「單位換算」是數學上很常見的一種運算，單位換算通常不是任意定規則、
任意換的，而是會保有一些原本的數學特性。以本題來說，「倍數」即「比值」
的概念，沒有單位，因此作換單位換算之後，不影響其能量間的「倍數」關係。
從 Part 2 第 2 題的第(2)小題，我們知道規模 M 每增加 1，能量 E（單位：爾格 erg）會變為原本的 31.62 倍。此時，我們想探討，若將能量 E 的單位「爾格 erg」， 換成「焦耳 J」，規模 M 每增加 1，能量 E（單位：焦耳 J）會變為原本的幾倍？
故設計了 Part 2 第 4 題。
表 4-24 「單位換算後，對於公式特性的影響」於兩部分之題目對照表
數學概念
施測題目 Part 1 Part 2 指對數
基礎題
指對數 地震情境題
D.單位換算後，對於公式特性的影響 4
● 施測題目：
Part 2-第 4 題
能量常用另一個單位來度量，稱為焦耳，以符號 J 表示。J（焦耳）與 E（爾格）
的關係為
J = E × 107
若在地震規模與能量的關係式中改用 J（焦耳）的能量單位，請問地震規模每 增加 1，其所釋放的能量會增大為幾倍？
圖 4-7 「單位換算後，對於公式特性的影響」之施測題目 1
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● 題目分析：
Part 2 第 4 題 題目：
能量常用另一個單位來度量，稱為焦耳，以符號 J 表示。J（焦耳）與 E（爾格）
的關係為
J = E × 107
若在地震規模與能量的關係式中改用 J（焦耳）的能量單位，請問地震規模每增 加 1，其所釋放的能量會增大為幾倍？
分析：
Part 2 第 4 題主要想探討「單位換算之後，對於原本公式特性的影響」。從 Part 2 第 2 題的第(2)小題，我們知道規模 M 每增加 1，能量 E（單位：爾格 erg）
會變為原本的 31.62 倍。若將能量 E 的單位「爾格 erg」，換成「焦耳 J」，規模 M 每增加 1，能量 E（單位：焦耳 J）依然會變為原本的 31.62 倍。
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從表 4-25 中，研究者發現：
1. 全體學生中，有三成多（35.53%）的學生在能量作「單位換算」後，仍能掌 握規模與能量之間的特性；有三成多（32.24%）的學生有作答，但答案是錯 誤的；另外有三成多（32.24%）的學生本題未作答。
2. 中高程度的學生中，有五成左右（51.32%）的學生在能量作「單位換算」後，
仍能掌握規模與能量之間的特性，有三成多（31.58%）的學生有作答但答案 是錯誤的，另外有一成七（17.11%）的學生本題未作答；中程度的學生中，
有將近兩成（19.74%）的學生在能量作「單位換算」後，仍能掌握規模與能 量之間的特性，有三成多（32.89%）的學生有作答但答案是錯誤的，另外有 將近五成（47.37%）的學生本題未作答。中高程度的學生與中程度的學生的 答對率差距三成左右。
3. 以下將分析學生在解題歷程所展現的「數學能力」。
D1-1：𝟏𝟎𝟏.𝟓（31.62）（正確答案）
學生的解題過程：
∵ log E = 11.8 + 1.5M ⇒ 𝐸 = 1011.8 : 1.5𝑀
∴ J = 𝐸 × 107 = 1011.8 : 1.5𝑀× 107 = 1011.8 × 101.5𝑀× 107 𝑀 = 1時，J = 1011.8 × 101.5×1× 107
𝑀 = 2時，J = 1011.8 × 101.5×2× 107 1011.8 × 101.5×2× 107
1011.8 × 101.5×1× 107 = 101.5 分析學生的數學能力：
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學生先將 E 以 M 的表示法代入 J 與 E 的關係式中，得到 J 與 M 的關係式，
再進一步討論規模增加 1 時，能量（單位焦耳）的變化。學生在能量作「單位換 算」後，仍知道如何找出規模與能量之間的關係。
從上述分析可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「問題數學化」、「使用 表徵及轉換」、「使用符號、形式及術語與運算」、「推理及推論」之能力。
D1-2：𝟑𝟏. 𝟔𝟐 × 𝟏𝟎𝟕 學生的解題過程：
∵ 規模 M 增加 1，能量 E（單位：爾格）增大為 31.62 倍
∴ J = 31.62 × 107 分析學生的數學能力：
此類的學生共有 16 位，數量不算少。從學生的解題過程可看出，學生認為 在原本單位是爾格時，規模 M 每增加 1，能量 E 會變為原本的 31.62 倍，因此他 們認為當能量 E 的單位從「爾格」變為「焦耳」時，這樣的轉換，會影響在能 量變化的數值上，而沒有考慮到 log E = 11.8 + 1.5M 此式整體的結構。
從上述分析可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「問題數學化」、「使用 表徵及轉換」之能力。而學生沒有考慮到 log E = 11.8 + 1.5M 此式整體的結構，
因此研究者認為此類學生「使用符號、形式及術語與運算」之能力使用有錯誤，
另外，學生沒有考慮到 log E = 11.8 + 1.5M 此式整體的結構，而進行錯誤的推論，
因此研究者認為此類學生「推理及推論」之能力使用有錯誤。
D1-3：𝟏𝟎𝟕
書寫此答案的五位學生皆未填寫理由。因此無法進一步分析其數學能力。
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D1-4：1.5 學生的解題過程：
〈作法 1〉4 人
M = 1，J = 1011.8:1.5×1× 107 = 1020.3 M = 2，J = 1011.8:1.5×2× 107 = 1021.8 1021.8÷ 1020.3= 1.5
〈作法 2〉2 人 直接填答 1.5。
分析學生的數學能力：
回答此類的學生總共有 6 位，主要分為下列兩種原因：
使用〈作法 1〉的學生共有 4 位，從學生的計算過程中可知，學生主要想使 用代值的方法來處理這個問題，但在最後一步驟1021.8÷ 1020.3 = 1.5 計算錯 誤。
使用〈作法 2〉的學生共有 2 位，學生直接填答 1.5。此時，研究者回去對 照這兩位學生在「規模 M 增加 1，能量 E（單位：爾格）會變為原本幾倍」
這個問題的回答，這兩位學生都認為是 1.5 倍，因此研究者認為這兩位學生 原本就不太清楚如何處理「規模 M 增加 1，能量 E 會變為原本幾倍」這類 型的問題，並非單位換算這個動作造成學生解決問題上的干擾。
使用〈作法 1〉的學生，展現「情境與數學間的溝通」、「問題數學化」、「使 用表徵及轉換」、「推理及推論」之能力。學生在解題過程中能理解題目中之符號 並進行運算，雖然有計算錯誤，但仍可判斷學生具備「使用符號、形式及術語與 運算」之能力。
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從表 4-25、表 4-27 中，研究者發現：
1. 縮小樣本後，「全體學生」的答對率提高一成左右，且未填答的比例下降一 成左右，代表學生在具備先備知識的形況下，作答的意願也較高。
2. 縮小樣本後，「中高程度學生」整體的表現與縮小樣本前的表現差不多，差 距皆不超過一成。正確答案的比例約提高 4%。
3. 縮小樣本後，「中程度學生」於正確答案與 D1-2 皆提高一成。答對率提高一 成，代表在擁有先備知識的情況下，學生能掌握到此模型結構的比例會變得 較高。另外，D1-2 這個錯誤答案的比例也提高一成，主要原因是因為縮小 樣本前，中程度學生於本題有五成的人未作答，因此較失去代表性。
4. 原本中高程度與中程度學生的答對率之差距為三成，縮小樣本後，兩者的答 對率差距降低到兩成五。
5. 原本中高程度的學生有將近兩成左右未填答理由，中程度學生有將近五成左 右未填答理由，縮小樣本後，中高程度學生僅一成未填答理由，而中程度學 生降低到四成未填答理由。
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