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適性診斷測驗與數位個別指導教材之研發-以國小六年級質數與合數單元為例

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Academic year: 2021

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所 教學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文. 指導教授: 郭伯臣. 博士. 適性診斷測驗與數位個別指導教材之 研發-以國小六年級質數與合數單元為例. 研究生:汪端正 撰. 中華民國九十七年七月.

(2)

(3) 適性診斷測驗與數位個別指導教材之研發 -以國小六年級質數與合數單元為例 摘要. 本研究嘗試以九年一貫國小數學領域六年級能力指標6-n-01內涵為例,設 計「質數與合數」之單元學習內容,並研發出一套整合「教學、診斷測驗與補 救教學」且能跨版本使用的數位個別指導教材,利用以知識結構和貝氏網路為 基礎的電腦適性診斷測驗作為診斷工具,且安排三組受試者分別接受不同指導 模式(一對ㄧ個別指導、ㄧ對二個別指導以及團班指導)的實驗教學,最後根 據實驗數據,檢驗電腦適性診斷測驗的診斷成效,並探討三種不同指導模式的 學習成效及數位個別指導教材的成效。 研究結果如下: 一、適性測驗成效方面,本研究中以知識結構為基礎所編製之「質數與合數」 單元電腦化適性測驗,不但確能節省試題,亦具有 95%以上的平均預測精 準度。 二、貝氏網路診斷成效方面,不論前測與後測,在適性選題與完整做答下,判 別學生錯誤類型與子技能有無情形的平均一致性皆達 95%以上,可見以貝 氏網路為推論模式的電腦適性診斷測驗具有相當高的穩定性,且具有適性 化、個別化的功能。 三、在教學成效上,個別指導模式之前測平均成績並無顯著優於團班教學模式。 但ㄧ對ㄧ個別指導組與一對二個別指導組平均成績達顯著差異。 四、在補救教學成效上,個別指導模式之後測平均成績顯著優於團班教學模式,. I.

(4) 但ㄧ對ㄧ個別指導組與一對二個別指導組平均成績並無顯著差異。 五、教材成效方面,在三種教學模式下,適性數位補救教學對學生的學習成效 均有顯著的提昇效果。其中,一對一個別指導組平均分數提昇3.71分;一 對二個別指導組平均分數提昇6.94分;團班教學模式平均分數提昇3.84 分。顯示本研究所研發之數位個別指導教材具有使用價值。. 關鍵詞:質數與合數、數位個別指導、電腦適性診斷測驗、知識結構、 貝氏網路. II.

(5) Research on the Development and Application of Combining Computerized Adaptive Diagnostic Testing with Teaching Materials of Digital Individual Instruction-Using Prime Number and Composite Number Unit in the Sixth Grade as an Example. Abstract The purposes of this study are to develop mathematical teaching materials, computerized adaptive diagnostic test (CADT), and teaching media of prime number and composite number unit. All of above well be applied to individual instruction and adaptive remedial instruction. CADT system includes both the knowledge structure based adaptive testing (KSAT) and the Bayesian networks based adaptive testing (BNAT). According to theories of Bayesian networks and knowledge structure, the teaching materials including complete instructions, computerized adaptive diagnostic test and remedial teaching activities are devised. Above materials are then integrated into both the digital individual instruction model and the traditional class teaching model. The former model includes 1 to 1 and 1 to 2 individual instruction models.After the the teaching experiment, we will analyze the effects of CADT, the digital teaching materials and the three different instruction models. The results of this research are as follows: 1. In average, after pre-test, the number of items instructed by KSAT is 19.2, we could save 15.8 items, and the prediction accuracy can reach 94.3%. After post-test, the number of items instructed by KSAT is 18.8, we could save 16.2 items, and the prediction accuracy can reach 96.3%. 2. The results of using BNAT to analyze the prediction accuracy of mistaken types and sub-skills are as follows: the prediction accuracy of pre-test is 95.25%, and post-test is 96.48%.. III.

(6) 3. After pre-test, there is no significantly difference between the individual instruction group’ s average score and the traditional class teaching group’ s. Furthermore, significant difference is found on students’average score between 1 to 1 and 1 to 2 individual instruction groups. 4. After post-test, average score of the individual instruction group is significantly better than the traditional class teaching group. Furthermore, no significant difference is found on students’average score between 1 to 1 and 1 to 2 individual instruction groups. 5. Using the adaptive digital remedial instruction, students have significant progress on their average scores. The progress scores of 1 to 1 individual groups are up to 3.71; the progress scores of 1 to 2 individual instruction group are up to 6.94; and the progress scores of traditional class teaching group are up to 3.84.. Keyword: prime number and composite number, Computerized Adaptive Diagnostic Test (CADT), digital individual instruction, knowledge structure, Bayesian Networks. IV.

(7) 目 錄 頁次 論文口試委員審定書 博碩士論文電子檔案授權書 謝 辭 中文摘要............................................................I 英文摘要...........................................................Ⅲ 目 錄.............................................................Ⅴ 表目錄.............................................................Ⅶ 圖目錄.............................................................Ⅹ. 第一章 緒論........................................... 1 第一節 第二節 第三節 第四節. 研究動機.................................................... 研究目的.................................................... 名詞解釋.................................................... 研究範圍與限制............................................... 1 4 5 7. 第二章 文獻探討........................................9 第一節 第二節 第三節 第四節. 以知識或試題結構為基礎之電腦診斷測驗.........................9 貝氏網路....................................................13 能力指標6-n-01相關單元「質數與合數」教材分析................20 診斷評量與補救教學..........................................40. 第三章 研究方法與步驟.................................49 第一節 第二節 第三節 第四節. 研究對象....................................................49 研究工具....................................................50 實驗設計與研究流程..........................................61 資料處理與分析..............................................65. 第四章 研究結果.......................................71 第一節 第二節 第三節 第四節 第五節. 教材內容及使用意見..........................................71 電腦適性診斷測驗成效分析....................................87 教學成效分析................................................93 補救教學成效分析...........................................100 學生能力表現分析...........................................104. V.

(8) 第五章 結論與建議....................................113 第一節 研究結論...................................................113 第二節 研究建議...................................................116. 參考文獻.............................................119 中文部份..........................................................119 英文部份..........................................................125. 附 錄 ...............................................127 附錄一:「質數與合數」單元紙筆診斷測驗............................127 附錄二:「質數與合數」單元貝氏網路圖..............................128 附錄三:數位個別指導教材使用回饋問卷..............................129 附錄四:教師教學手冊之學生單元講義頁面範例........................136 附錄五:教師教學手冊之學生加油手冊頁面範例........................138 附錄六:教師教學手冊之綜合進階練習題頁面範例......................140 附錄七:學生單元講義頁面範例......................................141 附錄八:學生加油手冊頁面範例......................................143. VI.

(9) 表 目 錄 表 2-1-1 電腦適性測驗在教育上的應用之相關文獻摘要表...............10 表 2-1-2 試題j與試題k之聯合邊際機率...............................13 表 2-2-1 貝氏網路在教育測驗上之應用...............................18 表 2-3-1 64年版國小數學課程與「能力指標6-n-01概念內涵」之相關教材編排 .........................................................20 表 2-3-2 82年版國小數學課程與「能力指標6-n-01概念內涵」之相關教材編排 .........................................................21 表 2-3-3 89年版國小數學課程與「能力指標6-n-01概念內涵」之相關教材編排 .........................................................21 表 2-3-4 能力指標6-n-01之相關分年細目表...........................22 表 2-3-5 九年一貫數學能力指標6-n-01分年細目說明...................24 表 2-3-6 常見最大公因數與最小公倍數計算方法.......................27 表 2-3-7 質數與合數單元相關文獻與錯誤類型對照表...................39 表 3-2-1「質數與合數單元紙筆診斷測驗」預試之難度、鑑別度、信度分析表 .........................................................55 表 3-2-2「質數與合數單元紙筆診斷測驗」選項誘答力分析表............56 表 3-3-1 實驗變因設計表...........................................61 表 4-1-1 學生單元講義教學重點名稱表...............................73 表 4-1-2 學生加油手冊補救教學練習名稱表...........................74 表 4-1-3 教師教學手冊使用意見回饋統計表...........................77 表 4-1-4 教師教學手冊最實用部份意見回饋統計表.....................78 表 4-1-5 學生單元講義使用意見回饋統計表...........................79 表 4-1-6 學生加油手冊使用意見回饋統計表...........................80. VII.

(10) 表 4-1-7 教學用PPT使用意見回饋統計表..............................81 表 4-1-8 補救教學FLASH使用意見回饋統計表..........................82 表 4-1-9 教師教學現場回饋意見統計表(個指師).....................83 表 4-1-10 教師教學現場回饋意見統計表(團班師)....................84 表 4-1-11 學生問卷-學習內容意見回饋統計表.........................85 表 4-1-12 學生問卷-學習難度回饋意見統計表.........................85 表 4-1-13 學生問卷-學習成效回饋意見統計表.........................86 表 4-2-1 電腦適性診斷測驗預測精準度及省題率成效分析表.............90 表 4-2-2 錯誤類型和子技能在適性選題與完整作答下的一致性統計表.....91 表 4-3-1 不同教學模式在各測驗的人數、平均數及標準差...............94 表 4-3-2 不同指導模式在各測驗的人數、平均數及標準差...............94 表 4-3-3 組內迴歸係數同質性檢定表(不同教學模式-教學成效) .......94 表 4-3-4 誤差變異量的 LEVENE 檢定表(不同教學模式-教學成效)......94 表 4-3-5 單因子共變數分析摘要表(不同教學模式-教學成效)..........95 表 4-3-6 平均數分析比較摘要表(不同教學模式-教學成效)............95 表 4-3-7 三種不同教學模式在前測平均數的差距表.....................95 表 4-3-8 組內迴歸係數同質性檢定表(1對1、1對2教學模式-教學成效)..96 表 4-3-9 誤差變異量的 Levene 檢定表(1對1、1對2教學模式-教學成效)96 表 4-3-10 單因子共變數分析摘要表(1對1、1對2教學模式-教學成效)...96 表 4-3-11 平均數分析比較摘要表(1對1、1對2教學模式-教學成效).....96 表 4-3-12 組內迴歸係數同質性檢定表(1對1、團班教學模式-教學成效).97 表 4-3-13 誤差變異量的 Levene 檢定表(1對1、團班教學模式-教學成效)97 表 4-3-14 單因子共變數分析摘要表(1對1、團班教學模式-教學成效)....97 表 4-3-15 平均數分析比較摘要表(1對1、團班教學模式-教學成效)......97 表 4-3-16 不同教學模式下前、後測錯誤類型發生人次比較表.............99. VIII.

(11) 表 4-4-1 組內迴歸係數同質性檢定表(不同教學模式-補救教學成效)....100 表 4-4-2 誤差變異量的 Levene 檢定表(不同教學模式-補救教學成效)..100 表 4-4-3 單因子共變數分析摘要表(不同教學模式-補救教學成效)......101 表 4-4-4 平均數分析比較摘要表(不同教學模式-補救教學成效)........101 表 4-4-5 組內迴歸係數同質性檢定表(不同指導方式-補救教學成效)....102 表 4-4-6 誤差變異量的 Levene 檢定表(不同指導方式-補救教學成效)..102 表 4-4-7 單因子共變數分析摘要表(不同指導方式-補救教學成效)......102 表 4-4-8 平均數分析比較摘要表(不同指導方式-補救教學成效)........103 表 4-5-1 不同教學模式之前、後測成績成對樣本差異檢定表.............104 表 4-5-2 不同教學模式之高、中、低分組學生平均進步分數統計表.......105 表 4-5-3 一對一教學方式下高、中、低分組學生成對樣本差異檢定表.....105 表 4-5-4 變異數同質性檢定表(一對一教學方式-依前測分數分組)......105 表 4-5-5 ANOVA檢定表(一對一教學方式-依前測分數分組).............106 表 4-5-6 一對一教學方式下高中低三組進步分數差異ANOVA事後比較表.106 表 4-5-7 一對二教學方式下高、中、低分組學生成對樣本差異檢定表.....107 表 4-5-8 變異數同質性檢定表(一對二教學方式-依前測分數分組)......107 表 4-5-9. ANOVA檢定表(一對二教學方式-依前測分數分組).............108. 表 4-5-10 一對二教學方式下高中低三組進步分數差異ANOVA事後比較表108 表 4-5-11 團班教學方式下高、中、低分組學生成對樣本差異檢定表.......109 表 4-5-12 變異數同質性檢定表(團班教學方式-依前測分數分組)........109 表 4-5-13 ANOVA檢定表(團班教學方式-依前測分數分組)...............110 表 4-5-14 團班教學方式下高、中、低三組進步分數差異ANOVA事後比較表110 表 4-5-15 補救教學後「分數達顯著進步」之教學方式統計表.............111 表 4-5-16 不同教學方式下高、中、低三組分數進步幅度達顯著差異統計表 ........................................................111. IX.

(12) 圖 目 錄. 圖 2-1-1 利用試題結構節省施測題數圖...............................12 圖 2-2-1 貝氏網路非循環有向圖.....................................14 圖 2-2-2 兩節點貝氏網路結構圖.....................................15 圖 2-2-3 多節點貝氏網路結構圖.....................................16 圖 2-2-4 建立貝氏網路模型的流程圖.................................17 圖 2-3-1 南一版與能力指標6-n-01內涵相關之單元教材地位圖...........23 圖 2-3-2 質數的概念階層圖.........................................30 圖 2-4-1 Nitko的診斷評量與補救教學統合模式........................45 圖 3-2-1「質數與合數」單元專家知識結構圖...........................53 圖 3-2-2「質數與合數」單元學生試題結構圖...........................58 圖 3-2-3「質數與合數」單元補救教學結構圖...........................60 圖 3-3-1 研究流程圖...............................................62 圖 3-3-2 實驗流程圖...............................................63 圖 3-3-3 BNAT系統測驗畫面.........................................64 圖 3-3-4 學習診斷報告書...........................................64 圖 4-1-1 教學用PPT範例............................................75 圖 4-1-2 補救教學用FLASH 範例.....................................76 圖 4-2-1 BNAT電腦適性診斷測驗暨學習系統平台.......................88 圖 4-2-2 電腦適性診斷測驗做答畫面.................................85. X.

(13) 第一章. 緒論. 數學科是國小學童最容易引起焦慮的科目(詹志禹,1997) ,隨著年級的升 高,數學課程的內容也越來越抽象化,造成為數不少學童學習上的障礙,同時 也使得在教學現場第一線上的教師的教學方式面臨著重大考驗。不可諱言,二 十一世紀是資訊科技的時代,日新月異的資訊科技為人類帶來許多便利,對數 學教育也帶來革命性的衝擊。如何創新教材,將資訊科技有效的融入數學領域 的課程設計、教材編製及教學活動中,設計出一套有別於傳統團班為單位的課 堂講述式教學與學後紙筆評量模式,而效法先進國家之量身訂作的方式,建置 一套個別化的電腦化教學與診斷評量系統,使得教學目標既易於達成,又能快 速準確的預估學生的學習狀態,在第一時間獲悉學生需要補救的訊息,讓師生 都能進行有效率的教學及學習,使個別化教學的理想得以落實,同時研發具有 互動式功能之多媒體教材,提供老師另類教學的媒介,並允許學生按照自己的 能力和進度學習,達成「創新教學」、 「因材施測」、 「因材施教」 、「節省時間」 的適性化目標,此乃為本研究的發展方向。. 第一節 研究動機 由於教學時數彈性化的教改訴求,九年一貫教育下的數學領域教學時數明 顯下降,根據研究者的觀察,在大班教學編制下,教師礙於時間有限、進度壓 力及力不從心等限制,除了針對少數有特別需要的低成就學生進行原案分析、 訪談外,團班講述教學、學後紙筆測驗與集體檢討訂正的教學、評量模式,至 今仍被不少擔任級任的數學老師所採行。傳統團班齊頭式的教學,由一位教師 同時監控三十多位學生的學習進度,因此很難兼顧每位學生的學習狀況。既定 的單元教完後,為了驗收教學目標的達成程度,教師往往自編紙筆測驗,由全. 1.

(14) 班程度參差不齊的學生完成一份題數一樣多的數學試卷,教師再逐一批改,並 分析每位學生在試卷上的作答反應,最後整理出各題錯誤人數統計,由錯誤率 最高的題目開始進行團體補救教學,歷經如此費時費力教學與評量的流程後, 教師可用在補救教學上時間與成效必然有限,而學生也可能只是學到各類題型 的解題技巧,原有的錯誤概念或許尚未澄清。且整份測驗題目間有難易之別, 一道由複合概念組成的數學命題,涵蓋了一定程度的數學技能,若許多學生答 錯它,其中涉及的錯誤類型或迷思概念各有不同,也反映著不同學生在相同數 學技能上的達成程度有差異。可見,若採取傳統的教學及評量方法來診斷學生 的學習成效及學習困難所在,往往會忽視了學生的個別差異,教師不但事倍功 半,從學生這邊所獲得的訊息將十分有限,同時對於改進教材教法的貢獻也不 大。 隨著科技的蓬勃發展與少子化效應,近年來適性化與個別化的教學與測驗 方式逐漸成了資訊化時代的教育新趨勢,影響所及,國內有許多學者紛紛投入 這方面的研究,例如:發展以知識結構為基礎的電腦適性診斷測驗(knowledge structure based adaptive testing, KSAT)並應用在國小數學領域的學習診斷,結果 發現其在診斷學生子技能有無的精準度與節省試題數上皆具有相當高的穩定性 與強韌性(黃碧雲,2005;黃珮璇、王暄博、郭伯臣、劉湘川,2006) 。該系統 的研發,除了解決診斷評量時常面臨到之「電腦適性診斷測驗的編製」、「施測 後的計分及記錄」 、 「如何根據測驗結果進行適當補救教學」……等棘手問題(郭 伯臣,2003,2004,2005)外,更使「教師為具個別差異學生施以適性診斷」 的理想成為可能,先「因材施測」 ,準確的預估學生的學習狀態及需要補救的訊 息,並以最少的時間進行最有效率的補救教學,達成「因材施教」的目的。此 外,更有學者結合貝氏網路與知識結構理論發展能同時診斷學生子技能與錯誤 類型的電腦適性診斷測驗系統,稱之為 BNAT(Bayesian networks based adaptive testing) (黃秋蓉,2007;王尉讚,2007) 。BNAT 除了兼具 KSAT 能診斷學生子. 2.

(15) 技能有無的功能外,還能更進一步診斷出每位學生所犯錯誤類型的種類,以協 助教師更準確對症下藥,進行適性補救,節省更多時間。 雖然上述這些電腦適性診斷測驗工具皆能發揮很好的成效,但畢竟測驗只 是學習過程中的ㄧ環,良好的電腦適性診斷測驗如果未能搭配適性化、個別化 的教學及補救教學來實施,適性診斷的結果將無法發揮最大效益,對學生學習 成效的提昇仍然很有限。因此,本研究試圖以貝氏網路與知識結構理論發展電 腦適性診斷測驗工具之外,亦從相同的脈絡發展一套能與此電腦適性診斷測驗 工具搭配使用的適性化數位個別指導教材與補救教材,期使電腦適性診斷測驗 能與個別化教學獲得最佳的整合,藉以提升學生的學習成效。 基於上述,本研究鑑於完整的教學活動歷程應包括「教學、診斷評量與補 救教學」 ,將以貝氏網路與知識結構理論為基礎,並以九年一貫國小數學領域課 程中六年級能力指標 6-n-01 為教學及測驗內涵,設計「質數與合數」單元學習 內容,進一步研發一套完整結合「教學、診斷測驗與補救教學」 ,且能跨版本使 用的「質數與合數」單元數位個別指導教材,以及電腦適性診斷測驗,最後並 探討此套教材與診斷測驗的實際應用成效。. 3.

(16) 第二節 研究目的 本研究以國小六年級「質數與合數」單元為例,研發一套結合「教學、診 斷測驗與補救教學」的數位個別指導教材,並採用以貝氏網路與知識結構理論 為基礎之電腦適性診斷測驗作為研究工具,從教學活動進行至診斷錯誤訊息再 到實施補救教學整個學習歷程中,將受試者依不同指導模式分成三組,觀察不 同指導模式下受試者的進步情形,並探討這三種不同指導模式的成效以及電腦 適性診斷測驗系統的效果。故本研究的主要目的如下: 壹、以「質數與合數」單元為例,編製以貝氏網路及知識結構為基礎的電腦適 性診斷測驗。 貳、以知識結構及貝氏網路為基礎,編製與電腦適性診斷測驗搭配使用的數位 個別指導教材、教學媒體及線上補救教學動畫。 叁、檢驗電腦適性診斷測驗運用在「質數與合數」單元上,其在節省施測題數 及診斷錯誤類型與子技能上的預測精準度。 肆、整合「教學、診斷測驗與補救教學」進行教學實驗,探討數位個別指導教 材之成效。 伍、分析不同的個別化教學模式對學生學習成效的影響。. 4.

(17) 第三節 名詞解釋 壹、專家知識結構 專家知識結構是由多位學科專家根據教學理論與教學經驗,分析施測 範圍內的知識概念,再根據學生的學習歷程、概念發展順序及其概念間的 上下位關係整理而成的結構關係(郭伯臣,2003)。. 貳、學生試題結構 利用專家知識結構編製成紙筆測驗,對學生施測後,根據得到的學生 作答反應以「順序理論」 (Airasian & Bart, 1973)進行估計所整理得到的學 生學習概念順序,即為學生試題結構,也可稱為學生知識結構。. 叁、補救教學結構 以學生試題結構為基礎,再參照專家知識結構而得,並經由數學教授 及多位具有豐富教學經驗之現職國小教師討論修正。其主要運用在學生補 救教學時,提供個別指導老師及團班教師進行數學概念補救的順序依據。. 肆、以知識結構為基礎之電腦適性診斷測驗 有別於傳統紙筆測驗,以知識結構為基礎之適性測驗(knowledge structure based adaptive testing, KSAT)是以學生知識結構為基礎編製的電腦 化適性測驗。它一開始先選擇難度最高的最上位節點題目給學生作答,若 受試者作答正確,則視該受試者此節點以下的節點皆理解,此適性測驗便 可結束;若受試者答錯,則下一題將選取下一層次較簡單的題目。透過這. 5.

(18) 樣的選題方式,快速而精確的進行適性診斷,找出學生的學習困難的概念 (子技能)為何,進行補救教學。. 肆、貝氏網路 貝氏網路是一種機率圖形模式,模式中各個變項代表一個事件,用有 向箭頭連結各個變項,形成貝氏網路圖。在給定證據後,利用貝氏定理的 先驗機率及聯合機率,推論後驗機率(posterior probability),用以了解事件 發生的機率有多大(楊智為,2007)。. 伍、以知識結構結合貝氏網路為基礎之電腦適性診斷測驗(BNAT) 有別於「以知識結構為基礎之適性測驗」只能診斷出學生學習概念(子 技能)的有無情形,以知識結構結合「貝氏網路為基礎之適性測驗(Bayesian networks based adaptive testing, BNAT)」是將學生知識結構(子技能的上下 位關聯) 、錯誤類型和試題以機率圖形模式呈現,並輸入所有受試者在紙筆 測驗上的作答反應後,再利用貝氏網路機率推論的方法來診斷出學生學習 上的錯誤類型為何,故其更能進行追根究底的補救教學。. 陸、數位個別指導模式 本研究數位個別指導模式之研發包含二大重點,一為數位個別指導教 材的設計,二為個別指導教學流程之規劃。在數位個別指導教材的設計上, 教師利用自行設計的數位教學媒體及補救教學媒體,搭配紙本教材來進行 數學重點概念的解說或補救;而在個別指導教學流程之規劃上,將規劃一 師對一生及一師對二生兩種方式來進行數位個別指導教學。. 6.

(19) 柒、數位個別指導教材 數位個別指導教材是以知識結構及貝氏網路的理論基礎編製而成,其 可分為兩大部份,一為紙本個別指導教材,二為數位教學媒體及補救教學 媒體。紙本個別指導教材包括教師教學手冊、學生單元講義、學生加油手 冊,共計三冊;教師教學手冊提供給教師使用,內容包含學生用書之所有 內容及詳解,學生單元講義提供學生學習使用,學生加油手冊提供學生補 救教學使用。數位教學媒體及補救教學媒體是搭配紙本教材進行教學與補 救教學使用。在教學時透過PPT的圖形動畫及文字說明,加強各重點概念的 學習;在補救教學時,透過FLASH的動畫配置、文字及口白的講解,進行 各迷思概念的補救及題目演練。. 捌、個別指導教師 在本研究中,教學時以一對一或一對二的指導方式進行教學,並於教 學後,透過學生診斷報告書進行一對一或一對二補救教學的指導老師,簡 稱為個指師。所有個指師在教學前均須接受為期一週的職前訓練。. 第四節 研究範圍與限制 壹、研究方向 本研究僅以國小六年級能力指標 6-n-01 相關單元「質數與合數」為研 究範圍,建置「電腦化適性測驗題庫」 、「紙本教材」以及「數位個別指導 教材」 。. 7.

(20) 貳、研究樣本 本研究考量到人力、時間及試卷回收建檔、電腦施測的完整性、便利 性以及實驗過程冗長等因素,紙筆測驗預試集中於中部縣市的學校,有效 樣本共236人,故據此所推論之學生知識結構的代表性會受到限制;另外, 教學實驗對象為參加台中教育大學第一屆適性學習夏令營全部學生,皆來 自台中縣市,有效樣本共95人,由於研究對象的限制,因此研究結果不宜 做過度的推論。. 叁、研究時機 由於本研究欲比較團班指導模式與一對一、一對二個別指導模式下學 生學習質數與合數單元的學習效果,以及本套數位個別化教材在課堂教學 與補救教學上的成效。因此受試者須於未學習過質數與合數單元之下進行 本實驗,實驗結果較真實。. 肆、研究工具 為配合電腦化適性測驗系統的需求,題庫類型皆以選擇題方式編製, 將各種錯誤類型設計到各個選項中,以作為診斷報告的依據。因此評量功 能會受到選擇題型的限制並且無法避免猜測所造成的測量誤差。此外,由 於本研究之測驗預設為四選一的試題,一題頂多只能設計三個錯誤類型, 無法囊括學生可能會犯的所有錯誤類型。另外,實驗流程進行期間需利用 到電腦做線上測驗,因此在實驗之前必須先準備足夠的電腦設備以及順暢 的網路以利進行。. 8.

(21) 第二章. 文獻探討. 本研究的主要目的是以知識結構與貝氏網路理論為基礎,並以九年一貫國 小數學領域「質數與合數」單元為例,進一步研發一套完整結合「教學、診斷 測驗與補救教學」 ,且能跨版本使用的數位個別指導教材,以及電腦適性診斷測 驗,最後並探討此套教材與電腦適性診斷測驗的實際應用成效。故本章針對研 究主題,分為以知識或試題結構為基礎之電腦適性診斷測驗、貝氏網路、質數 與合數教材分析及診斷評量與補救教學等四個章節加以闡述。. 第一節 以知識或試題結構為基礎之電腦診斷測驗 本研究是以知識結構為基礎的電腦適性測驗為核心概念,作為診斷測驗之 用,因此必須先了解其原理及內涵,故本節將就電腦化適性測驗、選題測略及 相關理論做介紹。. 壹、電腦化適性測驗發展概述 隨著電腦科技及網際網路的快速發展,電腦化測驗早已取代傳統的紙筆測 驗,而 GRE 等測驗發展至電腦化適性測驗(computerized adaptive test; CAT)更是 目前的趨勢,因為能夠使用比傳統測驗較少的試題,就能精確地估算受試者的 能力水準(陳宏璋,2003) 。另外由於網路技術的發展成熟,線上課程如雨後春 筍般的出現,故線上適性測驗(online adaptive test)更有其需要性。近十幾年來, 已有相關研究證實藉由線上適性測驗系統,除了能夠達到個別化適性測驗,節 省測驗的時間外,更因其有一定的精準度,能有效辨識學生的錯誤概念,適性. 9.

(22) 補救已不再是夢想(李淑娟,2003) 。有關電腦適性測驗在教育上的應用,相關 文獻整理如表 2-1-1:. 表 2-1-1 電腦適性測驗在教育上的應用之相關文獻摘要表 研究者. 研究內容摘要 透過(一)傳統測驗總分、試題反應理論能力估計值、與 電腦化適性測驗能力估計值的相關,及(二)電腦化適性測驗. 范光輝(2003) 估計受試者能力時,較傳統紙筆測驗的方式節省多少的題數, 探討電腦化適性測驗是否適用於「大學系列學業性向測驗」 。 利用項目反應理論建置的適性化測驗系統,估算出受測者的能 力,並區分受試者能力,探討系統給予的能力值當作英文能力 陳宏璋(2003) 的分級測驗使用,實驗出來的能力高低,與學校分級的能力高 低是否相符。 建立以試題結構理論為基礎,且符合SCORM 2004的電腦化適性 李淑娟(2003). 測驗系統及動畫補救教學模組。並探討此電腦適性化測驗在達 成節省試題、縮短施測時間的功效如何。 開發電腦適性診斷測驗之四個子系統:1.多媒體題庫系統、2.. 郭伯臣、何政翰 適性測驗系統、3.補救教學分類系統、4.輔助學習模組,並透 (2004). 過此系統將學生課堂後的評量與補救學習數位化及網路化。. 郭伯臣、謝友振、. 探討利用不同的的適性測驗演算法作為電腦化適性測驗施測時. 張峻豪、蔡坤穎. 的選題策略時,其在在「節省試題」和「預測精準度」的表現. (2005). 為何。. 從表 2-1-1 中可看出電腦化適性測驗的發展趨勢可分為兩種類型,這也是. 10.

(23) 郭伯臣(2004)在國科會專題研究「國小數學科電腦化適性診斷測驗(II)」所提 到的:一是以試題反應理論( item response theory, IRT )為基礎( Wainer, 2000 ), 此類型的測驗將受試者成績視為一「能力值」( ability ) 或「量尺分數」( scale score ),較適合用於教育資源分配情境或區分能力等級之用,例如:基本學力 測驗、大學入學測驗、全民英檢等,但得到相同分數的受試者不代表其具有相 同的錯誤類型,故不適合用此類適性測驗來診斷學生錯誤類型。另一類是以知 識或試題結構為基礎( Brown & Burton, 1978; Wenger, 1987; VanLehn, 1988; Appleby, Samuels, Treasure -Jones, 1997; Chang, Liu & Chen, 1998),此類型的適 性測驗是根據學生學習後形成的知識結構設計適性測驗流程,依不同受試者的 作答情形給予適當的試題,藉此不但可節省大量的試題,並可詳細診斷出學生 的錯誤概念,有利於後續補救教學的實施,本研究即是以知識結構為基礎的電 腦適性測驗作為研究基礎。. 貳、以知識或試題結構為基礎之電腦適性測驗選題策略及相關理論. 為了要因應個別差異來選題施測,電腦適性測驗是根據受試者答對答錯的 情形,依序自上位節點到下位節點選擇題目,學生若答對上位節點,系統則預 測下位節點概念皆能理解而結束施測,藉此達到節省大量試題、精確分析受試 者錯誤概念的目的(蔡昆穎,2004;許志毅,2004;黃碧雲,2005) ,現舉一簡 例說明如下。 假設有一試題結構如圖 2-1-1 所示,其中從 A 到 I 分別代表一單一概念, 每個概念皆可試題化,B→A表示試題 A 是試題 B 的上位試題,答對試題 A 理 論上試題 B 也應該答對,其餘皆以此類推。若將全部試題組卷成一份傳統紙筆 測驗,則 A-I 的所有試題均必須施測作答,教師才能了解學生概念學習的狀況,. 11.

(24) 但在電腦適性診斷測驗中,假如某位受試者答錯試題 A,則需進一步測量試題 B、C 及其子試題,以了解學生迷思概念為何;而如果 B 錯 C 對,在電腦適性 診斷測驗中,則僅需再施測試題 D、E,並認定試題 C 以下的試題 F、G、H、I 其所含蓋的子概念已達精熟,毋需施測,因此可達到節省試題的功能(盧炎成, 2006) 。由此觀之,因結構建立的方式會影響到預測的精準度,故相對更顯得重 要。 A. B. D. 圖 2-1-1. C. E. F. G. H. I. 利用試題結構節省施測題數圖. 知識或試題結構的建立方式有許多種,郭伯臣、謝友振、張峻豪、蔡坤穎 (2005)的研究指出,使用良好的試題結構,可有效降低施測題數。該研究中 比較了「順序理論」 (ordering theory, OT) 、 「試題關聯結構分析法」 (item relational structure analysis, IRS)及 Diagnosys 這三種估計試題結構的方法,研究結果顯 示,採用 OT 結構作為適性選題策略時,比使用 IRS 及 Diagnosys 結構時所需的 訓練樣本數較少,所需的施測題數也較少,即利用 OT 的適性測驗演算法在「節 省試題」和「預測精準度」兩方面都有最佳的表現。故本研究採用順序理論分 析法建立學生試題結構,以作為電腦化適性測驗施測時的選題策略及編製數位 個別化教材的依據。茲將順序理論簡介如下: 令 X ( X 1 , X 2 ,, X n ) 表示一個向量包含 n 個二元試題成績變數,每一個受 試者作答 n 題後得到一個 0 與 1 的向量 ( 1 , 2 ,, n ) 之後,試題 j 跟 k 的聯 合與邊際機率(the joint and marginal probabilities)如表 2-1-2 表示。. 12.

(25) 表 2-1-2 試題 j 與試題 k 之聯合邊際機率 試題 k X k 1. X k 0. Total. X j 1. P( X j 1, X k 1). P ( X j 1, X k 0) P ( X j 1). X j 0. P ( X j 0, X k 1). P ( X j 0, X k 0) P( X j 0). 試題 j. Total. P ( X k 1). P ( X k 0). 1. 在 OT 中,令 *jk P(X j 0, Xk 1) 表違反試題 j 為試題 k 之下位試題之機率, 當 *jk 時,其中 為一閾值(threshold)且 0.02 0.04(Airasian & Bart,1973), 若 介於 0.02 及 0.04 間,則設定試題 j 為試題 k 之下位試題,記成 X j  X k 。. 第二節 貝氏網路 創新教學、多元化評量是九年一貫教改政策的核心精神之一,是故傳統的 團班教學評量模式已很難滿足「把每個學生帶上來」的教育理想。最有效的教 學評量模式是依學生個人的能力,提供個別化的教材;同時能夠了解學習者困 難所在,即時輔助學生學習,才不致造成強者更強,弱者恆弱的局面。因此, 電腦化適性測驗提供了新一代的教學評量模式,它可以針對學生的作答反應, 給予不同的題目,用最少的試題達到診斷的效果。 而貝氏網路是近年來在人工智慧領域應用十分廣泛的判斷工具,在醫學、 決策學、工程學等領域應用相當廣泛,由於其具有絕佳的預測及診斷的能力, 近來也被應用在教學評量方面。因此,本研究利用貝氏網路的優點,將其應用 到電腦化適性測驗,在融合電腦化適性測驗的優點與結合貝氏網路的推論能力. 13.

(26) 下,力求更精準的推論學生的錯誤類型、子技能之有無。. 壹、貝氏網路 貝氏網路是先結合先驗知識或專家意見等可觀察的資訊,並以機率圖形模 式的方式呈現,再利用機率分佈將特定領域中的不確定性變項組合成模型的一 種推論模式,因為貝氏網路乃應用模型中變數之間的因果關係與其相互影響的 機率來做推論,所以貝氏網路又稱貝氏信念網路、機率網路(蘇俊和,2002)。 完整的貝氏網路包含二個部分,分別是節點(node)及連結(link) 。節點代表 有限範圍內任意的「概念」或「變數」 ,例如在本研究中提到的能力指標、子技 能、錯誤類型或試題皆是節點,而節點與節點之間是以「有向邊」做連結,有 向邊的有無意味著節點與節點之間因果關係的強度,即節點之間的關係是屬於 條件相依或條件獨立(劉湘川,2004)。因此,貝氏網路是一種以條件機率 (conditional probability)為基礎,以有向邊連結有限個節點所建構之非循環有 向圖(directed acyclic graph,DAG) ,且節點之間可藉由「親屬上下關係」來表 示。如圖 2-2-1 所示,A、B 兩節點有 A→B的關係,稱「A 為 B 之親代」且 「B 為 A 之子代」,也可說 A 是 B 的親節點,B 是 A 的子節點。. A. 條件機率 (conditional probability). B. C. 連線(link). 節點(node). 圖2-2-1. 貝氏網路非循環有向圖. 14.

(27) 貳、貝氏定理. 貝氏網路圖型模式是利用貝氏定理來推論,底下以圖2-2-2所示之兩節點貝 氏網路結構圖做說明。. b. a 連線(link) 節點(node). 圖2-2-2. 節點(node). 兩節點貝氏網路結構圖. 假設a事件所發生的機率用P(a)表示,b事件所發生的機率用P(b)表示,P(a,b) 表示a事件和b事件同時發生的機率,則可用P(b|a)來表示在a事件發生的條件之 下,b事件所發生的機率(公式2.1)。P(b)和P(a)是可用訓練樣本所求得的先驗 機率,而P(b|a)可視為條件機率,且P(a)、P(b)不為0,因為若先驗機率P(b)=0, 那麼兩者的條件機率P(b|a)也會為0,在這種情形下我們是不考慮的。同理,也可 用P(a|b)來表示在b事件發生的條件之下,a事件所發生的機率(公式2.2)。. P ( a, b) P(b | a)  P( a ). (2.1). P(b, a ) P ( a | b)  P(b). (2.2). 所以,從公式2.1與公式2.2可以推導出公式2.3,此即為Thomas Bayes於1763 年提出之貝氏定理。 P (b | a ) P (a ) P (b | a ) P (a ) P ( a | b)   P (b) P(b | a ) P (a ) P (b | a ) P (a ). 15. (2.3).

(28) 根據貝氏定理,可求出在發生b事件的條件之下,發生a事件的後驗機率值 P(a|b)。因此,若已知貝氏結構圖中某觀測節點之先驗機率值,則可依貝氏定理 推論出其他所要觀察節點之條件機率值,同時可產生P(b|a)的機率表,此條件機 率表即為貝氏網路推論的基礎。. a. b d c. 圖2-2-3. 多節點貝氏網路結構圖. 如果當貝氏網路節點數增加時,要找出此貝氏網路節點發生的機率還是可以 用聯合機率的方式求得,如圖2-2-3 所示,在多節點貝氏網路結構模式中,a是b 的親節點,有條件機率 P(b|a)。b和c是d的親節點,所以條件機率是P(d|b,c)。貝 氏網路全部節點的聯合機率為個別節點機率的連乘積,如公式2.4:. P(a,b,c,d) =P(a)P(b|a)P(c)P(d| b,c). (2.4). 因此,若已知觀測節點d的機率值,可以依貝氏定理推論,求其餘節點發生 的條件機率,如下: P(a, b, c, d ) P(a, b, c | d )  P(d ). (2.5). 要建立一個貝氏網路來進行推論,必須先取得研究樣本資料後,根據資料及 學科專業知識的分析,建立一個完整的貝氏網路結構模型,再根據資料來進行推 論。如圖2-2-4所示,建立模型的過程分成以下三個步驟(楊智為,2007) :. 16.

(29) 確立研究資料 架構貝氏網路圖形模式. 設定模型中 節點的機率分布. 觀測 資料. 驗證貝氏網路模型. 圖 2-2-4 建立貝氏網路模型的流程圖. 一、根據研究資料,設立貝氏網路節點及連結 根據所確立的研究資料,進行學科專業知識探討與分析,建立節點與節點之 間的連線關係,其連結需符合該領域資料群體特性及專業知識,組成完整的貝氏 網路結構。 二、設定模型中節點的機率分布 計算所有可觀測節點和未觀測節點的先驗機率及條件機率分布。以觀測的資 料當證據,透過貝氏網路推論,獲得所感興趣的未觀測節點之後驗機率分布。 三、評估後驗機率的正確性 評估模型填入這些資料是否適合,以及這後驗機率對建立模型中所要知道的 節點推論是否正確。 根據以上步驟取得一個完整且最合適的貝氏網路模型後,便可依據此貝氏 網路模型來進行推論。本研究將根據相關研究結果,採二元資料輸入值,及動 態決斷值選取法(許雅菱,2005;郭伯臣、李俊儀、許雅菱、林文質,2005) 以獲得較佳之辨識率。. 17.

(30) 叁、貝氏網路在教育測驗上的應用 國內外已有不少的相關研究報告顯示,貝氏網路應用於教育測驗上的可行性 相當高,利用貝氏網路機率推論的方法,可以快速又有效率幫助教學者診斷出學 生在學習上錯誤類型與子技能的有無情形(Lee & Vomlel, 2003;施淑娟,2006; 吳仁奇,2006)。相關文獻整理如表2-2-1。. 表 2-2-1 貝氏網路在教育測驗上之應用 研究者. 研究內容摘要. 施淑娟、許雅菱、 以國小四年級「小數加減」單元為研究範圍,建立貝氏網 李俊儀、郭伯臣、 路來進行診斷測驗。 劉湘川 (2004) 探討以證據中心為基礎的評量設計,以貝氏網路為基礎, 許雅菱 (2005) 建構以概念性的評量架構為主的評量傳遞模式。 蘇文君、汪端正、 以國小數學「等值分數」單元為研究範圍,探討技能層之 郭伯臣 (2006). 間有上下位關係的貝氏網路診斷精準度。. 汪端正、蘇文君、 以數學領域「數與量」能力指標為研究範圍,探討技能層 郭伯臣、楊智為 之間的上下位關係,應用四層之貝氏網路進行診斷測驗。 (2006) 以數學能力指標「分數」建立貝氏網路,並製作補救教學 吳仁奇 (2006) 動畫,以利在診斷測驗後進行有效的補救教學。 以「證據中心的評量設計」之架構為基礎,設計以證據為 游國昌 (2006). 中心的題組試題,進行實徵研究,並結合貝氏網路對施測 資料進行分析。. 18.

(31) 表 2-2-1 貝氏網路在教育測驗上之應用(續) 研究者. 研究內容摘要. 楊智為、劉育隆、 利用試題順序理論進行電腦化適性測驗後,使用貝氏網路 楊晉民、曾彥鈞 作為診斷工具。能節省施測題數並保有一定的辨識率。 (2006) 以順序理論來提升貝氏網路診斷測驗之成效,以電腦化自 王尉讚 (2007) 動線上適性診斷測驗系統,適性補救教學系統來進行驗證。 結合不同貝氏網路,作為電腦適性診斷測驗之選題及推論 黃秋蓉 (2007). 依據,並根據子技能編寫電腦補救教學,結合成一套適性 學習系統,進行施測並評估其成效。. 由以上文獻研究結果可知,在教育測驗上應用貝氏網路的機率推論模型作 為診斷評量的工具確實有效、可行,因此本研究將配合本章第一節中所述,採 用「以知識結構結合貝氏網路機率模型」為基礎之電腦適性診斷測驗系統作為 診斷評量的工具,藉由貝氏網路的高推論精準度研判學生的錯誤概念,以利後 續實驗中補救教學的實施與成效評估。. 19.

(32) 第三節 能力指標6-n-01相關單元「質數與合數」教材分析 壹、能力指標 6-n-01 概念內涵在不同課程標準時代下的編排分析 本研究中之「質數與合數」單元是依九年一貫數學領域六年級能力指標 6-n-01「能認識質數、合數,並作質因數的分解(質數<20,質因數<10,被 分解數<100)」內容設計而成,乃延續自國小五年級能力指標 5-n-03「能理 解因數、倍數、公因數與公倍數」的指標內涵,繼續探討質數、合數、質因數 與質因數分解等概念,同時也是六年級能力指標 6-n-02「能認識兩數的最大公 因數、最小公倍數與兩數互質的意義,理解最大公因數、最小公倍數的計算方 式,並能將分數約成最簡分數」、以及七年級能力指標 7-n-09、7-n-10、7-n-11 的先備指標。以下分別就 64 年、82 年及 89 年課程標準中與能力指標 6-n-01 之相關教材做介紹。. 一、 「能力指標 6-n-01 概念內涵」在 64 年版國小數學課程標準中的編排(國立 編譯館,1991-1992),如下表 2-3-1: 表 2-3-1 64 年版國小數學課程與「能力指標 6-n-01 概念內涵」之相關教材編排 年級 單元及單元名稱. 五年級上學期. 第一單元 因數. 第二單元 倍數 第五單元 分數. 教材內容 利用「方陣排列」與「等分組」情境,經驗因數的意 義。(質數與合數的先備概念) 質數與合數的意義。 公因數與最大公因數的意義。(質因數分解的應用) 互質的意義。 倍數的意義。 倍數與最小公倍數的意義。 (質因數分解的應用) 奇數與偶數的意義。 (2、3、5 的倍數判別的銜接教材) 約分的意義。 (質因數分解的應用) 通分的意義。 (質因數分解的應用). 20.

(33) 二、 「能力指標 6-n-01 概念內涵」在 82 年版國小數學課程標準中的編排(國立 編譯館,1999-2000),如下表 2-3-2。. 表 2-3-2 82 年版國小數學課程與「能力指標 6-n-01 概念內涵」之相關教材編排 年級 五年級 上學期 五年級 下學期 六年級 上學期. 單元及單元名稱 第十四單元 線段圖 第四單元 因數與倍數 第六單元 比 第六單元 擴分與約分. 教材內容 利用「方陣排列」與「等分組」情境,經驗因數的 初步概念。 (質數與合數的先備概念) 因數的意義。 (質數與合數的先備概念) 倍數的意義。 公因數與最大公因數的意義。 (質因數分解的應用) 倍數與最小公倍數的意義。 (質因數分解的應用) 約分的意義。 (質因數分解的應用) 通分的意義。 (質因數分解的應用). 三、 「能力指標 6-n-01 概念內涵」在 89 年版九年一貫國小數學課程暫行綱要的 編排(南一出版社,2007),如下表 2-3-3。. 表 2-3-3 89 年版國小數學課程與「能力指標 6-n-01 概念內涵」之相關教材編排 年級. 單元及單元名稱. 五年級 上學期. 第七單元 因數與倍數. 五年級 下學期. 第二單元 公因數與公倍數 第三單元 擴分與約分. 教材內容 用正方形紙卡或白色積木排成長方形,並記錄可能 排法。 透過「剛好分完,沒有剩下」的概念來理解整除的 意義 由整除導入因數的意義。 (質數與合數的先備概念) 複習整除的意義並從二個整數的所有因數中找出 相同的因數。 導入公因數的意義與找法。 能從三個整數的所有因數中找出相同的因數。 約分的意義。 通分的意義。. 21.

(34) 表 2-3-3 89 年版國小數學課程與 「能力指標 6-n-01 概念內涵」 之相關教材編排 (續) 年級. 單元及單元名稱. 六年級 上學期. 第一單元 最大公因數 與 最小公倍數. 教材內容 透過找因數了解質數和合數的意義。 從因數和質數中探討質因數的意義。 了解質因數分解的意義和方法。 了解最大公因數及互質的意義和找法,並應用最大 公因數解決 日常生活的問題。 (質因數分解的應用) 了解公倍數、最小公倍數的意義和找法,並應用最 小公倍數解決 日常生活的問題。 (質因數分解的應用). 四、國小現行課程教材地位分析 玆將九年一貫數學正式課程綱要(教育部,2003)中,與「能力指標 6-n-01 概念內涵」前後銜接的相關分年細目及對照的能力指標,加以整理如表 2-3-4。. 表 2-3-4. 能力指標 6-n-01 之相關分年細目表. 分年細目代碼. 分年細目內容. 對照指標. 1-n-07. 能進行 2 個一數、5 個一數、10 個一數等活動。. N-1-01 N-1-03. 2-n-06. 能理解乘法的意義,使用×、=作橫式紀錄,並解決 生活中的問題。. N-1-03. 2-n-08. 能理解九九乘法。. N-1-06 A-1-03. 3-n-04 5-n-03 6-n-01. 6-n-02. 能理解除法的意義,運用÷、=作橫式紀錄(包括有 餘數的情況),並解決生活中的問題。 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 能認識質數、合數,並作質因數的分解(質數<20, 質因數<10,被分解數<100)。 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質 的意義,理解最大公因數、最小公倍數的計算方式, 並能將分數約成最簡分數。. 22. N-1-04 N-2-04 N-3-01. N-3-02.

(35) 表 2-3-4. 能力指標 6-n-01 之相關分年細目表(續). 分年細目代碼. 分年細目內容. 對照指標. 7-n-09. 能理解質數的意義,並認識 100 以內的質數。 能理解因數、質因數、倍數、最大公因數和最小公 倍數,並熟練質因數分解的計算方法。 能以最大公因數、最小公倍數熟練運用至約分、擴 分、最簡分數的計算。. N-3-01. 7-n-10 7-n-11. N-3-02 N-3-02. 分析 92 年版九年一貫數學課程綱要能力指標 6-n-01 的指標內涵之後,可 發現現行國小數學課本教材中,與該指標前後銜接的相關單元,其內容最主要 涵蓋在因數、倍數與異分母分數四則運算等單元內。目前國小數學課本中與能 力指標 6-n-01 內涵相關之單元教材地位圖整理如圖 2-3-1 所示:. 第九冊 第七單元 認識因數和倍 數 認識公因數和 公倍數 應用公因數和 公倍數解題. 圖 2-3-1. 第十冊 第五單元 認識最大公因 數和最小公倍數 認識互質. 第十一冊 第一單元 能經驗質數和 合數 能察覺正整數 的最大公因數、 最小公倍數、互 質、質因數及質 因數分解. 第十二冊 第六單元 解決分數的 四則運算問題. 南一版與能力指標 6-n-01 內涵相關之單元教材地位圖 (南一書局,2007). 對照表 2-3-1、2-3-2、2-3-3、2-3-4,可以發現國小 82 年課程標準強調 建構式教學方法及培養學生帶得走的獨立思考能力,所以在課程安排上,將 64 年課程標準中有關「能力指標 6-n-01 概念內涵」的「質數、合數、質因數分解、 互質」的概念抽離出去,並延後至七年級才教授。但由於近年來數學教育改革. 23.

(36) 過程中存有「建構式數學理念」、「能力指標解讀」、 「教學時數」 、 「課程與版本 銜接」 、 「一綱多本」 、……等的問題,以及「學童計算能力有下滑的傾向,同時 在思考能力上,也未見提升,部分學童因計算能力的薄弱,導致解題上頻頻挫 敗,喪失學習信心與學習意願」的擔憂與爭議(林宜臻、林沂昇,2007) ,有鑑 於此,教育部再度修訂 89 年版數學暫行綱要,並於民國 92 年公佈九年一貫數 學課程綱要,將「能力指標 6-n-01 概念內涵」再度歸入六年級數與計算範疇中。. 貳、依數學能力指標 6-n-01 設計之「質數與合數」單元教材分析. 本研究中之「質數與合數」單元是依九年一貫數學領域六年級能力指標 6-n-01 內容設計而成,茲將該指標需達成之細部內容進一步整理如表 2-3-5。. 表 2-3-5 指標編號 6-n-01. 細 目 說 明. 九年一貫數學能力指標 6-n-01 分年細目說明(教育部,2003) 指標內容 能認識質數、合數,並作質因數的分解(質數<20,質因數<10, 被分解數<100)。 ◆在 5-n-03,製作整數的因數表時,可以發現有一些整數不能再被 分解,這些數稱為質數,他們的因數只有 1 與自己而已。大於 1 且不是質數的整數(或有 3 個以上因數的整數)稱為合數。 ◆在對一數做因數分解的練習裡,發現遇到質數就必須停下來[註 解 3]。同時在紀錄分解的樣式及整理中(此時的質因數乘積不寫 成指數形式),發現不管怎麼分解,形式都一樣。 例:60=6×10=(2×3)×(2×5)=2×2×3×5, 或 60=15×4=(3×5)×(2×2)=2×2×3×5=22×3×5 等。 ◆牽涉因數分解的細目(參見 6-n-02),都應遵循如下原則:質因 數<10,被分解數<100。 ◆讓學童熟悉 20 以內的質數之倍數(小於 200)。並可從活動中, 讓學童掌握 2、3、5 的倍數規則。. 24.

(37) 根據表 2-3-5 九年一貫「數與量」主題中第三階段(6~7 年級)能力指標 分年細目的說明,研究者將能力指標 6-n-01 的概念內涵分為以下三部份做進一 步的闡釋:. 一、質數、合數的意義與判別 由分年細目的說明中可發現本指標內涵是先以複習找因數的經驗導入學 習,讓學生發現正整數的因數有三種情況:只有 1 個因數、剛好有 2 個因數、 有超過 2 個以上的因數,藉此認識質數與合數的意義。 因為質數與合數的定義相當抽象,且涉及學生語意理解的問題,初學者判 別較有困難,故可在教材中引入西元前三世紀的天文學家 Eratosthenes 所提出的 厄拉多塞篩法(Eratosthenes sieve),藉著利用視覺性、操作性等比較具體的方 式來尋找質數(不名,1983; Arlene, 2001),並利用製表方式,進行整理並 實際經驗 20 以內質數的倍數為何的數感教學活動。同時也藉著篩選質數的活動 中,輔導學生依據數的結構,從數的分析中掌握 2、3、5、7、11 等質數的簡捷 倍數判別規則(李信樂,1979;Barry , 2005);此外,也有建構主義學者主張 讓學生經由拆解的遊戲中,以因數的組合、分析之辯證觀點來進行質數與質因 數分解的教學(史英,2003;Barry, 2005)。雖然六年級學生的認知發展階段 剛邁入形式運思期,漸漸的能從根據具體經驗思維解決問題的發展階段,轉向 以抽象思維表徵解決問題的階段,但是認知發展因人而異且有個別差異,因此 古今中外學者皆不排除透過圖像、情境等方式,來幫助學生學習能力指標 6-n-01 中「質數、合數的意義與判別」的概念內涵。. 二、質因數的意義、判別及質因數分解 判別某數的質因數為何,有兩道過程:一是質數,一是因數,兩個條件皆 須符合才算是質因數。而質因數分解的過程,主要呈現兩種教學法,一是樹枝. 25.

(38) 狀分解法,一是短除法(李信樂,1979)。關於使用樹狀圖(tree diagram)學 習因數概念的方法,即利用因數樹(factor trees)一層一層的將某數一再的命名, 不斷的擴展層級,直到最後一層都成為質數為止。另有學者則藉由樹狀圖記錄 質因數分解的過程中,引導學生發現:不管怎麼分解,最後整理出來的乘積的 樣式都一樣(Christiana & Thomasenia, 2007)。此種藉由圖解的形式,可幫助 學生了解「自然數的質因數分解為唯一」的概念(不名,1983)及解題技巧。 「短除法」也是有助於學生切入「自然數的質因數分解為唯一」概念的另 一種方法,它是根據算術基本定理(The fundamental theorem of arithmetic), 即任意大於 1 的正整數,若不計較其質因數出現的次序,則此分解法為唯一(劉 好,1986)而來的計算方式。短除法有別於學生過去所學的長除法,只寫出除 數和商,是一種過程中省略了除法運算過程的寫法,它是除法直式計算的簡化, 且在使用短除法進行某數的質因數分解時,皆以質數當作除數。 由於國小階段尚未學過指數,因此在進行某數的質因數分解教學時,質因 數分解的乘積不寫成指數形式,但希望學生在寫質因數分解式時,能將數字由 小寫到大,以便未來銜接國中階段能力指標 7-n-10 時,屆時再度提及某數的質 因數分解式時,能正確的以「標準分解式」的指數形式來書寫質因數分解式。. 三、質因數分解是學習未來相關的延伸能力指標的先備知識. 學生未來在學習 6-n-02、7-n-10、7-n-11 等能力指標概念,亦即尋找兩數 (或兩數以上)的最大公因數及最小公倍數時,常採用如表 2-3-6 的幾種方式:. 26.

(39) 表 2-3-6. 常見最大公因數&最小公倍數計算方法(劉好,1986;黃毅英,2005). 找最大公因數 列舉兩數(或兩數以上)的所有因. 找最小公倍數 列舉兩數(或兩數以上)的所有倍. 數,則兩數共同因數中最大的一. 數,則兩數共同倍數中最小的一個,. 個,即是兩數的最大公因數。找最. 即是兩數的最小公倍數。找最小公倍. 排列法(列舉法). 大公因數時,此法容易產生遺漏或. 數時,此法容易產生遺漏或疏略的情. 疏略的情形。. 形。. 以 6 和 9 兩數為例:. 以 6 和 9 兩數為例:. 6 的因數有:1、2、3、6. 6 的倍數有:6、12、18、24、30、36…. 9 的因數有:1、3、9. 9 的倍數有:9、18、27、36…. 6 和 9 的公因數有 1、3. 6 和 9 的公倍數有 18、36…. 最大公因數記為(6,9)=3. 最小公倍數記為[6,9]=18. 將兩數(或兩數以上)分別進行質. 將兩數(或兩數以上)分別進行質因. 因數分解,再找出共同的質因數相. 數分解,並注意「一個數的倍數必須. 乘,即是兩數的最大公因數。此法. 包括該數的質因數分解」問題,找出. 質因數分解 樹 (狀圖 法 ). 是找最大公因數時最有系統的一種. 一組皆包含各個數的質因數乘積,即. 方法。. 是兩數的最小公倍數。此法是找最小 公倍數時最有系統的一種方法。. 以 36 和 48 兩數為例:. 以 36 和 48 兩數為例:. 36=2×2×3×3,. 36=2×2×3×3,. 48=2×2×2×2×3. 48=2×2×2×2×3. 36 和48 的共同的質因數乘積是2×2×3=. 皆包含36 和48 的質因數乘積是2×2×2×2×3. 16,. ×3=144,. 所以 16 是 36 和 48 的最大公因數. 所以 144 是 36 和 48 的最小公倍數. 27.

(40) 表 2-3-6. 常見最大公因數&最小公倍數計算方法(續). 找最大公因數 以兩數併式的短除法,找出兩數共. 找最小公倍數 以兩數併式的短除法,找出兩數共同. 同的質因數相乘,即是兩數的最大. 的質因數和餘數相乘,即是兩數的最. 公因數。此法對含有較多容易找的. 小公倍數。此法對於找三個以上的數. 公因數來說是比較方便的方法。以36 和 的最小公倍數時,就比較容易產生混 48 兩數為例:. 短除法. 2 3. 亂。以 36 和 48 兩數為例: 2 3. 66 48 33 24 11 8. 66 33. 48 24. 11. 8. 由算式可知,. 由算式可知,. 66=2×3×11 且 48=2×3×8,. 66=2×3×11 且 48=2×3×8,. 因此 66 和 48 兩數共同的質因數為. 因此 66 和 48 兩數的最小公倍數起碼. 2、3,所以 66 和 48 的最大公因數. 要有 2、3、8、11 這些「成分」,所. 是 2×3。. 以 66 和 48 的最小公倍數是 2×3×8× 11。. 其中,質因數分解法(樹狀圖法)和短除法這兩種計算方法,是較快速又 有效的解題方法,也是學習過能力指標 6-n-01 的質因數分解概念內涵後,學生 應具備的重要運算技能。若學生在此一階段的指標技能未達精熟,將影響後續 一連串學習指標能力的達成程度。站在數學能力銜接的觀點,足見能力指標 6-n-01 在教師的教與學生的學,占有舉足輕重的重要性。. 28.

(41) 叁、質數與合數之學習困難成因分析 國內外專門探討國小學生在質數與合數的概念發展與學習問題的研究非常 少,本節在此參酌黃國勳、劉祥通(2003) 、林佩如(2002)以及蔡秉恆、黃天 佑(2005)等學者先前研究中所綜合之學習理論與國內外相關研究上的觀點, 分別從認知運思能力、先備知識、生活經驗、語意理解、過程概念、教材內容 及直觀法則理論等七方面,來探討學生在質數與合數概念上的相關學習瓶頸。. 一、從認知運思能力來看 因數概念是學習質數與合數概念的先備概念,施美多(2006)指出,由除 法算式引入因數概念會比由乘法算式引入更容易使學童接受。所以在五年級階 段的教材安排,是透過具體物的操作(將固定數量的積木排成長方形找出所有 排法的組合)引導學生了解整除的意義,再由整除導入因數的意義,到了六年 級則從複習找因數的經驗導入學習,讓學生發現正整數的因數有三種情況:只 有 1 個因數、剛好有 2 個因數、有超過 2 個以上的因數,藉此認識質數與合數 的意義。雖然從皮亞傑(Piaget)的認知發展論來看,剛升上六年級學生的認知 發展剛進入形式運思期,但要直接透過定義來了解質數的意義也是頗花工夫 的,因為質數概念是由整除概念抽象、抽象再抽象後而得(整除→因數→質數) , 是屬於三階層的概念,因此學生並非透過具體物的操作來表現懂得質數的概 念,而是運用語言或文字來說明質數的屬性或定義。根據皮亞傑(Piaget)的認 知發展論,剛升上國小六年級學童剛邁入形式運思期,他們的推理思維方式, 已脫離依賴具體表徵(熟悉的經驗)的思考模式,逐漸發展成類化具體表徵, 並朝向符號表徵的抽象思維學習模式發展(張春興,1996) ,因此,質數概念是 適合這階段學生學習的。同時,質因數的意義則又比質數更高階,屬於四階層 的概念,整除→因數→質數→質因數,學生在計算的操作上也許經由練習便能. 29.

(42) 學會運算的技巧,但是對於因數與質數,或是因數與質因數,甚至是質數與質 因數之間彼此意義的連結,學童恐怕並不是十分清楚。因此,Jeff (2007)指 出知識是要靠學生主動建構的,其在教學活動中曾安排"Show What You Know" 的學習情境,讓學生藉由抽取數學名詞,並透過學生對此數學概念的解說及與 同儕間的答辯方式,使學生在學習的歷程中能不斷與舊經驗連結並產生意義。. 二、從先備知識來看 蓋聶認為學童學習數學有困難並不是成熟度不夠,而是因為缺乏學習該項 數學概念所需之基礎能力,亦即該概念之子工作(sub-work)或子技能(subtechnology)不夠所致(引自林清山,1977) 。從質數的概念階層(如圖 2-3-2) 來看,質數是由整數的乘法、除法、因數等幾個元素所組成,這些組成的元素 為「子概念」或「下位概念」(sub-concept) 。相對的,質數概念則為其子概念 的「上位概念(super-concept)」 。學生若不能了解質數概念的下位概念,即未具 備學習質數的「預備能力」或「先備知識」 ,當然無法了解質數概念。由此可知, 要了解質數與合數的概念,最重要的要先了解子概念—整數的因數,學生若未 具備找出整數因數的能力,則學習質數時會產生困難。 整數除法 質因數分解. 質因數. 質數、合數. 因數 整數乘法. 圖 2-3-2. 質數的概念階層. 由於進行因數的分解時必須「窮盡」才能得知某數的因數是否只有 1 和本 身,才能判別某數是否為質數,且因數的運算必須用到「整除」的概念去找出 所有整除的情形,研究者教學時發現計算能力較差的學童若遇到較大的數時, 常會有遺漏的情形,連帶也會影響到質數與合數的判別的能力,而質數與合數. 30.

(43) 的判別又是質因數和質因數分解的先備知識,故根據圖 2-3-2 質數的概念階層 來看,研究者可以預想學生會因為學習質數概念的失敗,影響了質因數和質因 數分解的學習。. 三、從生活經驗來看 質數與合數是很抽象的概念,對學童而言,是獨立於生活之外的數學名詞, 比較難透過具體的活動讓學童真正理解其意義;同樣的,因為不了解數學名詞 或專有名詞,導致對質數、質因數概念的混淆不清。在學童的生活經驗中,幾 乎沒有談論到「質數」、「合數」、「質因數」這些名詞,所以學童學習質數與合 數教材時會覺得很陌生,而學了之後,在日常生活中也很少應用,數學概念若 離開了生活需要,就如魚離了江河。因此數學的學習應該在生活的實際情境中 進行,或至少有密切的關聯,若與生活無關,數學學習則缺乏動機,學童消化 吸收知識的過程當然也比較困難了。. 四、從語意理解來看 研究指出語言可能是形成學童瞭解數學的障礙。有研究曾指出:學童在學 習數學時,往往因為無法理解特定的專有名詞,以致基本概念混淆不清,或是 在問題的閱讀理解和解釋能力不足,而造成學習上的障礙(引自陳麗玲,1992) 。 以質數與質因數的定義來說,對於「某數除了 1 和自己之外,沒有其他的因數, 則某數為質數」或「某數的所有因數中,屬於質數的因數即為某數的質因數」 的敘述中,哪個是質數的定義、哪個是質因數的定義,學生可能會搞混。 此外,學童對於因數、質數、質因數、公因數的名詞意思可能也混淆不清, 尤其是對於「某數既是因數、又是質數」的意義和質因數、公因數有何關係並 不很了解。也就是說,學童對於質因數和公因數的語意容易混淆,分不清質因 數和公因數在意義上的差別。. 31.

(44) 五、從過程概念的觀點來看 有些數學概念要經由操作程序而獲得,這種經由操作程序而獲得的概念稱 之為「過程概念(procept)」 。過程概念是由「過程」 (process) 、 「概念」 (concept) 與「符號」(symbol)組成。例如 3 + 2 代表 3 與 2 兩數的相加,也代表兩數之 和的概念,所以是個過程概念(引自黃國勳、劉祥通,2003)。如此看來, 「質 因數分解」也須經由「合數」除以「質因數」的過程,再經整除確認後而得, 故「質因數分解」也具有過程概念的特質。過程概念是從過程衍生而來,它含 有隱藏的知識(tacit knowledge) ,此隱藏知識往往在教學中未被突顯(朱建正, 1997) 。舉例來說,2 整除 6,2 是 6 的質因數,既然 2 整除 6 得到商數「3」 , 所以 3 也整除 6,3 也是 6 的質因數,因此 6 的質因數分解式為 6=2×3。但若 要學生根據這個分解式找出 6 的所有因數,學生往往回答 6 的因數一共有 2、3、 6(漏了 1)。學生只注意到 2×3 的乘式中有因數 2、3,卻忽略也可從另一個隱 藏的乘式 1×6 中找出因數 1、6。由於後者的答案是隱藏的,往往未被學童注意, 在教學中也未被老師突顯出來,所以學童在找尋因數時未能找出配對的另一個 因數,造成結果的誤判,以致未能解題成功。. 六、教材內容方面 在國小「數與計算」的教材中通常是給二個以上的數字,學童再依題目的 要求進行解題,但在判別質數與合數時,只提供一個數字,而質數的判別必須 以因數的求得為起點,而因數的運算必須用到「整除」的概念去找出所有整除 的情形,計算能力較差的學童若遇到較大的數時,恐怕會因找不出因數而直接 判定某數是質數的可能。也就是說,不像加減乘除或四則運算那樣只求得一個 合理的答案,而是必須依照題目,逐一判斷或運算才能求某一個數的因數,進 而正確的判斷某數是質數或合數,這樣的過程自然增加學童正確解題的難度。. 32.

(45) 七、從直覺法則理論的觀點來看 蔡秉恆,黃天佑(2005)根據以色列學者 Stavy & Tirosh(1999)等人提出, 迄今已證實了的四個直覺法則(intuitive rules),指出學生在數學概念上對不同 的問題情境,也會使用相同規則的反應來解答,其所運用的基模是建立在題目 特別的、外在的特徵,而非題目中的數學概念知識。對照其說法及學生實際的 答題情形,研究者發現在質數與合數單元中,學生有可能也出現此種錯誤。現 分述如下: (一)More A-- More B 法則 s. t y. x. 多數人會認為「因為線段 xy 比線段 st 長,所以線段 xy 包含的點的數目比 線段 st 多。線段 xy 包含了線段 st 上所有的點,同時還包含了其它的點」 ,這 就是 More A-- More B 法則。學生常參照題目特別的、外在的特徵,而非題目中 的數學概念的領域知識答題,根據此法則,研究者可以預想,有些學生在判別 質數(合數)的問題時,可能會只看到一個數的各個數字都是質數(合數) ,例 如 51(89),就認為這個數是質數(合數) 。 (二)Same A—Same B 法則 學生常會認為「兩個物體在某個 A 量相同(A1=A2) ,而判定另一個 B 量 也相同(B1=B2)Tirosh & Stavy(1999)。」林佩如(2002)則根據此法則, 預想學生在判別質數問題時,當他們陸續發現整數 3、5、7、11、13…都是奇 數,也都只有 1 和自己本身兩個因數時,認為質數就是奇數。這個迷思概念在 吳德邦、 馬秀蘭、洪聰明(1999)等人的研究中可以獲得證實。. 33.

(46) (三)有限細分法則 學生常會認為「任何東西都可以窮盡」 ,例如:將一顆冰糖置入一杯水中, 完全溶解後倒出半杯糖水,再將水加滿後再倒出半杯糖水,如此步驟重複執行, 最後那杯水中應不再含有糖分了,這就是「有限細分法則」 。根據此法則,研究 者可以預想,有些學生利用質因數分解找某數的因數時,會因為某數已被分解 成數個質因數的乘積,找因數時只考慮 1、本身以及那些被分解出來的質因數, 忘了把兩兩質因數相乘後的數也考慮進去,而出現遺漏或多找的情形。. (四)無限細分法則 學生常對於分割數學上的幾何物體(線段、長方形、柱體等)的問題做出 有限的反應,例如:  b.  a.   c d. 將一線段平分成兩段並在其中點標示為 a,然後在 a 點和右端點的中間再標 示一 b 點,以此類推,在 b 點和右端點的中間再標示一 c 點,問學生可否一直 進行下去,標出新的中點。不少比例的學生因受頑強的物質本質影響而回答無 法一直分割下去(蔡秉恆,黃天佑,2005) 。根據此法則,由於 1 是加法分解的 唯一元素,任意數都可由 1 組成,研究者可以預想,有些學生利用質因數分解 找某數的因數時,會因為某數已被分解成數個質因數的乘積,找因數時只考慮 那幾個質因數,而出現忽略 1 是任何數的因數的想法。. 34.

(47) 肆、 「質數與合數」錯誤類型之相關研究 一、吳德邦、馬秀蘭、洪聰明等學者的研究 吳德邦、馬秀蘭、洪聰明(1999)等人曾經探討台灣中部地區教師與國小 高年級學生國小高年級學生對質數認知與應用的情形;並探討他們在找出 1~200 間質數的情形。研究的結果發現: (一)對質數的認知方面: 1.教師部份在各種質數的認知答對率均遠超過學生的答對率。 2.對於「質數」與「合數」的定義,大部份五六年級學生都能了解, 對於「最大公因數」與「最小公倍數」 ,則有較多學生不了解。 3.把一個整數分解成質因數的乘積,學生做起來並不困難,但偶有發 現有學生把「合數」當作質因數來用。 4.自然數 1 常被誤認為是質數,因為它除了自己沒有別的因數。 5.大部份學生認為質數的數量有無限多個。 6.質數按文獻記述,到目前為止,無法找到一個公式來求出所有質數, 但五六年級學生卻大部份以為有規則性,可能因為質數除了 2 以 外,都是奇數的關係。亦有不少學生認為奇數就是質數。 (二)對於質數的應用方面: 1.國小高年級學生對質數的計算與應用相當熟練,而對於找出 1~200 之間的質數,卻有極大的困難。 2. 教學中不必刻意強調質數是否有規則性的問題。. 二、林珮如的研究 林珮如(2001)依據 Mayer & Brainbridge 解題理論和直觀法則理論,而自 編的因數迷思概念診斷工具,分析歸納學童在因數方面的解題策略,探討學童. 35.

參考文獻

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學習策略 單元名稱 單元名稱 教節 教節 展示教節 展示教節 學校類別 學校類別 學生年齡 學生年齡 全語文取向 紅綠燈 4 第 3 教節 嚴重 高小至高中 多感官學習 「水水」好朋友 4