臺灣位於環太帄洋地震帶上，地震發生地很頻繁，與我們的生活息息相關，
因此我們不禁想問，到底多大的地震會對臺灣造成嚴重的災害呢？多大的地震會 停班停課呢？若芮氏規模為 5，震央在臺灣本島內的淺層地震可釀成災害；若芮 氏規模 6 以上，震央在臺灣附近海域的地震即可釀成災害。像是 1999 年 9 月 21 日的集集大地震，其芮氏規模為 7.3，震央在南投縣集集鎮，震源深度約 8.0 公 里（屬於淺源地震），釀成嚴重災害，當時有兩千多人死亡。
地震的大小與其所釋放的能量大小、震源深度有關，然而地震所釋放的能量
（單位：爾格）數值上較大，一般民眾讀取不易，且溝通上也較不方便，因此透 過「能量」與「規模」換算的式子，可將每一地震所釋放的能量轉換成規模，來 表達地震的大小。故設計 Part 2 第 1 小題，讓學生親自操作看看「能量」與「規 模」之間的換算。
表 4-6 「地震大小對於人類生活的影響」於兩部分之施測題目對照表
數學概念
施測題目 Part 1 Part 2 指對數
基礎題
指對數 地震情境題
A.地震大小對於人類生活的影響 2 1
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● 施測題目：
Part 2-第 1 題
已知地震規模 M 與能量 E（單位：爾格 erg）之關係為 log E = 11.8+1.5M
請計算下列各題：
(1) 若已知地震規模 M=6.8，則地震所釋放的能量 E 為多少爾格？
（請以科學記號表示）
(2) 若已知地震所釋放的能量𝐸 = 1019爾格，則地震規模 M 為多少？
圖 4-1 「地震大小對於人類生活的影響」之施測題目 1 Part 1-第 2 題
請計算下列各題：
(1) 已知10𝑥 = 20，請問 x = （請以 log 表示，不頇計算其數值。）
(2) 已知𝑎 > 0，𝑎 ≠ 1，且𝑐 > 0。當𝑎𝑏= 𝑐時，則𝑏 =
（請以 log 表示。）
(3) 已知log 𝑥 = 2，求𝑥 = (4) 求log 103 =
圖 4-2 「地震大小對於人類生活的影響」之施測題目 2
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● 題目分析：
Part 2 第 1 題的第(1)小題
題目：若已知地震規模 M=6.8，則地震所釋放的能量 E 為多少爾格？
（請以科學記號表示）
分析：
1. 題目給定地震規模 M，要求地震所釋放的能量 E 為多少爾格，在此過程中，
需要 Part 1 第 2 題第(1)、(2)、(3)小題的概念。
2. 芮氏規模 6 以上，震央在臺灣附近海域的地震即可釀成災害，較具報導價值，
因此本題選取的規模便是 6 以上的數值。選取 M=6.8 是因為 11.8+1.5×6.8 為一個整數，讓學生計算上較方便。
3. 題幹中「能量 E」的英文代號「E」是否書寫，對學生來說，難易度並不相 同。若題目有書寫「E」，對學生來說可以更清楚掌握題目想問的內容；反 之，若題目沒有書寫「E」，對學生來說會更具有挑戰性。
Part 2 第 1 題的第(2)小題
題目：若已知地震所釋放的能量 𝐸 = 1019爾格，則地震規模 M 為多少？
分析：
1. 題目給定地震所釋放的能量 E，要求相對應的規模 M，在此過程中，需要 Part 1 第 2 題第(1)、(2)、(4)小題的概念。
2. 本題也是為了讓學生方便計算，因此選取能量 𝐸 = 1019（整數次方）讓學 生操作「能量」與「規模」之間的轉換。
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A2-5 空白未填答 4 17 21
5.26 22.37 13.82
註：本表之樣本為全部中高程度及中程度學生，包含中高程度學生 76 人及中程度學生 76 人，共
152 人。
從表 4-7 中，研究者發現：
1. 全體學生中，第(1)小題的答對人數約占六成（58.55%），而第(2)小題的答對 人數約占七成（69.74%），答對比例有點差距。
2. 在高層次的數學思維中，比起計算，我們更在乎學生的思維能力，因此若將
「計算錯誤」的部分一併列入「正確作答」的類別中，第(1)小題的答對人 數約占七成五（75.66%），而第(2)小題的答對人數約占七成八（78.95%），
答對比例差不多。
3. 由 1.和 2.可知，學生在第(1)小題較容易計算錯誤。為什麼學生在第(1)小題 較容易計算錯誤呢？此時，研究者也好奇學生在這兩題答題狀況的一致性高 不高（即同一位學生於這兩小題會都答對或都答錯抑或是一對一錯）？以下 將比對兩小題的答題狀況及分析第(1)小題較容易計算錯誤的原因。
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表 4-8 比對 Part 2 第(1)小題與第(2)小題的一致性 中高程度
學生人數 及比例
中程度 學生人數
及比例
整體 學生人數
及比例 第(1)小題「正確」且第(2)小題「正確」 50 30 80
65.79% 39.47% 52.63%
第(1)小題「正確」且第(2)小題「錯誤」 4 4 8 5.26% 5.26% 5.26%
第(1)小題「錯誤」且第(2)小題「正確」 13 14 27 17.11% 18.42% 17.76%
第(1)小題「錯誤」且第(2)小題「錯誤」 6 19 25 7.89% 25.00% 16.45%
兩題皆未填答 3 9 12
3.95% 11.84% 7.89%
從表 4-8 可知，第(1)小題與第(2)小題「同時寫對」與「同時寫錯」的學生約占 七成（69.08%），代表學生答題的一致性蠻高的。只有少部分學生是「一題答對 另一題答錯」。而「一題答對另一題答錯」的學生中，又以第(1)小題「錯誤」且 第(2)小題「正確」的人較多。研究者閱讀學生寫的解題過程後，發現其原因為：
第(1)小題有兩個學生容易錯誤的地方：
a. 大部分學生在小數的加法、乘法上計算錯誤。
b. 有少部分學生是因為不會將對數式轉換為指數式而解不出這題；
第(2)小題只有一個學生容易錯誤的地方：
a. 大部分學生在小數的加法、乘法上計算錯誤。
由於第(1)小題對學生來說有兩個解題上容易犯錯的地方，而第(2)小題只有一個，
因此第(1)小題比第(2)小題容易計算錯誤。
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接下來，研究者將針對 Part 2 第 1 題第(1)小題與第(2)小題進行各別分析。
Part 2 第 1 題第(1)小題
1. 全體學生中，有將近六成（58.55%）的學生能從給定的「規模」推算出相對 應的「能量」，並且計算正確；有將近兩成（17.11%）的學生計算錯誤（計 算錯誤指的是，從學生的過程中可以知道他會做對數的運算，但因為計算錯 誤而導致最後的答案是錯誤的）；另外有一成多（15.13%）的學生有作答，
但答案是錯誤的。
2. 在高層次的數學思維中，比起計算，我們更在乎學生的思維能力，因此若將
「計算錯誤」的部分一併列入「正確作答」的類別中，有七成五（75.66%）
的學生能從給定的「規模」推算出相對應的「能量」。
3. 中高程度學生有七成左右（71.05%）的學生能從給定的「規模」推算出相對 應的「能量」並且計算正確，有將近兩成（19.74%）的學生計算錯誤；中程 度學生有四成六（46.05%）的學生能從給定的「規模」推算出相對應的「能 量」並且計算正確，有一成多（14.47%）的學生計算錯誤。中高程度學生與 中程度學生的答對率差距兩成五。
4. 以下將分析學生在解題歷程所展現的「數學能力」。
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A1-1：𝟏 × 𝟏𝟎𝟐𝟐（𝟏𝟎𝟐𝟐）（正確答案）
學生的解題過程：
因為規模 M = 6.8，因此將 M = 6.8 代入式子 log E = 11.8+1.5M 中，得 log E = 11.8+1.5×6.8
⇒ log E = 11.8+10.2
⇒ log E = 22
⇒ E = 1022 = 1 × 1022（轉換成科學記號的寫法）
分析學生的數學能力：
學生在解題的過程中，運用「代入」、「小數的乘法」、「小數的加法」、「指數 式轉換成對數式」等步驟，將答案求出。
從上述分析可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「使用表徵及轉換」、「使 用符號、形式及術語與運算」、「推理及推論」等數學能力。
A1-2：22 學生的解題過程：
因為規模 M = 6.8，因此將 M = 6.8 代入式子 log E = 11.8+1.5M 中，得 log E = 11.8+1.5×6.8
⇒ log E = 11.8+10.2
⇒ log E = 22
分析學生的數學能力：
此類的答案，在前幾個步驟皆與正確答案的步驟相同，唯獨最後一個步驟「將 對數式轉換成指數式」沒有進行轉換，因此有可能是學生不會做轉換，或是認為 log E 即代表「能量」。此時我們可以對照其 Part 1 第 2 題第(3)小題的填答狀況來
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作判斷。這類的學生共有 11 位，數量不算少。在 Part 1 第 2 題第(3)小題，其中 有 3 位學生填答正確，因此研究者判斷這 3 位學生，可能認為「log E 即代表能 量」，因此沒有作進一步的轉換，屬於對符號的認知有誤；有 5 位學生空白，因 此研究者認為此 5 位學生不會作對數式與指數式之間的轉換；另外有 3 位學生寫 出錯誤的答案，且沒有任何計算過程，因此研究者認為他們極有可能不會作對數 式與指數式之間的轉換。
從上述分析可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「推理及推論」之能力。
其中，有 3 位學生對符號的認知有誤，因此這類學生「使用表徵及轉換」的能力 使用有錯誤，有 5 位學生在解題過程中不會將對數式轉換成指數式，因此這類學 生「使用符號、形式及術語與運算」之能力使用有錯誤。
A1-3：𝟐. 𝟐 × 𝟏𝟎𝟏 學生的解題過程：
因為規模 M = 6.8，因此將 M = 6.8 代入式子 log E = 11.8+1.5M 中，得 log E = 11.8+1.5×6.8
⇒ log E = 11.8+10.2
⇒ log E = 22 答：22
分析學生的數學能力：
從學生書寫的過程會發現，其思維基本上與 A1-2 類的學生相同，但研究者 會將此類另外歸成一類的原因是，學生明確告訴我答案是 22，很可能代表學生 認為 log E = 22 代表能量大小為 22，即 log E 代表「能量」，屬於對符號的認知有 誤。
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Part 2 第 1 題第(2)小題
1. 全體學生中，有將近七成（69.74%）的學生能從給定的「能量」推算出相對 應的「規模」，並且計算正確；有將近一成（9.21%）的學生計算錯誤（計算 錯誤指的是，從學生的過程中可以知道他會做對數的運算，但因為計算錯誤 而導致最後的答案是錯誤的）；另外有不到一成（5.26%）的學生有作答，但 答案是錯誤的。
2. 在高層次的數學思維中，比起計算，我們更在乎學生的思維能力，因此若將
「計算錯誤」的部分一併列入「正確作答」的類別中，有將近八成（78.95%）
的學生能從給定的「能量」推算出相對應的「規模」。
3. 中高程度學生有八成左右（81.56%）的學生能從給定的「能量」推算出相對 應的「規模」並且計算正確，有將近一成左右（10.53%）的學生計算錯誤；
中程度學生有將近六成（57.89%）的學生能從給定的「能量」推算出相對應 的「規模」並且計算正確，有將近一成（7.89%）的學生計算錯誤。中高程 度學生與中程度學生的答對率差距兩成四左右。
4. 以下將分析學生在解題歷程所展現的「數學能力」。
A2-1：4.8（正確答案）
學生的解題過程：
將E = 1019代入 log E = 11.8+1.5M 得 log 1019 = 11.8 + 1.5𝑀
⇒ 19 = 11.8 + 1.5𝑀
⇒ 1.5𝑀 = 7.2
⇒ 𝑀 = 4.8
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分析學生的數學能力：
學生在解題的過程中，運用「代入」、「對數運算」、「減法等量公理」、「除法 等量公理」等步驟，將答案求出。
從上述分析可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「使用表徵及轉換」、「使 用符號、形式及術語與運算」、「推理及推論」之能力。
A2-2：認為規模應為整數 學生的解題過程：
〈作法 1〉
log 𝐸 = 19 = 11.8 + 1.5𝑀
⇒ 1.5𝑀 = 7.1
⇒ 𝑀 = 7.1
1.5 = 4.97 … 取𝑀 = 4級
〈作法 2〉
log 𝐸 = 19 = 11.8 + 1.5𝑀
⇒ 𝑀 ≒ 5
分析學生的數學能力：
從學生的解題過程可以發現，除了計算錯誤之外，學生算出答案後，認為要 將數值「取整數」才是地震規模。這是我原先沒有想過學生會這樣想的。
從上述分析可知，學生展現「情境與數學間的溝通」、「使用表徵及轉換」、「使 用符號、形式及術語與運算」、「推理及推論」的能力。不過可能在學生的心中，
認為地震規模頇為整數，因此取近似直到整數。
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A2-3 其他 1 1 2
1.47 2.44 1.83
A2-4 計算錯誤 7 5 12
10.29 12.20 11.01
A2-5 空白未填答 2 1 3
2.94 2.44 2.75
註：本表之樣本為 Part 1 第 2 題答對的中高程度及中程度學生，其中中高程度學生有 68 人，中
註：本表之樣本為 Part 1 第 2 題答對的中高程度及中程度學生，其中中高程度學生有 68 人，中