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第一節 NCTM 對數學課程的建議
NCTM(National Council of Teachers)全美數學教師協會，成立於1920年，目前 為美國最大非營利性質的數學教育協會，會員人數高達十萬人(包含教師、數學教 育工作者等)，在美國及加拿大已有250個分支機構。成立的目的在於成為數學教育 的領航者，並且努力改善、提升數學教育品質，以確保所有學生都可接受高品質 的數學教育。
1989年，NCTM公佈了「Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics」，學校數學課程與評估，提出美國數學課程的目標，內容包含學生從 幼稚園至高中(K-12)應學習有關的數學理解、知識與技巧。1991年，公佈
「Professional Standards for Teaching Mathematics」，數學教學的專業標準，在1.教 師為學校內改變數學教學的主要角色，2.教師擁有長期的支持和足夠的資源的兩個 假設下，建議教師如何加強個人專業知識並創造良好的教學環境。1995年，公佈
「Assessment Standards for School Mathematics」，學校數學的評估標準，此文件反 映了NCTM對學校教學的改革理想，取代利用學生在特定測驗排名的評估方法，教 師可以公平去評估每一個學生不同的表現。文中討論六種評價標準：1.數學標準 (The Mathematics Standard)；2.學習標準(The Learning Standard)；3.權利標準(The Equity Standard)；4.開放性標準(The Openness Standard)；5.推斷標準(The Inferences Standard)；6.一致性標準(The Coherence Standard)。在不同的教學狀況下，利用不 同的標準來評估學生的學習。
2000年針對1989年所公佈的「Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics」更新為「Principles and Standards for School Mathematics」學校教育的 原則與標準，包含六項教學原則：平等原則、課程原則、教學原則、學習原則、
評量原則、技術原則。而內容則包含兩大部分。第一部份包含五大類課程目標：
數與運算、代數、幾何、測量、資料分析與機率的內容標準；第二部份說明五項 學習過程目標：解題、推理與證明、溝通、連結、表徵。針對四個學習階段：幼 稚園至二年級、三至五年級、六至八年級、九至十二年級詳細條列各學習階段的 具體期望表現。2006年公佈「Curriculum Focal Points for Prekindergarten through Grade 8 Mathematics：A Quest for Coherence」針對K-8數學一致性的探索，處理有 關課程的連貫性。
在2000年所公佈的「Principles and Standards for School Mathematics」學校教育 的原則與標準深深影響台灣的教育，其中與教科書最相關的三項原則如下：
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1.數學課程必須是連貫的：雖然數學課程包含許多主題，但不論是代數或是幾 何，這些主題之間應是互相關聯的。數學課程必須有效地組織這些主題並能清楚 說明重要概念，進而讓學生了解並掌握數學技巧。
2.更替重點學習：在不同的時期，有不同的學習目標，數學課程應有不同的重 點，如技職體系的課程與一般高中課程重點並不相同。
3.明確安排各學級的課程：學校課程應提供教師引導學生達到應有的程度和深 度；為此，必須建立良好的課程銜接，讓老師明白每一階段的學習重點，也為學 生學習提供正確方向。
「Principles and Standards for School Mathematics」有關六項教學原則，說明如 下：
1.平等原則：良好的數學教育必須要求平等，並對全體學生都有高度期望及有 力支持。
2.課程原則：課程不只是教學活動的收集，它必須是一致的並集中於重要的數 學概念而且貫穿所有年級。
3.教學原則：數學教學計畫仰賴於那些可以勝任教學工作的教師來指導學生理 解和應用數學。
4.學習原則：學生必須學習對數學的理解，並利用已學過的知識與經驗積極建 立新的知識。
5.評量原則：評量應支持重要的數學學習並提供給教師與學生有用的訊息。
6.科技原則：科技在教學和學習數學中是不可或缺的，它可影響數學學習，並 提高學生的學習意願。
「Principles and Standards for School Mathematics」有關五項學習過程目標，說 明如下：
1.解題：
(1)透過解題建立新的數學知識 (2)能在數學及其他科目解題 (3)應用多元且適當的策略解題 (4)反思數學解題的過程
解題是數學學習中的一部份，優秀的問題解決者可以進行一個「數學化的處 理」－分析情勢，並自然地提出有關數學的問題。好的問題讓學生有機會鞏固和 擴大自己的知識，激發新的學習。大多數數學概念的引入可以透過與學生相關的 生活或數學背景，而教師可以協助數學課程的銜接，進而相輔相成，以臻進步。
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教師在培養學生解決問題的意向發揮著重要作用。他們必須選擇問題，引導 學生。他們必須創造一種環境，鼓勵學生去探索，去承擔風險，分享成功與失敗，
以及彼此的問題，在有利的環境，培養學生的信心。學生必須利用知識及使用適 合的技巧進行解題，進而反思解題過程，以發展對數學新的理解。
2.推理與證明：
(1)同意推理與證明為數學的基本 (2)研究和臆測數學想法
(3)發展和評估數學論證
(4)選擇和使用多元的方法進行推理與證明
數學的推理和證明提供學生一個表達見解的模式，透過思考，探索現象，證 明結果，皆可說明數學課程的意義。
3.溝通：
(1)透過溝通組織及鞏固數學思想
(2)能向同儕、教師傳遞自己的數學思維 (3)能分析他人的數學思想及策略
(4)用數學語言來表達正確的想法
為了表達自己對他人的思想，學生自然反思他們的學習、組織和鞏固他們對 數學的思維。學生可以透過溝通，來表達數學思維，利用溝通的過程進行思路的 調整及更正；除此之外，還可評價他人所使用的策略並幫助學生提高自己的能力。
4.連結：
(1)認識和利用不同數學思想之間的聯繫
(2)了解數學思維間的相互連結，並以此為基礎建立完整的概念 (3)學習、認識及運用其他領域的數學
包含對內及對外的連結。對內的連結為數學各主題間的相輔相成的概念；對 外則是數學與其他科目甚至是生活中其他學習的概念。能在生活中有機會體驗數 學是重要的。學生的數學概念，應該連接到他們的日常生活、包含社會科學、醫 學和商業。學生應該在審查個人和社會問題認識到數學的價值。
5.表徵：
(1)創造、使用表徵來組織、紀錄、溝通數學思維 (2)選擇、應用、轉化數學表徵以解決問題
(3)利用表徵模擬、解釋自然、社會中的數學現象
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學生必須利用、創造各種數學表徵來組織、紀錄、連結數學概念。
「Principles and Standards for School Mathematics」所建議的數學課程內容必須 包含下列五大主題，其學習目標如下：
1.數與運算：
(1)了解數字、數字的表示方法、數字間的關係及數系 (2)了解運算的意義以及它們之間相互的關係
(3)流利計算並做出合理的估計
「數與運算」貫穿了數學所有主題，另四個數學主題(代數、幾何、測量資料 分析與機率)及五項學習過程皆以此為基礎。數感的發展中心為數與運算，利用數 感，學生可以自然而然的去分析數字，利用有關十進位的運算與知識解決問題，
估算合理的結果。例如：低年級的學生對於數字有不同分解與思考方式，24 可視 為20＋4，也可看做 12 × 2。
而流暢的運算能力、使用有效率和準確的方法進行運算也是重要的。學生應 當學會不同的計算方式，如心算或紙筆運算，當然也包含使用計算機。
2.代數：
(1)理解規律、關係及方程式
(2)利用代數符號表現及分析數學結構
(3)利用數學模型分析各種實際和抽象的問題 (4)分析各種狀況下的變化
代數連結數字、符號、描述狀況、數學變化之間的關係。「代數」在國小階段 並不常見，但國小階段所學的數字運算是為了國高中更深入的代數作準備，例如：
國小階段，學生可將18×14 視為 18×10 再加上 18×4，這就是分配律的基礎理解表 現。和「數與運算」相同，代數的概念也串連所有數學主題，和幾何、資料分析 密不可分。代數的概念在學校的數學課程中，佔有舉足輕重的地位，在八年級，
學生就應擁有厚實的代數基礎，而所有高中生也該通過代數的考驗。
3.幾何：
(1)分析二維和三維幾何圖形的性質與特性，發展幾何關係的數學論點 (2)利用座標或其他系統描述特定位置及空間關係
(3)應用轉換、對稱分析數學狀況 (4)運用直覺推理解決數學和其他問題
數學學習的組成基本是幾何和空間感，利用幾何部分的方法來解釋和反思我 們所生活的環境，可作為數學和科學的研究工具。
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幾何為橫跨年級中發展學生推理與判斷技巧的領域，因為幾何知識隨著學習 的內容增加而變的更加抽象，學生應了解所學內容的定義及定理，並建立屬於自 己的証明。例如：中學的學生應該要能證明由三角形A 三邊中點所形成的三角形 B 面積為 A 的四分之ㄧ。
幾何的學習建議使用具體的模型或動態軟體，有了適當的教具及教師的支 持，學生更容易仔細思考、探索幾何的成因。
4.測量：
(1)了解度量對象的屬性、單位、系統和度量過程 (2)應用適當的技術、工具和公式以確定測量
此單元在學生學習階段(幼稚園至高中)是非常重要的，因為它在日常生活中相 當實用，也非常普及。測量的學習提供一個了解其他主題、數字運算、幾何思維、
統計概念的機會。
5.資料分析與機率：
(1)利用收集的數據、資料等將問題公式化並回答 (2)選擇適當的統計方法來分析數據
(3)發展和評價以數據為基礎的推論和預測 (4)理解和運用機率的基本概念
日常生活中，不論是一般民眾、工程師、消費者都應具備統計的知識，所以 學生必須學習數據的分析及機率的概念。
在商業、政治、研究、日常生活中，利用數字的統計資料來做出正確的決定，
是常見的。消費者調查，指導開發和銷售的產品、實驗安全性和新療法的療效等，
都可發現統計動搖公眾的輿論，通過經驗的收集和分析數據，學生須學習如何解
都可發現統計動搖公眾的輿論，通過經驗的收集和分析數據，學生須學習如何解