地震規模用以表示地震的大小，呈現出「等級」，定出等級後，我們好奇每 一個等級之間，能量是如何變化的？是線性等距的變化，抑或是非等距的變化呢？
如果能了解每個等級之間，能量差距多少的話，便更能瞭解各等級的規模所代表 的意義。故設計了 Part 2 第 3 題，另外也將 Part 2 第 3 題所需要的數學概念，設 計了沒有任何情境干擾的指對數基礎題 Part 1 第 4 題。
表 4-19 「地震規模相差 1，能量的差距為何」於兩部分之題目對照表
數學概念
施測題目 Part 1 Part 2 指對數
基礎題
指對數 地震情境題
C.地震規模相差 1，能量的差距為何 4 3
● 施測題目：
Part 2-第 3 題
以 A 表示「地震規模 M=1 和地震規模 M=2 之間的能量差距」；
以 B 表示「地震規模 M=3 和地震規模 M=4 之間的能量差距」。
您認為下列何者為 A、B 的大小關係。請打勾，並說明您的原因。
□ A > B □ A = B □ A < B □ 無法判斷 圖 4-5 「地震規模相差 1，能量的差距為何」之施測題目 1 Part 1-第 4 題
已知𝑓(𝑥) = 10𝑥，A = 𝑓(2) − 𝑓(1)，B = 𝑓(4) − 𝑓(3)，請問A、B的大小關係 為何？請將正確的打勾，並說明您的原因。
□ A > B □ A = B □ A < B □ 無法判斷 圖 4-6 「地震規模相差 1，能量的差距為何」之施測題目 2
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● 題目分析：
Part 2 第 3 題 題目：
以 A 表示「地震規模 M=1 和地震規模 M=2 之間的能量差距」；
以 B 表示「地震規模 M=3 和地震規模 M=4 之間的能量差距」。
您認為下列何者為 A、B 的大小關係。請打勾，並說明您的原因。
□ A > B □ A = B □ A < B □ 無法判斷 分析：
Part 2 第 3 題主要會運用到「指數函數圖形呈倍數成長的特性」來解決問題，
此外，也可以使用 Part 2 第 2 題的結果作進一步的推導再做判斷。同時也設計了 包含此概念的指對數基礎題 Part 1 第 4 題，想比對分析學生的回答狀況。
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從表 4-20 中，研究者發現：
1. 「中高程度學生」在 Part 1 的指對數基礎題有 72 人（約 94.74%）回答正確，
回答正確的比例很高，而在 Part 2 的地震情境題中，剩下 43 人（約 56.58%）
的學生依然答對。有 26 位（約 34.21%）的學生將答案改為A = B。
2. 「中程度學生」在 Part 1 的指對數基礎題有 60 人（約 78.95%）回答正確，
回答正確的比例也算高，而在 Part 2 的地震情境題中，剩下 25 位（約 32.89%）
的學生依然答對。有 21 位（約 27.63%）的學生將答案改為A = B，有 10 位
（約 13.16%）的學生空白未作答。
3. 由上述百分比，可發現學生在指對數基礎題回答的正確率都很高，但到了地 震情境題時，不論是中程度的學生或是中高程度的學生，答對人數都有下降，
因此猜測學生在作答地震情境題的時候，可能受到情境影響，而回答錯誤。
4. 以上述統計數據來看，可發現中高程度學生在地震情境題中，有六成學生仍 答對，而中程度學生在地震情境題中，只有四成學生回答正確，答對率差距 兩成左右。
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從表 4-21 中，研究者發現：
1. 整體來說，有四成多（44.74%）的學生回答正確，有三成左右（31.58%）
的學生認為A = B，有一成多（15.13%）的學生未作答本題。雖然答對的學 生占最多數，但認為A = B的學生也不占少數。
2. 中高程度的學生中，有五成多（56.58%）的學生回答正確，有三成左右
（34.21%）的學生認為A = B；中程度的學生中，有三成多（32.89%）的學 生回答正確，有將近三成（28.95%）的學生認為A = B，另外有高達三成
（27.63%）的學生未作答本題。中高程度的學生與中程度的答對率差距兩成 四左右。
3. 認為「A < B」（回答正確）的同學，主要分為兩種理由：
從底數大於 1 的指數函數之特性來作判斷。（例如：C3-1、C3-2）
實際作數值上的運算。（例如：C3-3、C3-4）
4. 認為「A = B」的同學，其主要理由是「地震規模 M=1 和地震規模 M=2 之 間的能量差 31.62 倍，地震規模 M=3 和地震規模 M=4 之間的能量也差 31.62 倍」。（例如：C2-1）從這裡可看出學生可能將「能量差 31.62 倍」的意義想 錯了！或是沒有考慮到 M=1 與 M=3 的能量不同（起始點不同），所以乘上 31.62 後的差距也不相同。
5. 有很少數的學生選答「A > B」，主要是由於指數律的使用錯誤或是計算錯誤 而影響判斷。（例如：C1-1）
6. 以下將分析「作答正確的思維過程」與「作答錯誤的可能原因」。
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選答𝐀 = 𝐁
C2-1：
學生的解題過程：
承 Part 2 第 2 題可知，地震規模 M=1 和地震規模 M=2 之間的能量差 31.62 倍，
地震規模 M=3 和地震規模 M=4 之間的能量也差 31.62 倍。
分析學生的數學能力：
從學生的解題過程中，研究者認為學生極有可能對於「差距」一詞之理解有 誤。「差距」在數學上代表的是「減法」，而規模增加 1，能量變為原本的 31.62 倍，是「倍數關係」，在數學上代表的是「乘法」。
從上述分析中可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「問題數學化」之能 力。而學生可能對於「差距」一詞之理解有誤，屬於日常語言與數學語言間的轉 換有誤，因此研究者認為此類學生「使用符號、形式及術語與運算」之能力使用 有錯誤，另外，這類學生詴圖運用抽象思維做推理，只是對於「差距」一詞之理 解有誤，導致其推論不具有效性，因此研究者認為此類學生「推理及推論」之能 力使用有錯誤。
C2-2：
學生的解題過程：
A = (11.8 + 1.5 × 2) − (11.8 + 1.5 × 1) = 1.5 B = (11.8 + 1.5 × 4) − (11.8 + 1.5 × 3) = 1.5 分析學生的數學能力：
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從學生的解題過程中，會發現學生認為只要比較「次方的差距」，就可以比 較 A 與 B 之大小。學生透過計算得知兩者的次方差距相同，因此認為 A 與 B 的 大小相同。
從上述分析中可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「問題數學化」、「使 用表徵及轉換」之能力。而學生可能對於「差距」一詞之理解有誤，屬於日常語 言與數學語言間的轉換有誤，因此研究者認為此類學生「使用符號、形式及術語 與運算」之能力使用有錯誤，另外，這類學生詴圖運用抽象思維做推理，只是對 於「差距」一詞之理解有誤，導致其推論不具有效性，因此研究者認為此類學生
「推理及推論」之能力使用有錯誤。
C2-3：
學生的解題過程：
地震規模 M=1 和地震規模 M=2 之間的數值差 1，
地震規模 M=3 和地震規模 M=4 之間的數值也差 1。
分析學生的數學能力：
此類的學生共有 4 位，此 4 位學生於 Part 2 第 2 題的第(2)小題皆未作答。因 此，研究者推測學生可能直觀地認為「地震規模的等級差 1 時，代表能量的差距 也相同」，即學生認為地震規模的等級是等比例增加的，呈線性變化。從這樣的 想法中，研究者認為學生對於 log E = 11.8+1.5M 此式的數學結構是沒有感覺的。
從上述分析中可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「問題數學化」之能 力。學生詴圖說明其想法，然而學生直觀地認為「地震規模的等級差 1 時，代表 能量的差距也相同」，沒有考慮到 log E = 11.8+1.5M 此式的數學結構，因此研究 者認為此類學生「推理及推論」之能力使用有錯誤。
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選答𝐀 < 𝐁
C3-1：
學生的解題過程：
[運用 Part 2 第 2 題第(2)小題的結果做推算]
地震規模 M=2 的能量是地震規模 M=1 能量的 31.62 倍，
地震規模 M=4 的能量是地震規模 M=3 能量的 31.62 倍。
又地震規模 M=3 的能量比地震規模 M=1 的能量大，
故「地震規模 M=4 與地震規模 M=3 的能量差距」大於「地震規模 M=2 與地震 規模 M=1 的能量差距」。
分析學生的數學能力：
學生從 Part 2 第 2 題第(2)小題的結果，進一步判斷規模間的能量差距。代表 學生已掌握規模與能量間的關係，並從此關係進一步討論規模間的能量差距。在 學生的論證過程中，並非直接計算數值，而是運用抽象思維做推理，因此研究者 認為這類的學生具備較強的推理能力。
從上述分析可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「問題數學化」、「使用 符號、形式及術語與運算」、「推理及推論」之能力。
C3-2：
學生的解題過程：
與 Part 1 第 4 題之概念相同。
分析學生的數學能力：
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此類學生看到本題，馬上覺察到本題與 Part 1 第 4 題所使用到的之概念相同，
即學生已注意此地震情境題所運用到的數學概念與 Part 1 第 4 題的指對數基本題 相同，代表學生覺察到本情境中所包含的數學問題。
從上述分析可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「問題數學化」、「推理 及推論」之能力。此外，學生能作概念的「類比」，因此學生展現出「數學思維」
的能力。
C3-3：
學生的解題過程：[代值計算]
A = 10(11.8:1.5×2)− 10(11.8:1.5×1)= 1014.8− 1013.3= 1013.3(101.5− 1) B = 10(11.8:1.5×4)− 10(11.8:1.5×3)= 1017.8− 1016.3=1016.3(101.5− 1)
∴ A < B
分析學生的數學能力：
此類學生直接代值計算，從計算出來的數值大小去比較何者的差距較大。
C3-1、C3-2 這兩類的學生相對於此類學生來說，在數學思維的層次較高。
從上述分析可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「問題數學化」、「使用 表徵及轉換」、「使用符號、形式及術語與運算」、「推理及推論」之能力。
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