地震規模用以表示地震的大小，呈現出「等級」，方便我們溝通與想像地震 對臺灣可能帶來的影響。此時我們好奇每一個等級之間，能量是如何變化的？是 線性等距的變化，抑或是非等距的變化呢？若能掌握地震規模增加 1 時，地震的 能量有多少的變化，便更能瞭解各等級的規模所代表的意義。故設計了 Part 2 第 2 題。
表 4-12 「地震規模每增加 1，能量變為幾倍」於兩部分之題目對照表
數學概念
施測題目 Part 1 Part 2 指對數
基礎題
指對數 地震情境題
B.地震規模每增加 1，能量變為幾倍 3 2
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● 施測題目：
Part 2-第 2 題
已知地震規模 M 與能量 E（單位：爾格 erg）之關係為 log E = 11.8+1.5M
請回答下列各題：
(1) 請將能量 E 以規模 M 表示。
(2) 地震規模 M 每增加 1，其所釋放的能量 E 會增大為幾倍？
（參考數值：1011.8≈ 6.31 × 1011，101.5 ≈ 31.62）
圖 4-3 「地震規模每增加 1，能量變為幾倍」之施測題目 1 Part 1-第 3 題
請計算下列各題：
(1) 已知：10x = y，請問當 x 增加 1 時，y 會變為原本的幾倍？ 倍 (2) 已知：log b = 2a，請問當 a 增加 1 時，b 會變為原本的幾倍？ 倍 (3) 已知：log b = 11+2a，請問當 a 增加 1 時，b 會變為原本的幾倍？ 倍
圖 4-4 「地震規模每增加 1，能量變為幾倍」之施測題目 2
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● 題目分析：
Part 2 第 2 題的第(1)小題
題目：請將能量 E 以規模 M 表示。
分析：
1. 本題請學生將能量 E 以規模 M 表示，需要 Part 1 第 2 題第(1)小題的概念。
2. Part 2 第 2 題的重點是第(2)小題，但怕太多學生不知從何下筆，因此多了 第(1)小題，提示學生們先「將對數式轉換成指數式」，便能進一步做判斷。
Part 2 第 2 題的第(2)小題
題目：地震規模 M 每增加 1，其所釋放的能量 E 會增大為幾倍？
（參考數值：1011.8 ≈ 6.31 × 1011，101.5 ≈ 31.62）
分析：
1. 本題要先「將對數式轉換成指數式」，再去探討「指數次方增加 1，真數增 加為原本的幾倍」。因此設計了 Part 2 第 2 題的第(1)小題，提示學生要先將 對數式轉換成指數式，再進一步做判斷。
2. 將對數式轉換成指數式後，規模 M 在 10 的次方的位子，因此規模 M 增加 1 時，能量變為幾倍，除了與底數 10 有關以外，也與 M 的係數有關。因此，
也在 Part 1 第 3 題設計了三個與 Part 2 第 2 題的第(2)小題相同數學概念的指 對數基礎題，且這三題基礎題的難易度是循序漸進的，較可判斷學生從哪個 層次的子題開始不會計算。
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從表 4-13 中，研究者發現：
Part 2 第 2 題的第(1)小題
1. 全體學生中，有六成多（62.50%）的學生會「將對數式轉換成指數式」；有 兩成七（26.97%）的學生本題未作答；另外有一成左右（10.52%）的學生 有作答，但答案是錯誤的。
2. 中高程度學生有八成左右（81.56%）的學生會「將對數式轉換成指數式」，
只有不到一成（7.89%）的學生有作答但答案是錯誤的；中程度學生有四成 多（43.42%）的學生會「將對數式轉換成指數式」，然而有高達四成六（46.05%）
的學生有作答但答案是錯誤的。中高程度學生與中程度學生的答對率差距四 成左右。
3. 以下將分析學生在解題歷程所展現的「數學能力」。
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B1-1：𝑬 = 𝟏𝟎𝟏𝟏.𝟖:𝟏.𝟓𝑴（正確答案）
學生的解題過程：
log 𝐸 = 11.8 + 1.5𝑀
⇒ 𝐸 = 1011.8:1.5𝑀 分析學生的數學能力：
此類別的學生很熟悉指數與對數間的轉換，且知道題目所謂「將能量 E 以 規模 M 表示」的意思，一看到 log E = 11.8+1.5M，便能轉換為𝐸 = 1011.8:1.5𝑀。 從上述過程中可知，學生展現「使用表徵及轉換」、「使用符號、形式及術語 與運算」之能力。
B1-2：𝑬 = 𝟏𝟎𝟏𝟏.𝟖+ 𝟏𝟎𝟏.𝟓𝑴 學生的解題過程：
log 𝐸 = 11.8 + 1.5𝑀
⇒ log 𝐸 = log 1011.8+ log 101.5𝑀
⇒ 𝐸 = 1011.8+ 101.5𝑀 分析學生的數學能力：
從學生的解題過程可以看出，學生從第二步驟到第三步驟直接將 log 同時拿 掉，即在「對數律」的使用上發生錯誤，因此研究者認為這三位學生對於指數律 的使用不清楚。
從上述分析可知，學生展現「使用表徵及轉換」的能力，而「使用符號、形 式及術語與運算」之能力使用有錯誤。
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Part 2 第 2 題的第(2)小題
1. 全體學生中，有五成（50.00%）的學生會「地震規模每增加 1，能量變為原 本的幾倍」這類型的問題；有三成多（34.21%）的學生本題未作答；另外有 一成多（15.79%）的學生有作答，但答案是錯誤的。
2. 中高程度學生有七成左右（71.05%）的學生會「地震規模每增加 1，能量變 為原本的幾倍」這類型的問題，有一成左右（11.84%）的學生本題未作答；
中程度學生有將近三成（28.95%）的學生會「地震規模每增加 1，能量變為 原本的幾倍」這類型的問題，有高達五成多（56.58%）的學生本題未作答。
中高程度學生與中程度學生的答對率差距四成左右。
3. 以下將分析「作答正確的思維過程」與「作答錯誤的可能原因」。
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B2-1：31.62（𝟏𝟎𝟏.𝟓）（正確答案）
學生的解題過程：
〈法 1〉[透過抽象符號思考]22 人
log E = 11.8+1.5M ⇒ 1011.8:1.5𝑀 = 𝐸 當地震規模 M 增加 1，可知
1011.8:1.5(𝑀:1) = 1011.8:1.5𝑀:1.5 = 1011.8:1.5𝑀× 101.5= 𝐸 × 101.5 ≈ 𝐸 × 31.62，
即能量 E 變為原本的 31.62 倍
故地震規模 M 每增加 1，所釋放的能量 E 會變為 31.62 倍
〈法 2〉[代值找數值間的特性(單一例子)]26 人
log E = 11.8+1.5M ⇒ 1011.8:1.5𝑀 = 𝐸 M=1，𝐸 = 1011.8:1.5×1 = 1013.3 M=2，𝐸 = 1011.8:1.5×2 = 1014.8
故地震規模 M 每增加 1，所釋放的能量 E 會變為1014.8
1013.3 = 101.5 ≈ 31.62 倍
〈法 3〉[代值找數值間的特性(多個例子)]6 人
log E = 11.8+1.5M ⇒ 1011.8:1.5𝑀 = 𝐸 M=1，𝐸 = 1011.8:1.5×1 = 1013.3 M=2，𝐸 = 1011.8:1.5×2 = 1014.8 M=3，𝐸 = 1011.8:1.5×3 = 1016.3
∵1014.8
1013.3 = 101.5，1016.3
1014.8 = 101.5
故地震規模 M 每增加 1，所釋放的能量 E 會變為101.5≈ 31.62 倍
(這 6 位學生中，有 1 位中程度學生是使用表格來呈現他想表達之概念。)
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加 1 能量變化為定值，因此只要找單一例子，即可求得規模增加 1 時，能量的變 化；而使用「法 3—代值找數值間的特性(多個例子)」的學生可能不確定規模每 增加能量變化是否為定值，因此認為要驗證多個例子，才能保證規模每增加 1，
能量都是變為 31.62 倍。
從上述分析中可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「使用表徵及轉換」、
「問題數學化」、「使用符號、形式及術語與運算」、「推理及推論」之能力。
這三種作法都有運用到「推理及推論」之能力，只是三者的推論型式不同。
使用「法 1—透過抽象符號思考」的學生，能透過抽象符號進行思考及推理；使 用「法 2—代值找數值間的特性(單一例子)」的學生，透過單一例子進行說明；
使用「法 3—代值找數值間的特性(多個例子)」的學生，觀察多個例子後，進行 歸納討論。三者中，以〈法 1〉的思維層次為最高。
B2-2：1.5 學生的解題過程：
〈法 1〉3 人
log E = 11.8+1.5M ⇒ 1011.8:1.5𝑀 = 𝐸
次方差 1.5 倍，故規模增加 1 時，能量會變為 1.5 倍。
〈法 2〉2 人 未填答原因
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分析學生的數學能力：
此類的學生共有 5 位，人數算相對多的一類，為了方便說明，以下將列表呈 現各類人數分布。
表 4-16 類別 B2-2 於 Part 1 及 Part 2 之人數分布 Part 2 \ Part 1 100 10 20 1
10 4 次方差 1.5 倍 1(a 類) 1(b 類) 0 0 1(e 類)
未填答原因 0 0 1(c 類) 1(d 類) 0 註：表 4-16 中第一列第一行的「Part 2 \ Part 1」代表第一行為學生於 Part 2 的作 答內容，第一列為學生於 Part 1 第(2)、(3)小題的作答內容。
從表格中可發現，
a 類的學生：在 Part 1 的回答正確，在 Part 2 卻回答錯誤，因此研究者猜測 該名學生可能是由於 Part 2 的式子太複雜，而導致不會判斷其值為多少，或 是另外有其他原因。
b、c、d、e 類的學生：這四類的學生，在 Part 2 均作答 1.5，代表他們可能 認為指數次方的未知數之係數為 1.5，會造成當次方 M 增加 1 時， E 會變 成原本的 1.5 倍。然而，這與他們在 Part 1 的想法有所矛盾。因為若照這樣 的想法，他們在 Part 1 的答案應為 2。因此研究者認為這四位學生可能不太 清楚如何處理「指數次方增加 1，其值增加為原本的幾倍」這類型的問題。
從上述分析中可知，學生展現「情境與數學間的溝通」之能力，而學生將情 境問題轉換為數學問題時產生困難，因此研究者認為此類學生「問題數學化」之 能力較不成熟，有 3 位學生詴圖說明其想法，但論述過程有誤，因此學生「推理 及推論」之能力使用有錯誤。
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B2-3：𝟔. 𝟑𝟏 × 𝟏𝟎𝟏𝟏× 𝟑𝟏. 𝟔𝟐 學生的解題過程：
設𝑀 = 1，
log10𝐸 = 11.8 + 1.5 × 1
⇒ 𝐸 = 1011.8:1.5 ≈ 6.31 × 1011× 31.62 分析學生的數學能力：
從學生的計算過程中可以發現，他們認為「指數次方增加 1」這句話代表的 是「要代𝑀 = 1進去log10𝐸 = 11.8 + 1.5𝑀中」。
從上述分析中可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「使用表徵及轉換」、
「使用符號、形式及術語與運算」之能力。而學生將情境問題轉換為數學問題時 產生困難，因此研究者認為此類學生「問題數學化」之能力使用有錯誤，另外，
學生詴圖說明其想法，但論述過程有誤，因此學生「推理及推論」之能力使用有 錯誤。
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從表 4-13、表 4-18 中，研究者發現：
1. 縮小樣本後，「全體學生」的答對率提高一成六，且未填答的比例下降一成 五，代表學生在具備先備知識的形況下，作答的意願較高，作答情況也比較 好。
2. 縮小樣本後，「中高程度學生」整體的表現與縮小樣本前的表現差不多，差 距皆不超過一成。正確答案的比例約提高 7%，未作答比率約下降 6%。
3. 縮小樣本後，「中程度學生」的答對率提高一成五，未作答比率下降一成二，
代表學生在具備先備知識的形況下，作答的意願較高，作答情況也比較好。
4. 原本中高程度與中程度學生的答對率之差距為四成，縮小樣本後，兩者的答 對率差距降低到三成四。
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