第三章 研究方法與步驟
第二節 研究工具
本研究之主要研究工具為相關的統計分析軟體、自編「質數與合數單元診 斷測驗」、學生的知識結構分析軟體、BNAT貝氏網路電腦適性診斷測驗系統、
自編「數位個別指導教材」及自編「數位個別指導教材使用回饋問卷」，茲說 明如下：
壹、相關的統計分析軟體
一、SPSS統計軟體：
SPSS是一種被廣泛使用的統計套裝軟體，它能協助研究者快速計算資料以 提供適切解釋資料所呈現的意義。本研究用SPSS軟體計算測驗信度，使研究者 了解自編測驗的優劣適用程度。於實驗結束取得受試資料後，亦用SPSS軟體進 行ANOVA、ANCOVA等統計分析，以探討實驗結果的成效。
二、Excel 套裝軟體：
Excel套裝軟體是由微軟公司 (Microsoft) 所推出之Microsoft Office的產品 之一。其除了資料的建檔功能外，公式的建立、函數的應用、繪製統計圖表，
皆可處理。還可以建立資料庫提供查詢、排序及資料轉換。其資料建立也可與 SPSS進行轉換。本研究利用Excel進行預試資料之建立，並找出預試作答反應及 測驗資料分析。
三、Matlab 軟體：
Matlab（ Matrix Laboratory 矩陣實驗室）由MathWorks公司於1984年推出 的數學軟體，最早的發展理念是提供一套非常完善的矩陣運算指令，但隨著數 值運算需求的演變，matlab 已成為系統模擬，數位訊號處理的標準語言。其主
要應用於矩陣理論 (Matrix Theory) ，線性代數 (Linear Algebra) 及數值分析 (Numerical Analysis)等課程。郭伯臣、謝典佑（2007） 即利用MATLAB 軟體 開發貝氏網路測驗分析軟體 Test Analysis Software based on Bayesian Network (TASBN) ，本研究採用TASBN作為分析貝氏網路資料的工具。
貳、 「質數與合數」單元診斷測驗
一、編製可供試題化之專家知識結構
本研究自編之紙筆診斷測驗是依據「電腦化適性診斷測驗之研究」(陳怡 如、吳慧珉、黃碧雲,2004)中所建議方法，並參考國小數學能力指標6-n-01的 課程綱要、各版本教師手冊、坊間相關單元之教材內容，經3位教授及10位具有 豐富教學經驗之現職國小教師修正後，編製如圖3-2-1 的「質數與合數」專家 知識結構，共計有21個概念節點。
二、編製試題
根據上述建立好的專家知識結構之概念節點，將教材內容試題化，編製「質 數與合數」單元紙筆診斷測驗試題共計35道試題，如附錄一。試題皆以選擇題 方式呈現，一個概念節點出一至三題之試題，每題皆有四個選項。於試題化的 過程中，研究者依據學生學習時常犯之迷思概念及參考過去與本單元有關之錯 誤類型研究文獻，如表2-3-7，在設計錯誤選項時適時加入這些錯誤類型，且平 均分配在全部的試題中。本研究所編製之試題，主要是實驗時做為線上電腦適 性診斷測驗題庫之使用。
三、試題品質分析
（一）預試效度
本測驗之效度採專家效度。試題編製係依據專家知識結構之概念節點來設 計，並於試題初稿擬訂後，經由諮詢三位教育大學專精於國小數學適性測驗的 老師，及十位進修於數學教育學系碩士班、測驗統計研究所，且具豐富教學經 驗的國小現職教師，審查試題及選項設計是否合適，並提供修改意見，使試題 內容具有專家效度。
（二）預試信度
本測驗之信度採用內部一致性之Cronbach α係數，所得總試題的α值為 0.910，表示此份試卷信度頗佳，數據如表3-2-1所列。其中刪除試題25信度會增 加。
（三）試題的難度
本研究以通過率表示本測驗的難易度，計算全體受試者對該試題答對人數 的比率，稱之為難度指數(item difficulty index)，難度指數愈高，代表該試題愈 容易；反之，則代表該試題愈難。難度指數計算公式如下：
P=R/N P：難度指數 R：答對的人數 N：受試總人數 本紙筆診斷測驗試題的難度(通過率)值介於 0.24~0.96，平均難度為
0.73，數據如表 3-2-1，其中試題 8 通過率過高；試題 16、23、25 通過率過低。
（四）試題的鑑別度
本測驗鑑別度是採用點二系列相關係數，其值介於 0.13~0.78，數據如表 3-2-1。除了試題 8 的鑑別度偏低外，其餘試題都在可接受範圍。
(S1) 1-1-1-1，
2-1-1-1，
3-1-1-1-1-1，
4-1-1-1-1-1-1，
5-1-1-1
2 的倍數判別規則
<1>
(S5) 1-1-2-1，
2-1-2-1，
3-1-1-1-2-1，
4-1-1-1-1-2-1，
5-1-2-1
3 的倍數判別規則
<3>
(S3) 1-1-3-1，
2-1-3-1，
3-1-1-1-3-1，
4-1-1-1-1-3-1，
5-1-3-1
5 的倍數判別規則
<5>
(S2)1-1-1，
2-1-1，
3-1-1-1-1，
4-1-1-1-1-1，
5-1-1
判別 2 的倍數<2>
(S6)1-1-2，
2-1-2，
3-1-1-1-2，
4-1-1-1-1-2，
5-1-2
判別 3 的倍數<4>
(S4)1-1-3，
2-1-3，
3-1-1-1-3，
4-1-1-1-1-3，
5-1-3
判別 5 的倍數<6>
(S8)1-1-4，
2-1-4，
3-1-1-1-4，
4-1-1-1-1-4 3-1-1-2-1，
4-1-1-1-2-1 3-1-2-1-1，
4-1-1-2-1-1 質數的定義
<8>
(S12) 5-1-4 合 數的定義
<20>
(S7)4-1-2 利用因數 分解乘積所記錄的乘 法算式找出某數全部 的因數<17、30>
(S13)5-1 合數的判 別<21、33>
(S15)3-1-1-2，4-1-1-1-2，
3-1-2-1，4-1-1-2-1 質因數的 定義<12>
(S9)1-1，2-1，
3-1-1-1，4-1-1-1-1 質數的判別<9、24>
(S17)3-1-2，
4-1-1-2 質因數 分解的意義<14>
(S16)3-1-1，
4-1-1-1 質因數 的判別<13、27>
(S14)5 找出指 定範圍內的合 數<22、34>
(S10)2 找出指 定範圍內的質 數<11、26>
(S11)1 找出 20 以內質數的倍 數<10、25>
(S18)3-1，4-1-1 質因數 分解計算題（分解成質數 的連乘積）<15、28、35>
(S20)3 質因數分解應用 題<16、29、7>
(S19)4-1 利用質因數分解，找出某數 的所有因數（計算題）<18、31>
(S21)4 利用質因數分解找出某數的 所有因數（應用題）<19、32、23>
綜合表 3-2-1、表 3-2-2 數據，將有疑慮的試題再行分析、處理：
一、試題 8 因通過率高，導致鑑別度降低。但由於本題是本單元最下位節點（即 最基礎的概念），學生通過率高是正常的，從學生答題的高正確率形成低鑑 別度的情形來看，推測應歸究於學校教師「教學的成功」而不是「題目品 質不良」，所以決定不修改試題。
二、試題 10 通過率偏高且鑑別度不理想，原題目為「在小於 200 的整數中，13 的倍數最大是哪一個？」分析原因可能是學生只要從本題的 4 個選項中逐 一除以整數 13 就可答對，選項缺乏誘答力，故修改本題選項，增加難度。
三、試題 25 通過率低且刪除本題信度會微幅上升，原題目為「小於 200 的三位 整數中，17 的倍數有幾個？」分析原因可能是學生粗心沒注意到題目有「三 位數」的限制，或過份注意「三位數」而直接找選項中最大的 17 的倍數以 致影響作答，但因此題於本單元中極具代表性，所以只重新修正題幹、選 項以降低難度而不刪題。
綜合以上分析，本測驗經由統計軟體 SPSS 信度分析，所測得之 Cronbach’s α值為 0.91，顯示本工具有良好的內部一致性。試題難度範圍在 0.24 到 0.96 間，平均難度為 0.73，鑑別度範圍在 0.13 到 0.78，絕大多數的試題品質均佳。
並於正式施測前，針對極少數偏易及偏難的試題及鑑別度欠佳的試題進行修題。
表 3-2-1「質數與合數單元紙筆診斷測驗」預試之難度、鑑別度、信度分析表 Cronbach's
Alpha 0.910
節點名稱 試題
編號 鑑別度 難度
delete
2 的倍數判別規則 MATH01 0.53 .705 0.908 -0.002 判別 2 的倍數 MATH02 0.66 .634 0.906 -0.004 5 的倍數判別規則 MATH05 0.40 .855 0.908 -0.002 判別 5 的倍數 MATH06 0.24 .926 0.908 -0.002 3 的倍數判別規則 MATH03 0.48 .606 0.910 0.000 判別 3 的倍數 MATH04 0.29 .889 0.908 -0.003 MATH17 0.31 .865 0.909 -0.001 利用因數分解乘積所記錄的乘法算
式找出某數全部的因數 MATH30 0.47 .846 0.906 -0.004 質數的定義 MATH08 0.13 .960 0.909 -0.001 MATH09 0.28 .889 0.908 -0.002 質數的判別
MATH24 0.60 .726 0.907 -0.004 MATH11 0.49 .742 0.908 -0.002 找出指定範圍內的質數
MATH26 0.40 .843 0.907 -0.003 MATH10 0.22 .858 0.910 -0.001 找出 20 以內質數的倍數
MATH25 0.30 .243 0.911 0.001 合數的定義 MATH20 0.53 .791 0.908 -0.003 MATH21 0.51 .809 0.907 -0.003 合數的判別
MATH33 0.59 .738 0.907 -0.004 MATH22 0.52 .698 0.908 -0.002 找出指定範圍內的合數
MATH34 0.63 .434 0.909 -0.002 質因數的定義 MATH12 0.43 .840 0.908 -0.003 MATH13 0.62 .674 0.907 -0.003 質因數的判別
MATH27 0.71 .665 0.905 -0.005 質因數分解的意義 MATH14 0.38 .852 0.908 -0.002 MATH15 0.24 .898 0.909 -0.002 MATH28 0.40 .871 0.907 -0.003 質因數分解計算題
MATH35 0.52 .742 0.908 -0.003 MATH18 0.67 .683 0.907 -0.004 利用質因數分解，找出某數的
所有因數（計算題） MATH31 0.54 .738 0.907 -0.003 MATH07 0.69 .548 0.907 -0.003 MATH16 0.49 .412 0.910 0.000 質因數分解應用題
MATH29 0.78 .594 0.906 -0.004 MATH19 0.53 .618 0.909 -0.001 MATH23 0.44 .311 0.910 0.000 利用質因數分解找出某數的
所有因數（應用題）
MATH32 0.53 .489 0.910 0.000 註：灰格部份表示難度或鑑別度欠佳的試題
表 3-2-2 「質數與合數單元紙筆診斷測驗」選項誘答力分析表
試題品質 誘答率
ITEM
鑑別度 難度 正解 答 1 答 2 答 3 答 4 未答 MATH01 0.53 70.5 4 0.04 0.11 0.14 0.71 0.00 MATH02 0.66 63.4 4 0.28 0.04 0.04 0.64 0.00 MATH03 0.48 60.6 2 0.15 0.61 0.19 0.05 0.00 MATH04 0.29 88.9 1 0.89 0.08 0.01 0.01 0.01 MATH05 0.40 85.5 3 0.06 0.07 0.86 0.01 0.00 MATH06 0.24 92.6 3 0.01 0.04 0.93 0.02 0.00 MATH07 0.58 79.1 1 0.79 0.14 0.05 0.01 0.01 MATH08 0.13 96.0 3 0.02 0.00 0.96 0.01 0.01 MATH09 0.28 88.9 3 0.05 0.03 0.89 0.02 0.00 MATH10 0.22 85.8 3 0.08 0.03 0.86 0.02 0.01 MATH11 0.49 74.2 1 0.75 0.12 0.05 0.07 0.02 MATH12 0.43 84.0 3 0.03 0.10 0.85 0.02 0.00 MATH13 0.62 67.4 2 0.04 0.68 0.10 0.18 0.01 MATH14 0.38 85.2 3 0.03 0.06 0.86 0.03 0.01 MATH15 0.24 89.8 4 0.03 0.03 0.03 0.90 0.01 MATH16 0.49 41.2 3 0.13 0.07 0.42 0.24 0.14 MATH17 0.31 86.5 4 0.05 0.04 0.02 0.87 0.02 MATH18 0.67 68.3 4 0.10 0.07 0.11 0.69 0.03 MATH19 0.53 61.8 3 0.13 0.06 0.62 0.08 0.11 MATH20 0.53 79.1 3 0.04 0.10 0.80 0.04 0.02 MATH21 0.51 80.9 2 0.03 0.81 0.03 0.09 0.04 MATH22 0.52 69.8 2 0.11 0.70 0.12 0.03 0.04 MATH23 0.56 78.5 2 0.11 0.79 0.05 0.03 0.02 MATH24 0.60 72.6 2 0.21 0.73 0.01 0.02 0.02 MATH25 0.30 24.3 1 0.24 0.54 0.16 0.02 0.03 MATH26 0.40 84.3 1 0.85 0.07 0.02 0.03 0.03 MATH27 0.71 66.5 3 0.14 0.10 0.68 0.04 0.04 MATH28 0.40 87.1 4 0.04 0.02 0.03 0.88 0.03 MATH29 0.78 59.4 3 0.10 0.09 0.60 0.10 0.10 MATH30 0.47 84.6 3 0.02 0.05 0.85 0.04 0.04 MATH31 0.54 73.8 4 0.08 0.05 0.07 0.74 0.06 MATH32 0.53 48.9 3 0.10 0.11 0.50 0.18 0.10 MATH33 0.59 73.8 3 0.13 0.03 0.74 0.02 0.08 MATH34 0.63 43.4 2 0.34 0.44 0.05 0.06 0.11 MATH35 0.52 74.2 3 0.06 0.03 0.75 0.08 0.07 MATH36 0.69 54.8 4 0.07 0.08 0.12 0.56 0.17 MATH37 0.44 31.1 1 0.31 0.12 0.17 0.21 0.19
叁、學生試題結構分析軟體
此軟體是郭伯臣、田聖才（1995）應用竹谷誠的試題關聯結構分析法（item relational sturcture analysis，簡稱IRS）及Airasian & Bart 的順序理論（ordering theory；簡稱OT）所發展出來的。本研究以OT訂出適當的閾值，採二元資料分 析學生的試題順序結構，而後轉化為「學生知識結構」，並繪製如圖3-2-2 之
「質數與合數」單元學生知識結構，作為本單元適性測驗線上施測時的選題策 略。
肆、貝氏網路電腦適性診斷測驗（Bayesian network based adaptive test, BNAT)系統
紙筆測驗預試前，研究者先依據專家知識結構建構貝氏網路雛型，預試完 後，研究者再與領域專家共同以人工閱卷方式針對預試資料進行分析，由作答 反應判斷受試學生錯誤類型、子技能及能力指標之真正有無情形(真值)，並將 這些學生基本資料建檔儲存，同時修正貝氏網路。在整合完能力指標、子技能、
錯誤類型與試題，建立相關連線後，確立本單元貝式網路圖如附錄二，由右而 左分別為能力指標層（Indicator）、子技能層（Skill）、錯誤類型層（Bug）和試 題層（Item）。最後再利用Excel軟體，依據貝式網路圖建立DAG矩陣，如此則 完成訓練貝氏網路所需的資料，最後再以郭伯臣、曾彥鈞所架設之貝氏網路電 腦適性診斷測驗平台（2007） 進行線上測驗。利用網路作為系統平台的基礎，
讓受試者可以隨時隨地完成學習。
圖 3-2-2 「質數與合數」單元學生試題結構圖
倍數(6) (S8)1-1-4，2-1-4，
3-1-1-1-4，4-1-1-1-1-4 3-1-1-2-1，4-1-1-1-2-1 3-1-2-1-1，4-1-1-2-1-1 質數的定義（8）
(S12)
5-1-4 合數的定義 (17、30)
(S13)5-1 合數的 判別
(21、33) (S15)3-1-1-2
，4-1-1-1-2，
3-1-2-1，
4-1-1-2-1(12) 質因數的定義 (S9)1-1，2-1，
3-1-1-1，4-1-1-1-1 質數的判別（9、24）
(S17)3-1-2，
4-1-1-2 質因數分 解的意義（14）
(S16)3-1-1，
4-1-1-1 質因 數的判別
（13、27）
(S14)5 找出指 定範圍內的合 數（22、34）
(S10)2 找出指 定範圍內的質 數（11、26）
(S11)1 找出 20 以內質數的倍 數（10、25）
(S18)3-1，4-1-1 質因數分解計算 題（分解成質數的 連乘積）
（15、28、35）
(S20)3 質因數分解應用 題（16、29、7）
(S19)4-1 利用質因數分解，找 出某數的所有因數（計算題）
（18、31）
(S21)4 利用質因數分解找出某 數的所有因數（應用題）
（19、32、23）
伍、自編「數位個別指導教材」
本研究自編「數位個別指導教材」可分為教學用教材及補救教學用教材。
無論是教學用教材或補救教學用教材皆可在數位個別指導或團班教學時使用。
「數位個別指導教材」的編製，先依「專家知識結構」內的概念節點順序，
編製教學用教材及教學媒體，後再以「專家知識結構」為基礎，融合「學生知 識結構」，編製成「補救教學結構」，如圖3-2-3。再依「補救教學結構」編擬 補救教學教材及補救教學媒體。「數位個別指導教材」內容包含「教師教學手 冊」、「學生單元講義」、「學生加油手冊」、「教學媒體」、「補救教學媒 體」五大部份，以作為教師指導及學生學習的教材。詳細內容請見第四章。
編製教學用教材及教學媒體，後再以「專家知識結構」為基礎，融合「學生知 識結構」，編製成「補救教學結構」，如圖3-2-3。再依「補救教學結構」編擬 補救教學教材及補救教學媒體。「數位個別指導教材」內容包含「教師教學手 冊」、「學生單元講義」、「學生加油手冊」、「教學媒體」、「補救教學媒 體」五大部份，以作為教師指導及學生學習的教材。詳細內容請見第四章。