探討高一學生面對與指對數相關之情境脈絡時其數學素養的展現

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文指導教授：謝豐瑞博士. 探討高一學生面對與指對數相關之情境脈絡時其數學素養的展現. 研究生：陳姿霖撰. 中華民國一○八年六月.

(2) 致謝大四那年修謝豐瑞教授的課，謝老師在課堂上常常一針見血地點出教材的核心，彷彿畫龍點睛的效果，讓我們對於教材更有感覺，有不同的詮釋。在課堂中，感受到老師對於數學教學的熱忱及熟悉度，因此決定要念研究所，跟著謝老師學習。在寫論文的這一年當中，老師協助我修改問卷，在此過程中，可以感受到老師對於數學結構的瞭解，且對於如何瞭解學生的學習有很多不同的切入點與方式，是我崇拜老師的原因之一。另外，老師會循著學生的思考來說明及引導，這點是身為準老師的我們需要學習的課題之一。希望我未來也能像謝老師一樣，成為能夠帶領學生的一盞明燈。在此感謝我最尊敬的謝老師！再者，感謝善良的口委鄭英豪教授以及王婷瑩教授，在口詴的過程中給予我許多寶貴的建議，使得我的論文能夠修改得更完善。另外，感謝同屆的俊皓和柏孙，從形成論文雛形到問卷修改到實際施測及後續的論文撰寫，彼此討論、學習、進步。在這一年中，很感謝有你們的陪伴與幫助，一同度過這艱辛的歲月。雖然辛苦，但大家一起奮鬥的感覺是很好的！還有，感謝嵐婷學姊、啟台學長、婉嘉學姊、原榮學長、人俊學長、政宏學長、信翰學長、智昇、禮安、雅婷、怡穎、聖懷、雲閔，在課堂上及問卷施測上給予協助。最後，感謝我的家人，在我的求學過程中，給我支持與陪伴，讓我無後顧之憂，能夠追逐自己的夢想。陳姿霖 108.6.24. I.

(3) 摘要本研究欲探討「在現行課綱下（103 課綱），不同程度的高中生學完指對數之後，面對與指對數相關的情境脈絡，其素養的展現為何」。透過問卷調查的方式蒐集質與量的資料，再透過內容分析法進行歸納分析（inductive analysis）。研究抽樣採立意取樣，包含台北的中高程度及中程度兩所學校各兩個高一班級的學生，共四個班 152 位學生。本研究的施測問卷中，主要包含「指對數基礎題（先備知識）」及「地震情境題」兩大部分，其中「地震情境題」包含「指對數的基本運算」、「log E=11.8+1.5M 此式的數學結構」、「單位換算對於 log E=11.8+1.5M 此式的結構之影響」、「對數可縮小數值的特性」等四大主題。從研究結果中發現：全部的樣本在指對數的基本運算上，中高程度的學生較沒有太大的問題，而約有一半的中程度學生有困難，差距約兩成多；在數學式的結構這方面，中高程度的學生能辨識 log E=11.8+1.5M 此式之結構特徵的學生比例較高，而中程度的學生能辨識 log E=11.8+1.5M 此式之結構特徵的學生比例較低，差距約兩成五到四成；在單位換算這方面，中高程度與中程度學生皆有部分同學受到單位換算的影響，導致影響其判斷式子的結構，兩群人的答對率皆比原本少了 30%左右；在對數的特性這方面，中高程度的學生有較高比例的學生掌握對數可縮小數值的特性，而中程度的學生有掌握到對數可縮小數值的特性之學生比例較低，差距約三成；在運用數學解決問題方面，中高程度的學生較能夠運用抽象思維來解決本問卷之情境問題，而中程度學生主要以例子來處理本問卷之情境問題。 II.

(4) 縮小樣本（樣本僅選取具備該題所需之先備知識的學生）在指對數的基本運算上，中高程度與中程度學生的表現差不多，差距約 6~7%；在數學式的結構這方面，中高程度的學生能辨識 log E=11.8+1.5M 此式之結構特徵的學生比例較高，而中程度的學生能辨識 log E=11.8+1.5M 此式之結構特徵的學生比例較低，差距約三成到三成四；在單位換算這方面，中高程度與中程度學生皆有部分同學受到單位換算的影響，導致影響其判斷式子的結構，但差距從縮小樣本前的三成降低到兩成五；在對數的特性這方面，中高程度的學生有較高比例的學生掌握對數可縮小數值的特性，而中程度的學生有掌握到對數可縮小數值的特性之學生比例較低，差距約兩成。從縮小樣本後，中高程度與中程度學生的答對率差距縮小這點可看出，雖然在具備先備知識的情況下，中高程度學生的回答狀況仍比中程度學生好，但每題的答對率差距帄均而言約縮小一成左右，代表在擁有先備知識的情況下，中程度學生面對情境脈絡中的問題，也是有機會展現出其素養的。由此可知，若能適當安排教學活動，有機會能培養學生的素養。. 關鍵字：指數與對數、指對數、數學素養、地震、情境脈絡. III.

(5) 目錄致謝........................................................................................................................ I 摘要....................................................................................................................... II 目錄......................................................................................................................IV 表目錄..................................................................................................................VI 圖目錄............................................................................................................... VIII 第壹章. 緒論.................................................................................................... 1. 第一節. 研究動機........................................................................................ 1. 第二節. 研究目的與研究問題.................................................................... 2. 第三節. 名詞釋義........................................................................................ 2. 第貳章. 文獻探討............................................................................................ 3. 第一節. 數學素養之意涵............................................................................ 3. 第二節. Mogens Niss 的數學能力架構..................................................... 6. 第三節. PISA 與數學素養 ......................................................................... 8. 第四節. 數學素養與評量.......................................................................... 14. 第參章. 研究方法.......................................................................................... 17. 第一節. 研究架構...................................................................................... 17. 第二節. 研究設計...................................................................................... 19. 第三節. 研究樣本...................................................................................... 20. 第四節. 研究工具...................................................................................... 21. 第五節. 研究方法與流程.......................................................................... 25. 第六節. 研究限制...................................................................................... 26. 第肆章. 研究結果.......................................................................................... 27. 第一節. 指對數基礎題.............................................................................. 29. 第二節. 與「地震大小對於人類生活的影響」相關之數學素養.......... 34. 第三節. 與「地震規模每增加 1，能量變為幾倍」相關之數學素養... 50. IV.

(6) 第四節. 與「地震規模相差 1，能量的差距為何」相關之數學素養... 66. 第五節. 與「單位換算後，對於公式特性的影響」相關之數學素養.. 80. 第六節. 與「對焦耳單位與小霖單位換算的觀察」相關之數學素養.. 89. 第七節. 與「對數可將數值縮小的特性」相關之數學素養................ 106. 第八節. 跨題分析.................................................................................... 120. 第伍章. 結論與建議.................................................................................... 125. 第一節. 結論與教學建議........................................................................ 125. 第二節. 研究上的建議............................................................................ 131. 參考文獻............................................................................................................ 132 中文部分.................................................................................................... 132 英文部分.................................................................................................... 134. V.

(7) 表目錄表 3-1 研究樣本詳細資料........................................................................................ 20 表 3-2 問卷內容 PART 1 ............................................................................................ 22 表 3-3 問卷內容 PART 2 ............................................................................................ 22 表 3-4 研究工具 PART 2 中各題所屬類別 ............................................................... 24 表 4-1 指對數數學素養之報導架構........................................................................ 27 表 4-2 PART 1 第 2 題的答對率 ................................................................................. 29 表 4-3 PART 1 第 3 題的答對率 ................................................................................. 31 表 4-4 PART 1 第 4 題的答對率 ................................................................................. 32 表 4-5 PART 1 第 2 題到第 4 題皆作答正確之人數 ................................................. 33 表 4-6 「地震大小對於人類生活的影響」於兩部分之施測題目對照表............ 34 表 4-7 PART 2 第 1 題學生回答類別百分比 ............................................................. 37 表 4-8 比對 PART 2 第(1)小題與第(2)小題的一致性.............................................. 39 表 4-9 PART 2 第 1 題第(1)小題各類數學能力之人數分布與百分比 .................... 43 表 4-10 PART 2 第 1 題第(2)小題各類數學能力之人數分布與百分比 .................. 46 表 4-11 PART 2 第 1 題「部分」學生回答類別百分比 ........................................... 47 表 4-12 「地震規模每增加 1，能量變為幾倍」於兩部分之題目對照表........... 50 表 4-13 PART 2 第 2 題學生回答類別百分比 ........................................................... 53 表 4-14 PART 2 第 2 題第(1)小題各類數學能力之人數分布與百分比 .................. 56 表 4-15 B2-1 的三種作法之人數分布 ..................................................................... 59 表 4-16 類別 B2-2 於 PART 1 及 PART 2 之人數分布 .............................................. 61 表 4-17 PART 2 第 2 題第(2)小題各類數學能力之人數分布與百分比 .................. 63 表 4-18 PART 2 第 2 題「部分」學生回答類別百分比 ........................................... 64 表 4-19 「地震規模相差 1，能量的差距為何」於兩部分之題目對照表........... 66 表 4-20 「指數呈倍數成長的特性」於兩部分之回答人數分布.......................... 68 表 4-21 PART 2 第 3 題學生回答類別百分比 ........................................................... 70. VI.

(8) 表 4-22 PART 2 第 3 題各類數學能力之人數分布與百分比 ................................... 77 表 4-23 PART 2 第 3 題「部分」學生回答類別百分比 ........................................... 78 表 4-24 「單位換算後，對於公式特性的影響」於兩部分之題目對照表.......... 80 表 4-25 PART 2 第 4 題學生回答類別百分比 ........................................................... 82 表 4-26 PART 2 第 4 題各類數學能力之人數分布與百分比 ................................... 86 表 4-27 PART 2 第 4 題「部分」學生回答類別百分比 ........................................... 87 表 4-28 「對焦耳單位與小霖單位換算的觀察」於兩部分之題目對照表.......... 89 表 4-29 PART 2 第 5 題學生回答類別百分比 ........................................................... 91 表 4-30 PART 2 第 5 題各類數學能力之人數分布與百分比 ................................... 99 表 4-31 PART 2 第 5 題依「是否觀察到此模型的結構」作分類 ......................... 100 表 4-32 PART 2 第 5 題「部分」學生回答類別百分比 ......................................... 101 表 4-33 PART 2 第 5 題依「是否觀察到此模型的結構」作分類（縮小樣本） . 104 表 4-34 「對數可將數值縮小的特性」於兩部分之施測題目對照表................ 106 表 4-35 PART 2 第 6 題學生回答類別百分比 ......................................................... 108 表 4-36 PART 2 第 6 題各類數學能力之人數分布與百分比 ................................. 114 表 4-37 PART 2 第 6 題依「是否觀察到 LOG 的特性」作分類 ............................ 115 表 4-38 PART 2 第 6 題「部分」學生回答類別百分比 ......................................... 116 表 4-39 PART 2 第 6 題依「是否觀察到 LOG 的特性」作分類（縮小樣本） .... 119 表 4-40 跨題分析之題目分析表............................................................................ 121 表 4-41 PART 2 第 1 題第(1)小題學生回答類別百分比 ........................................ 122 表 4-42 PART 2 第 2 題第(1)小題學生回答類別百分比 ........................................ 123 表 4-43 跨題分析之正確率（含計算錯誤）比較表............................................ 123. VII.

(9) 圖目錄圖 3-1 研究架構圖.................................................................................................... 17 圖 3-2 研究過程流程圖............................................................................................ 25 圖 4-1 「地震大小對於人類生活的影響」之施測題目 1..................................... 35 圖 4-2 「地震大小對於人類生活的影響」之施測題目 2..................................... 35 圖 4-3 「地震規模每增加 1，能量變為幾倍」之施測題目 1.............................. 51 圖 4-4 「地震規模每增加 1，能量變為幾倍」之施測題目 2.............................. 51 圖 4-5 「地震規模相差 1，能量的差距為何」之施測題目 1.............................. 66 圖 4-6 「地震規模相差 1，能量的差距為何」之施測題目 2.............................. 66 圖 4-7 「單位換算後，對於公式特性的影響」之施測題目 1............................. 80 圖 4-8 「單位換算之後，對於原本公式特性的影響」之施測題目 1................. 89 圖 4-9「對數的特性」之施測題目 ....................................................................... 106 圖 4-10「跨題分析」之施測題目 1 ...................................................................... 120 圖 4-11「跨題分析」之施測題目 2 ...................................................................... 120. VIII.

(10) 第壹章. 緒論. 本研究欲探討「在現行課綱下（103 課綱），高一學生學完指對數之後，面對與指對數相關的情境脈絡，其素養的展現為何」。將設計一份與指對數相關的問卷，請學生填寫，之後依據學生填寫內容進行分析。本章分為三節：研究動機、研究目的與研究問題、名詞解釋。. 第一節研究動機學生常常會問：「學那麼多數學要做什麼？生活中只要會加減乘除就可以了吧？」但其實「數學」在生活中俯拾即是，只是缺乏了體會。例如：餐廳收一成服務費要如何計算、降雨機率所代表的意涵為何、銀行如何計算利息、為何探照燈要做成拋物面、地震規模與能量的關係等等。如果有很多國人都不會最基本的數學，這個國家會如何？為何重視數學素養？其實這些問題都是環環相扣的。謝豐瑞(2018a)指出，在 107 年的國中數學會考中，有 6%的學生不會計算非選題的算術帄均數，這樣的現象反映出社會上可能會出現「數盲」！何謂「數盲」？簡單來說，數盲就是連最基本的數學都不會的人，且會影響其生活。就像以前的社會中有文盲是一樣的概念，由於看不懂文字，導致影響其生活。算術帄均數的概念很基本，也是生活中常用到的概念。例如，我和朋友一起出去看電影、吃午餐，我先付看電影的錢 540 元，朋友先付吃飯的錢 200 元，請問朋友要給我多少錢？像這樣基本的問題，確實會出現在日常生活中，因此國人頇具備數學素養成為一項重要的課題！指對數在生活上及科學上的應用很廣泛，因此研究者想瞭解學生在學習完指對數後，其關於指對數的數學素養為何。. 1.

(11) 第二節研究目的與研究問題根據上述研究動機，擬定下列研究目的與研究問題：一、研究目的探討在現行課綱下（103 課綱），不同程度的高一學生學完指對數之後，面對與指對數相關的情境脈絡，其素養的展現為何。二、研究問題針對上述研究目的，編列以下研究問題： 1.. 在現行課綱下（103 課綱），「高一學生」學完指對數之後，面對與指對數相關的情境脈絡，其素養的展現為何？. 2.. 在現行課綱下（103 課綱），「不同程度的高一學生」學完指對數之後，面對與指對數相關的情境脈絡，其素養的展現為何？. 第三節名詞釋義. 一、數學素養關於數學素養的意涵，各家眾說紛紜，用以詮釋此概念的詞彙也有所差異，每位學者所強調的重點不盡相同。在英文文獻中，我們可以發現「Numeracy」、「Mathematical literacy」、「Mathematical proficiency」、「Quantitative literacy」、「Matheracy」等皆為「數學素養」的用字，其所著重的重點不盡相同。本研究採用美國數學教師協會（NCTM）所組織的學校數學標準委員會（Commission on Standards for School Mathematics）提出的 Mathematical literacy 之意，以及謝豐瑞對於數學素養的定義，將數學素養定義為：面對情境脈絡中的數學問題時，能有效的使用數學概念與數學方法去解決問題。數學素養是一個較抽象的概念，本論文會透過學生書寫的內容，來探討其思考的過程，進而了解其數學素養。 2.

(12) 第貳章. 文獻探討. 本研究欲透過評量的方式來探討學生在指對數的數學素養，因此會就「數學素養之意涵」、「Mogens Niss 的數學能力架構」、「PISA 與數學素養」及「數學素養與評量」進行文獻探討。. 第一節數學素養之意涵. 數學素養一詞源於西元 1950 末期，到 1980 年代逐漸受到各國家的重視，甚至成為課綱中的核心目標。關於數學素養的意涵，各家眾說紛紜，用以詮釋此概念的詞彙也有所差異，每位學者所強調的重點不盡相同。觀諸近半世紀來有關數學素養的論述，數學素養的內涵因時空推移而有所變遷，不同國家、地區的學者有其共同關注的面向，也有因為社會文化的差異而有不同的著重點（游自達，2016）。從游自達此段話中可知，數學素養的意涵會產生如此的差異，主要來自兩個主要因素——時間、國家（地區）及文化。以「時間」層面而言：數學素養的內涵已從早期有關特定數學內容的精熟，逐步過渡到個體現實生活關聯的思考與批判（游自達，2016）。也就是說現在所談的數學素養，更重視學生的思考與批判！以「國家（地區）及文化」層面而言：在英文文獻中，我們可以發現「Numeracy」、「Mathematical literacy」、「Mathematical proficiency」、「Quantitative literacy」、「Matheracy」等皆為「數學素養」的用字。就如同黃友初（2014）、陸昱任、譚克帄（2006）、Madison 與 Steen（2008）所指出，這些不同用詞和當地文化傳統有關。相關文獻顯示，英國、澳洲較常使用 Numeracy、Mathematical literacy， 3.

(13) 美國較常使用 Mathematical literacy、Mathematical proficiency、Quantitative literacy，來表示數學素養。其中，國際學生評量計畫（Program for International Student Assessment, PISA）使用 mathematical literacy，故此用詞為較多學者使用。以下將簡述數學素養各用詞的來源及其著重的意義。 . Numeracy：源於 1959 年英國的「克勞瑟報告書（Crowther Report）」，此份報告是數學素養概念最早的起源。作者認為數學能力和讀寫能力一樣重要，因此將 Numerate 和 Literacy 兩字合併，變成新單字 Numeracy，代表數學素養。該報告指出 Numeracy 的兩個重要意涵：（一）對觀察、假設、實驗、驗證等科學研究方法的理解；（二）基於社會定量思考和認識問題程度的需要，透過量化思維去了解所面臨問題的困難度及問題的形態（Central Advisory Council for Education, 1959）。. . Mathematical literacy：源於 1989 年美國數學教師協會（NCTM）所組織的學校數學標準委員會（Commission on Standards for School Mathematics）擬定的數學改革，提出 Mathematical literacy 一詞表示數學素養。Mathematical literacy 的意涵：個體懂得數學的價值，具備數學能力，能進行數學溝通，對自己數學能力有信心，能有效的使用數學方法去解決問題（NCTM, 1989）。. . Mathematical proficiency：源於 2001 年美國國家研究委員會（National Research Council，簡稱 NRC）下屬的數學學習研究委員會（Mathematics Learning Study Committee，簡稱 MLSC）所發表的報告書——｢累加向上：幫助兒童學習數學（Adding it up: Helping children learn mathematics）｣，以 Mathematical proficiency 一詞表示數學素養。Mathematical proficiency 的意涵：. 4.

(14) （一）概念理解（conceptual understanding）；（二）程序流暢（procedural fluency）；（三）策略能力（strategic competence）；（四）合宜推理（adaptive reasoning）；（五）具積極傾向（productive disposition）。 . Quantitative literacy：源於 1974 年 Jerrold Zacharias 教授以 Quantitative literacy 一詞表示數學素養。Quantitative literacy 的意涵：公民所應具有用以處理影響自身、國家和所處世界之事物和論證的能力。這些能力包括基本運算、數線、測量、圖形與地圖運用、利率、統計等方面的概念與運用（Skalicky， 2004）。. . Matheracy：源自 1990 年巴西學者 Ubiratan D'Ambrosio 提出 Matheracy 一詞來表示數學素養。他認為之前各國以讀寫算為基礎的課程，已無法因應當時的社會需求。因此提出培養學生的讀寫素養（literacy）、數學素養（matheracy）以及技術素養（technoracy），以因應當下的社會需求。數學素養（matheracy）是將 mathematics 與 literacy 兩詞合併的結果，意指每一個現代人從所面對的各項資訊中，提出假設、進行推論、形成結論、進行反思等的整合能力（D’ Ambrosio, 1999）。. . 謝豐瑞（2018b）認為數學素養是「有意圖與能力在恰當時機用數學看待與探究情境脈絡中的問題」。 1970 年代末期以後，面對國際化、科技化、資訊化等方面的變遷與衝擊，. 各主要國家普遍認為新世紀的世界公民所需要的基本素養，並不只是讀、寫、算而已，尚必頇具有溝通、高層次思考、問題解決、及基本的科技能力（National Science Board, 1980）。美國數學教師協會（NCTM, 1980）指出，解題是數學教學的焦點，數學是一種思考方法，並重視溝通與學習信心的培養。. 5.

(15) 第二節 Mogens Niss 的數學能力架構. 丹麥數學家 Mogens Niss (2003)將數學能力分為以下八種：一、數學思維(Thinking mathematically)： 1.. 能提出有數學意義的問題，並能判斷何者為數學答案。. 2.. 能理解、處理給定概念的範疇和局限性。. 3.. 透過抽象化和類化推廣數學概念之範圍。. 4.. 能辨識不同類型的數學敘述(包含條件、量詞、假設、定義、定理、臆測、案例)。. 二、擬題與解題(Posing and solving mathematical problems)： 1.. 辨識、提出、指定不同類型的數學問題(純數的或應數的；開放性的或封閉性的)。. 2.. 能解決自己或所提出的數學問題。. 三、分析與發展數學模式(Modeling mathematically)： 1.. 分析現有模型的基礎和屬性，包括評估它們範圍和有效性。. 2.. 解碼現有模型，即解讀模型元素於真實情境的意義。. 3.. 在給定情境中，發展適當之數學模式，並能解決情境中的問題。. 四、數學推理(Reasoning mathematically)： 1.. 能理解他人論證的過程，並評估其論證之有效性。. 2.. 知道什麼是數學證明，並能區辨其與直觀之差異。. 3.. 在給定的論證中，能找到基本的想法。. 4.. 能將直觀的論點轉換成正式或非正式的論證。 6.

(16) 五、數學表徵(Representing mathematical entities)： 1.. 能理解和應用數學物件、現象、情境等各類別的表徵。. 2.. 理解和應用同一數學物件其不同表徵間的關係，並掌握不同表徵各別的優勢與劣勢。. 3.. 能做表徵間的轉換及選擇。. 六、符號化與形式化(Handling mathematical symbols and formalisms)： 1.. 能解讀與詮釋數學語言的符號與形式，並了解其與生活語言的關係。. 2.. 瞭解數學語言的性質和規則。. 3.. 日常語言與數學語言間的轉換。. 4.. 能處理和操作包含符號與公式的敘述和數學式。. 七、數學溝通(Communicating in, with, and about mathematics)： 1.. 瞭解他人以書寫、視覺、口語所表達的數學內容。. 2.. 能使用書寫、視覺、口語等方式來表達自己的意思。. 八、工具的使用(Making use of aids and tools)： 1.. 瞭解各種輔具的特性，並知道其適用範圍與限制。. 2.. 能反思地使用這些工具和輔具。. 7.

(17) 第三節 PISA 與數學素養. 因應時代變遷，唯有具備思考能力，並能將所學的數學應用在日常生活以及職場上，才能有足夠的競爭力。因此，現代更重視所謂的「數學素養」，即「能將所學的數學應用出來之能力」。在這樣的社會需求下，國際學生評量計畫（Program for International Student Assessment, PISA）發展出一套國際性的評量，題材著涵蓋各種日常生活情境，由各國專家共同研發。從 2000 年開始，每三年評量一次。一、PISA 對數學素養的定義 PISA 2012 數學架構中(OECD,2010)定義數學素養為：數學素養是個體在不同情境脈絡中，形成、應用以及詮釋數學的能力，其包含數學推理、數學概念、程序、事實以及工具的運用來描述、解釋和預測數學現象。數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色，並且能做出具建設性、投入性及反思能力公民所需具備的周延有據之判斷和決策。. 8.

(18) 二、數學素養的內容領域在 PISA 2012 數學架構中(OECD,2010)，將 PISA 詴題的題材，就「內容領域」而言，分為以下四大領域： (一) 數量「數量」是生活中很常遇到的數學概念，也是很基本的數學概念。生活中的事物，常需要透過量化來描述與處理。「數量」主要包含計數、測量、相對大小等。例如：數的概念、數字的運算、估計等。 (二) 空間與形狀我們所生活的這個世界便是由空間與各種形狀所組成。「空間與形狀」主要包含維度、位置與方位、視角、圖形、動態幾何以及影像編碼等。 (三) 改變與關係「改變與關係」的重點在於「如何以數學的模式描述自然界中的各種關係」。除了模式的建立之外，還包含模式的解釋、數學符號和圖形的轉換。例如：函數、代數與符號的使用、表格呈現以及圖形呈現等。 (四) 不確定性（與資料分析）「不確定性」包含理解生活中產生各種變異的原因、解讀變異之能力、測量時所隱含不確定性的知識以及機率統計的問題。例如：天氣預測、樂透中獎期望值等。這四個數學內容所涵蓋的領域廣泛，一方面可確保詴題散佈於各課程之中，另一方面也可避免太過明確而違反真實情境問題的疑慮。. 9.

(19) 三、數學素養的情境脈絡與一般民眾最切身相關的，不外乎「個人」、「職業」、「社會」與「科學」。因此，PISA 詴題的情境脈絡主要包含「個人」、「職業」、「社會」與「科學」四大類，盡可能包含各式各樣學生感興趣的情境，使學生有效地運用他們的數學知識。在 PISA 2012 數學架構中(OECD,2010)，將 PISA 詴題的題材，就「情境脈絡」而言，分為以下四大情境脈絡： (一) 個人：與學生本身、家庭、同儕相關的情境。例如：買東西、健康。 (二) 職業：職場會遇到的工作情境。例如：詴算表的使用、品質管理、設計。 (三) 社會：與公眾事務相關的情境。例如：選舉、公共政策、經濟。 (四) 科學：設定在必頇應用數學知識的科學議題情境上。例如：天氣、生態與環境、醫學、測量。. 10.

(20) 四、數學素養的數學解題歷程從釐清問題到解決問題的過程中，學生需要將情境和數學所做的連結，即為「數學歷程」。此外，也包含數學歷程背後，為了解決問題所需要被引導出來的能力。在 PISA 2012 數學架構中(OECD,2010)，將 PISA 詴題的題材，就「數學解題歷程」而言，最主要的步驟包含下列三項： (一) 將情境問題轉化成數學問題(Formulating situations mathematically)：將情境脈絡中的問題，轉換成可使用數學處理的模式及表徵，再解決問題。 (二) 使用數學概念、事實、過程和解題推理(Employing mathematical concepts, facts,procedures, and reasoning)：包含運用數學概念、事實、程序、數學推理與工具來解決問題。包括計算、操弄代數式與方程式、分析數學圖表的訊息、發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題。 (三) 詮釋、應用及評估數學結果 (Interpreting, applying and evaluating mathematical outcomes)：透過數學來解決情境脈絡中的問題，數學方法所得出的解，不見得都合理或有意義。因此，必頇具備對於數學解法及結果的反思與詮釋，並決定這些結果在此情境下是否合理且有意義。. 11.

(21) 五、數學素養所包含的數學能力在 PISA 2012 數學架構中(OECD,2010)，將 PISA 詴題的題材，就「數學能力」而言，分為下列七項： (一) 情境與數學間的溝通(Communicating)：閱讀題目後，將情境脈絡中的資訊解碼，形成新的數學問題。此步驟著重「對於情境脈絡的理解」。 (二) 問題數學化(Mathematising)：將情境脈絡結構化或概念化，並定義情境中的假設、變數、關係和限制，或是給出數學模式。此步驟著重「將情境脈絡轉化成數學問題或數學形式」。 (三) 使用表徵及轉換(Representation)：選擇、使用數學表徵來呈現情境脈絡中的問題。包含表徵間的轉換。 (四) 推理及論述(Reasoning and Argument)：運用邏輯思考能力，推理或論證某一數學表徵所呈現情境脈絡的合理性。 (五) 發展策略(Devising strategies for solving problems)：發展解決問題之策略。 (六) 使用符號、形式及術語與運算(Using symbolic, formal and technical language and operations)：將情境脈絡轉化成數學結構時，能恰當的使用及辨識符號、圖表、模型。並同時理解問題語言和形式語言或符號語言之間的關係。. 12.

(22) (七) 使用數學輔助工具(Using mathematical tools)：具備使用數學工具（如測量工具、繪圖工具、Excel 報表等）來辨識情境脈絡裡的數學結構或者描繪出數學關係。六、數學素養的詴題類型 PISA 數學詴題的題型包含以下四種：選擇題、多重是非題、封閉式問答題以及開放式問答題，其中選擇題、多重是非題+封閉式問答題、開放式問答題的比例各約為 1/3。在 PISA 2012 數學架構中(OECD,2010)，PISA 詴題的題材，就「詴題類型」而言，分為以下四種題型： (一) 選擇題：有四~五個選項，只有一個正確答案。 (二) 多重是非題：由二~四題是非題所組成的，通常必頇全對才能得分。選擇題與多重是非題可以用來測量數學的理解歷程，然而卻無法讓學生進一步解釋其論點，因此，PISA 除選擇題外還有問答題。 (三) 封閉式問答題：封閉式問答題通常會先要求學生從「是」或「否」兩個正反面的立場中圈選出合理的答案，再要求提供計算或數學論證來支持自己所選擇的答案。 (四) 開放式問答題：開放式問答題的主要目的在於讓學生自己建構答案，由作答者提出自己的觀點以及支持的理由和論證。評分時，以學生的「理解的程度」作為評分依據，評判為滿分、部分分數、或零分，不會因為書寫表達能力不好而扣分。. 13.

(23) 第四節數學素養與評量. 教學評量是瞭解學生學習情形，以作為調整教材教法和補救教學的依據，其對於教師、學生，乃至於學校行政人員，所具有的回饋和決策功能殊為重要。 (Black 1998)。從 Black 的論點，點出「評量」的重要性！評量可幫助我們了解學生的學習情形。根據簡茂發(1999)和李坤崇(2006)所論述的內容，評量可由不同觀點切入來看，包含評量的對象與內容、評量的時機與過程、評量的資料解釋方式。依據「評量的對象與內容」，可分為三種：教師的教學效率之評量（evaluation of teacher's teaching effectiveness）、學生的學習成就之評量（evaluation of students' learning achievement）、課程的設計與實施之評量（evaluation of curriculum program）；依據「評量的時機與過程」，可分為四種：安置評量（placement assessment）、形成評量（formative assessment）、診斷評量（diagnostic assessment）、總結評量（Summative assessment）；依據「評量的資料解釋方式」，可分為兩種：「常模參照評量」（norm-referenced evaluation）和「標準參照評量」（criterion-referenced evaluation）。若從「評量的時機與過程」這個角度切入來看，要評量學生是否具備「數學素養」，應該透過哪種評量來檢測比較適合呢？「評量的時機與過程」可分為四種：安置評量（placement assessment）、形成評量（formative assessment）、診斷評量（diagnostic assessment）、總結評量（Summative assessment）。以下先簡述四者之意義：. 14.

(24) . 安置評量（placement assessment）：在教學前，為了瞭解學生是否具備學習新知識所需具備的基本條件，即其先備知識，而做的評量。例如：將轉學生編入某班級前，應先實施安置評量，了解學生的起點行為。. . 形成評量（formative assessment）：在教學中，為了監控學生的學習狀況，即瞭解學生是否理解、吸收課程內容，所做的評量。例如：教學進行到一個段落，實施小考，來了解學生的學習狀況。. . 診斷評量（diagnostic assessment）：在教學中，發現學生學習困難時，可另外做評量來了解其困難點，並作為補救教學的依據。. . 總結評量（Summative assessment）：在教學後，為了瞭解學生的學習成效以及學習目標達成的程度，所做的評量。例如：段考、升學考詴。在數學教材教法上「素養」指的是基礎的概念（Winter,1995）。根據 Winter. 的定義，可將「數學素養」定義為數學的基礎概念。因此，我認為要評量學生是否具備某個數學概念的數學素養，應透過「形成性評量」或「總結性評量」來達成。形成性評量及總結性評量會於學生的學習過程中進行，因此可以從一個概念著手去設計數學題目，來了解學生的概念是否正確或周延。相反地，為何不適合放在總結性評量呢？總結性評量主要目的是瞭解學生的學習成效以及學習目標達成的程度，常見的評量模式是段考或是升學考詴，在這樣的考詴中，我們為了評量到較多的重點，還有想瞭解學生是否能融會貫通，通常一題不只涵蓋一個概念，因此在這樣的過程中，若學生有作答不正確的情況，我們較難判斷他不會的是其中的哪一項概念。另外，若總結性評量想評量學生的數學素養，教師為了讓學生在段考或大考時有不錯的表現，會讓學生練習大量的素養題，學生透過精熟而能處理這樣的數學問題，在這個過程讓素養題變成了一般的應用問題，與原本的初衷會產生差距。綜合上述，我認為在教學的過程中，可透過形成性評量，來瞭解學生是否具備該章節概念的數學素養。. 15.

(25) 教育部(1999)在九年一貫數學課程綱要提出幾個課程目標，其中包含「數學素養」。洪碧霞(1999)指出反應課程和教學目標的評量內容，就需要放在學生運用數學知識解決問題的思考歷程，溝通和辨證解題想法的能力，還有評量學生樂於用數學邏輯推理、尊重別人想法，和主動學習的態度；就目前數學教育的目標陳述來看，在學生進行數學解題小組討論中，觀察記錄他們所使用數學語言、概念、知識和方法的表現，理當成為數學教學評量的重要課題。從此段論述中可知，要瞭解學生的數學素養，可經由其所使用的數學語言、概念、知識和方法等思考歷程來探討。因此，數學素養評量的題目更重視是否能看出學生的思考歷程。. 16.

(26) 第參章. 研究方法. 本章將分為六節進行報導：第一節描述研究架構，第二節簡述研究設計，第三節說明研究樣本，第四節介紹研究工具，第五節闡述研究過程，第六節則是研究限制。. 第一節研究架構. 觀察. 研究者. 書寫內容. 展現出. 情境與數學間的溝通 Communicating. 分析. 問題數學化 Mathematising. 使用表徵及轉換 Representation. 數. 解. 題. 學. 學生. 歷. 推理及推論 Reasoning and Argument. 能力. 程. 發展策略 Devising strategies for solving problems 使用符號、形式及術語與運算 Using symbolic, formal and technical language and operations. 情境問題指對數相關之數學概念. 對數的運算. 單位換算對公式的影響. Model的結構. 圖 3-1 研究架構圖. 17. 使用數學輔助工具 Using mathematical tools. 對數的特性.

(27) 關於圖 3-1 的研究架構圖，說明如下：本研究之研究目的為「探討在現行課綱下（103 課綱），不同程度的高一學生學完指對數之後，面對與指對數相關的情境脈絡，其素養的展現為何」，並採用問卷調查法的方式蒐集質與量的資料，進行數據統計及內容分析，研究者以此為出發點，繪製本研究之架構圖。由於「指對數」在生活上的應用性較廣泛，故本研究選取「指對數」此單元，又臺灣位於環太帄洋地震帶，地震發生頻繁，與我們的生活息息相關，因此研究者選取「地震」作為本研究主要探討之情境脈絡。在本研究之情境脈絡中，主要與「對數」的四大主題有關：對數的運算、Model 的結構、單位換算對公式的影響、對數的特性。另外，本研究在研究結果的分析上，會提到「對模型（model）有感覺」、「能觀察到對數的特性」等用詞，其中，「對模型（model）有感覺」指的是學生「能辨識數學關係式的結構」，而「能觀察到對數的特性」指的是學生「能觀察到對數可以縮小數值的特性」。在學生面對與地震情境相關的問題時，會從腦中提取可使用的指對數相關數學概念，再從這些數學概念中選擇他所用得到的部分，作為解決問題的媒介，進而書寫出其答案與想法，而學生書寫的內容同時展現出其數學能力及素養。接著，研究者觀察學生書寫的內容，並分析學生所展現出的數學能力及素養。. 18.

(28) 第二節研究設計本研究的研究目的為「探討在現行課綱下（103 課綱），不同程度高中生學完指對數之後，面對與指對數相關的情境脈絡，其素養的展現為何」。本研究的定位屬於應用性研究，透過本研究教師可瞭解學生面對地震情境脈絡，其素養的展現為何，還有學生面對「指對數」題目的思維過程，以此為依據，做為日後教學安排的參考。本研究透過問卷調查的方式來蒐集資料，資料包含質與量兩部分，研究者再透過內容分析法，針對所蒐集到的資料進行歸納分析（inductive analysis）。根據本研究之研究目的，研究者設計了一份問卷，此份問卷的題目皆與「指對數」相關。透過問卷調查法的方式，調查學生學過「指對數」之後，其數學素養及其解決問題時的思維為何。研究流程包括：擬定研究主題和研究方向、問卷編制、施測問卷、回收問卷、資料分析，其中資料分析以質為主，量為輔。問卷施測時間為 40 分鐘。本問卷預計 30 分鐘即可作答完畢，給學生填答 40 分鐘是希望每一份問卷學生皆能在沒有時間壓力的情況下作答完畢。本研究的研究對象為高一學生。本研究欲探討高一學生在學習「指對數」之後，面對地震情境脈絡，其素養的展現為何及面對「指對數」的問題其思維為何，故樣本選擇剛學習完指對數的高一學生。問卷施測的時間點為教師教完「第一冊第三章 3-3 對數與對數定律」後。. 19.

(29) 第三節研究樣本本研究以高一學生作為研究對象，為了蒐集到較多元的質性資料，採用立意取樣的方式，研究樣本選取台北的兩所學校各兩個班的學生，其數學程度分別為中高程度及中程度。其中，中高程度的高中，其高一新生入學時的國中會考分數約為 28 點多，國中基測約 PR90；而中程度的學校，其高一新生入學時的國中會考分數約為 20 點多，基測約 PR80。本研究中所提到的「中高程度學生」代表「A 校兩個班的學生」，「中程度學生」代表「B 校兩個班的學生」。詳細的樣本資料如下表：表 3-1 研究樣本詳細資料校別. 班級. 男生. 女生. 總人數. 比例. A （中高程度）. 1. 19. 19. 38. 25.00%. 2. 20. 18. 38. 25.00%. B （中程度）. 1. 16. 23. 39. 25.66%. 2. 17. 20. 37. 24.34%. 共2校. 共4班. 共 72 人. 共 80 人. 共 152 人. 100%. 無效樣本之判定：整份問卷未填答者，將列為無效樣本。本研究的每一份問卷，學生都有填答，故全部皆列為有效樣本。回收率 100%。. 20.

(30) 第四節研究工具. 本研究的研究工具為「指對數的數學素養探測問卷」。問卷包含兩個部分，第一部分為「指對數基礎題」，第二部分為「指對數地震情境題」。「指對數基礎題」指的是純數學概念或運算的問題，而「指對數地震情境題」指的是含有數學概念的地震情境問題。本研究藉由這份問卷取得質與量的資料，質的資料來自學生填答的文字說明，量的資料來自學生勾選的項目及各種類文字說明的人數百分比。本問卷將詴題分為兩部分的原因在於，研究者認為學生面對生活中的情境問題時，思路卡住或不會處理，不見得是所需要的數學概念不懂或不清楚，而可能是該概念在學生面對問題時，尚未被喚起，或是問題與解決問題的策略之間，尚未搭起適當的橋樑。因此，將詴題分為「指對數的基礎題」及「指對數的地震情境題」兩部分，進行比對、分析。問卷內容如表 3-2 及 3-3 所示：. 21.

(31) 表 3-2 問卷內容 Part 1 Part 1 指對數基礎題 1、您認為指數與對數有何關聯？ 2、請計算下列各題： (1) 已知10𝑥 = 20，請問𝑥=. （請以 log 表示，不頇計算其數值。）. (2) 已知𝑎 > 0，𝑎 ≠ 1，且𝑐 > 0。當𝑎𝑏 = 𝑐時，則𝑏 = 表示。） (3) 已知log 𝑥 = 2，求𝑥 =. （請以 log. (4) 求log 103 = 3、請計算下列各題： (1) 已知：10x = y，請問當 x 增加 1 時，y 會變為原本的幾倍？ (2) 已知：log b = 2a，請問當 a 增加 1 時，b 會變為原本的幾倍？ (3) 已知：log b = 11+2a，請問當 a 增加 1 時，b 會變為原本的幾倍？倍. 倍倍. 4、已知𝑓(𝑥) = 10𝑥 ，A = 𝑓(2) − 𝑓(1)，B = 𝑓(4) − 𝑓(3)，請問A、B的大小關係為何？請將正確的打勾，並說明您的原因。 □ A>B □ A=B □ A<B. □ 無法判斷. 表 3-3 問卷內容 Part 2 Part 2 指對數地震情境題 1、已知地震規模 M 與能量 E（單位：爾格 erg）之關係為 log E = 11.8+1.5M 請計算下列各題： (1) 若已知地震規模 M=6.8，則地震所釋放的能量 E 為多少爾格？（請以科學記號表示） (2) 若已知地震所釋放的能量𝐸 = 1019 爾格，則地震規模 M 為多少？ 2、已知地震規模 M 與能量 E（單位：爾格 erg）之關係為 log E = 11.8+1.5M 請回答下列各題： (1) 請將能量 E 以規模 M 表示。 (2) 地震規模 M 每增加 1，其所釋放的能量 E 會增大為幾倍？（參考數值：1011.8 ≈ 6.31 × 1011 ，101.5 ≈ 31.62）. 22.

(32) 3、以 A 表示「地震規模 M=1 和地震規模 M=2 之間的能量差距」；以 B 表示「地震規模 M=3 和地震規模 M=4 之間的能量差距」。您認為下列何者為 A、B 的大小關係。請打勾，並說明您的原因。 □ A>B □ A=B □ A<B □ 無法判斷 4、能量常用另一個單位來度量，稱為焦耳，以符號 J 表示。J（焦耳）與 E（爾格）的關係為 J = E × 107 若在地震規模與能量的關係式中改用 J（焦耳）的能量單位，請問地震規模每增加 1，其所釋放的能量會增大為幾倍？ 5、小霖定義新的「能量單位」，叫做小霖單位，以符號 L 表示。L（小霖）與 E（爾格）之關係 𝐿=. 𝐸 1011.8. 請問您比較喜歡下列哪一種能量單位的定法？請打勾並說明您的原因。 𝐸. □ 𝐿 = 1011.8（小霖單位）. □ J = E × 107 （焦耳單位）. □ 都相同. 6、若我們不透過 log E = 11.8+1.5M 此關係式（將能量轉換成規模）來定義地震規模，而是直接將能量的數值 E 當作地震規模，您覺得恰當嗎？請說明您的原因。例如：將能量為6.31 × 1011 爾格的地震，定義規模為6.31 × 1011 ；將能量為10 16爾格的地震，定義規模為10 16 。 □ 我認為恰當. □ 我認為不恰當. 註：詴題分析在第肆章各小節中。. 23.

(33) 在文獻探討中，提到 Mogens Niss 及 PISA 的數學素養架構，分別列出幾項重要的「數學能力(Mathematical Capability)」。其中，PISA 的架構是從 Mogens Niss 的架構而來，因此兩者有相似之處。以下將呈現 Mogens Niss 與 PISA 的數學素養架構中，各項「數學能力」的對照，以及本研究之研究工具中各施測題目所屬類別。表 3-4 研究工具 Part 2 中各題所屬類別 Mogens Niss A.數學思維. PISA a.問題數學化. 施測題目 2,3,4,5,6. B.擬題與解題 C.分析與發展數學模式. c.發展策略. D.數學推理. d.推理及推論. E.數學表徵. e.使用表徵及轉換. F.符號化與形式化. f.使用符號、形式及術語與運算. G.數學溝通. g.情境與數學間的溝通. H.工具的使用. h.使用數學輔助工具. 1,2,3,4,5,6 2,3,4,5,6 1,2,3,4 1,2,3,4,5,6. 註：研究結果分析會以 PISA 的架構為主，並以 Mogens Niss 的架構為輔作分析。. 24.

(34) 第五節研究方法與流程研究過程主要包含三個階段：一、前置作業階段；二、問卷施測階段；三、資料分析與論文撰寫階段。一、前置作業階段 1.. 擬定研究主題與研究方向，並確定研究目的與研究問題。. 2.. 依據研究目的設計問卷。. 3.. 依據立意取樣的方式選取樣本，並與教師協調施測時間。. 二、問卷施測階段與施測班級之數學教師討論施測時間，並於施測時間進班施測。施測時間點為教師教完「第一冊第三章 3-3 對數與對數定律」後。三、資料分析與論文撰寫階段將收集到的有效問卷進行質性分析，依據學生填寫的內容分析其展現的「指對數」的數學素養。以下為研究過程之流程圖：. 擬定研究主題與研究方向. 依據研究問題設計問卷. 修改問卷形成正式問卷. 焦點團體討論. 圖 3-2 研究過程流程圖. 25. 施測. 資料分析與論文撰寫.

(35) 第六節研究限制 1.. 本研究透過問卷調查的方式，來探討不同程度高中生學完指對數之後，面對地震情境脈絡，其素養的展現為何。並未作進一步的訪談，故只能從學生填寫的內容去做分析。. 2.. 本研究為質性研究，且有較多非勾選的題目，頇學生填答。學生可能因為不想寫那麼多字，而影響其書寫的豐富性，甚至可能未填答部分題目。. 3.. 本研究的研究樣本為臺北市兩所學校各兩個班的學生，其數學程度分別為中高程度及中程度。其中，中高程度的高中，其高一新生入學時的國中會考分數約為 28 點多，國中基測約 PR90；而中程度的學校，其高一新生入學時的國中會考分數約為 20 點多，基測約 PR80。由於研究樣本只有選取臺北市的學校，且學生能力只有選取到中高程度與中程度的學生，故研究結果不能代表臺灣全體高中生。. 26.

(36) 第肆章. 研究結果. 本研究欲探討不同程度高中生學完指對數之後，面對與指對數相關的情境脈絡，其素養的展現為何。本章將分為八節，分別在六題地震情境題中，根據學生填答的內容，進行兩大項目的分析與探討： 1.. 在現行課綱下（103 課綱），「高一學生」學完指對數之後，面對與指對數相關的情境脈絡，其素養的展現為何？. 2.. 在現行課綱下（103 課綱），「不同程度的高一學生」學完指對數之後，面對與指對數相關的情境脈絡，其素養的展現為何？在研究結果的報導上，第一節會先呈現學生於 Part 1 指對數基礎題作答正確. 的百分率，接著依據 Part 2 地震情境題的六道題目，將其分為下列 A~F 六個類別，此六個類別為「對數」在地震情境中之應用，以下將分為六小節進行報導。表 4-1 指對數數學素養之報導架構施測題目 Part 1. Part 2. 指對數. 指對數. 基礎題. 地震情境題. 題目. A.地震大小對於人類生活的影響. 2. 1. B.地震規模每增加 1，能量變為幾倍. 3. 2. C.地震規模相差 1，能量的差距為何. 4. 3. D.單位換算後，對於公式特性的影響. 4. E.對焦耳單位與小霖單位換算的觀察. 5. F.對數可將數值縮小的特性. 6 27.

(37) 在第參章第四節研究工具中有提到，本問卷將詴題分為兩部分的原因在於，研究者認為學生面對生活中的情境問題時，思路卡住或不會處理，不見得是所需要的數學概念不懂或不清楚，而可能是該概念在學生面對問題時，尚未被喚起，或是問題與解決問題的策略之間，尚未搭起適當的橋樑。因此，將詴題分為「指對數的基礎題」及「指對數的地震情境題」兩部分（其中「指對數的基礎題」為「指對數的地震情境題」中所需要的數學概念），進行比對、分析。第二節到第七節，將針對以上 A~F 六個類別進行報導，報導方式包含「量化數據」與「質性內容」。量化的部分，是依據學生填答內容進行分類，再統計各類別的百分比；而質性的部分，會將學生填答內容所使用的數學思維進行分析。另外，第八節將會做「指對數的地震情境題」跨題間的比對分析。. 28.

(38) 第一節指對數基礎題. 在我們正式探討學生於地震情境題中素養的展現之前，頇先了解他們的先備知識，因此本節將呈現出兩所學校的學生與 Part 1 指對數基礎題的回答的情形。表 4-2 Part 1 第 2 題的答對率 Part 1-第 2 題中高. 請計算下列各題： (1) 已知10𝑥 = 20，請問 x = 不頇計算其數值。）. （請以 log 表示，程度學生人數 (2) 已知𝑎 > 0，𝑎 ≠ 1，且𝑐 > 0。當𝑎𝑏 = 𝑐時，則及 𝑏= （請以 log 表示。）比例 (3) 已知log 𝑥 = 2，求𝑥 =. 中程度學生人數及比例. 整體學生人數及比例. (4) 求log 103 = 第(1)小題作答正確（正確答案：log10 20 或 log 20）作答錯誤空白未填答. 73. 57. 130. 96.05. 75.00. 85.53. 2. 9. 11. 2.63. 11.84. 7.24. 1. 10. 11. 1.32. 13.16. 7.24. 71. 55. 126. 93.42. 72.37. 82.89. 3. 7. 10. 3.95. 9.21. 6.58. 2. 14. 16. 2.63. 18.42. 10.53. 72. 52. 124. 94.74. 68.42. 81.58. 3. 12. 15. 3.95. 15.79. 9.87. 第(2)小題作答正確（正確答案：log 𝑎 𝑐）作答錯誤空白未填答第(3)小題作答正確（正確答案：100）作答錯誤. 29.

(39) 空白未填答. 1. 12. 13. 1.32. 15.79. 8.55. 71. 59. 130. 93.42. 77.63. 85.53. 3. 5. 8. 3.95. 6.58. 5.26. 2. 12. 14. 2.63. 15.79. 9.21. 第(4)小題作答正確（正確答案：3）作答錯誤空白未填答從表 4-2 中，研究者發現： 1.. 全體學生於四小題的答對率皆為八成多，代表全體學中有八成多的學生會指對數的基本運算。. 2.. 中高程度的學生於四小題的答對率皆為九成多，代表中高程度學生有九成多的學生會指對數的基本運算；而中程度的學生於四小題的答對率皆為七成左右，代表中程度學生有七成左右的學生會指對數的基本運算。中高程度學生與中程度學生在「指對數的基本運算」的答對率上有兩成多的差距。. 3.. 第(1)小題與第(2)小題均為「將對數式轉換成指數式」這類型的題目，其中第(1)小題為「數字例」，而第(2)小題為「符號例」，研究者預期符號例的答對率會比數字例低。實際施測的結果，中高程度與中程度的學生於這兩題的答對率都是數字例較高，且均相差 3%左右。. 4.. 中程度學生在這四小題皆有一成多的學生未作答，而中高程度學生在這四小題僅有不到 5%的學生未作答。. 30.

(40) 表 4-3 Part 1 第 3 題的答對率 Part 1-第 3 題請計算下列各題： (1) 已知：10x = y，請問當 x 增加 1 時，y 會變為原本的幾倍？倍 (2) 已知：log b = 2a，請問當 a 增加 1 時，b 會變為原本的幾倍？倍 (3) 已知：log b = 11+2a，請問當 a 增加 1 時，b 會變為原本的幾倍？倍. 中高程度學生人數及比例. 中程度學生人數及比例. 整體學生人數及比例. 70. 64. 134. 92.11. 84.21. 88.16. 4. 6. 10. 5.26. 7.89. 6.58. 2. 6. 8. 2.63. 7.89. 5.26. 52. 29. 81. 68.42. 38.16. 53.29. 20. 27. 47. 26.32. 35.53. 30.92. 4. 20. 24. 5.26. 26.32. 15.79. 55. 32. 87. 72.37. 42.11. 57.24. 12. 16. 28. 15.79. 21.05. 18.42. 9. 28. 37. 11.84. 36.84. 24.34. 第(1)小題作答正確（正確答案：10）作答錯誤空白未填答第(2)小題作答正確（正確答案：100）作答錯誤空白未填答第(3)小題作答正確（正確答案：100）作答錯誤空白未填答. 31.

(41) 從表 4-3 中，研究者發現： 1.. 全體學生在第(1)小題的答對率將近九成，而在第(2)小題及第(3)小題的答對率下降到五成多，代表學生遇到 log 值與 log 真數之間的關係時，較容易產生問題。. 2.. 中高程度在第(1)小題的答對率約為九成，而在第(2)小題及第(3)小題的答對率下降到七成左右；而中程度學生在第(1)小題的答對率約為八成四，而在第(2)小題及第(3)小題的答對率下降到四成左右。. 3.. 從第(1)小題到第(3)小題，未作答比率從 5.26%增加到 24.34%，代表這三題的難易度對學生來說是循序漸進的。. 4.. 中程度學生在第(2)小題及第(3)小題的未作答比率比中高程度學生多出超過兩成。表 4-4 Part 1 第 4 題的答對率. 中高 Part 1-第 4 題已知𝑓(𝑥) = 10𝑥，A = 𝑓(2) − 𝑓(1)，B = 𝑓(4) − 𝑓(3)，程度學生請問A、B的大小關係為何？請將正確的打勾，並說明您人數的原因。及 □ A>B □ A=B □ A<B □ 無法判斷比例 A>B A=B A < B（正確答案）無法判斷空白未填答. 32. 中程度學生人數及比例. 整體學生人數及比例. 0. 2. 2. 0.00. 2.63. 1.32. 0. 0. 0. 0.00. 0.00. 0.00. 74. 65. 139. 97.37. 85.53. 91.45. 1. 2. 3. 1.32. 2.63. 1.97. 1. 7. 8. 1.32. 9.21. 5.26.

(42) 從表 4-4 中，研究者發現： 1.. 全體學生中，有高達九成的學生作答正確。. 2.. 中高程度的學生有高達九成七的學生作答正確，而中程度學生有八成五的學生作答正確。中高程度學生與中程度學生在「指對數的基本運算」的答對率上有一成多的差距。. 3.. 中程度學生在這題有將近一成的學生未作答，而中高程度學生在這題僅有 1.32%的學生未作答。. 第二節到第八節，研究者將針對地震情境題作分析，除了統計每題各類別回答的百分比外，站在探討素養的角度，其實我們更關心先備知識完備的學生當中，能夠展現出素養的學生有多少。因此研究者在本節先將 Part 1 指對數基礎題的第 2 題到第 4 題皆作答正確的人數列出來，如表 4-5：表 4-5 Part 1 第 2 題到第 4 題皆作答正確之人數. Part 1. 中高程度學生人數. 中程度學生人數. 中高程度學生加上中程度學生人數總和. 第 2 題的 4 小題皆作答正確. 68. 41. 109. 第 3 題的 3 小題皆作答正確. 51. 27. 78. 第 4 題作答正確. 74. 65. 139. 第 2 題到第 4 題皆作答正確. 47. 22. 69. 33.

(43) 第二節與「地震大小對於人類生活的影響」相關之數學素養. 臺灣位於環太帄洋地震帶上，地震發生地很頻繁，與我們的生活息息相關，因此我們不禁想問，到底多大的地震會對臺灣造成嚴重的災害呢？多大的地震會停班停課呢？若芮氏規模為 5，震央在臺灣本島內的淺層地震可釀成災害；若芮氏規模 6 以上，震央在臺灣附近海域的地震即可釀成災害。像是 1999 年 9 月 21 日的集集大地震，其芮氏規模為 7.3，震央在南投縣集集鎮，震源深度約 8.0 公里（屬於淺源地震），釀成嚴重災害，當時有兩千多人死亡。地震的大小與其所釋放的能量大小、震源深度有關，然而地震所釋放的能量（單位：爾格）數值上較大，一般民眾讀取不易，且溝通上也較不方便，因此透過「能量」與「規模」換算的式子，可將每一地震所釋放的能量轉換成規模，來表達地震的大小。故設計 Part 2 第 1 小題，讓學生親自操作看看「能量」與「規模」之間的換算。表 4-6 「地震大小對於人類生活的影響」於兩部分之施測題目對照表施測題目 Part 1. Part 2. 指對數. 指對數. 基礎題. 地震情境題. 數學概念. A.地震大小對於人類生活的影響. 2. 34. 1.

(44) ● 施測題目： Part 2-第 1 題已知地震規模 M 與能量 E（單位：爾格 erg）之關係為 log E = 11.8+1.5M 請計算下列各題： (1) 若已知地震規模 M=6.8，則地震所釋放的能量 E 為多少爾格？（請以科學記號表示） (2) 若已知地震所釋放的能量𝐸 = 1019 爾格，則地震規模 M 為多少？圖 4-1 「地震大小對於人類生活的影響」之施測題目 1 Part 1-第 2 題請計算下列各題： (1) 已知10𝑥 = 20，請問 x =. （請以 log 表示，不頇計算其數值。）. (2) 已知𝑎 > 0，𝑎 ≠ 1，且𝑐 > 0。當𝑎𝑏 = 𝑐時，則𝑏 = （請以 log 表示。） (3) 已知log 𝑥 = 2，求𝑥 = (4) 求log 103 = 圖 4-2 「地震大小對於人類生活的影響」之施測題目 2. 35.

(45) ● 題目分析： Part 2 第 1 題的第(1)小題題目：若已知地震規模 M=6.8，則地震所釋放的能量 E 為多少爾格？（請以科學記號表示）分析： 1.. 題目給定地震規模 M，要求地震所釋放的能量 E 為多少爾格，在此過程中，需要 Part 1 第 2 題第(1)、(2)、(3)小題的概念。. 2.. 芮氏規模 6 以上，震央在臺灣附近海域的地震即可釀成災害，較具報導價值，因此本題選取的規模便是 6 以上的數值。選取 M=6.8 是因為 11.8+1.5×6.8 為一個整數，讓學生計算上較方便。. 3.. 題幹中「能量 E」的英文代號「E」是否書寫，對學生來說，難易度並不相同。若題目有書寫「E」，對學生來說可以更清楚掌握題目想問的內容；反之，若題目沒有書寫「E」，對學生來說會更具有挑戰性。. Part 2 第 1 題的第(2)小題題目：若已知地震所釋放的能量 𝐸 = 1019 爾格，則地震規模 M 為多少？分析： 1.. 題目給定地震所釋放的能量 E，要求相對應的規模 M，在此過程中，需要 Part 1 第 2 題第(1)、(2)、(4)小題的概念。. 2.. 本題也是為了讓學生方便計算，因此選取能量 𝐸 = 1019 （整數次方）讓學生操作「能量」與「規模」之間的轉換。. 36.

(46) ● 施測結果與數學素養分析： . 全體學生表 4-7 Part 2 第 1 題學生回答類別百分比. Part 2-第 1 題已知地震規模 M 與能量 E（單位：爾格 erg）之關係為 log E = 11.8+1.5M 請計算下列各題： (1) 若已知地震規模 M=6.8，則地震所釋放的能量 E 為多少爾格？（請以科學記號表示） (2) 若已知地震所釋放的能量𝐸 = 1019 爾格，則地震規模 M 為多少？. 中高程度學生人數. 中程度學生人數. 及比例. 及比例. 54. 35. 89. 71.05. 46.05. 58.55. 0. 11. 11. 0.00. 14.47. 7.24. 0. 4. 4. 0.00. 5.26. 2.63. 4. 4. 8. 5.26. 5.26. 5.26. 15. 11. 26. 19.74. 14.47. 17.11. 3. 11. 14. 3.95. 14.47. 9.21. 62. 44. 106. 81.56. 57.89. 69.74. 0. 3. 3. 0.00. 3.95. 1.97. 2. 6. 8. 2.63. 7.89. 5.26. 8. 6. 14. 10.53. 7.89. 9.21. 整體學生人數及比例. 第(1)小題 A1-1. 1 × 1022 （1022 ）（正確答案）. A1-2. log 𝐸 = 22. A1-3. 22. A1-4. 其他. A1-5. 計算錯誤. A1-6. 空白未填答. 第(2)小題 A2-1. 4.8（正確答案）. A2-2. 認為規模應為整數. A2-3. 其他. A2-4. 計算錯誤. 37.

(47) A2-5. 空白未填答. 4. 17. 21. 5.26. 22.37. 13.82. 註：本表之樣本為全部中高程度及中程度學生，包含中高程度學生 76 人及中程度學生 76 人，共 152 人。. 從表 4-7 中，研究者發現： 1.. 全體學生中，第(1)小題的答對人數約占六成（58.55%），而第(2)小題的答對人數約占七成（69.74%），答對比例有點差距。. 2.. 在高層次的數學思維中，比起計算，我們更在乎學生的思維能力，因此若將「計算錯誤」的部分一併列入「正確作答」的類別中，第(1)小題的答對人數約占七成五（75.66%），而第(2)小題的答對人數約占七成八（78.95%），答對比例差不多。. 3.. 由 1.和 2.可知，學生在第(1)小題較容易計算錯誤。為什麼學生在第(1)小題較容易計算錯誤呢？此時，研究者也好奇學生在這兩題答題狀況的一致性高不高（即同一位學生於這兩小題會都答對或都答錯抑或是一對一錯）？以下將比對兩小題的答題狀況及分析第(1)小題較容易計算錯誤的原因。. 38.

(48) 表 4-8 比對 Part 2 第(1)小題與第(2)小題的一致性中高程度學生人數及比例. 中程度學生人數及比例. 整體學生人數及比例. 50. 30. 80. 65.79%. 39.47%. 52.63%. 4. 4. 8. 5.26%. 5.26%. 5.26%. 13. 14. 27. 17.11%. 18.42%. 17.76%. 6. 19. 25. 7.89%. 25.00%. 16.45%. 3. 9. 12. 3.95%. 11.84%. 7.89%. 第(1)小題「正確」且第(2)小題「正確」第(1)小題「正確」且第(2)小題「錯誤」第(1)小題「錯誤」且第(2)小題「正確」第(1)小題「錯誤」且第(2)小題「錯誤」兩題皆未填答. 從表 4-8 可知，第(1)小題與第(2)小題「同時寫對」與「同時寫錯」的學生約占七成（69.08%），代表學生答題的一致性蠻高的。只有少部分學生是「一題答對另一題答錯」。而「一題答對另一題答錯」的學生中，又以第(1)小題「錯誤」且第(2)小題「正確」的人較多。研究者閱讀學生寫的解題過程後，發現其原因為： . . 第(1)小題有兩個學生容易錯誤的地方： a.. 大部分學生在小數的加法、乘法上計算錯誤。. b.. 有少部分學生是因為不會將對數式轉換為指數式而解不出這題；. 第(2)小題只有一個學生容易錯誤的地方： a.. 大部分學生在小數的加法、乘法上計算錯誤。. 由於第(1)小題對學生來說有兩個解題上容易犯錯的地方，而第(2)小題只有一個，因此第(1)小題比第(2)小題容易計算錯誤。. 39.

(49) 接下來，研究者將針對 Part 2 第 1 題第(1)小題與第(2)小題進行各別分析。 Part 2 第 1 題第(1)小題 1.. 全體學生中，有將近六成（58.55%）的學生能從給定的「規模」推算出相對應的「能量」，並且計算正確；有將近兩成（17.11%）的學生計算錯誤（計算錯誤指的是，從學生的過程中可以知道他會做對數的運算，但因為計算錯誤而導致最後的答案是錯誤的）；另外有一成多（15.13%）的學生有作答，但答案是錯誤的。. 2.. 在高層次的數學思維中，比起計算，我們更在乎學生的思維能力，因此若將「計算錯誤」的部分一併列入「正確作答」的類別中，有七成五（75.66%）的學生能從給定的「規模」推算出相對應的「能量」。. 3.. 中高程度學生有七成左右（71.05%）的學生能從給定的「規模」推算出相對應的「能量」並且計算正確，有將近兩成（19.74%）的學生計算錯誤；中程度學生有四成六（46.05%）的學生能從給定的「規模」推算出相對應的「能量」並且計算正確，有一成多（14.47%）的學生計算錯誤。中高程度學生與中程度學生的答對率差距兩成五。. 4.. 以下將分析學生在解題歷程所展現的「數學能力」。. 40.

(50) . A1-1：𝟏 × 𝟏𝟎𝟐𝟐 （𝟏𝟎𝟐𝟐 ）（正確答案）. 學生的解題過程：因為規模 M = 6.8，因此將 M = 6.8 代入式子 log E = 11.8+1.5M 中，得 log E = 11.8+1.5×6.8 ⇒ log E = 11.8+10.2 ⇒ log E = 22 ⇒ E = 1022 = 1 × 1022 （轉換成科學記號的寫法）分析學生的數學能力：學生在解題的過程中，運用「代入」、「小數的乘法」、「小數的加法」、「指數式轉換成對數式」等步驟，將答案求出。從上述分析可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「使用表徵及轉換」、「使用符號、形式及術語與運算」、「推理及推論」等數學能力。 . A1-2：22. 學生的解題過程：因為規模 M = 6.8，因此將 M = 6.8 代入式子 log E = 11.8+1.5M 中，得 log E = 11.8+1.5×6.8 ⇒ log E = 11.8+10.2 ⇒ log E = 22 分析學生的數學能力：此類的答案，在前幾個步驟皆與正確答案的步驟相同，唯獨最後一個步驟「將對數式轉換成指數式」沒有進行轉換，因此有可能是學生不會做轉換，或是認為 log E 即代表「能量」。此時我們可以對照其 Part 1 第 2 題第(3)小題的填答狀況來 41.

(51) 作判斷。這類的學生共有 11 位，數量不算少。在 Part 1 第 2 題第(3)小題，其中有 3 位學生填答正確，因此研究者判斷這 3 位學生，可能認為「log E 即代表能量」，因此沒有作進一步的轉換，屬於對符號的認知有誤；有 5 位學生空白，因此研究者認為此 5 位學生不會作對數式與指數式之間的轉換；另外有 3 位學生寫出錯誤的答案，且沒有任何計算過程，因此研究者認為他們極有可能不會作對數式與指數式之間的轉換。從上述分析可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「推理及推論」之能力。其中，有 3 位學生對符號的認知有誤，因此這類學生「使用表徵及轉換」的能力使用有錯誤，有 5 位學生在解題過程中不會將對數式轉換成指數式，因此這類學生「使用符號、形式及術語與運算」之能力使用有錯誤。 A1-3：𝟐. 𝟐 × 𝟏𝟎𝟏. . 學生的解題過程：因為規模 M = 6.8，因此將 M = 6.8 代入式子 log E = 11.8+1.5M 中，得 log E = 11.8+1.5×6.8 ⇒ log E = 11.8+10.2 ⇒ log E = 22 答：22 分析學生的數學能力：從學生書寫的過程會發現，其思維基本上與 A1-2 類的學生相同，但研究者會將此類另外歸成一類的原因是，學生明確告訴我答案是 22，很可能代表學生認為 log E = 22 代表能量大小為 22，即 log E 代表「能量」，屬於對符號的認知有誤。. 42.

(52) 從上述分析可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「使用符號、形式及術語與運算」、「推理及推論」之能力。這類的學生對符號的認知有誤，因此這類學生「使用表徵及轉換」的能力使用有錯誤。. 由上述分析中，可整理各類別數學能力之人數分布：表 4-9 Part 2 第 1 題第(1)小題各類數學能力之人數分布與百分比展現. 使用有錯誤. 中高. 中. 整體. 中高. 中. 整體. 情境與數學間的溝通. 54 (71.05%). 50 (65.79%). 104 (68.42%). 0 (0%). 0 (0%). 0 (0%). 問題數學化. —. —. —. —. —. —. 使用表徵及轉換. 54 (71.05%). 35 (46.05%). 89 (58.55%). 0 (0%). 15 (19.74%). 15 (9.87%). 推理及論述. 54 (71.05%). 50 (65.79%). 104 (68.42%). 0 (0%). 0 (0%). 0 (0%). 發展策略. —. —. —. —. —. —. 使用符號、形式及術語與運算. 54 (71.05%). 50 (65.79%). 104 (68.42%). 0 (0%). 0 (0%). 0 (0%). 使用數學輔助工具. —. —. —. —. —. —. 註 1：本表僅統計 A1-1~A1-3 之人數。註 2：「展現」代表學生有展現出該數學能力，並使用正確；「使用有錯誤」代表學生有詴圖使用該數學能力，但使用上有錯誤。. 43.

(53) Part 2 第 1 題第(2)小題 1.. 全體學生中，有將近七成（69.74%）的學生能從給定的「能量」推算出相對應的「規模」，並且計算正確；有將近一成（9.21%）的學生計算錯誤（計算錯誤指的是，從學生的過程中可以知道他會做對數的運算，但因為計算錯誤而導致最後的答案是錯誤的）；另外有不到一成（5.26%）的學生有作答，但答案是錯誤的。. 2.. 在高層次的數學思維中，比起計算，我們更在乎學生的思維能力，因此若將「計算錯誤」的部分一併列入「正確作答」的類別中，有將近八成（78.95%）的學生能從給定的「能量」推算出相對應的「規模」。. 3.. 中高程度學生有八成左右（81.56%）的學生能從給定的「能量」推算出相對應的「規模」並且計算正確，有將近一成左右（10.53%）的學生計算錯誤；中程度學生有將近六成（57.89%）的學生能從給定的「能量」推算出相對應的「規模」並且計算正確，有將近一成（7.89%）的學生計算錯誤。中高程度學生與中程度學生的答對率差距兩成四左右。. 4.. 以下將分析學生在解題歷程所展現的「數學能力」。. . A2-1：4.8（正確答案）. 學生的解題過程：將E = 1019 代入 log E = 11.8+1.5M 得 log 1019 = 11.8 + 1.5𝑀 ⇒ 19 = 11.8 + 1.5𝑀 ⇒ 1.5𝑀 = 7.2 ⇒ 𝑀 = 4.8. 44.

(54) 分析學生的數學能力：學生在解題的過程中，運用「代入」、「對數運算」、「減法等量公理」、「除法等量公理」等步驟，將答案求出。從上述分析可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「使用表徵及轉換」、「使用符號、形式及術語與運算」、「推理及推論」之能力。 . A2-2：認為規模應為整數. 學生的解題過程：〈作法 1〉. 〈作法 2〉. log 𝐸 = 19 = 11.8 + 1.5𝑀. log 𝐸 = 19 = 11.8 + 1.5𝑀. ⇒ 1.5𝑀 = 7.1. ⇒𝑀≒5. ⇒𝑀=. 7.1 1.5. = 4.97 …. 取𝑀 = 4級分析學生的數學能力：從學生的解題過程可以發現，除了計算錯誤之外，學生算出答案後，認為要將數值「取整數」才是地震規模。這是我原先沒有想過學生會這樣想的。從上述分析可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「使用表徵及轉換」、「使用符號、形式及術語與運算」、「推理及推論」的能力。不過可能在學生的心中，認為地震規模頇為整數，因此取近似直到整數。. 45.

(55) 由上述分析中，可整理各類別數學能力之人數分布：表 4-10 Part 2 第 1 題第(2)小題各類數學能力之人數分布與百分比展現. 使用有錯誤. 中高. 中. 整體. 中高. 中. 整體. 情境與數學間的溝通. 62 (81.56%). 47 (61.84%). 109 (71.71%). 0 (0%). 0 (0%). 0 (0%). 問題數學化. —. —. —. —. —. —. 及轉換. 62 (81.56%). 47 (61.84%). 109 (71.71%). 0 (0%). 0 (0%). 0 (0%). 推理及論述. 62 (81.56%). 47 (61.84%). 109 (71.71%). 0 (0%). 0 (0%). 0 (0%). 發展策略. —. —. —. —. —. —. 使用符號、形式及術語與運算. 62 (81.56%). 47 (61.84%). 109 (71.71%). 0 (0%). 0 (0%). 0 (0%). 使用數學輔助工具. —. —. —. —. —. —. 使用表徵. 註 1：本表僅統計 A2-1~A2-2 之人數。註 2：「展現」代表學生有展現出該數學能力，並使用正確；「使用有錯誤」代表學生有詴圖使用該數學能力，但使用上有錯誤。. 46.