研究動機與背景

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現今高中數學 現今高中數學轉移矩陣教材 現今高中數學 現今高中數學 轉移矩陣教材 轉移矩陣教材 轉移矩陣教材教法 教法 教法具有改進空間 教法 具有改進空間 具有改進空間 具有改進空間

矩陣在日常生活中可以協助處理大量複雜訊息的計算，是大學線性代數的基礎，其 應用更深入到日常生活中金融、管理、工程、資訊等多方面領域，而轉移矩陣即為應用 於生活中的實例之一。在高中數學 95 暫綱中，「轉移矩陣」單元置於選修數學Ⅰ第二 章，為高三自然組與社會組共同必學的主題。在新版的高中數學 99 課綱中，則改置於 第四冊第三章，為高二全體學生必修的內容。課程的安排設計為先學完矩陣的基本概念 及運算後，接下來就是學習轉移矩陣的應用，如圖 1。

圖圖

圖圖 1 高中數學 99 課綱矩陣單元教學程序圖

在 現 今 高 中 各 版 的 教 科 書 中 ， 轉 移 矩 陣 的 教 學 設 計 多 為 示 例 教 學 (Worked Example) ，以數學文字題的方式呈現，有冗長的題目敘述，其中包含相當複雜的訊息 量。在課本的範例中，如圖 2， B版與 D版的教學模式通常皆教導學生必須抓取重要 訊息製成表格，再直覺轉成矩陣處理； A版則是無表格訊息，直接出現轉移矩陣；C版 則使用符號表徵配合箭頭寫出轉移矩陣。各版本的教學模式實際上不易使學生輕鬆瞭解

轉移矩陣的實際意涵概念，多淪為記憶方式，因此當出現不同題目情境，就容易造成錯 誤。

A 版本 B 版本

C 版本 D 版本

圖 圖 圖

圖 2 高中各版本教科書轉移矩陣例題

黃雅琪 (2005) 在高三學生矩陣基本運算及應用錯誤類型之分析研究中指出學生 在學習轉移矩陣單元時，學生常將轉移矩陣的行列錯置，因對其中各元觀念模糊不清，

造成後續使用上的錯誤。觀察 98 年大學指定科目數學乙試題，計算題第二題為轉移矩 陣的應用問題，全題答對者只佔全體考生約 3% ，全題答錯者高達 65% 。在 100 年 大學指定科目數學乙試題中，計算第二題為轉移矩陣性質的敘述及證明題，全題答對者 約佔全體考生 10% ，全題答錯達 46% 。這些數據顯示轉移矩陣的學習對學生來說仍 有其困難度，一般以表格表徵教導轉移矩陣的教學方式應有改進的空間。

狀態轉換圖 (State Transition Graph) 是一種可清楚呈現狀態轉換關係的圖形表徵，

常應用於數學圖學、電子、電機、通訊、機械、生物等相關領域研究。圖像本身可清楚

表徵出各狀態彼此之間的變化關係，可使學習者較容易從空間中的相關位置萃取出必要 訊息，建立聯結，進而促進轉移矩陣的概念理解，亦可在重複來回分析每個狀態改變的 過程中，促進基模 (Schema) 的自動化，使學習更具效率，減少負擔。

2.

符合認知學習 符合認知學習歷程 符合認知學習 符合認知學習 歷程 歷程 歷程的 的 的多媒體數位教學環境可使教學更加順暢有效 的 多媒體數位教學環境可使教學更加順暢有效 多媒體數位教學環境可使教學更加順暢有效 多媒體數位教學環境可使教學更加順暢有效

教育部近幾年積極推動資訊科技融入教學，在 2008-2011 中小學資訊教育白皮書 中指出：教師是引導學生學得資訊科技應用能力與態度的關鍵人物。因此二十一世紀的 教師不僅應具備學科專門領域和教學專業知能，更應具備應用資訊科技提升學生學習成 效的能力。對於現階段位於第一線教學現場的教師來說，具備資訊教育能力儼然成為趨 勢。何榮桂 (2002) 認為推動資訊科技融入各領域教學，整合教學、學習、和人力資源，

可增加教學創新的機會，使教學活動更經濟有效。

現今學校教室的多媒體設備皆有極高的水準，倘若教師能善加將其利用來輔助學科 的教學，不僅可以呈現傳統黑板教學無法呈現的效果，並節省板書時間，也可激發學習 動機，教師自我亦有教學創新的學習機會。但並非所有多媒體教學都對學生有所助益，

若是教材設計配置不當，教師引導方式不佳，亦可能產生干擾學習的現象。觀察現今出 版社所提供的多媒體教材，常常只將課本內容照本宣科轉成多媒體呈現，反而忽略知識 本身的內涵與架構，同時呈現大量必要或不必要的訊息，讓使用者必須耗費大量的注意 力資源去搜尋與比對，產生嚴重的負荷，使學習效果大打折扣。

高中數學對大多數學生來說一直是門艱深難懂的學問，知識結構本身有其複雜性及 累積性，倘若教師沒有在教材設計上多下點功夫，學生會因挫折感不停出現，而逐漸呈 現放棄的狀態。學生本身的注意力資源有限，該如何分配就會成為學習效果優劣的關 鍵。實驗心理學家 Treicher (1967) 藉由大量的心理實驗證實，人類接受外界的訊息有 83％ 是藉由視覺，因此利用視覺來傳遞資訊，是最容易且有效的方式。而雖然傳統黑 板教學有其無法被取代的價值，但若要考慮利用視覺效果來捕捉學生注意力，適當使用 多媒體數位教材應可有所助益。

學 生 在 學 習 知 識 時 需 要 經 過 選 擇 (Selection) 、 組 織 (Organization) 與 整 合 (Integration) 三個認知處理階段 (Mayer, 2009)。傳統的黑板教學，教師以板書為主要 傳導知識的媒介，除使用有色粉筆外，較難配合視覺搜尋理論適時操控教材，學生往往 只能單向被動地接收教師的訊息，無法快速自動選擇要學習的訊息進而思考與分析，較 易讓學生產生枯燥乏味或是無所適從的茫然感。而適當的多媒體教材設計則可清楚地根 據視覺搜尋理論去突顯關鍵必要訊息以及元素間的交互作用，可協助學生快速選擇，若 能加上教師適當的口語及視覺引導，即可在時間有限的條件下，協助學生選擇知識訊息 進而將其組織並加以整合。

現今可使用的電子軟體資源豐富，例如：GSP、GGB、Flash…等皆可利用來設計數 學教材。本研究採用交通大學陳明璋博士所設計的 AMA 軟體外掛於普遍性較高的微 軟 Powerpoint 增益集中，利用其所提出的激發式動態呈現 (Trigger-based animation) 教學模式─「以一個物件當激發器(trigger)控制一連串的動畫，同時一個訊息可以被一 個以上的觸發器所控制」，使教師可以根據學生的學習狀況，適時操控訊息出現的先後 順序或是突顯，達到引導及捕捉學生注意力的目的，避免不必要認知資源的浪費，進而 提升學習效果及理解程度。

綜上所述，本研究考慮轉移矩陣主題知識本身所具有的特殊性及複雜性，以視覺搜 尋理論為基礎，運用狀態轉換圖為表徵加以輔助，依據多媒體學習理論，考量學生的認 知負荷，設計出協助學生將視覺注意力放在重點處的多媒體教材，節省學生的注意力資 源。利用圖像表徵協助學生處理複雜的文字敘述，以達到激發學習動機、引導學生學習、

降低認知負荷、促使基模自動化的目的，讓學生能更快速理解本研究欲傳達的知識內容。