法進行某數的質因數分解時，皆以質數當作除數。

由於國小階段尚未學過指數，因此在進行某數的質因數分解教學時，質因 數分解的乘積不寫成指數形式，但希望學生在寫質因數分解式時，能將數字由 小寫到大，以便未來銜接國中階段能力指標 7-n-10 時，屆時再度提及某數的質 因數分解式時，能正確的以「標準分解式」的指數形式來書寫質因數分解式。

三、質因數分解是學習未來相關的延伸能力指標的先備知識

學生未來在學習 6-n-02、7-n-10、7-n-11 等能力指標概念，亦即尋找兩數

（或兩數以上）的最大公因數及最小公倍數時，常採用如表 2-3-6 的幾種方式：

表 2-3-6 常見最大公因數&最小公倍數計算方法（劉好，1986；黃毅英，2005） 最大公因數記為（6，9）＝3

列舉兩數（或兩數以上）的所有倍

6 的倍數有：6、12、18、24、30、36…

9 的倍數有：9、18、27、36…

6 和 9 的公倍數有 18、36…

最小公倍數記為[6，9]＝18

質因數分解

36＝2×2×3×3，

48＝2×2×2×2×3

36 和48 的共同的質因數乘積是2×2×3＝

36＝2×2×3×3，

48＝2×2×2×2×3

皆包含36 和48 的質因數乘積是2×2×2×2×3

×3＝144，

所以 144 是 36 和 48 的最小公倍數

表 2-3-6 常見最大公因數&最小公倍數計算方法（續）

66＝2×3×11 且 48＝2×3×8，

因此 66 和 48 兩數共同的質因數為

66＝2×3×11 且 48＝2×3×8，

因此 66 和 48 兩數的最小公倍數起碼

叁、質數與合數之學習困難成因分析

國內外專門探討國小學生在質數與合數的概念發展與學習問題的研究非常 少，本節在此參酌黃國勳、劉祥通（2003）、林佩如（2002）以及蔡秉恆、黃天 佑（2005）等學者先前研究中所綜合之學習理論與國內外相關研究上的觀點，

分別從認知運思能力、先備知識、生活經驗、語意理解、過程概念、教材內容 及直觀法則理論等七方面，來探討學生在質數與合數概念上的相關學習瓶頸。

一、從認知運思能力來看

因數概念是學習質數與合數概念的先備概念，施美多（2006）指出，由除 法算式引入因數概念會比由乘法算式引入更容易使學童接受。所以在五年級階 段的教材安排，是透過具體物的操作（將固定數量的積木排成長方形找出所有 排法的組合）引導學生了解整除的意義，再由整除導入因數的意義，到了六年 級則從複習找因數的經驗導入學習，讓學生發現正整數的因數有三種情況：只 有 1 個因數、剛好有 2 個因數、有超過 2 個以上的因數，藉此認識質數與合數 的意義。雖然從皮亞傑（Piaget）的認知發展論來看，剛升上六年級學生的認知 發展剛進入形式運思期，但要直接透過定義來了解質數的意義也是頗花工夫 的，因為質數概念是由整除概念抽象、抽象再抽象後而得（整除→因數→質數）， 是屬於三階層的概念，因此學生並非透過具體物的操作來表現懂得質數的概

因數概念是學習質數與合數概念的先備概念，施美多（2006）指出，由除 法算式引入因數概念會比由乘法算式引入更容易使學童接受。所以在五年級階 段的教材安排，是透過具體物的操作（將固定數量的積木排成長方形找出所有 排法的組合）引導學生了解整除的意義，再由整除導入因數的意義，到了六年 級則從複習找因數的經驗導入學習，讓學生發現正整數的因數有三種情況：只 有 1 個因數、剛好有 2 個因數、有超過 2 個以上的因數，藉此認識質數與合數 的意義。雖然從皮亞傑（Piaget）的認知發展論來看，剛升上六年級學生的認知 發展剛進入形式運思期，但要直接透過定義來了解質數的意義也是頗花工夫 的，因為質數概念是由整除概念抽象、抽象再抽象後而得（整除→因數→質數）， 是屬於三階層的概念，因此學生並非透過具體物的操作來表現懂得質數的概